Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Portanto, a aplicação linear f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) −→ y ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω))
é contínua, pois
sup ‖y(·, t)‖ L 2 (Ω) ≤ ‖f‖ L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) .
t∈[0,T ]
Para mostrar que esta aplicação está bem definida e é contínua de L 1 (0, T ; L 2 (Ω))
em L 2 (0, T ; H 1 (Ω)), é suficiente provar que
∀f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), ∃ c 2 > 0,
‖y x ‖ L 2 (Ω×(0,T )) ≤ c 2 ‖f‖ L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) .
De fato, multiplicando a equação em (3.5) por xy e integrando por partes,
obtemos
∫ L
0
Portanto,
∫
x
T ∫ L
1
2 y2 (x, T )dx −
0 0 2 y2 (x, t)dxdt + 3 ∫ T
2 0
∫ T ∫ L
0
0
xyfdxdt.
∫ L
0
y 2 x(x, t)dxdt =
∫ T ∫ L
0 0
y 2 x(x, t)dxdt = 2 3
− 1 3
≤ 1 3
∫ T ∫ L
∫ T ∫ L
0
∫ L
0
y 2 dx
0
∫ T ∫ L
0 0
xyfdxdt + 1 3
y 2 (x, t)dxdt + 2L 3
0 0
∫ T ∫ L
y 2 (x, t)dxdt
fydxdt
0 0
∫ T
≤ T 3 ‖f‖2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) + 2L 3 ‖y‖ C([0,T ];L 2 (Ω))
0
‖f‖ L 2 (Ω) dt
≤ T 3 ‖f‖2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) + 2L 3 ‖f‖ L 1 (0,T ;L 2 (Ω))
≤ ( T + 2L ) ‖f‖
3
L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) ,
47