a) b) c) d) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - FEP

fep.up.pt

a) b) c) d) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - FEP

FACULDADE DE ECONOMIA DO PORTO LICENCIATURA EM GESTÃO

MATEMÁTICA FINANCEIRA E INSTRUMENTOS DE GESTÃO TESTE 16.11.2005 – VERSÃO A

OBSERVAÇÕES:

(i) A duração da prova é de 2 horas;

(ii) Não é permitida a consulta de quaisquer elementos, nem são prestados quaisquer

esclarecimentos;

(iii) Responda ao Grupo I na tabela constante desta página, assinalando com uma cruz a

resposta certa. No final destaque esta folha e proceda à sua entrega;

(iv) Certifique-se de que a versão identificada nesta página corresponde à versão do seu

enunciado;

(v) No Grupo I a cada resposta certa são atribuídos “+0,83(3)” valores e a cada resposta

errada são atribuídos “-0,21” valores;

(vi) Responda aos Grupos II e III em folhas separadas, de modo claro e perceptível, e

indique o número de folhas entregues, incluindo a folha de resposta ao Grupo I;

(vii) Não se esqueça de se identificar de modo legível e completo em todas as folhas

entregues.

NOME:

NÚMERO:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

GRUPO I (10 Valores)

VERSÃO A

a) b) c) d)

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GRUPO I (10 Valores)

1. Segundo dados do Banco Mundial a taxa de crescimento real do PIB num

determinado país passou de 3,5%, em 2003, para 2,3%, em 2004. Pode afirmar-se que

entre 2003 e 2004:

a) Em termos absolutos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2%.

b) Em termos relativos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2%.

c) ***Em termos absolutos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2 pontos

percentuais.

d) Em termos relativos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2 pontos percentuais.

2. O PIB per capita, a preços constantes, de um dado país passou de 8500 dólares para

9460 dólares entre 1996 e 2002. Pode afirmar-se que naquele período:

a) O PIB per capita, a preços constantes, aumentou, em média, 160 dólares por ano.

b) A taxa de crescimento média anual do PIB per capita, a preços constantes, foi de

1,8%.

c) A taxa de crescimento global do PIB per capita, a preços constantes, foi de 11,29%.

d) ***Todas as alíneas anteriores estão certas.

3. Em 2004, o PIB per capita do país A é de 6500 dólares norte-americanos, enquanto

que para o país B a mesma variável no mesmo ano ascende a 8300 dólares. Se, no

futuro, o PIB per capita do país A crescer à taxa média de 4,0% ao ano e o PIB per

capita do país B crescer à taxa média de 2,0% ao ano, pode afirmar-se que:

a) Em 2008, o PIB per capita do país A será de 82,7% do PIB do país B.

b) O País A demora 6 anos a atingir 90% do nível de produção per capita do país B.

c) ***De 2008 para 2009 o PIB per capita do país A aumentará 304,16 dólares,

enquanto o PIB per capita do país B aumentará 179,68 dólares.

d) Nenhuma das alíneas anteriores está certa.

R:

6500(1+4%) 4 /8300(1+2%) 4 = 84,64%. [Errado]

6500(1+4%) n = 90%*8300*(1+2%) n . Aplicando logaritmos, obtém-se n = 7,16 anos.

[Errado]

4% x 6500(1+4%) 4 = 304,16 e 2% x 8300(1+2%) 4 = 179,68. [Certo]

4. A tabela que se segue permite ver o número de fatos (F) que um determinado alfaiate

produz em certo número de horas de trabalho (H).

Produção de Fatos

Fatos Horas de

[F] Trabalho [H]

32 8

160 40

Pode afirmar-se que:

a) ***A relação entre a variação absoluta de F e a variação absoluta de H é 4,0.

b) A relação entre a variação absoluta de F e a variação absoluta de H é 0,25.

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c) A relação entre a variação relativa de F e a variação relativa de H é 4,0.

d) A relação entre a variação relativa de F e a variação relativa de H é 0,25.

5. Sabe-se que a elasticidade entre uma variável dependente (Y) e uma variável

independente (X) é 2,0. Perante isto pode afirmar-se que:

a) Se a variável X aumentar 10%, a variável Y aumenta 2%.

b) ***Se a variável X aumentar 5%, a variável Y aumenta 10%.

c) Se a variável X aumentar 10%, a variável Y diminui 5%.

d) A variável Y aumenta 2 unidades por cada unidade de aumento em X.

6. É conhecido que entre duas variáveis X e Y existe uma relação de proporcionalidade

composta directa. Sabe-se que a relação de proporcionalidade cresce a uma taxa de 5%

ao ano. Sabe-se também que a variável X regista uma taxa de crescimento de 9% ao

ano. Sabendo que a variável Y é a que tem um ritmo de crescimento superior, pode

afirmar-se que:

a) A taxa de crescimento da variável Y é 9,45% ao ano.

b) A taxa de crescimento da variável Y é 12,5% ao ano.

c) ***A taxa de crescimento da variável Y é 14,45% ao ano.

d) Não se pode responder a esta questão.

