Sobre o teorema de classificação das cônicas pela ... - UNIFAFIBE

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Revista Fafibe On Line — n.3 — ago. 2007 — ISSN 1808-6993 www.fafibe.br/revistaonline — Faculdades Integradas Fafibe — Bebedouro – SP ρ ρ nova origem em relação ao sistema ( O, i , j ) , a cônica será representada por uma nova equação do segundo grau: ' 2 ' ' 2 ' ' ' f ( y , y ) = a y + 2a y y + a y + 2a y + 2a y + a 0 (2). 1 2 11 1 12 1 2 22 2 13 1 23 2 33 = À equação (2) associamos uma nova matriz M ' 3 ⎛ ⎜ a = ⎜a ⎜ a ⎝ ' 11 ' 12 ' 13 a a a ' 12 ' 22 ' 23 a a a ' 13 ' 23 ' 33 ⎞ ⎟ ⎟ , que, em geral, é ⎟ ⎠ diferente de M 3 . 2 Os elementos A1 = a11 + a12, A2 = a11. a22 − a12 e A 3 = det M 3 chamados invariantes ortogonais da cônica, são assim denominados por serem invariantes por rotação e translação, 2 2 isto é, A1 = a11 + a12 = a' 11+ a' 12 , A2 = a11. a22 − a12 = a' 11 . a' 22 −a' 12 e A 3 = det M 3 = det M ' 3. 1.2 Centros de uma Cônica Um ponto C = ( c1 , c2 ) do plano é chamado centro da cônica k se, após a translação de ρ ρ eixos o sistema ( C, i , j ) , a nova equação não contiver os termos lineares. Temos que se ( c , c ) são as coordenadas do ponto procurado, as equações de translação no plano, dadas 1 2 ⎧ x1 = y1 + c1 por ⎨ , quando substituídas em (1), fornecem ⎩x2 = y2 + c2 2 2 a y + a y y + a y + a c + a c + a 2y + a c + a c + a 2y + f c , c (3). ( ) ( ) ( ) 0 11 1 2 12 1 2 22 2 11 1 12 2 13 1 12 1 22 2 23 2 1 2 = ⎧a c Assim, existirá o centro C se, e somente se, o sistema ⎨ ⎩a12c 11 1 1 + a + a 12 22 c c 2 2 + a + a 13 23 = 0 , tiver solução. = 0 a11 a12 Se A 2 = ≠ 0 existe um único centro C = ( ) a a c 1 , c 2 . Agora, se A 2 = 0 e as matrizes 12 22 M ⎛ a11 a12 ⎞ 2 = ⎜ ⎟ ⎝a12 a e ⎛ a11 a12 a13 22 ⎠ ⎟ ⎞ M 2 = ⎜ têm características, respectivamente, 1 e 2, então a ⎝a12 a22 a23 ⎠ cônica k não possui centro. Este fato nos motiva ao seguinte resultado: Proposição: A cônica k não possui centro se, e somente se, A 2 = 0 e A 0 . Prova: Se não existe centro A 2 = 0 e a matriz ⎛ a11 a12 a13 ⎟ ⎞ M 2 = ⎜ tem característica 2. ⎝a12 a22 a23 ⎠ Resta mostrar que A 3 ≠ 0 . Se, pelo contrário, considerarmos A det 3 = M 3 = 0 , a terceira coluna de M 3 será combinação linear das duas primeiras, i. é., ⎛ a ⎜ ⎜a ⎜ ⎝a 13 23 33 3 ≠ ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = α ⎜a12 ⎟ + β⎜a22 ⎟ e, em ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝a13 ⎠ ⎝ a23 ⎠ ⎛ a13 ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ 12 ⎞ particular, + a ⎜ ⎟ = α ⎜ ⎟ β ⎜ ⎟. Como ⎝a23 ⎠ ⎝a12 ⎠ ⎝a A = 2 0 , então ⎛ a11 a12 a13 22 ⎠ ⎟ ⎞ M 2 = ⎜ tem ⎝a12 a22 a23 ⎠ característica 1, o que é absurdo. Reciprocamente, se A 2 = 0 e A 0 , a matriz M ⎛ a11 a12 a13 ⎞ 2 = ⎜ ⎟ ⎝a12 a22 a tem característica 2 e ⎛ a11 a12 23 ⎠ ⎟ ⎞ ⎜ tem característica 1. ⎝a12 a22 ⎠ Portanto, a cônica k não possui centro se, e somente se, A 2 = 0 e A 0 . Teorema (Classificação das cônicas pela análise dos invariantes): Seja k uma cônica em relação ao sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Então, existe um novo 3 ≠ 3 ≠ 2
