Guia de Estudos sobre Entropia GABARITO - Departamento de ...
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GE 7.2) Teste sua compreensão!<br />
<strong>Guia</strong> <strong>de</strong> <strong>Estudos</strong> <strong>sobre</strong> <strong>Entropia</strong><br />
<strong>GABARITO</strong><br />
GE 7.2.1) Marque V ou F. Justifique todas as suas respostas.<br />
( F ) No zero absoluto a energia interna <strong>de</strong> um sistema é nula.<br />
Comentário: Não, a física quântica mostra que mesmo no zero absoluto há uma energia interna<br />
mínima.<br />
( V )<br />
dQ<br />
dS = é uma expressão quantitativa da 2ª Lei da Termodinâmica.<br />
T<br />
Comentário: Até agora a segunda lei havia sido expressa em termos <strong>de</strong> uma “impossibilida<strong>de</strong>”, Para<br />
formulá-la em termos quantitativos usamos o conceito <strong>de</strong> entropia S, como expresso acima. A entropia<br />
relaciona-se com a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um sistema estar numa dada configuração em função do número<br />
<strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> configuração que esse sistema possa ter.<br />
( F ) Quanto mais próximo <strong>de</strong> Zero Kelvin, mais fácil é abaixar a temperatura <strong>de</strong> um sistema.<br />
Comentário: Pelo contrário, se torna mais difícil abaixar a temperatura <strong>de</strong> um sistema à medida que se<br />
diminui a temperatura. Como mostra a 3ª lei da termodinâmica, é impossível atingir o zero absoluto<br />
através <strong>de</strong> um número finito <strong>de</strong> processos cíclicos.<br />
( F ) A variação <strong>de</strong> entropia <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do caminho.<br />
Comentário: Não, entropia é uma variável <strong>de</strong> estado, e portanto <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> apenas do estado inicial e<br />
final do sistema.<br />
( V ) A variação <strong>de</strong> entropia em um processo cíclico é igual a zero.<br />
Comentário: Sim, a entropia só <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do estado final e inicial, portanto sua variação é nula em um<br />
ciclo, pois o estado inicial e final coinci<strong>de</strong>m.<br />
( V ) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, po<strong>de</strong>-se dizer que ∆U = 0<br />
nesta fonte.<br />
Comentário: A temperatura não varia, logo a energia interna também não varia. Mas a entropia<br />
aumenta durante o ciclo, pois calor é retirado da fonte quente e entregue à fonte fria.<br />
( V ) A entropia nunca diminui em um processo reversível.<br />
Comentário: Variação TOTAL <strong>de</strong> entropia durante qualquer ciclo reversível é igual a zero<br />
( V ) A entropia nunca diminui em um processo irreversível.<br />
Comentário: A variação total <strong>de</strong> entropia é sempre positiva em processos irreversíveis, porque o que se<br />
per<strong>de</strong> é a disponibilida<strong>de</strong> da energia (ou seja, a oportunida<strong>de</strong> <strong>de</strong> converter calor em trabalho<br />
mecânico).<br />
1
( V ) A entropia do universo sempre aumenta.<br />
Comentário: Como todo processo natural é irreversível a entropia do universo sempre aumenta. A<br />
energia disponível para produção <strong>de</strong> trabalho diminui e portanto o universo se torna mais caótico ou<br />
