resolução da prova de matemática do vestibular 2013 da unicamp ...

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA
UNICAMP-FASE 2.
RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
13. Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O
salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no
gráfico abaixo.
a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da
velocidade, em km/h, no 30 o segundo.
Tempo (segundos) 0 1 2 3 4
Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140
b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em
segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.
RESOLUÇÃO:
a) Ao analisar a variação da velocidade na linha 2 da tabela em relação a t ∈ {1s, 2s, 3s, 4s, ...} verifica-se
que seus valores formam uma P.A. com primeiro termo igual a 35 e razão 35, logo para t = 30s tem-se: V
= 35 + (30 – 1)× 35 = 35 + 1015 = 1050.
RESPOSTA: 1050 km/h.
b) Analisando o gráfico vê-se que
1300km/h < V máx < 1400km/h e ainda que
2700
1300km/h < V máx < km/h, então pode-se
2
dizer aproximadamente 1325 km/h.
Vê-se também que o primeiro instante t em que
V máx > 1100km/h é um valor em que
30 < t < 45, pode-se tomar 37s, por exemplo,
RESPOSTA: 1325 km/h e 37s.
1

14. Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas AB = 20 , BC = 15 e
AC = 10 .
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD = 3 e traça-se o segmento DE paralelo a AC. Ache
a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao
lado ED, sem explicitar os valores h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura triângulo ABC em relação ao lado AC.
RESOLUÇÃO:
BC 15 H
a) Como = = 3 ⇒ = 3 .
BD 3 h
RESPOSTA: 3.
b) Do triângulo BCF: H 2 = 225 – x 2 e do triângulo BAF:
H 2 = 400 – (10 + x) 2 . Logo: 225 – x 2 = 400 – (10 + x) 2 .
225 – x 2 = 400 – (10 + x) 2 ⇒ 175 + x 2 – 100 – 20x – x 2 = 0 ⇒
20x = 75 ⇒ x =
15 2 225 3375 15
⇒ H = 225 − ⇒ H
2 = ⇒ H =
4
16 16
RESPOSTA:
15 15
.
4
15
4
15. A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320. 000m 2 de área, formato
retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região
hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do
reservatório uma faixa de terra livre. Denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a
figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100m, medidos a partir da borda do
reservatório.
a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso.
b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V(t) = V 0 .2 – t , em que V 0 é o
volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza
a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, log 10 2 ≈ 0,30.
2

RESOLUÇÃO:
a) A faixa de terra denominada APP é formada por dois
retângulos de dimensões (2x)m × 100m, dois retângulos
xm × 100m e 4 semicírculos de 100m de raio.
Como a superfície do reservatório de água tem 320. 000m 2
de área, 2x.x = 320.000 ⇒ x 2 = 160.000 ⇒ x = 400 m.
A área da faixa de terra denominada APP é então:
S
S
APP
APP
2
= 100 π + 2×
800×
100 + 2×
400×
100 ⇒
= 10000π
+ 240000 = 10000( π + 24).
10000(
24)
RESPOSTA: 10000(π+ m 24)
2 .
b) Como o questionamento é “Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume
inicial?”, tem-se:
−t
V0
−t
1
−t
⎛ 1 ⎞
1 10 1
V0
.2 = ⇒ 2 = ⇒ log10
(2 ) = log10
⎜ ⎟ ⇒ −tlog10(2)
= −1
⇒ t = = = 3 ⇒
10 10
⎝10
⎠
0,3 3 3
Aproximadamente t = 3me10d
RESPOSTA: t = 3me10d.
16. A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração
varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em
meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
Numeração brasileira ( t ) Comprimento do calçado ( x )
35 23,8 cm
42 27,3 cm
Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e
x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que
permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos
parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira
aproximada pela função real f definida por f (x) = 5(x − 20) / 3 , em que x é o comprimento do calçado
em cm.
Sabendo que a numeração dos calçados n k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro
termo n 1= 5 , em que n k = f(c k ) , com k natural, calcule o comprimento c 5 .
RESOLUÇÃO:
⎧t(23,8)
= 35 ⎧23,8a
+ b = 35 ⎧−
23,8a − b = −35
⎧3,5a
= 7 ⎧a
= 2
a) ⎨ ⇒ ⎨
⇒ ⎨
⇒ ⎨ ⇒ ⎨
⎩t(27,3)
= 42 ⎩27,3a
+ b = 42 ⎩27,3a
+ b = 42 ⎩a
= 2 ⎩b
= −12,6
⎧7c
= 3,5
⎧x(35)
= 23,8 ⎧35c
+ d = 23,8 ⎧−
35c − d = −23,8
⎪ ⎧c
= 0,5
⎨
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⇒ ⎨ 1 ⇒ ⎨
⎩x(42)
= 27,3 ⎩42c
+ d = 27,3 ⎩42c
+ d = 27,3 ⎪c
= ⎩d
= 6,3
⎩ 2
RESPOSTA: = = − = =
5(ck
− 20)
b) Sendo n k = f(c k ) e f (x) = 5(x − 20) / 3⇒ n k = .
3
Como a numeração dos calçados n k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e n 1= 5 ⇒
5(c 20)
121
n 5 = 5 + (5 – 1).0,5 = 5 + 2 = 7 ⇒ 7 5 −
= ⇒ 21 = 5c 5 −100
⇒ 5c5
= 121⇒
c5
= 24, 2
3
5
= .
RESPOSTA: c 5 = 24,2.
a 2;
b 12,6;
c0,5
ed6,3
3

