FÃsica I Aula 03: Movimento em um Plano Tópico 02: Movimento ...
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Física I<br />
<strong>Aula</strong> <strong>03</strong>: <strong>Movimento</strong> <strong>em</strong> <strong>um</strong> <strong>Plano</strong><br />
Tópico <strong>02</strong>: <strong>Movimento</strong> Circular Uniforme; Aceleração Centrípeta<br />
Caro aluno, olá!<br />
Neste tópico, você vai aprender sobre <strong>um</strong> tipo particular de movimento plano, o<br />
movimento circular uniforme.<br />
Diz<strong>em</strong>os que <strong>um</strong> corpo está realizando <strong>um</strong> movimento circular quando sua trajetória é <strong>um</strong>a<br />
circunferência.<br />
Parada Obrigatória<br />
No movimento circular uniforme o módulo da velocidade permanece constante. Sua<br />
direção está mudando todo o t<strong>em</strong>po, ao longo do movimento.<br />
Como já vimos, a velocidade é <strong>um</strong> vetor.<br />
Observe a seta que representa a velocidade: Seu tamanho é constante, significando que o<br />
módulo da velocidade não varia, mas a orientação da seta é s<strong>em</strong>pre tangente à trajetória circular.<br />
Esta é <strong>um</strong>a característica do movimento circular:O vetor velocidade é s<strong>em</strong>pre tangente à<br />
trajetória, o que significa que o vetor velocidade está s<strong>em</strong>pre mudando de direção, portanto está s<strong>em</strong>pre<br />
variando.<br />
Características do movimento circular uniforme (MCU)<br />
Característica 1<br />
A trajetória é <strong>um</strong>a circunferência.<br />
1
Física I<br />
Característica 2<br />
A velocidade vetorial é constante <strong>em</strong> módulo e variável <strong>em</strong> direção e sentido.<br />
Característica 3<br />
A aceleração tangencial é nula.<br />
Característica 4<br />
A aceleração centrípeta é constante <strong>em</strong> módulo e variável <strong>em</strong> direção e sentido.<br />
Aceleração no movimento circular uniforme<br />
Veja a figura abaixo. O objeto move-se <strong>em</strong> <strong>um</strong>a trajetória circular. Embora o valor n<strong>um</strong>érico<br />
da velocidade seja s<strong>em</strong>pre o mesmo, ela não é constante, porque sua direção e sentido variam de ponto a<br />
ponto. Essa variação da direção da velocidade acusa a existência de <strong>um</strong>a ACELERAÇÃO.<br />
Fonte 1<br />
L<strong>em</strong>bre-se, a aceleração é <strong>um</strong>a grandeza vetorial.<br />
A aceleração centrípeta, ou aceleração radial é dirigida para o centro da trajetória e é<br />
decorrência da variação da direção do vetor velocidade tangencial.<br />
1 Fonte: -- http://www.colegioweb.com.br/fisica/movimento-circular-uniforme-mcu<br />
2
Física I<br />
Aceleração Centrípeta<br />
Considere a figura acima, onde analisamos a variação do vetor velocidade entre os dois<br />
pontos a e b.<br />
pontos é:<br />
Seguindo a regra da adição de vetores, pod<strong>em</strong>os ver que a variação da velocidade nesses dois<br />
variação.<br />
Como as direções dos vetores <strong>em</strong> a e b são diferentes existe <strong>um</strong> vetor decorrente dessa<br />
Esse vetor é a aceleração desse movimento.<br />
Como você já sabe, no movimento circular há <strong>um</strong>a variação do vetor velocidade, mesmo que<br />
seu módulo permaneça constante. Essa variação na direção da velocidade é causada por <strong>um</strong>a aceleração<br />
que aponta s<strong>em</strong>pre para o centro da circunferência por isso é chamada ACELERAÇÃO CENTRÍPETA.<br />
Vamos determinar o módulo da aceleração centrípeta. Para isso observe esta outra figura que<br />
mostra duas posições <strong>em</strong> <strong>um</strong> movimento circular uniforme.<br />
A Figura 1 mostra <strong>um</strong>a partícula que se move com velocidade de módulo constante, <strong>em</strong> <strong>um</strong>a<br />
trajetória circular de raio R.<br />
3
Física I<br />
a e b.<br />
Na figura 2, v<strong>em</strong>os o diagrama da soma vetorial entre os vetores velocidade nas duas posições<br />
O triângulo mostrado na Figura 2 é s<strong>em</strong>elhante ao triângulo OAB da Figura 1 pois o ângulo<br />
entre os vetores é o mesmo ângulo que o objeto gira ao ir de a para b. Vamos, então escrever a<br />
proporção entre os lados correspondentes dos dois triângulos:<br />
A aceleração é a variação da velocidade no t<strong>em</strong>po, então:<br />
Veja que na figura 1 o segmento ab é a linha pontilhada que representa o deslocamento do<br />
objeto de a até b.<br />
Sab<strong>em</strong>os que a variação da velocidade no t<strong>em</strong>po é a a aceleração, então substituindo a<br />
equação (3) na equação (2) ter<strong>em</strong>os:<br />
4
Física I<br />
Também pod<strong>em</strong>os expressar a aceleração centrípeta <strong>em</strong> termos da velocidade angular.<br />
Substituindo na equação (4) ter<strong>em</strong>os:<br />
Dica<br />