R:

5% = (1+RY)/(1+9%)-1, donde RY = 14,45%.

7. A variável X registou um crescimento de 2,5% entre 2003 e 2004. Sabe-se que o

índice simples representativo do andamento dessa variável (base 100 em 1990),

ascendia a 140,40 em 2003. Qual das seguintes afirmações está certa:

a) A variável cresceu 42,90% entre 1990 e 2004.

b) O valor do índice em 2004 é de 142,90 pontos.

c) ***A variável X cresceu a uma taxa média anual de 2,63%, entre 1990 e 2004.

d) Todas as alíneas anteriores estão certas.

R:

Índice em 2004 = 140,40 x (1+2,5%) = 143,91.

143,91 = 100(1+2,63%) 14 .

8. O volume de produção de vinho de uma quinta no Douro foi de 7200 pipas em 1995 e

de 12 256,2 pipas em 2004. Sabendo que o responsável da quinta tem vindo a construir

um índice de evolução da produção (base 100 em 1990) e que o seu valor em 2004

ascendeu a 198,0 pontos, pode afirmar-se que:

a) O valor do índice em 1995 foi de 138,9 pontos.

b) A produção cresceu 17,3% entre 1990 e 1995 e 70,2% entre este último ano e 2004.

c) A taxa média anual de crescimento da produção foi de 5% entre 1990 e 2004, sendo

de 4,1% ao ano entre 1990 e 1995 e de 5,9% ao ano entre 1995 e 2004.

d) ***A produção aumentou 6066,2 pipas entre 1990 e 2004.

R:

I95,90 = I04.90xX95/X04 = 198,0*7200/12 256,2 = 116,3.

116,3/100-1 = 16,3% e 198,0/116,3-1 = 70,2%.

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100(1+5%) 14 = 198,0; 100(1+3,066%) 5 = 116,3; 116,3(1+6,09%) 9 = 198,0

[198,0 = (X04/X90)*100, donde 198,0 = (12 256,2/X90)*100, logo X90 = 6190 pipas.

Logo, variação da produção = 12 256,2-6190 = 6066,2 pipas.

9. Um índice de preços de Laspeyres de base 1 em 1990 tem um valor de 1,47 em 2004.

Perante isto pode afirmar-se que:

a) Um índice de preços de Laspeyres de base 1 em 2004 tem um valor de 0,68 em 1990.

b) ***Um índice de preços de Paasche de base 1 em 2004 tem um valor de 0,68 em

1990.

c) Um índice de preços de Fisher de base 1 em 2004 tem um valor de 0,68 em 1990.

d) O índice de preços de Laspeyres goza da propriedade de reversibilidade no tempo.

10. No quadro seguinte encontra o Índice de Preços no Consumidor divulgado pelo INE

para Portugal relativo a alguns meses de 2003 e 2004:

Ano\Mês Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

2003 103,0 103,6 103,5 103,2 103,3 103,5 104,1 104,3 104,4

2004 105,4 106,1 106,3 106,1 105,7 105,7 106,3 106,9 107,0

a) A inflação mensal em Novembro de 2004 foi de 0,3%.

b) Em Julho de 2004, a taxa de inflação homóloga situou-se em 2,5%.

c) ***Um consumidor típico português, em Setembro de 2004, gastava 1020,27 euros

para comprar o mesmo que em Maio de 2003 adquiria com 1000 euros.

d) Para que um trabalhador português registasse um aumento real nulo no poder de

compra, o seu salário nominal deveria ter aumentado 2,4% de Agosto de 2003 para

Agosto de 2004.

R:

106,9/106,3-1= 0,56%.

1000*(105,7/103,6) = 1020,27.

106,1/103,2-1 = 2,8%.

105,7/103,3-1 = 2,32%.

11. Sabe-se que o produto nominal num dado país cresceu 35% em n anos. Sabe-se que,

no mesmo período, o deflator do PIB passou de 1,20 para 1,38. Sabendo que, no mesmo

espaço de tempo, o PIB real cresceu à taxa média anual de 4,09%, qual o valor de n?

a) 3 anos.

b) 3,5 anos.

c) ***4 anos.

d) Não é possível responder.

R:

Taxa crescimento global PIB nominal = 35%

Taxa crescimento global do deflator = 1,38/1,20-1 = 15%.

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Taxa crescimento global PIB real = (1+35%)/(1+15%)-1 = 17,35%

Donde:

(1+17,35%) = (1+4,08%) n , logo n = ln(1,1735)/ln(1,0408) = 4 anos.

12. Um índice de bolsa apresentava os seguintes valores no final de cada um dos

respectivos anos: 3250,0 (1998); 3737,5 (1999); 4485,0 (2000); 2691,0 (2001). Para o

período compreendido entre o final de 1998 e o final de 2001, pode afirmar-se que:

a) A média geométrica dos retornos é –6,1% ao ano.

b) A média aritmética dos retornos é –1,6(6)% ao ano

c) Por cada 1000 euros aplicados no início, no final o investidor apenas tinha 828 euros.

d) ***Todas as alíneas anteriores estão certas.

