O MÉTODO DE EXAUSTÃO E SUA CONTRIBUIÇÃO PARA O ...

RESUMO
O MÉTODO DE EXAUSTÃO E SUA CONTRIBUIÇÃO PARA O
DESENVOLVIMENTO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Mauro Lopes Alvarenga
Licenciando em Matemática
Universidade Católica de Brasília
Este trabalho vem nos dar uma pálida idéia sobre a vida e a obra de um dos maiores matemáticos de todos os
tempos, Arquimedes de Siracusa. Dentro de seus feitios, Arquimedes aprimorou um método, atribuído a Eudoxo,
chamado de método de exaustão, muito utilizado para se determinar áreas e volumes de figuras geométricas.
Devido ao rigor que Arquimedes impunha em suas demonstrações utilizando o método de exaustão, daremos
aqui uma mera introdução deste método e suas aplicações feitas em: A Quadratura da Parábola, Medida do
Círculo e Método de Equilíbrio; Sendo que, neste último, o método de exaustão é utilizado para se provar o
resultado obtido na etapa anterior (aplicação de O Método de Equilíbrio).
1. INTRODUÇÃO
O nosso interesse principal no ramo da matemática grega reside no trabalho de Arquimedes, a
quem de acordo com a maioria dos historiadores, deve-se a antecipação (ou mesmo a
invenção) do cálculo integral. Em relação às suas obras, destacaremos algumas, seu mais
famoso método demonstração: o método de exaustão; além de seus efeitos, seus fundamentos
e suas contribuições para o desenvolvimento do conhecimento matemático, e um método
particular para chegar aos resultados: o método do equilíbrio. Arquimedes quase sempre
chegava a conclusões pelo método do equilíbrio (método do próprio Arquimedes) e depois
demonstrava estas conclusões pelo método de exaustão (creditado a Eudoxo).
2. HISTÓRICO
Arquimedes de Siracusa (287 – 212 a.C.) é considerado consensualmente o maior matemático
da antiguidade. Superou todos os outros pela quantidade e dificuldade dos problemas que
tratou, pela originalidade de seus métodos e pelo rigor de suas demonstrações. Interessava-se
tanto pela matemática pura quanto pela aplicada e criou dois ramos da física (estática e
hidrodinâmica). Tornou-se famoso por suas invenções mecânicas, algumas delas utilizadas na
defesa da cidade de Siracusa contra o ataque das tropas romanas comandadas pelo general
Marcelo durante a segunda guerra Púnica (218 – 201 a.C.). Segundo a lenda, Arquimedes foi
morto por um soldado romano durante a tomada da cidade enquanto estudava um diagrama
geométrico na areia. Mas o episódio da morte de Arquimedes é cheio de informações
desencontradas, cada um relatando um tipo de situação. O certo é que sua morte muito afligiu
Marcelo; e que Marcelo sempre considerou quem o matou como assassino; e que ele procurou
os parentes de Arquimedes e os honrou com muitos favores.
“Em seu trabalho, desenvolveu também o método de exaustão, creditado a
Eudoxo, pelo qual se aproxima a quantidade desejada pelas somas parciais de
uma série ou pelos termos de uma seqüência. Obteve aproximações da área de um
círculo comparando-a com as áreas de polígonos regulares inscritos e
circunscritos”. (Boyer, 1995).

A mais notável das contribuições feitas à matemática se traduz no desenvolvimento inicial de
alguns dos métodos de cálculo integral.
Segundo Dieguez (2003):
“Arquimedes foi o primeiro a deduzir a lei das alavancas e das roldanas e a
descobrir porque os barcos flutuam. Gostava de máquinas e inventou um grande
número de engenhos úteis e extremamente eficientes, como um aparelho de
bombear água denominado “Parafuso de Arquimedes”, que até hoje é usado em
algumas partes do mundo, e terríveis catapultas de guerra, com os quais se
podiam lançar pedras de um quarto de tonelada a um (1) quilômetro de distância.
Seu prestígio era tão grande, que se atribuía a ele até façanhas improváveis, como
a de ter montado um jogo de espelhos capaz de concentrar a luz solar e incendiar
navios de guerra no mar.”