“aleatório”, contribuindo para um aumento da entropia.<br />
( V ) É impossível a ocorrência espontânea <strong>de</strong> um processo on<strong>de</strong> a entropia diminui.<br />
Comentário: Como todo processo natural é irreversível, todo processo espontâneo sempre ocorre no<br />
sentido <strong>de</strong> aumento da entropia.<br />
( V ) Em processos irreversíveis as variações positivas <strong>de</strong> entropia sempre superam as negativas.<br />
Comentário: em processos irreversíveis ocorrem variações positivas e negativas <strong>de</strong> entropia<br />
simultaneamente, no entanto a variação total é sempre positiva<br />
( V ) Quando a entropia aumenta a disponibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia diminui.<br />
Comentário: Isso é uma conseqüência da segunda lei da termodinâmica. A transformação <strong>de</strong> energia<br />
mecânica em calor é um processo irreversível, portanto a energia convertida se torna indisponível para<br />
a realização <strong>de</strong> trabalho.<br />
( F ) <strong>Entropia</strong> é uma gran<strong>de</strong>za que pertence a cada partícula individualmente.<br />
Comentário: Não faz sentido falar <strong>de</strong> entropia <strong>de</strong> uma partícula. <strong>Entropia</strong> relaciona-se com a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um sistema estar numa dada configuração em função do número <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
configuração que esse sistema possa ter.<br />
( V ) Para um dado estado macroscópico po<strong>de</strong>m haver vários estados microscópicos correspon<strong>de</strong>ntes.<br />
Comentário: Sim, há várias formas <strong>de</strong> configuração microscópicas que resultam na mesma<br />
configuração macroscópica.<br />
GE 7.2.2) Sobre a entropia <strong>de</strong> um sistema, não é correto afirmar que:<br />
a) Nunca po<strong>de</strong> ser negativa. b) Nunca po<strong>de</strong> diminuir.(X)<br />
c) Po<strong>de</strong> variar em um sistema isolado. d) Sua variação in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do processo.<br />
* ATENÇÃO: A entropia (S) <strong>de</strong> um sistema nunca po<strong>de</strong> ser negativa, no entanto a VARIAÇÃO DE<br />
ENTROPIA ( ∆ S ) po<strong>de</strong> ser negativa, em um sistema isolado ou em um processo reversível.<br />
GE 7.2.3) Em um processo <strong>de</strong> expansão livre <strong>de</strong> um estado a para um estado b é correto afirmar que:<br />
a) a entropia e a energia interna não se alteram.<br />
b) a variação da entropia é a mesma que ocorreria em uma expansão reversível, enquanto a<br />
variação <strong>de</strong> energia interna é nula. (X)<br />
c) As variações <strong>de</strong> energia interna e <strong>de</strong> entropia são positivas.<br />
2
d) A variação <strong>de</strong> energia interna é menor que zero e a variação <strong>de</strong> entropia é maior que zero.<br />
GE 7.2.4) A entropia po<strong>de</strong> diminuir:<br />
a) Em um processo cíclico;<br />
b) Apenas em um sistema submetido a um processo i<strong>de</strong>alizado, para o qual a segunda lei não é válida;<br />
c) Dentro <strong>de</strong> um sistema isolado submetido a um processo irreversível;<br />
d) Dentro <strong>de</strong> um sistema submetido a um processo reversível. (X)<br />
GE 7.2.5) Não violaria a segunda lei da termodinâmica, um processo <strong>de</strong>:<br />
