Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

[L q (0, T ; L 2 (Ω)), L 2 (0, T ; H0(Ω))] 1 θ = L p (0, T, [L 2 (Ω); H0(Ω)] 1 θ )
onde 1 p = 1 − θ + θ e 0 < θ < 1. Assim, escolhendo p = 4, q = 8 e θ = 2/3
q 2
o resultado se verifica com s = 1/3; isto é;
[L 2 (Ω), H0(Ω)] 1 2/3 = H 1/3 (Ω),
e a imersão H 1/3 (Ω) ↩→ L 4 (Ω) é compacta.
Então, usando a afirmação acima, (3.60) e um resultado de compacidade
clássico [18, Corolário 4], podemos extrair uma subsequência de {w n }, que
também denotaremos por {w n }, tal que
⎧
w ⎪⎨ n −→ w em L 4 (0, T ; L 4 (Ω))
w n ⇀ ∗ w em L 2 (0, T ; H0(Ω))
1 (3.61)
⎪⎩ w n,t ⇀ ∗ w t em L 2 (0, T ; H −2 (Ω)).
e por (3.55),
‖w‖ L 4 (0,T ;L 4 (Ω))
= 1. (3.62)
Além disso,
∫ T
0 = lim inf { |w nx | 2 dt +
n−→∞
≥
∫ T
0
|w x (0, t)| 2 dt +
∫ T ∫ L
0
∫ T ∫ L
0
0 0
0
a(x)w 2 ndxdt + ‖w n (·, 0)‖ 2 H −3 (Ω) }
a(x)w 2 dxdt + ‖w(·, 0)‖ 2 H −3 (Ω) . (3.63)
Isto implica, em particular, que w(x, 0) = 0. Consequentemente, o limite
w que resolve o sistema
⎧
w t + w x + w xxx + (uw) x + a(x)w = 0, em Ω × (0, T )
⎪⎨ w(0, t) = w(L, t) = 0, ∀ t > 0
(3.64)
w(0, t) = w x (L, t) = 0, ∀ t > 0
⎪⎩ w(x, 0) = 0, ∀ x ∈ Ω
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