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2 a Lista

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Segunda Lista – Continuidade e Funções Analíticas Questão 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo é aberto em C (Recordemos que um subconjunto X ⊂ C é aberto e para todo z o ∈ X existe δ > 0 tal que B δ (z o ) ⊂ X, onde B δ (z o ) = { z ∈ C | |z − z o | < δ }.) (a) { z ∈ C | Im z = 0 }; (b) B r (2+3i), com r > 0; (c) { z ∈ C | Re z > 2 e Im z > −1 }; (d) { z = x+iy ∈ C | 2x−3y > 5 }; (e) C; (f) { z = r(cos θ+isen θ) ∈ C | r > 3 e 3π/4 > θ > π/4 }. Questão 2. Um conjunto Y é chamado de fechado, caso seu complementar C Y seja aberto. Verifique que os seguintes conjuntos são fechados. (a) { z ∈ C | Im z = 0 }; (b) { z ∈ C | |z − (2 + 3i)| ≥ 5 }; (c) { z ∈ C | Re z ≥ 2 e Im z ≥ −1 }; (d) { z = x + iy ∈ C | 2x − 3y ≥ 5 }; (e) { z = x + iy ∈ C | −3 ≤ x ≤ 7 e − 7 ≤ y ≤ −1 }; (f) { z = r(cos θ + isen θ) ∈ C | r ≥ 3 e 3π/4 ≥ θ ≥ π/4 }. Questão 3. Seja f : X ⊂ C → C uma função contínua no aberto X ≠ ∅ (é contínua em todos os pontos de X). Mostre que para todo aberto U de C temos que f −1 (U) também é um aberto de C. (Recorde que f −1 (U) = { x ∈ X | f(x) ∈ U }. Observe que f −1 (U) = f −1 (U ∩ f(X)).) Fazer a mesma coisa com os fechados. Se Y é um fechado de C, então f −1 (Y ) também é um fechado de C. Questão 4. Seja f : X ⊂ C → C e X ≠ ∅ um aberto de C. Suponha que para todo aberto U de C temos que f −1 (U) também é um aberto de C. Mostre que f é contínua em todo cada x ∈ X. Questão 5. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo, onde z = x + iy é uma variável complexa, sempre que a derivada existir. z 3 − z 2 + 4; f(z) = e x + i(y − 1) 2 ; (z 3 + 4z) 2 ; z 2 + cos x + i4e 3y ; f(z) = e x + ie −y . Questão 6. Seja f(z) = x 3 − i(y − 1) 3 , onde z = x + iy. Temos então que ∂u/∂x + i∂v/∂x = 3x 2 . Porque 3x 2 só representa a derivada f ′ (z o ) para z o = i? Questão 7. Para f(z) = √ z, mostre que a derivada existe e vale f ′ (z) = 1 2f(z) em todo ponto

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