Revista Fafibe On Line — n.3 — ago. 2007 — ISSN 1808-6993 www.fafibe.br/revistaonline — Faculdades Integradas Fafibe — Bebedouro – SP sistema de coordenadas cartesianas segundo o qual a cônica k ou tem equação da forma − A 2 3 ( a + a ) x + 2 y 0 , caso este em que 0 11 22 = a11 + a22 A e A 0 (parábola sem centro), ou tem 2 = 2 2 equação λ 1 z1 + λ2 z2 + f ( c1, c2 ) = 0 , caso este em que a cônica tem centro λ 1 e λ 2 não nulos simultaneamente e λ 1 e λ 2 são as raízes da equação de segundo grau ⎛a11 − λ a12 ⎞ det A = ⎜ ⎟ = 0 . ⎝ a12 a22 − λ ⎠ A origem do novo sistema é um dos centros (que, no caso A 2 ≠ 0 3 ≠ , é único) cujas coordenadas em relação ao sistema original são ( c ,c 1 2) . Prova: Se a cônica k possui centro, aplicando o movimento de translação à equação (1) obtemos: 2 2 a 11 y1 + 2a12 y1 y2 + a22 y2 + f ( c1, c2 ) = 0 (4) A fim de simplificarmos ainda mais a equação (4), aplicamos um movimento de rotação dos eixos, isto é, ⎧ y1 = cosθ z1 − senθ z 2 ⎨ , −π < θ ≤ π (5) ⎩y2 = senθ z1 − cosθ z 2 Substituindo (5) em (4) temos, como coeficiente do termo misto, a seguinte expressão 2 2 − a senθ cos θ + 2a (cos θ − sen θ ) + 2a cos θsenθ = ( a − a ) sen 2θ + 2a cos 2 , com 2 11 12 22 22 11 12 θ a 12 ≠ 0. π π π Assim, se a 11 = a22 , basta que cos 2θ = 0 e, dessa forma, 2θ = ou θ = . Logo, θ = . 2 4 4 Por outro lado, se a11 ≠ a22 , procuremos θ , − π < θ ≤ π , tal que sen2θ a12 a12 ( a22 − a11) sen2θ + 2a12 cos 2θ = 0. Então, = − e, assim, tg2θ = − . cos2θ a22 − a11 a22 − a11 Assim, qualquer que seja θ que satisfaça as condições acima, serve aos novos propósitos. 2 2 Eliminando o termo misto, temos uma equação do tipo Az 1 + Bz 2 + f ( c1, c2 ) = 0 . Daí, ⎛ A 0 0 ⎞ ⎜ ' M = ⎜ 0 B 0 , sendo A ⎜ ⎝ 0 0 f ( c ) ⎟⎟⎟ 1 = A + B e A 2 = A. B . Notemos que A e B são raízes da seguinte 1, c2 ⎠ 2 equação do segundo grau λ − ( A + B) λ + ( A. B) = 0 , ou, equivalente, raízes da ⎛a11 − λ a12 ⎞ equação det A = ⎜ ⎟ = 0 ⎝ a12 a22 − λ ⎠ 2 2 Finalmente, a equação da cônica se reduz a λ 1 z1 + λ2 z2 + f ( c1, c2 ) = 0 . No caso em que A 2 = 0 e A 3 ≠ 0 temos, pela proposição, que a cônica k não possui centro. A fim de eliminarmos o termo misto da equação da cônica k, aplicamos um movimento de rotação definido na Eq. (5) e obtemos uma equação do tipo ⎛b11 0 b13 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 ' b 11 y1 + b22 y2 + 2b13 y1 + 2b23 y2 + a33 = 0 à qual associamos a matriz M 3 = ⎜ 0 b22 b23 ⎟ , sendo ⎜ ⎟ ⎝b13 b23 b33 ⎠ ' A 1 = b11 + b22 , A 2 = b11 . b22 e A 3 = det M 3 . Como, por hipótese, A 2 = 0 então b 11 b22 = 0 e, daí, b 11 = 0 e b 22 ≠ 0 ou b 22 = 0 e b 11 ≠ 0. 2 i) Se b 11 = 0 e b 22 ≠ 0 então A = −b ( b ) 0 e b 0 . Obtemos 3 22 13 ≠ 13 ≠ 3
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