Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

obtemos
∫ T ∫ L
0
0
∫ T ∫ L
0
0
xv(uv) x dxdt = xv(uv)| L 0 −
vxdxdt 2 ≤ 2 3
1
3
∫ T ∫ L
0 0
∫ T ∫ L
0
0
∫ L
0
uv 2 dx −
xuvv x dxdt + 2 3
v 2 dxdt + 1 3
∫ L
0
∫ L
0
∫ T ∫ L
0
0
xuvv x dx,
uv 2 dxdt +
xv 2 0dx, (3.42)
pois os outros termos que aperecem no lado esquerdo de (3.41) são positivos.
Assim, procedendo como em (3.40) e usando a desigualdade de Poncairé,
deduzimos que
∫
2 T
3 0
∫ L
0
xuvv x dxdt ≤ 2L 3
∫ T ∫ L
0
∫ T
0
|uvv x | dxdt
≤ 2L ‖uv‖
3
L 2 (Ω) ‖v x‖ L 2 (Ω)
0
≤
2L ∫ T
∫ T
3 ( ‖uv‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2 ( ‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2
≤
≤
L 3δ
L
3δ
0
∫ T
0
∫ T
0
‖uv‖ 2 Lδ
L 2 (Ω)
dt +
3
0
∫ T
‖u‖ 2 Lδ
L ∞ (Ω) ‖v‖2 L 2 (Ω)
dt +
3
0
‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt
∫ T
0
‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt,
e
∫
2 T
3 0
∫ L
0
uv 2 dxdt ≤ 2 3
∫ T ∫ L
0
∫ T
0
∣
∣uv 2∣ ∣ dxdt
≤ 2 ‖uv‖
3
L 2 (Ω) ‖v‖ L 2 (Ω) dt
0
≤
2c ∫ T
∫ T
3 ( ‖uv‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2 ( ‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2
≤
≤
c
3δ
c
3δ
0
∫ T
0
∫ T
0
‖uv‖ 2 L 2 (Ω) dt + cδ 3
0
∫ T
‖u‖ 2 L ∞ (Ω) ‖v‖2 L 2 (Ω) dt + cδ 3
0
‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt
∫ T
0
‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt.
64