17. Na formulação de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados
respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por x , y e z .
⎧3x
+ y − z = 0,20
⎪
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de equações lineares: ⎨2y
+ z = 0,55
⎪
⎩z
= 0,25
Calcule x e y nesse caso.
b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações 24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%,
y ≥ 20% e z = 10%. Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x, y) admissíveis para tal
fertilizante.
RESOLUÇÃO:
a)
⎧3x
+ y − z = 0,20
⎪
⎧3x
+ y − 0,25 = 0,20 ⎧3x
+ y = 0,45 ⎧y
= 0,15
⎨2y
+ z = 0,55 ⇒ ⎨
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎪
⎩2y
+ 0,25 = 0,55 ⎩2y
= 0,30 ⎩x
= 0,10
⎩z
= 0,25
RESPOSTA: x= 0,10 e y = 0,15.
b) Se 24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e z =
10% ⇒ 14% ≤ x + y ≤ 44% e x + y ≥ 30% ⇒
30% ≤ x + y ≤ 44% ⇒
x + y ≥ 30% e y ≤ − x + 44%
Para y = 20% ⇒ x = 24% ou x = 10% e para x = 10%
⇒ y = 34% ou x = 10%
RESPOSTA: A região de teores (x, y) admissíveis
para tal fertilizante é a região determinada pelo
triângulo de vértices B = (10%, 20%); C = (24%,
20%) e A= (10%, 34%).
4

18. O diagrama abaixo indica a distribuição dos alunos matriculados em três cursos de um a escola. O
valor da mensalidade de cada é de R$ 600,00, mas a escola oferece descontos aos alunos que fazem mais
de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, são de 20% para quem faz dois
cursos e de 30% para os matriculados em três cursos.
a) Por estratégia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de desconto,
calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total de mensalidade. Calcule o
percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo curso para aqueles que fazem dois
cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aqueles que fazem três cursos.
b) Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em pelo menos
dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um
curso?
RESOLUÇÃO:
a) Projeto original de desconto para os alunos que fazem dois cursos: 2 × 600×
0,20 = 240 reais.
Projeto original de desconto para os alunos que fazem três cursos: 3 × 600×
0,30 = 540 reais.
240
Por estratégia de marketing, para os alunos que fazem dois cursos, o desconto é de = 0,40 = 40%
600
540
sobre o segundo curso. Para os alunos que fazem três cursos, o desconto é de = 0,90 = 90%
sobre
600
o terceiro curso.
RESPOSTA: 40% e 90%.
b) De acordo com o diagrama, o número total de alunos matriculados na escola (espaço amostral) é
9 + 7 + 3 + 4 + 8 + 2 + 6 = 39, e o total de alunos matriculados em apenas um dos três cursos é
9 + 6 + 8 = 23.
23
Então a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso: 39
23.
RESPOSTA:
39
19. Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação
(2 − p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 , nas variáveis x e y , em que p é um parâmetro real.
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eixo
y . Encontre o ponto de interseção neste caso.
b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa família para p = 1. Denote por A o seu ponto de interseção com
o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da circunferência em que o segmento OA
é um diâmetro.
39
23
RESOLUÇÃO:
a) A equação (2 − p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 pode ser representada na forma reduzida por
2 − p 8p + 4 2 − p
y = − x − onde − é o valor que da tangente do ângulo que a reta forma com o
2p + 1 2p + 1 2p + 1
semieixo positivo Ox. Sendo a perpendicular ao eixo y, ela é paralela ao eixo x e portanto
2 − p
− = 0 ⇒ 2 − p = 0 ⇒ p = 2 .
2p + 1
5