As contribuições de Arquimedes na matemática foram bastante significativas, como na
determinação de áreas de figuras cilíndricas, parabólicas e elípticas. Determinou também
volumes do cone e da esfera utilizando para isso métodos bastante rigorosos.
O método de exaustão é o fundamento de um dos processos essenciais do cálculo
infinitesimal. No entanto, enquanto no cálculo se soma um número infinito de parcelas,
Arquimedes nunca considerou que as somas tivessem uma infinidade de termos. Para poder
definir uma soma de uma série infinita seria necessário desenvolver o conceito de número real
que os gregos não possuíam. Não é, pois, correto falar do método de exaustão como um
processo geométrico de passagem para ao limite. A noção de limite pressupõe a consideração
do infinito que esteve sempre excluída da matemática grega, mesmo em Arquimedes. Mas, no
entanto, o seu trabalho foi, provavelmente, o mais forte incentivo para o desenvolvimento
posterior da idéias de limite e de infinito no século XIX. De fato, os trabalhos de Arquimedes
constituem a principal fonte de inspiração para a geometria de século XVII que desempenhou
um papel importante no desenvolvimento do cálculo infinitesimal.
Apesar da grande originalidade dos trabalhos de Arquimedes, ele não teve discípulos diretos
na Grécia. Mas os matemáticos árabes interessaram-se pelo método da exaustão desde o
século IX.
Conforme Boyer (1995):
“Para achar áreas e volumes, o versátil Arquimedes usou sua própria versão
primitiva do cálculo integral, que, de alguma maneira, é muito semelhante, quanto
ao espírito, ao cálculo atual. Numa carta a Eratóstenes, Arquimedes expôs seu
“método da alavanca” para descobrir fórmulas de áreas e volumes. Mas, quando
publicava provas para essas fórmulas, ele utilizava o método de exaustão para se
ajustar aos padrões de rigor da época.”
Deve-se notar que a frase “método de exaustão” não era usada pelos gregos antigos, sendo
uma invenção moderna; mas está tão firmemente estabelecida na história da matemática que
continuamos a fazer uso dela.
2

Ainda, conforme Boyer (1996):
“Segundo Arquimedes, foi Eudoxo (408 – 355 a. C.) que forneceu o axioma que
hoje tem o nome de Arquimedes, às vezes, chamado axioma de Arquimedes e que
serviu de base para o método de exaustão, o equivalente grego de cálculo integral.
O axioma diz que: dadas duas grandezas que têm uma razão (isto é, nenhuma
delas sendo zero), pode-se achar um múltiplo de qualquer delas que seja maior
que a outra. Esse enunciado eliminava um nebuloso argumento sobre segmentos
de reta indivisíveis, ou infinitésimos fixos, que às vezes aparecia.” (Boyer, 1996).
Do axioma de Eudoxo (ou Arquimedes) é fácil, por uma redução ao absurdo, provar uma
proposição que formava a base de método de exaustão dos gregos:
Proposição: Se de uma grandeza qualquer se subtrai uma parte não menor que sua metade e
do resto novamente subtrai-se uma parte não menor que sua metade, e assim por diante, se
chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma
espécie.
Demonstração: em linguagem matemática moderna, temos: seja M uma grandeza qualquer;
1
ε uma grandeza prefixada e ≤ r < 1.
Fazendo M − Mr = M1,
segue que M1 = M ( 1−
r)
,
2
2
mas M − M r = M M = M ( 1−
r)
M = M ( 1−
r).(
1 − r)
M = M ( 1 − r)
, sabe-se
1
1
2
2
1
2
que M 2 − M 2r
= M 3 M 3 = M 2 ( 1−
r)
M 3
2
= M ( 1−
r)
.( 1−
r)
M 3
3
= M ( 1−
r)
...
N
1
Repetindo sucessivamente chegamos a M N = M ( 1−
r)
. Como 0 < 1−
r ≤ , temos que
2
N
( 1−
r) tende a zero com o crescimento de N . Daí, encontra-se N , tal que
N
M = M ( 1−
r)
< ε , qualquer que seja o valor dado para ε .