a) Compressão espontânea do ar em uma sala;<br />
b) A água <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> um copo <strong>sobre</strong> a mesa começar a congelar espontaneamente;<br />
c) Fluir calor da Terra para o Sol;<br />
d) Uma lata <strong>de</strong> Coca-Cola entrar em equilíbrio térmico com o gelo <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> um recipiente<br />
fechado <strong>de</strong> isopor. (X)<br />
GE 7.3) Temperatura e a 3ª Lei da Termodinâmica<br />
GE 7.3.1) A eficiência <strong>de</strong> um ciclo <strong>de</strong> Carnot não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da natureza da substância operante, isto é:<br />
| ∆Q<br />
Ou<br />
H<br />
| ∆Q<br />
| ∆Q<br />
∆Q<br />
| − ∆Q<br />
H<br />
H<br />
C<br />
|<br />
C<br />
=<br />
|<br />
=<br />
1−<br />
f<br />
f<br />
( T − T )<br />
1<br />
H<br />
C<br />
( T − T )<br />
H<br />
C<br />
= F<br />
∆Q<br />
C<br />
= 1 − f ( T − T )<br />
∆Q<br />
H<br />
( T − T )<br />
H<br />
C<br />
Θ H<br />
Em 1848, William Thompson, mais tar<strong>de</strong>, Lord Kelvin, propôs que F(TH, TC) fosse igual a . As<br />
quantida<strong>de</strong>s Θ são chamadas <strong>de</strong> temperaturas termodinâmicas e seriam in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> qualquer<br />
substância específica. As temperaturas termodinâmicas Θ têm o mesmo significado que as<br />
temperaturas T <strong>de</strong>finidas pelos termômetros <strong>de</strong> gás à volume constante à baixas pressões.<br />
H<br />
C<br />
Θ<br />
3<br />
C
a) Para o ciclo <strong>de</strong> Carnot usando um gás i<strong>de</strong>al,<br />
como mostrado na figura ao lado, calcule ∆ QH<br />
para 1 mol <strong>de</strong> gás em função <strong>de</strong> VK, VL e TH.<br />
V<br />
∆ QH = WKL<br />
= nRTH<br />
ln<br />
V<br />
b) Calcule ∆ QC<br />
em função <strong>de</strong> VN, VM e TC.<br />
∆<br />
<br />
QC = WM<br />
= nRTC<br />
ln = −nRTC<br />
ln<br />
VM<br />
V<br />
c) Com auxílio da equação<br />
prove que<br />
V L<br />
=<br />
V<br />
K<br />
V<br />
V<br />
M<br />
<br />
K<br />
L<br />
T<br />
f<br />
V<br />
γ − 1 γ −1<br />
L = C M<br />
Como T V T V e<br />
V<br />
V<br />
d) Mostre que<br />
T<br />
H<br />
H<br />
V<br />
γ −1<br />
γ −1<br />
L VM<br />
= γ −1<br />
γ −1<br />
K V<br />
∆Q<br />
∆Q<br />
γ − 1 γ −1<br />
K = TCV<br />
H<br />
C<br />
T<br />
=<br />
T<br />
H<br />
C<br />
∴<br />
V<br />
V L<br />
=<br />
K<br />
Θ<br />
=<br />
Θ<br />
H<br />
C<br />
V<br />
V<br />
M<br />
<br />
γ − 1 γ −1<br />
f = TiVi<br />
V<br />
V<br />
M<br />
<br />
, ou seja, que<br />
as temperaturas dos termômetros <strong>de</strong> gás a<br />
volume constante à baixas pressões sejam as<br />
mesmas que as temperaturas termodinâmicas <strong>de</strong><br />
Kelvin.<br />
V<br />
<br />
∆Q<br />
∆Q<br />
C<br />
H<br />
< VM<br />
∴ ∆QC<br />
< 0<br />
∆ Q = − ∆Q<br />
C<br />
⎛ T<br />
= − ⎜<br />
⎝ T<br />
∆Q<br />
∆Q<br />
C<br />
H<br />
C<br />
H<br />
C<br />
V<br />
⎞<br />
ln<br />
⎟<br />
⎠ V<br />
ln<br />
T<br />
= −<br />
T<br />
C<br />
H<br />
M<br />
K<br />
V<br />
V<br />
<br />
L<br />
4
∆<br />
Q C<br />
=<br />
∆Q<br />
H<br />
Portanto, como mostramos ser uma função só das<br />
| ∆ QH<br />
|<br />
= F<br />
∆Q<br />
C<br />
Temos que<br />
Θ<br />
Θ<br />
C<br />
H<br />
T<br />
=<br />