Poder-se-ia também desenvolver o raciocínio do seguinte modo:
Sendo a reta (2 − p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 perpendicular ao eixo y, ela é paralela ao eixo x e
portanto na sua forma geral o coeficiente de x é nulo, portanto 2 – p = 0 ⇒ p = 2.
RESPOSTA: 2
b) A interseção da reta x + 3y + 12 = 0 com o eixo dos x é o ponto A(x, 0), logo x = −12 e A(−12, 0).
Sendo O a origem do plano cartesiano, a medida do segmento OA é 12.
Sendo o segmento AO um diâmetro da circunferência em questão, o centro dessa circunferência é o ponto
(0, −6) e seu raio mede 6.
2
2
2 2
2 2
A equação da circunferência é x + ( y + 6) = 36 ⇒ x + y + 12y + 36 = 36 ⇒ x + y + 12y = 0
y
12y
RESPOSTA: + =
2 0
+
20. Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica
de razão q >1.
a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área.
b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a área total do paralelepípedo igual a 252 m 2 .
2
RESOLUÇÃO:
x
a) Considerando as arestas da piscina como
x
, x e qx .
q
Perímetro da face de maior área: 2x(1 + q).
⎛ 1
Perímetro da face de menor área: ⎟ ⎞
2x ⎜1
+ .
⎝ q ⎠
Quociente pedido:
RESPOSTA: q.
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤
⎛ 1+
q ⎞
q
2x(1 + q): ⎢2x
⎜1
+ (1 q): = (1+
q) × = q
q
⎟⎥
= +
⎜
q
⎟
.
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎝ ⎠ 1+
q
2 2x 2 2⎛
1
b) A área total do paralelepípedo é dada pela expressão: ⎟ ⎞
2qx + + 2x = 2x
⎜q
+ + 1 .
q
⎝ q ⎠
1
Fazendo 2x 2 ⎛ ⎞
⎜q
+ + 1 = 252
q
⎟ e substituindo q por 2:
⎝ ⎠
2⎛
1 ⎞
2
2 252 2
2x ⎜2
+ + 1⎟
= 252 ⇒ x ( 4 + 1+
2) = 252 ⇒ x = ⇒ x = 36 ⇒ x = 6 .
⎝ 2 ⎠
7
6
Logo as arestas do paralelepípedo medem , 6 e 2× 6 , ou seja, 3, 6 e 12.
2
O volume da piscina é 3 × 6 × 12 m 3 = 216 m 3 .
RESPOSTA: 216 m 3 .
2
6