N
“Esta proposição que chamaremos de ‘propriedade de exaustão’ equivale à
seguinte formulação moderna: se M é uma grandeza dada,ε uma grandeza
1
prefixada de mesma espécie e r é uma razão tal que ≤ r < 1,
então podemos
2
achar um inteiro N tal que: − < ε
N
M ( 1 r)
, para todo n > N . Isto é, a
propriedade de exaustão equivale a dizer que lim M ( 1−
r)
= 0 . Ainda mais, os
n→∞
gregos usaram essa propriedade para provar teoremas sobre as áreas e volumes de
figuras curvilíneas.” (Boyer, op cit).
Neste contexto, Arquimedes fez aplicações muito importantes do chamado “método de
exaustão”, as quais contribuíram para marcar a importância deste método na matemática
antiga e para o desenvolvimento de grande parte da matemática como concebemos hoje. No
entanto, nem Arquimedes nem qualquer outro matemático grego apresentam o método de
exaustão sob a forma de um resultado geral aplicável a todas as figuras (ou pelo menos a mais
de um caso). Dada a figura, observava-a e tentava formar figuras circunscritas e/ou inscritas,
valendo-se das propriedades daquela figura particular. Era este, ao menos, o procedimento
n
2
3

empregado nas primeiras obras. Isto quer dizer que o método era particular (usado de forma
diferente) para cada problema
Este método, que se tornou o modelo grego nas demonstrações de cálculos de áreas e
volumes, era muito rigoroso, no entanto, tinha um grande senão: o resultado para ser provado,
tinha de ser conhecido a priori. Arquimedes, sem dúvida, calculava integrais, mas como não
as conhecia e pela semelhança com a idéia de cálculo integral dos tempos modernos, foi
atribuído a esse processo o nome de método de exaustão. De onde concluímos que
Arquimedes foi o precursor da integração.
Arquimedes era um estudioso da matemática e autor de vários trabalhos dos quais muitos
foram perdidos. Das obras que foram preservadas, destacam-se as seguintes em ordem
cronológica:
Sobre o Equilíbrio das Figuras Planas I;
A Quadratura da Parábola;
Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas II;
Sobre a Esfera e o Cilindro;
Sobre as Espirais;
Sobre os Cones e os Esferóides;
Sobre os Corpos Flutuantes;
A Medida de um Círculo;
O Contador dos Grãos de Areia.
Dessas obras citadas, iremos mostrar a aplicação do método da exaustão em duas delas: A
Quadratura da Parábola, A Medida de um Círculo. A terceira aplicação será da obra O
Método, perdida até 1906. Nesta aplicação, mostraremos o método de equilíbrio de
Arquimedes. Ainda existem outros textos perdidos ou incompletos (corrompidos por
traduções) como o Livro dos Lemas.
3. APLICAÇÕES DO MÉTODO
3.1 A Quadratura da Parábola
Dos tratados onde houve aplicação do método de exaustão, o mais popular era a Quadratura
da Parábola. Sabe-se que, na matemática grega, a determinação de áreas e volumes fazia-se
por comparação com áreas conhecidas, como, por exemplo, a área do quadrado. Quadratura
(ou quadrar) era o nome que se dava a essa determinação. Medir uma figura geométrica, para
os geômetras gregos, não era encontrar um número, mas sim uma figura conhecida com o
mesmo comprimento, área ou volume da primeira. Nessa perspectiva, o que se coloca não é o
problema de calcular a medida de uma área, mas o problema de determinar a relação entre
duas áreas: a área que se quer conhecer e uma área já conhecida, comparando-as. As secções
cônicas eram conhecidas havia mais de um século quando Arquimedes escreveu, mas nenhum
progresso fora feito no cálculo de suas áreas. A prova pelo método de Exaustão é longa e
elaborada, mas Arquimedes provou rigorosamente que a área K de um segmento parabólico é
quatro terços da área de um triângulo T tendo a mesma base e a mesma altura do segmento
parabólico.