T<br />
C<br />
H<br />
T<br />
T<br />
C<br />
H<br />
temperaturas<br />
( T − T )<br />
H<br />
C<br />
T<br />
=<br />
T<br />
C<br />
H<br />
ENUNCIADO DA 3ª. LEI DA TERMODINÂMICA: O zero absoluto <strong>de</strong> temperatura é inatingível em<br />
qualquer seqüência finita <strong>de</strong> processos.<br />
Em termos <strong>de</strong> entropia po<strong>de</strong>-se dizer que a entropia do estado <strong>de</strong> equilíbrio <strong>de</strong> qualquer sistema ten<strong>de</strong><br />
a zero quando a temperatura ten<strong>de</strong> para o zero absoluto.<br />
GE 7.3.2) Represente uma seqüência <strong>de</strong> ciclos <strong>de</strong> Carnot,<br />
em um diagrama p x V e discuta o que aconteceria se você<br />
fosse cada vez mais resfriando o sistema. Como isto se<br />
relaciona com a 3ª. Lei da Termodinâmica.<br />
Resp: Ao abaixarmos a temperatura o valor da área vai<br />
ficando cada vez menor. No limite teríamos uma situação<br />
on<strong>de</strong> seria retirado calor em um ciclo sem uma mudança <strong>de</strong><br />
temperatura.<br />
GE 7.3.3) Represente uma seqüência <strong>de</strong> ciclos <strong>de</strong> Carnot,<br />
em um diagrama T x S e discuta o que aconteceria se você<br />
fosse cada vez mais, resfriando o sistema.<br />
Resp: Cada área correspon<strong>de</strong> ao calor Q retirado do<br />
sistema. No limite <strong>de</strong> resfriamento teríamos um processo<br />
isotérmico sem uma correspon<strong>de</strong>nte diminuição da<br />
entropia.<br />
GE 7.3.4) Como os resultados dos dois itens anteriores levam à 3ª. Lei da Termodinâmica?<br />
Resp: Não é possível atingir o zero absoluto através <strong>de</strong> um número finito <strong>de</strong> processos<br />
termodinâmicos.<br />
5
GE 7.4) Variação <strong>de</strong> entropia em processos reversíveis e irreversíveis<br />
GE 7.4.1) Liga-se um ar condicionado em uma sala e a temperatura cai <strong>de</strong> 30º para 17ºC. Responda:<br />
Resp:<br />
a) A variação <strong>de</strong> entropia na sala é positiva?<br />
b) Isso viola a 2ª Lei? Explique.<br />
a) A variação da entropia é negativa, pois foi retirada uma certa quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> calor da parte quente<br />
(<strong>de</strong>ntro da sala) e entregue para a vizinhança (lado externo).<br />
b) Este fato não viola a 2ª lei porque a vizinhança tem uma variação positiva <strong>de</strong> entropia, sendo essa<br />
maior que a variação <strong>de</strong> entropia no interior da sala.<br />
GE 7.4.2) Em um dia úmido, o vapor d’água se con<strong>de</strong>nsa em uma superfície fria. Durante a<br />
con<strong>de</strong>nsação como varia a entropia da água? Explique com base na segunda lei da Termodinâmica.<br />
Resp: A entropia da água diminui e da vizinhança aumenta, pois a mesma quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> calor que sai<br />
do vapor é cedido à superfície fria. Consi<strong>de</strong>rando a variação total temos um aumento <strong>de</strong> entropia, como<br />
prevê a segunda lei.<br />
GE 7.4.3) Existe alguma variação <strong>de</strong> entropia em movimentos puramente mecânicos?<br />
Resp: A variação <strong>de</strong> entropia ocorre sempre que existir transferência <strong>de</strong> calor.<br />
GE 7.5) Variação <strong>de</strong> <strong>Entropia</strong><br />
