Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Como consequência de (3.10), temos
∫ T
‖u‖ L 2 (0,T ;L ∞ (Ω))
= (
Portanto,
≤ (
≤ ((
‖u‖ 2 L ∞ (Ω) dt)1/2
0
∫ T
0
∫ T
0
c 2 ‖u‖ L 2 (Ω) ‖u x‖ L 2 (Ω) dt)1/2
∫ T
c 4 ‖u‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2 ( ‖u x ‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2 ) 1/2 .
0
‖u‖ L 2 (0,T ;L ∞ (Ω)) ≤ cT 1/4 ‖u‖ 1/2
L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ‖u x‖ 1/2
L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) . (3.11)
Assim sendo, concluímos que
‖ϕ(u) − ϕ(v)‖ XT
≤ c 1 (1 + √ [
T ) ‖u − v‖ L 2 (0,T ;L ∞ (Ω)) ‖u x‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
]
+ ‖u x − v x ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) ‖v‖ L 2 (0,T ;L ∞ (Ω))
≤ c 1 (1 + √ [
T )cT 1/4 ‖u − v‖ 1/2
L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ‖u x − v x ‖ 1/2
L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
‖u x ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) + ‖v‖1/2 L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ‖v x‖ 1/2
]
L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
≤
‖u x − v x ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
c 1c
2 (1 + √ [
T )T 1/4 ‖u − v‖ L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ‖u x‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) +
‖u − v‖ L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) ‖u x‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
+ ‖v‖ L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ‖u x − v x ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
]
+ ‖v‖ L 2 (0,T ;H0 1(Ω)) ‖u x − v x ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
≤ c 2 (1 + √ [
( )
T )T 1/4 ‖u − v‖ L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ‖u‖L 2 (0,T ;H +
0 1(Ω)) ‖u − v‖ L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) (
‖u‖ L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) + ‖v‖ L ∞ (0,T ;L 2 (Ω))
+ ‖v‖ L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) )].
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