4

É nesse tratado que encontramos o hoje usualmente chamado axioma de Arquimedes: “Que o
excesso pelo qual a maior de duas áreas diferentes excede a menor pode, sendo somada a si
mesma, vir a exceder qualquer área finita dada.” Isto elimina o infinitésimo ou indivisível
fixo já discutido no tempo de Platão e é basicamente o mesmo axioma da exaustão que
Arquimedes admitiu que um lema semelhante a esse já era usado por geômetras de antes,
“pois é por seu uso que demonstraram que círculos estão para si na razão dupla de seus
diâmetros, e que esferas estão entre si na razão tripla de seus diâmetros; e ainda que toda
pirâmide é um terço do prisma de mesma base que a pirâmide e mesma altura; também, que
todo cone é um terço do cilindro de mesma base que o cone e mesma altura.” (Boyer, 1996)
Para demonstrar esse resultado, que depende de muita intuição, Arquimedes usa o método de
exaustão. Inscreve no segmento parabólico um triângulo de mesma base e altura. A seguir, em
cada um dos segmentos parabólicos resultantes, inscreve igualmente um triângulo, e continua
a inscrever triângulos nos segmentos parabólicos resultantes em cada etapa. Prova então que
para cada triângulo os dois triângulos construídos sobre seus lados têm uma área total que é
1 4 da área do triângulo dado. Dessa forma ele exaure o segmento parabólico, removendo
sucessivamente esses triângulos inscritos. A área total pode ser aproximada por uma soma de
áreas que, agrupadas adequadamente, levam a uma progressão geométrica em que cada termo,
salvo o primeiro, é 1 4 do anterior. A soma de tal progressão geométrica é 4 3 do primeiro
termo. Cuidadosamente, Arquimedes mostra que a área do segmento parabólico não pode
exceder 4 3 da área do primeiro triângulo inscrito e, da mesma forma, que não pode ser
menor que esse valor. Assim ele chega à conclusão desejada e, evitando a armadilha dos
infinitésimos e das operações com limites, atinge um nível de rigor insuperado até o século
XVIII.
Arquimedes define o que significa base, altura e vértice de um segmento de parábola: a base é
a reta que interrompe a parábola, a altura é a perpendicular máxima que pode ser traçada da
curva até a base e o vértice o ponto a partir do qual a altura é traçada. As outras alturas dos
outros triângulos traçados são obtidas por interseções da curva (parábola) com retas paralelas
à altura máxima da parábola. Essas retas são traçadas tendo como referência de partida, os
respectivos pontos médios em que foi divida a base da parábola (ver figura 1).
Esclarecido como formar o polígono inscrito na parábola, este polígono se aproxima da
parábola, isto é, pode ser inscrito nesta um polígono de tal forma que os segmentos restantes
sejam menores do que qualquer grandeza determinada.
Explicando melhor, Arquimedes inscreve sucessivos triângulos no segmento de parábola,
calcula a área desses triângulos e vai obtendo valores cada vez mais próximos do pretendido,
somando as áreas dos sucessivos triângulos. Assim, demonstra que a área do segmento de
parábola é igual a 4 3 da área do triângulo com a mesma base e altura do segmento. No
entanto, Arquimedes não prolonga as somas até o infinito. Ele deduz o seu valor
demonstrando que não pode ser nem maior, nem menor que esses 4 3 . Pois bem, nomeando
as partes resultantes do processo de quadratura da parábola temos: seja P o segmento de
parábola e T 0 o triângulo inscrito (ver figura 1); nos dois segmentos restantes são escritos
outros dois triângulos, t 01 e t 02 , de mesma base e altura. Seja a soma destes T 1 . Nos quatro
segmentos de parábola formados são inscritos os triângulos t 11 , t 12 , t 13 , e t 14 , cuja soma é T 2 .
5

T0
T1
Precisamos demonstrar, mediante as propriedades da parábola, que T 1 = , T2
= e assim
4 4
por diante, isto é, os “pedaços” que são acrescidos ao triângulo não só se tornam cada vez
menores, mas cada um é igual a 1 4 do anterior.
Figura 1
Fonte: Scientific American Brasil nº 7, 2005.
Para isso, considere a figura 2. Por meio de convenientes rotações e translações podemos
2
supor que qualquer parábola assume a forma y = ax , com a > 0 . Suponha o segmento
1
parabólico limitado pela reta y = b , b > 0 . Mostremos que T 1 = T0
(os demais triângulos
4
2b
b
a
seguem os mesmos cálculos): da figura 2 segue facilmente que T = = b b
0
. Em D
2 a
temos
1 b
x = e
2 a
1 b
y = , ou
2 a
2
b
y = . Daí,
4
1 b b
D , . A reta r passando pelos
2 a 4
b b
pontos A e C é da forma r : y = mx , onde ( A é a origem) m = = a = ab .
b b
a
Assim, r : y = abx
.