GE 7.5.1) Qual é a variação sofrida por 1,0 kg <strong>de</strong> água ao se transformar em vapor a 100º C a uma<br />
pressão <strong>de</strong> 1 atm.<br />
Resp: Encontre o valor <strong>de</strong> Q pela expressão Q = mLV<br />
já que se trata <strong>de</strong> um processo <strong>de</strong> vaporização.<br />
3 ( 2256x10<br />
J / kg.<br />
K ) = kJ<br />
Q = 1kg<br />
2256<br />
Com esse valor e com a temperatura em Kelvin, po<strong>de</strong>-se calcular a variação <strong>de</strong> entropia envolvida no<br />
processo:<br />
3<br />
Q 2256x10 J<br />
3<br />
∆ S = =<br />
= 6,<br />
05x10<br />
J / K<br />
T 373K<br />
GE 7.5.2) Um amostra <strong>de</strong> 1 kg <strong>de</strong> cobre, a 100ºC, é colocada num calorímetro com 4 litros <strong>de</strong> água a<br />
0º C. A capacida<strong>de</strong> calorífica do calorímetro é <strong>de</strong>sprezível. Calcule a variação da entropia:<br />
a) do cobre;<br />
b) da água;<br />
6
c) do universo.<br />
Resp: Calcule a temperatura final do sistema:<br />
Q Q =<br />
cedido<br />
1x0,<br />
386<br />
recebido<br />
( 100 − t)<br />
= 4x4,<br />
190(<br />
t − 0)<br />
t = 2,<br />
26º<br />
C = 275,<br />
4K<br />
Cobre<br />
T<br />
∆ Scobre = mcobreccobre<br />
ln<br />
T<br />
∆S<br />
∆S<br />
cobre<br />
cobre<br />
275,<br />
4<br />
= 0,<br />
386ln<br />
373<br />
= −117J<br />
/ K<br />
F<br />
i<br />
Água<br />
T<br />
∆ S agua = maguac<br />
agua ln<br />
T<br />
∆S<br />
∆S<br />
agua<br />
agua<br />
= 4 ( 4,<br />
190<br />
= 137J<br />
/ K<br />
) ln<br />
F<br />
i<br />
275,<br />
4<br />
273,<br />
15<br />
Universo<br />
∆ S = ∆S<br />
+ ∆S<br />
∆S<br />
∆S<br />
∆S<br />
universo<br />
universo<br />
universo<br />
universo<br />
= ∆S<br />
> 0<br />
agua<br />
agua<br />
+ ∆S<br />
cobre<br />
cobre<br />
= 137 −117<br />
= 20J<br />
/ K<br />
Processo irreversível<br />
GE 7.5.3) Se 500J <strong>de</strong> calor são transferidos <strong>de</strong> uma fonte a 400 K para uma fonte a 300 K, responda:<br />
a) Qual é a variação <strong>de</strong> entropia do universo?<br />
b) Que parcela dos 500J po<strong>de</strong> ser transformada em trabalho?<br />
Resp: A entropia do Universo é a soma das entropias da fonte quente com a da fonte fria<br />
∆S<br />
∆S<br />
∆S<br />
universo<br />
universo<br />
universo<br />
= ∆S<br />
− Q<br />
= +<br />
T<br />
H<br />
H<br />
+ ∆S<br />
Q<br />
T<br />
C<br />
C<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
= 500 ⎜−<br />
+ ⎟ = 0,<br />
417J<br />
/ K<br />
⎝ 400 300 ⎠<br />
b) Calcule a eficiência da máquina usando<br />
T<br />
e = 1−<br />
T<br />
C<br />
H<br />
300<br />
e = 1−<br />
=<br />
400<br />
0,<br />
25<br />
Por fim, calcule o trabalho usando a expressão: W = eQH<br />
( 500)<br />
J<br />
W =<br />
0 , 25 = 125<br />
7
GE 7.5.4) Um sistema absorve 300 J <strong>de</strong> calor <strong>de</strong> uma fonte a 300 K e 200J <strong>de</strong> outra fonte a 400K.<br />
Retorna, então, ao estado inicial, efetuando 100J <strong>de</strong> trabalho e <strong>de</strong>scarregando 400J <strong>de</strong> calor em um<br />
reservatório na temperatura T.<br />
Resp:<br />
a) Qual a variação da entropia do sistema em um ciclo completo?<br />
b) Se o ciclo for reversível, qual a temperatura T?<br />
a) A entropia é uma função <strong>de</strong> estado, portanto ela será sempre nula em um processo cíclico<br />