RESPOSTA: − .
21
21. Considere o polinômio p(x) = x 2 − 11x + k + 2, em que x é variável real e k um parâmetro fixo,
também real.
a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de p(x) por x − 1 é igual a 3?
⎛ π π ⎞
b) Supondo, agora, k = 4 , e sabendo que a e b são raízes de p(x) , calcule o valor de sen ⎜ + ⎟ .
⎝ a b ⎠
RESOLUÇÃO:
Para que o resto do quociente de p(x) por x − 1 seja igual a 3, tem-se p(1) = 3.
Logo: 1 − 11 + k + 2 = 3 ⇒ k =11.
RESPOSTA: 11
b) Em p(x) = x 2 − 11x + k + 2, substituindo k por 4, p(x) = x 2 − 11x + 6. Se as raízes deste polinômio são
os valores a e b, tem-se a + b = 11 e a.b = 6.
⎛ π π ⎞ ⎛ π(a + b) ⎞ ⎛11π
⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ 1
sen⎜
+ ⎟ = sen⎜
⎟ = sen⎜
⎟ = sen⎜π + ⎟ = −sen⎜
⎟ = − .
⎝ a b ⎠ ⎝ ab ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 2
⎡ 1 α ⎤
22. Considere a matriz A α = ⎢ 1 ⎥ que depende do parâmetro real α > 0.
⎢−
−1
⎣ α
⎥
⎦
a) Calcule a matriz (A α +A 2α ) 2 .
⎡x⎤
b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas ⎢ ⎥ é transformado pela matriz Aα
⎣y
⎦
⎡x'
⎤ ⎡x⎤
⎡ x + αy ⎤
em um novo ponto da seguinte forma: ⎢ ⎥ = A ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
α 1 .
⎣y'
⎦ ⎣y⎦
⎢−
x − y⎥
⎣ α ⎦
⎡x⎤
⎡− 6⎤
Calcule o valor de α, sabendo que o sistema A α ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ admite solução.
⎣y⎦
⎣ 2 ⎦
RESOLUÇÃO:
a) a matriz
A
α
+ A
( A + A )
α
2α
2α
⎡ 1
= ⎢ 1
⎢−
⎣ α
α ⎤
⎥
−1⎥
⎦
A α que depende do parâmetro real α > 0,
⎡ 1 α ⎤ ⎡ 1 2α⎤
⎡ 2 3α ⎤
= ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 3 ⎥ ⇒
⎢−
−1⎥
⎢−
−1⎥
⎢−
− 2
⎣ α ⎦ ⎣ 2α ⎦ ⎣ 2α ⎥
⎦
⎡ 1 ⎤
⎡ 2 3α ⎤ ⎡ 2 3α ⎤ ⎢−
0
2
⎥
= ⎢ 3 ⎥ × ⎢ 3 ⎥ = 2
⎢ ⎥
⎢−
− 2⎥
⎢−
− 2
⎣ ⎦ ⎣
⎥ 1
2α 2α ⎦ ⎢ 0 − ⎥
⎣ 2⎦
RESPOSTA:
⎡x⎤
⎡− 6⎤
⎡ 1 α ⎤
⎧x
+ αy = −6
⎡x⎤
⎡− 6⎤
b) A α ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒ ⎢ 1
⎪
⎧x
+ αy = −6
⎥ ×
⇒
⇒
⎣y⎦
⎣ 2 ⎦ ⎢− −1
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒ ⎨ x ⎨
⎣ α ⎥
⎦ ⎣y⎦
⎣ 2 ⎦ ⎪−
− y = 2 ⎩−
x − αy = 2α
⎩ α
⎧x
+ αy = −6
⎧2α
− 6 = 0
⎨
(somando as duas equações) ⇒ ⎨
⎩−
x − αy = 2α
⎩α
= 3
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−0 0 21 21
−
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
7
RESPOSTA: α = 3.

23. Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a
3
altura α . Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo θ em torno de uma das arestas da
4
base, como está representado na figura abaixo.
a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a
tangente do ângulo θ.
b) Considerando, agora, a inclinação tal que tg(θ) = 1/4, com 0 < θ < π/2 , calcule o valor numérico da
expressão cos(2θ) – sen(2θ).
RESOLUÇÃO:
a) Se o recipiente cúbico de aresta a contém água até a altura
3
3α 3α
α , o volume da água é V = α × α × = .
4
4 4
Se o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a
α 3
derramar, o volume da parte do recipiente vazio de água é .
4
A parte do recipiente vazio de água é um prisma de base ABC e
altura α,
α 3 xα
α
= × α ⇒ = x ⇒ x
4 2 2
=
α 1
tg θ = : α =
2 2
α
2
.
3
RESPOSTA:
21
b) Considerando, agora, a inclinação tal que
1
tg θ = , com 0 < θ < π/2 e o
4
triângulo retângulo ABC de catetos 1(oposto a θ) e 4, BC = 1+
16 = 17 .
Logo senθ =
17
17
e
4 17
cosθ =
17
( 2θ) = 2senθsenθ = 2×
× = e cos( 2θ)
⇒
17 4 17
sen
17 17
15 8 7
Logo cos(2θ) – sen(2θ) = − = .
17 17 17
8
17
2 2 16
= cos θ − sen θ = −
17
1
17
=
15
17
RESPOSTA:
177.
8

24. Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que
inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB . Nos pontos desse arco o sinal do
satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede
6.400 km.
a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ) = 3/4. Determine a distância d entre o ponto C e o
satélite.
RESOLUÇÃO:
OB 6400 1
a) Analisando a figura conclui-se que cosα = = = ⇒
OS 12800 2
α = 60° ⇒ que o arco AB mede 120° ⇒
120°
l 1 12800π
= ⇒ = ⇒ l =
2×
6400π
360°
12800π
3 3
12800π.
l
RESPOSTA:
3
b) Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo COS:
2 2 2
x = r + 4r − 2 × r × 2r × cosθ ⇒
x
2
= 5r
2
− 4r
x = 6400 2 .
2
×
3
4
⇒ x
12800
2
= 2r
2
⇒ x = r
2 ⇒
RESPOSTA: 6400 2 km
9