6

Figura 2
1
Seja s a reta perpendicular a r passando por D . Temos que s : y = − x + k , ou seja,
m
s : y = −
1 b
−
x
b 2 a
+ k . Como D é ponto da reta, segue que =
ab
4 ab
+ k , donde segue que
2 + ab
k = . Assim, s : y = −
4a
x 2 + ab
+ .
ab 4a
O ponto F é a interseção das retas r e s . Isto significa que
x =
F
( 2 + ab)
4a(
1 + ab)
( 2 + ab)
4a(
1+
ab)
ab
. Agora,
ab b
,
4
( 2 + ab)
( 1+
ab)
.
y =
abx
=
ab ⋅
( 2 + ab)
4a(
1+
ab)
ab
b
=
4
abx
( 2 + ab)
( 1+
ab)
x 2 + ab
= − + , ou
ab 4a
. Portanto temos
7

Para calcular a área do triângulo t 01 temos que achar a sua altura h , que é a distância do
ponto D a F :
simples chegamos a
( 2 + ab)
4a(
1 + ab)
2
( 2 + ab)
( 1 + ab)
ab 1 b b b
h = d(
D,
F)
=
− + − . Com cálculos
2 a 4 4
2
b
h = . A base do mesmo triângulo é
4 1 + ab
2
b 2 b + ab
d(
A,
C)
= + b = . Assim, a área do triângulo t 01 é:
a
a
A t
01
=
1
2
b + ab
a
2
⋅
4
b
1 + ab
. Daí, a área dos triângulos t 01 e t 02 somadas é T 1,
onde
T 1 =
2
b + ab
⋅
a 4
b b
=
1 + ab 4
b T0
= . O processo é essencialmente o mesmo para provar
a 4
T1
que T 2 = e os demais.
4
Voltando ao cálculo da área do segmento parabólico, basta perceber que o polígono
construído (ver figura 1) se aproxima efetivamente do segmento da parábola e que T0 + T1 +
4 T0
T 0 T 0 T 0 4
T2 + T4 + ...+ T n + ...= T 0 , ou melhor, T0 + + + + + + → T
2 3
n 0 .
3
4 4 4 4 3
Em linguagem atual, pensando em repetir o processo infinitamente, teríamos
1 1 1
T0
1+ + + ... + n
4 16 4
+ ...
∞ 1
= T0
n
n=
0 4
∞
4
1
= T0
, pois a série n
3
n=0
4
converge para 4
, já que ela
3
1
é a soma de uma progressão geométrica infinita de razão . Sendo assim, a soma de seus
4
1 1 4
termos é dada por: = = .
1 3
1−
3
4 4
O elegante é observar que mesmo não pensando no infinito (soma de infinitos termos),
Arquimedes encontra a soma exata da série.
3.2 A Medida de um Círculo
Em A Medida de um Círculo, obra composta por apenas três proposições, Arquimedes
demonstra primeiro que a área A de um círculo de raio r é igual a de um triângulo cuja base é
rC
igual à circunferência C do círculo e cuja altura é r , ou seja, A = . Resulta disso que a
2
razão da área do círculo pelo quadrado de seu raio é igual à razão da sua circunferência por
seu diâmetro. Esta razão comum é o que chamamos hoje de π . Já se tinha em mente, naquela
época, um valor aproximado para π de 3 , 16 descoberto pelos egípcios no século XV a.C.,
aproximadamente. Eles partiram de um quadrado inscrito e outro circunscrito à circunferência
2
8

e, em seguida, dobrando-se os lados dos respectivos quadriláteros, obtendo-se com isso dois
polígonos de oito lados, calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscritos e
circunscritos e o diâmetro da circunferência. Arquimedes também quis descobrir a razão
entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. A diferença e que Arquimedes
partiu de um hexágono regular inscrito e outro circunscrito à circunferência e calculou os
perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a
um polígono de 96 lados. O resultado obtido por Arquimedes descrito na matemática atual
10 1
equivale a considerar que 3 < π < 3 , que, em decimais, teríamos o seguinte intervalo:
3 , 14084 < π < 3,
142858 .