b) O calculo <strong>de</strong> TC po<strong>de</strong> ser feito lembrando que a variação da entropia do Universo é a soma das<br />
variações <strong>de</strong> entropia nas três fontes.<br />
∆S<br />
∆S<br />
300 200 400<br />
0 = + + −<br />
300 400 T<br />
T<br />
C<br />
universo<br />
universo<br />
= 267K<br />
= ∆S<br />
H<br />
Q<br />
= +<br />
T<br />
H<br />
1<br />
1<br />
+ ∆S<br />
+<br />
Q<br />
T<br />
H<br />
C<br />
H<br />
2<br />
2<br />
+ ∆S<br />
GE 7.5.5) Calcule a variação <strong>de</strong> entropia do universo em um processo em que 10 g <strong>de</strong> vapor <strong>de</strong> água<br />
a 100ºC e a 1 atm são introduzidos em um calorímetro <strong>de</strong> capacida<strong>de</strong> calorífica <strong>de</strong>sprezível contendo<br />
150g <strong>de</strong> água e 150g <strong>de</strong> gelo a 0ºC.<br />
Resp: Calcule as transferências <strong>de</strong> energia que ocorrem no calorímetro:<br />
1ª) Calor necessário para <strong>de</strong>rreter 150g <strong>de</strong> gelo:<br />
3<br />
Q = Q = 0,<br />
150kg(<br />
334x10<br />
J / kg.<br />
K ) = 50,<br />
1kJ<br />
mLF<br />
1<br />
2ª) Calor liberado pelo vapor na liquefação e o calor que reduz a temperatura <strong>de</strong> 10g <strong>de</strong> água <strong>de</strong> 100ºC<br />
para 0ºC<br />
Q = mLV<br />
+ mc∆T<br />
3<br />
−3<br />
( 2.<br />
257x10<br />
) + [ 10x10<br />
x4190x100]<br />
= 26,<br />
kJ<br />
−3<br />
Q = ( 10x10<br />
)<br />
76<br />
2<br />
Se Q = Q ∴ T final = 273K<br />
2<br />
1<br />
Encontre a massa <strong>de</strong> gelo que <strong>de</strong>rrete com o calor fornecido a ela:<br />
26,<br />
75<br />
∆ Q = mLF<br />
⇒ m = = 0,<br />
0802kg<br />
= 80,<br />
2g<br />
333,<br />
5<br />
Po<strong>de</strong>-se calcular agora as variações <strong>de</strong> entropia<br />
−<br />
Q<br />
T<br />
C<br />
C<br />
8
Gelo<br />
∆S<br />
∆S<br />
g<br />
g<br />
Vapor<br />
Q2<br />
= = 26,<br />
75J<br />
/ K<br />
273<br />
= 98 J / K<br />
Ti<br />
∆ Svapor = −mvapor<br />
LV<br />
/ Tl<br />
+ maguac<br />
agua ln<br />
T f<br />
∆S<br />
= −22750<br />
/ 373 + 41,<br />
84ln<br />
0,<br />
732<br />
∆S<br />
vapor<br />
vapor<br />
= −74<br />
J / K<br />
GE 7.5.6) Construa o gráfico T x S <strong>de</strong> acordo com os gráficos p x V<br />
Universo<br />
∆ S = ∆S<br />
+ ∆S<br />
∆S<br />
∆S<br />
universo<br />
universo<br />
universo<br />
> 0<br />
gelo<br />
= 24J<br />
/ K<br />
Processo irreversível<br />
9<br />
vapor
GE 7.6) VISÃO MICROSCÓPICA DA ENTROPIA<br />
Suponha que duas moedas sejam lançadas num jogo <strong>de</strong> “cara” e “coroa”. Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
que ambas exibam “cara”? Só há uma configuração possível para que isso ocorra (veja tabela). O<br />
mesmo vale para se obter ambas com “coroa”. No entanto existem duas maneiras distintas <strong>de</strong> se obter<br />
uma “cara” e uma “coroa”. Existem ao todo 4 possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> configuração, em duas <strong>de</strong>las o sistema<br />
exibe 1 cara e 1 coroa, é portanto esse <strong>de</strong>ve ser o resultado mais provável.<br />
Configuração<br />
microscópica do<br />
sistema “2 moedas”<br />
2 caras<br />
1 cara e 1 coroa<br />
2 coroas<br />
Siga o mesmo raciocínio para 3 moedas:<br />
Configuração microscópica<br />