R:

(1,15*1,2*0,6) 1/3 -1 = (2691/3250) 1/3 -1 = -6,097%.

[15% + 20% - 40%]/3 = -1,6(6)%.

1000*2691/3250 = 828 = 1000*(1+-6,097%) 3 .

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GRUPO II [5 VALORES]

A tabela seguinte apresenta, para os dois principais operadores de transportes públicos

rodoviários de passageiros das áreas metropolitanas de Lisboa e do Porto (Carris e

STCP), e relativamente aos anos de 1996 a 2003, a receita obtida, em milhares de euros.

Carris STCP

1996 65.113 45.670

1997 67.203 46.004

1998 69.158 47.452

1999 66.370 48.048

2000 66.944 48.135

2001 68.156 48.944

2002 68.923 49.665

2003 70.637 50.879

a) (0,5 valores) Qual dos dois operadores apresenta maior variação absoluta da receita

obtida entre 1996 e 2003?

Carris

5.524

STCP

5.209

A Carris apresentou maior variação absoluta

b) (1,0 valores) Qual dos dois operadores apresenta maior variação relativa da receita

obtida entre 1996 e 2003? Indique as taxas de variação de ambos.

Carris

8,48%

STCP

11,41%

A STCP apresentou maior variação relativa

c) (1,0 valores) Qual a taxa média anual de crescimento da receita da STCP entre 1996 e

2003? 1,55%

d) (1,25 valores) Em quantos (e quais) dos anos de 1997 a 2003 se registou na STCP

uma taxa de crescimento da receita (relativamente à do ano precedente) superior à taxa

média anual de crescimento no período 1996 - 2003?

Três: 1998, 2001 e 2003

e) (1,25 valores) Se cada um dos operadores apresentar a partir de 2003 taxas de

crescimento anuais idênticas à taxa média anual que registou no período de 1996 a

2003, em que ano ultrapassará a STCP a Carris?

50879 x 1,0155 n > 70637 x 1,0117 n

(1,0155 / 1,0117) n > 70637/50879

1,00380419 n > 1,3883331

n log(1,00380419) > log(1,3883331)

n > 86,4120682

2003 + 87 = 2090

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GRUPO III (5 VALORES)

No quadro seguinte apresentam-se os dados relativos à venda de acções das três

instituições bancárias, que são parte integrante do índice PSI-20, nos meses de Agosto,

Setembro e Outubro de 2005 (período em que não se registaram acidentes técnicos).

BCP BES BPI

Cotação Índice simples Cotação Índice simples Cotação Índice simples

média da do volume média da do volume média da do volume

acção transaccionado acção transaccionado acção transaccionado

Mês

(base fixa) (base fixa) (base fixa)

Agosto 2,15 100 12,88 124,9 3,48 100

Setembro 2,24 179,6 13,19 100 3,56 135

Outubro

Fonte: Dathis

2,23 161 13,25 99,4 3,69 85,4

a) (0,5 valores) Sabendo que o número de acções transaccionadas do BPI em Setembro

foi de 28,8 milhões, qual foi o volume transaccionado em Agosto?

R:

28,8/1,35 = 21,(3)

b) (1 valores) Apresente um índice, com base em Agosto, que lhe permita obter a

variação, ao longo de todo o período, da cotação média das acções do BCP. Interprete o

valor do índice para o mês de Outubro.

R:

IAgo,Ago = 1

ISet,Ago = 2,24/2,15 = 1,0419

IOut,Ago = 2,23/2,15 = 1,0372

A cotação média das acções do BCP em Outubro foi superior à de Agosto em 3,72 %

c) (1,75 valores) Sabendo que em Agosto o volume transaccionado das acções do BES e

do BPI representava 10,6% e 1,9%, respectivamente, do volume transaccionado de

acções do BCP, calcule um índice (tipo Laspayres) de cotações amostral da banca para

Outubro, com base em Agosto.

R:

Volume transaccionado de acções do BCP em Agosto – x

2,

23×

x + 13,

25×

0,

10

x + 3,

69×

0,

019×

x

LOut , Ago =

× 100 = 103,

44

2,

15×

x + 12,

88×

0,

10

x + 3,

48×

0,

019×

x

d) (1,75 valores) Tendo em conta que a inflação média mensal de Agosto a Outubro foi

de 0,2% determine a taxa de crescimento real das cotações da banca, com base na

amostra, de Agosto a Outubro.(Se não resolveu a alínea anterior utilize LOut,Ago = 104,25).

δ

r

Out , Ago

1+

δ

=

1+

δ

n

Out,

Ago

p

Out,

Ago

1 + 3,

44%

−1

=

−1

= 3,

03%

2

( 1+

0,

2%)

7/7

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