71
7
Arquimedes calculou a área de um círculo descobrindo os limites entre os quais essa área se
estende e depois estreitando pouco a pouco esses limites até mais ou menos a área real. Para
isso, inscreveu dentro do círculo um polígono regular e depois circunscreveu o círculo com
um polígono similar.
Figura 3
O processo utilizado por Arquimedes consistia na utilização de dois hexágonos e, através da
duplicação de seus lados e da repetição do processo, Arquimedes, finalmente, chaga a um
polígono de 96 lados. Em seguida, calculou a área do polígono interno que estabelecia o
limite inferior da área do círculo. Feito isso, calculou-se também a área do polígono externo,
9

que fixava o limite superior. E assim, através desse processo, chegou-se a um valor
aproximado para a área do círculo a qual figurava, rigorosamente, entre esse dois limites.
Bastante contribuição teve para a matemática ao utilizar essa inovação de fazer uso da
aproximação no lugar da igualdade precisa. Arquimedes percebeu que com freqüência bastava
fazer duas aproximações comparativamente fáceis de uma resposta que propusesse um limite
inferior e um outro superior – entre os quais residiria a resposta. Quanto maior a exatidão
exigida, mais estreitos os limites. Por exemplo, no diagrama anterior, os lados de um polígono
podiam ser aumentados indefinidamente, reduzindo assim a diferença entre os limites superior
e inferior até um resultado infinitesimalmente pequeno. Assim teve início o cálculo, embora
outros 2.000 anos ainda fossem necessários antes que alguém desenvolvesse essa idéia. Isso
só aconteceu a partir de 1666, quando Newton formulou os elementos essenciais do cálculo
diferencial.
Utilizando os recursos da matemática moderna, refinada e tendo a figura 3 como apoio,
vamos mostrar a aproximação feita para π , partindo de dois polígonos de 96 lados, um
inscrito e outro circunscrito à circunferência, assim como Arquimedes considerou. Considere,
também, o raio da circunferência igual a 1.
360 1 360
360
Temos α = e β = ⋅ , ou seja, β = . Das relações trigonométricas em um
96 2 96
192
l
triângulo retângulo, temos 2 l l 360
sen β = = , mas = sen , o que nos dá aproximadamente
1 2 2 192
l = 0,
0654381656 , sendo l o lado do polígono inscrito.
Sendo a o apótema do polígono inscrito, por Pitágoras temos:
2
2
2 l l
a = 1−
= 1−
, ou
2 4
a =
l
1−
4
= 0,
9994645875.
Agora, calculando a área A t de um dos 96 triângulos do
l ⋅ a
polígono inscrito (ver figura 3) temos: At = . Resulta que a área do polígono inscrito é
2
l ⋅ a
Ap = 96 ⋅ At
= 96 ⋅ = 48⋅
l ⋅ a , onde 48 ⋅ l = p , semi-perímetro do polígono inscrito. Disso
2
resulta que encontramos: = 48 ⋅ l ⋅ a , ou A = 3,
1393502030 , aproximadamente.
A p
p
Considerando agora o triângulo maior, do polígono circunscrito, formando o mesmo ângulo
L
β , temos: 2 L
tg β = . Então = tgβ
, ou L = 0,
0654732008 , aproximadamente. Como o
1 2
apótema do polígono circunscrito é o raio r = 1 da circunferência, podemos calcular a área
L ⋅1
L
A T de um dos 96 triângulos do polígono circunscrito. Assim, AT = = e a área do
2 2
2
10

polígono circunscrito será (polígono grande):
L
AP = 96 ⋅ AT
= 96 ⋅ = 48 ⋅ L (ou o
2
semiperímetro do polígono circunscrito). Temos, = 48 . L = 48.
0,
065463008 , resultando
A = 3,
1427145996 , aproximadamente.
G
Portanto, de nossos cálculos, com valores bem próximos aos de Arquimedes, temos:
A ≤ A ≤ A , onde
2
= π ⋅ r é a área do círculo. Como r = 1,
segue que
p
C
G
A C
A G
3, 1393502030 ≤ π ≤ 3,
1427145996 .