do sistema “3 moedas”<br />
Possibilida<strong>de</strong>s<br />
microscópicas<br />
Possibilida<strong>de</strong>s microscópicas<br />
Nº <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s<br />
microscópicas para um<br />
mesmo estado<br />
macroscópico<br />
1<br />
2<br />
1<br />
Nº <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s<br />
microscópicas para um<br />
mesmo estado<br />
macroscópico<br />
10
3 caras<br />
2 caras e 1 coroa<br />
1 cara e 2 coroas<br />
3 coroas<br />
GE 7.6.1) Qual é o resultado mais provável ao lançar 3 moedas?<br />
Resp: Pela tabela acima, vemos que existem 3 possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> se obter 2 caras e 3 possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
se obter 2 coroas. Essas duas configurações são as que tem a maior probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer quando<br />
se lança 3 moedas.<br />
GE 7.6.2) Em um jogo com seu colega, no qual fossem lançadas quatro moedas, você apostaria em:<br />
a) todas exibindo cara b) todas exibindo coroa<br />
c) 1 cara e 3 coroas d) 2 coroas e 2 caras<br />
Qual a razão da sua escolha?<br />
Resp: Por existe mais chance <strong>de</strong> ocorrer a configuração “d” quando se tem 2 caras e duas coroas,<br />
comparado com as <strong>de</strong>mais possibilida<strong>de</strong>s.<br />
GE 7.6.3) Repita o mesmo procedimento das figura acima, mas agora consi<strong>de</strong>rando 4 moedas. Sua<br />
resposta se confirma?<br />
Resp: A resposta se confirma já que há seis configurações possíveis para se obter 2 caras e duas<br />
coroas e para as <strong>de</strong>mais configurações o número <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s é menor (4 ou 1)<br />
Configuração microscópica do<br />
sistema “4 moedas”<br />
todas exibindo cara<br />
Possibilida<strong>de</strong>s<br />
microscópicas<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
Nº <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s<br />
microscópicas para um mesmo<br />
estado macroscópico<br />
1<br />
11
três caras e uma coroa<br />
Duas caras e duas coroas<br />
Uma cara e três coroas<br />
Quatro coroas<br />
GE 7.6.4) Em um novo jogo seu colega lança 4 moedas , sendo que uma foi pintada <strong>de</strong> azul. Ele lhe<br />
diz que obteve 4 caras, facilmente você po<strong>de</strong> dizer que a moeda azul saiu exibindo cara. Caso seu<br />
colega lhe dissesse que a configuração é <strong>de</strong> 2 caras e 2 coroas, e lhe perguntasse: Como está a<br />
moeda azul? Você po<strong>de</strong>ria respon<strong>de</strong>r com certeza a essa pergunta?<br />
Resp: Quando as moedas caem todas exibindo cara é evi<strong>de</strong>nte a configuração <strong>de</strong> cada moeda<br />
individualmente. Isso não ocorre quando elas caem 2 caras e 2 coroas. A moeda azul po<strong>de</strong> estar entre<br />
as duas que caíram exibindo cara ou entre as duas que caíram exibindo coroa; não há como afirmar<br />
com certeza a posição <strong>de</strong> nenhuma das moedas individualmente.<br />
GE 7.6.5) Se um <strong>de</strong>terminado número <strong>de</strong> moléculas confinados num cilindro se expan<strong>de</strong>m em uma<br />
sala, o número <strong>de</strong> posições on<strong>de</strong> ela po<strong>de</strong> ser encontrada aumenta ou diminui?<br />
4<br />
6<br />
4<br />
1<br />
12
