Nota de aula 9 - Estado Plano de Tensões - Resistência dos ...

Estado Plano de Tensões
Nota de aula 9 - Estado
Plano de Tensões -
Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011
Flávia Bastos RESMAT II 1/16

Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
O par (σ n , τ n ) das tensões normal e tangencial em um plano
qualquer, num estado plano de tensões gera uma figura no
plano de coordenadas σ, τ que é conhecida como círculo de
Mohr. Temos que σ n e τ n podem ser determinados por:
{
σn = σxx+σyy
2
+ σxx−σyy
2
cos2α + τ xy sen2α
τ n = − σxx−σyy
2
sen2α + τ xy cos2α
Chamando σ m = σxx+σyy
2
temos:
{
σn − σ m = σxx−σyy
2
cos2α + τ xy sen2α
τ n = − σxx−σyy
2
sen2α + τ xy cos2α
(1)
(2)
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
Elevando cada um dos termos das igualdades anteriores ao
quadrado e somando-os obtém-se:
( )
(σ n − σ m ) 2 + τn 2 σxx − σ 2
yy
=
+ τxy 2 (3)
2
√ ( )
σxx−σ
2
Chamando σ n = σ; τ n = τ e R =
yy
2 + τ 2 xy ,
chegamos a:
(σ − σ m ) 2 + τ 2 = R 2 (4)
que é a equação de uma circunferência no plano (σ, τ) com
centro sobre o eixo σ no ponto σ = σ m = σxx+σyy
2
e cujo raio é
o valor de R acima descrito.
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
M -> Ponto que representa
as tensões em
torno de P na direção
α.
Da figura constatamos
novamente que
a máxima tensão tangencial
vale:
τ max = R = σ ξ − σ η
2
(5)
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Expressão do círculo de Mohr a partir
das tensões principais
Considerando como ponto de
partida as expressões de σ n e
τ n obtidas em função de σ 1 e σ 3
temos:
{
σ n = σ ξ+σ η
2
+ σ ξ−σ η
2
cos2θ
τ n = − σ ξ−σ η
2
sen2θ
(6)
A figura ao lado esclarece o significado
dessas expressões.
Estas expressões são
obtidas das expressões
anteriormente vistas para
σ n e τ n nas quais fez-se
σ xx = σ ξ , σ yy = σ η , τ x,y = 0
e usamos θ no lugar de α.
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Expressão do círculo de Mohr a partir
das tensões principais
Chamando σ m = σ ξ+σ η
2
, σ n = σ, τ n = τ e elevando ambas as
expressões ao quadrado e somando-as resulta em:
( )
(σ − σ m ) 2 + τ 2 σξ − σ 2
η
=
(7)
2
ou (
σ − σ )
ξ + σ 2
η
+ τ 2 =
2
( )
σξ − σ 2
η
(8)
que descreve o mesmo círculo desenvolvido anteriormente já
que: ⎧
⎨ σ xx + σ yy =
√
σ ξ + σ η
( )
σ
⎩ ξ −σ η
σxx−σ 2
2
=
yy
(9)
2 + τ 2 xy = R
2
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Estado Plano de Tensões
Casos Particulares
Círculo de Mohr
i) Estado de tração simples
Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer
direção) são de tração. Neste caso:
τ max = σ ξ
2 já que σ η = 0!
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Estado Plano de Tensões
Casos Particulares
Círculo de Mohr
ii) Estado de compressão simples
Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer
direção) são de compressão. Neste caso:
τ max = ση
2 já que σ ξ = 0!
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Estado Plano de Tensões
Casos Particulares
Círculo de Mohr
iii) Estado de cisalhamento simples
Todas as tensões principais são iguais e de sinal contrário.
τ max = |σ η | = σ ξ .
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Estado Plano de Tensões
Casos Particulares
Círculo de Mohr
iv) Estado de tensão uniforme ou hidrostático
Neste caso σ ξ = σ η = σ e
τ = τ max = 0.
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Dado um tensor de tensão σ˜, é possivel decompô-lo do
seguinte modo:
= σ h + σ σ˜ ˜
D˜
onde
σ h → Tensor de tensão hidrostático;
σ˜
→ Tensor de tensão desviador.
D˜
(10)
Definindo-se σ como um tensor tal que trσ = 0 e, como já
visto (em qualquer
D˜ sistema de eixos):
D˜
⎡
p 0
⎤
0
σ h = ⎣ 0 p 0 ⎦ (11)
˜ 0 0 p
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
- Determinação das componentes σ h e σ :
Se escolhemos as direções principais ˜ de
D˜ σ para sua descrição
temos:
⎡
⎤
σ 1 0 0
= ⎣ 0 σ 2 0 ⎦ (12)
σ˜ 0 0 σ 3
Logo podemos escrever:
⎡
= ⎣ σ˜
⎤
σ 1 0 0
0 σ 2 0 ⎦ = p
0 0 σ 3
⎡
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎡
⎦+ ⎣
σ 1 − p 0 0
0 σ 2 − p 0
0 0 σ 3 − p
(13)
⎤
⎦
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Verificação: pela invariância da soma da diagonal principal do
tensor de tensão temos que:
σ 1 + σ 2 + σ 3 = 3p + (σ 1 − p) + (σ 2 − p) + (σ 3 − p) (14)
Escolhendo para σ tensor com traço nulo (soma da diagonal
principal), temos que:
D˜
e que
σ 1 + σ 2 + σ 3 = 3p (15)
p = σ 1 + σ 2 + σ 3
3
(16)
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Ficamos com (para qualquer sistema de eixos!):
⎡
p 0
⎤
0
σ h = ⎣ 0 p 0 ⎦ (17)
˜ 0 0 p
e
σ = − σ h
(18)
D˜
σ˜ ˜
Obs: A parcela σ h é responsável pela variação de volume e a
parcela σ D , chamada de tensor desviador, é responsável pela
mudança de forma como se verá no estudo das deformações.
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Concluindo, podemos afirmar que, se = ⎣ σ˜
então:
σ h = σ xx + σ yy + σ zz
3
˜
⎡
⎣
⎡
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
σ xx τ xy τ xz
τ yx σ yy τ yz
⎦,
τ zx τ zy σ zz
⎤
⎦ (19)
e:
σ D˜
⎡
= ⎣
σ xx − p τ xy τ xz
τ yx σ yy − p τ yz
τ zx τ zy σ zz − p
⎤
⎦ com p =
σ xx + σ yy + σ zz
3
(20)
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