3.3 O Método de Equilíbrio de Arquimedes: o volume da esfera
O método de exaustão é rigoroso, mas estéril. Em outras palavras, uma vez conhecida uma
fórmula, o método de exaustão pode se constituir num elegante instrumento para prová-la,
mas o método, por si só, não se presta para a descoberta inicial do resultado. Quanto a esse
aspecto, o método de exaustão assemelha-se muito ao princípio de indução matemática, ou
seja, será que esta propriedade vale sempre, para qualquer situação? Como, então,
Arquimedes descobriu as fórmulas que tão elegantemente demonstrava pelo método de
exaustão?
Com a descoberta feita em 1906 por J. L. Heiberg, na biblioteca de um mosteiro em
Constantinopla, a questão teve, finalmente, esclarecimento. Através de uma cópia de um
tratado escrito por Arquimedes, cujo nome ficou conhecido como O método e que se
encontrava perdido desde os primeiros séculos de nossa era. Esse texto foi escrito por volta do
século X num pergaminho e, depois, por volta do século XIII, foi raspado para em seu lugar
ser escrito um texto religioso. Com o tempo, o texto apagado voltou a ficar visível em alguns
trechos. Felizmente, foi possível restaurar a maior parte do texto original.
Para descobrir, então, suas fórmulas, Arquimedes usou o Método de Equilíbrio ou lei das
alavancas. Considere a figura 4 abaixo: teremos equilíbrio se o produto do peso X pela
distância x entre o ponto de suspensão de X e o fulcro for igual ao produto do peso Y por
sua distância y ao fulcro (esses produtos são, por vezes, chamados de momento).
Para Eves (1997):
Figura 4
“Esse método diz que para determinar uma área ou um volume, corte a região
correspondente num número muito grande de tiras planas ou de fatias paralelas
11

finas e (mentalmente) pendure esses pedaços numa das extremidades de uma
alavanca dada, de tal maneira a estabelecer o equilíbrio com uma figura de área ou
volume e centróide (centro de massa) conhecidos. Arquimedes não se satisfazia
com esse procedimento, daí porque ele recorria ao método de exaustão para
fornecer uma demonstração mais rigorosa em casos como o que acabamos de
focalizar. Pelo Método de Equilíbrio pode-se ver a fertilidade da idéia que
consiste em considerar toda grandeza como sendo formada de um número muito
grande de porções atômicas, embora essa idéia não tenha uma fundamentação
precisa.”
A aplicabilidade do método será ilustrada aqui com a segunda proposição de O Método,
segundo o qual o volume da esfera é 4 vezes o volume de um cone com base igual ao círculo
maior da esfera e altura igual ao raio. (Anteriormente Demócrito tinha conhecimento de que o
volume de um cone é 1 3 do volume do cilindro de mesma altura e mesmo raio). Arquimedes
descobriu esse teorema através de uma engenhosa condição de equilíbrio entre as seções
circulares de uma esfera e um cone, de um lado, e os elementos circulares de um cilindro de
outro, como mostra a figura 5.
Figura 5
Fonte: Eves (1983)
Seja r o raio da esfera. Coloque a esfera com seu diâmetro polar ao longo de um eixo
horizontal x com o pólo norte N na origem. Construa o cilindro e o cone de revolução
12

obtidos girando o retângulo NABS e o triângulo NCS (que é um triângulo retângulo
isósceles com lados de comprimento 2r) sobre o eixo x . Agora corte nos três sólidos finas
fatias verticais ( assumindo que eles são cilindros achatados) à distância x de N e de espessura
∆ x . Os volumes destas fatias são aproximadamente:
esfera : πx(
2r
− x)
∆x,
2
cilindro : πr
∆x,
2
cone : πx
∆x
Tome fatias correspondentes da esfera e do cone e os pendure pelos seus centros em T onde
TN = 2r. O momento (o momento de um volume sobre um ponto é o produto do volume pela
distância do ponto ao centróide do volume) combinado destas duas fatias sobre N é:
2
2
[ π x( 2r
− x)
∆x
+ πx
∆x]
2r
= 4πr
x∆x
.
Isto, podemos ver, é quatro vezes o momento da fatia cortada do cilindro quando aquela fatia
é pendurada onde está. Somando um número grande destas fatias acharemos:
2r[volume da esfera + volume do cone] = 4r[volume do cilindro], ou
8π r
4
2r[volume da esfera ] = 8πr , ou
3
4π r
volume da esfera = .