Resp: O número <strong>de</strong> posições aumenta, já que ela tem mais espaço para percorrer. A princípio uma<br />
molécula po<strong>de</strong>ria ser encontrada com certeza <strong>de</strong>ntro do cilindro, em alguma posição daquele pequeno<br />
espaço. Após a expansão ela po<strong>de</strong>rá estar em qualquer posição <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> todo o espaço da sala.<br />
GE 7.6.6) Aumenta-se a temperatura <strong>de</strong> um certo gás confinado em um êmbolo. Como isso interfere na<br />
distribuição <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s das moléculas? O que se po<strong>de</strong> afirmar <strong>sobre</strong> o número <strong>de</strong> posições<br />
possíveis que as moléculas po<strong>de</strong>m ocupar <strong>de</strong>ntro do êmbolo antes e <strong>de</strong>pois do aquecimento?<br />
Resp: O aumento <strong>de</strong> temperatura, como já foi visto anteriormente, aumenta a energia interna do<br />
sistema. Assim, tendo maior energia interna um maior número <strong>de</strong> moléculas po<strong>de</strong>rá ocupar as<br />
posições possíveis e disponíveis para o gás <strong>de</strong>ntro do êmbolo <strong>de</strong>pois do aquecimento.<br />
GE 7.6.7) Seja w o número <strong>de</strong> estados microscópicos possíveis para um dado estado macroscópico.<br />
Po<strong>de</strong>mos mostrar que a entropia S <strong>de</strong> um estado macroscópico é dada por S = k ln w . On<strong>de</strong> k é a<br />
constante <strong>de</strong> Boltzmann. Como entropia é uma variável <strong>de</strong> estado (ou seja, em qualquer processo a<br />
variação da entropia é o que interessa) po<strong>de</strong>mos dizer que<br />
∆ S = S − S<br />
2<br />
∆ S = k ln w − k ln w<br />
∆ S =<br />
2<br />
1<br />
w<br />
k ln<br />
w<br />
Consi<strong>de</strong>re que n moles <strong>de</strong> um gás estão à temperatura T confinados em uma caixa termicamente<br />
isolada e dividida por uma pare<strong>de</strong> em dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente em<br />
um dos compartimentos foi feito vácuo. A seguir quebramos a pare<strong>de</strong> e o gás se expan<strong>de</strong> e preenche<br />
completamente os dois compartimentos da caixa. Calcule a variação <strong>de</strong> entropia nesse processo <strong>de</strong><br />
expansão livre, usando a <strong>de</strong>finição microscópica da entropia dada acima.<br />
Resp:<br />
Não há trabalho realizado, não há variação da energia interna, contudo as moléculas tem 2 vezes mais<br />
espaço para se mover.<br />
= n A é o número total <strong>de</strong> moléculas, assim , o número total <strong>de</strong> moléculas cresce <strong>de</strong><br />
w<br />
2<br />
<br />
= 2 w<br />
1<br />
w<br />
∆S<br />
= k ln<br />
w<br />
∆S<br />
= k ln 2<br />
∆S<br />
= k<br />
2<br />
1<br />
<br />
ln 2<br />
<br />
2 w<br />
= k ln<br />
w<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<br />
2 , ou seja<br />
13
Como = n A e<br />
S =<br />
R<br />
k = , obtemos<br />
<br />
( n ) R ln 2 = nR ln 2<br />
A<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
<br />
A<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
A<br />
∆ Este resultado é o mesmo que seria obtido se o cálculo fosse feito<br />
através da expressão:<br />
Q<br />
∆ S =<br />
T<br />
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