Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

onde C = C(T, ‖u 0 ‖ L 2 (Ω) , ‖v 0‖ L 2 (Ω) ).
□
Lema 3.2.2. Existe uma constante positiva C = C(T, ‖u 0 ‖ L 2 (Ω)), tal que
∫ T
‖v 0 ‖ 2 L 2 (Ω) ≤ C{ vx(0, 2 t)dt +
para toda solução v de (3.38).
Demonstração.
0
∫ T ∫ L
0
0
a(x)v 2 dxdt + ‖v 0 ‖ 2 H −3 Ω } (3.47)
Para provar (3.47), usaremos técnicas multiplicativas e também o argumento
de ”Compacidade-Unicidade”.
Multiplicando a equação (3.38) por (T −t)v e integrando em (0, L)×(0, T )
obtemos
T ‖v 0 ‖ 2 L 2 (Ω)
=
+ 2
∫ T ∫ L
0 0
∫ T ∫ L
0
0
v 2 dxdt +
∫ T
0
(T − t)a(x)v 2 dxdt + 1 2
(T − t)v 2 x(0, t)dt (3.48)
∫ T ∫ L
0
0
(T − t)u x v 2 dxdt.
e
Como
∫ T
0
∫ L
0
(T − t)v(uv) x dxdt =
∫ T ∫ L
0
0
(T − t)(u x v 2 + uvv x )dxdt
∫ T ∫ L
0
0
temos que
∫ T
(T − t)uvv x dxdt = 1 2
0
∫ L
0
= 1 2
= − 1 2
∫ T ∫ L
0
∫ T
0
0
∫ T ∫ L
(T − t)v(uv) x dxdt = 1 2
0
(T − t)u d
dx v2 dxdt
((T − t)uv 2 | L 0 −
0
∫ L
0
(T − t)u x v 2 dxdt
∫ T ∫ L
0
0
(T − t)u x v 2 dx)dt
(T − t)u x v 2 dxdt.
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