3
Isto, que nos é narrado em O Método, foi o modo como Arquimedes descobriu fórmula do
volume de uma esfera. Mas a consciência matemática dele não lhe permitia aceitar o tal
método como uma prova, daí Arquimedes forneceu uma demonstração rigorosa por meio do
método de exaustão.
Se a imprensa fosse invenção dos tempos antigos, certamente O Método de Arquimedes teria
um significado maior no desenvolvimento do cálculo. Durante quase dois milênios, o trabalho
permaneceu essencialmente desconhecido já que foram feitas poucas cópias. A redescoberta
de O Método de Arquimedes foi um feito memorável.
DISCUSSÃO E CONCLUSÃO
Sabemos que hoje em dia o Cálculo Integral é largamente usado em diversas áreas do
conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de matemática, mas de
Física, Química, Astronomia, Economia, por exemplo. Mas para se chegar a métodos
refinados, como os de agora, o conhecimento matemático passou por diversas lapidações e
contradições que duraram séculos para se resolverem.
Arquimedes, pelas obras produzidas, pelo grau de rigor que se auto-exigia em suas
demonstrações e pelo seu fabuloso raciocínio geométrico parecia ser um matemático que não
condizia com o tempo em que vivia, pois, de longe, pensava muito além dos demais
matemáticos contemporâneos, principalmente quando se falava em geometria. Sem dúvida
alguma, a matemática arquimediana contribuiu bastante para o surgimento da matemática
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moderna, já que, partindo de seus postulados foi-se capaz de se chegar a resultados mais
convincentes e elaborados e que não exigiam todo aquele rigor presente nos trabalhos de
Arquimedes.
Com relação ao método de exaustão, que já sabemos que foi criado por Eudoxo, Arquimedes
foi quem o aplicou de maneira mais elegante, aproximando-se da atual e verdadeira
integração. O que podemos concluir com isso, a sua influencia no desenvolvimento do
conhecimento matemático. O interessante é que nenhum matemático clássico dizia: “vamos
recorrer ao método de exaustão para encontrarmos a solução do problema”. De fato, esse
termo (método de exaustão) é uma invenção tardia, por volta do século XVII.
Mas, entender o método de exaustão e suas aplicações e resultados não é nada trivial. O que
iremos encontrar nos livros referentes ao assunto são algumas poucas e repetidas informações,
além de rigorosas demonstrações nada fácil de se interpretar e tirar conclusões. Isso vem a
mostrar que grande parte das obras e dos manuscritos feitos por Arquimedes foram perdidos e
o que se tem hoje em dia é fruto de espinhosas traduções e interpretações muitas vezes
contraditórias. Conclui-se, assim, que não se pode dar uma idéia de sua obra traduzindo os
resultados para a nossa linguagem, já que uma tradução desse tipo transformaria nosso texto
em um fraco elenco de resultados facilmente dedutíveis mediante as técnicas refinadas que
conhecemos atualmente. Então, para estudar e reconstruir as contribuições de Arquimedes é
preciso mergulhar na sua rigorosa matemática da idade antiga.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Rio de Janeiro: SBM, 1984.
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2004.
BORN, Margareth E. Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do cálculo.
Brasília: Universidade de Brasília.
BOYER, Carl B. Cálculo - tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. São Paulo:
Atual Editora Ltda, 1995. v. 6.
______. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996.
EVES, Howard. Great moments in mathematcs. Dolciani Mathematical Exposition nº 5, USA: The
Mathematical Assiciation of American, 1983.
______. Introdução à história da matemática. 2. ed. São Paulo: Unicamp, 1997.
REVISTA GALILEU. Especial Eureca: Eureca – A matemática divertida e emocionante. 94p. Edição
Especial (2003).
SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL. Coleção Gênios da Ciência: Arquimedes, pioneiro da
matemática. Nº 7. 98p. Edição Especial (2005).
STRATHERN, Paul. Arquimedes e a alavanca em 90 minutos (coleção 90 minutos). Rio de Janeiro:
Jorge Zahar Ed., 1998.
Mauro Lopes Alvarenga (maurolopes.mat@gmail.com)
Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília
EPCT – QS 07 – Lote 01 – Águas Claras – Taguatinga – CEP.: 72966-700
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