O termo centrípeta v<strong>em</strong> do grego (Κεντρομόλου) e significa “ que se dirige para o<br />
centro”.<br />
Vetor velocidade angular<br />
A velocidade angular descreve a rotação <strong>em</strong> torno de <strong>um</strong> eixo.<br />
Parada Obrigatória<br />
A velocidade angular média é <strong>um</strong> vetor com <strong>um</strong>a quantidade física que representa o<br />
processo de rotação (mudança de orientação) que ocorre <strong>em</strong> <strong>um</strong> instante de t<strong>em</strong>po. A<br />
linha de direção da velocidade angular é dada pelo eixo de rotação<br />
Na figura acima, <strong>em</strong> que o objeto move-se no sentido anti-horário, no plano x-z, o vetor<br />
velocidade angular é vertical e aponta para cima.<br />
5
Física I<br />
Dica<br />
A regra da mão direita indica a direção positiva, da seguinte forma: Se você enrolar os<br />
dedos de sua mão direita seguindo a direção da rotação, então a direção da velocidade<br />
angular é indicada pelo seu polegar direito.<br />
Desafio<br />
Se o objeto se movesse no sentido horário, você saberia dizer qual o sentido do vetor<br />
velocidade angular?<br />
O movimento circular uniforme é <strong>um</strong> movimento periódico. Seu período (T) 2 é o intervalo de<br />
t<strong>em</strong>po de <strong>um</strong>a volta completa. O número de voltas na unidade de t<strong>em</strong>po é a sua freqüência f.<br />
Equação horário no <strong>Movimento</strong> Circular<br />
No movimento retilíneo uniforme, a função horária, como você já viu na <strong>Aula</strong> <strong>02</strong>, é<br />
Se dividirmos a equação acima pelo raio R, ter<strong>em</strong>os:<br />
2<br />
6
Física I<br />
O comprimento de arco s, como já vimos é (<strong>em</strong> radianos)<br />
Esta é a função horária angular do MCU<br />
Transmissão de movimento circular uniforme<br />
Você anda de bicicleta? Já observou a coroa e a catraca de <strong>um</strong>a bicicleta? Sabe como elas<br />
funcionam?<br />
Dúvida<br />
Você já ouviu falar de sist<strong>em</strong>a de transmissão?<br />
7
Física I<br />
É possível efetuar a transmissão de movimento circular entre duas rodas, dois discos ou duas<br />
polias. No caso da bicicleta, entre a catraca e a coroa <strong>em</strong> que ocorre na transmissão por corrente.<br />
As velocidades lineares das duas rodas, <strong>em</strong> pontos periféricos, têm o mesmo módulo. Já<br />
pensou se as rodas da bicicleta tivess<strong>em</strong> velocidades diferentes?<br />
Isto significa que a catraca por ser menor, gira mais rápido do que a coroa.<br />
Multimídia<br />
Neste site http://www.e-escola.pt/site/topico.asp?id=20#player2, você pode ver os<br />
vetores característicos do movimento circular uniforme.<br />
Ex<strong>em</strong>plos Resolvidos<br />
Para você ir treinando na resolução dos exercícios, comece tentando resolver estes<br />
ex<strong>em</strong>plos a seguir. Tente antes de ver a solução do probl<strong>em</strong>a. Caso não entenda alg<strong>um</strong>a<br />
passag<strong>em</strong> de alg<strong>um</strong> dos probl<strong>em</strong>as, consulte o seu professor.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 1<br />
Considere duas pessoas, ambas na superfície da Terra, <strong>um</strong>a na linha do Equador e a outra<br />
sobre o Trópico de Capricórnio. Considere, ainda, somente o movimento de rotação da Terra <strong>em</strong> torno de<br />
seu eixo. Com base nessas informações, compare para as duas pessoas:<br />
Solução<br />
a) as velocidades angulares;<br />
b) as freqüências;<br />
c) os módulos das velocidades lineares;<br />
d) os módulos das acelerações centrípetas.<br />
a) As velocidades angulares serão iguais, pois só depend<strong>em</strong> do período de rotação da terra, o<br />
mesmo para os dois.<br />
8
Física I<br />
b) Os módulos das velocidades lineares serão diferentes, pois os raios são diferentes. A<br />
velocidade linear é dada por:<br />
Para a pessoa que está na linha do equador a velocidade linear será maior, pois o raio é maior.<br />
Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso.<br />
c) A aceleração centrípeta é dada por:<br />
Logo, terão acelerações diferentes, pois os raios são diferentes.<br />
Para a pessoa que está na linha do equador a aceleração centrípeta será maior, pois o raio é<br />
maior. Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 2<br />
Os ponteiros do relógio realizam <strong>um</strong> movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular<br />
dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos?<br />
Solução<br />
Os ponteiros do relógio realizam <strong>um</strong> movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular<br />
dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos?<br />
(a) o ponteiro das horas completa <strong>um</strong>a volta (2π) <strong>em</strong> 24 horas (86.400s)<br />
(b) O ponteiro dos minutos completa <strong>um</strong> volta (2π) <strong>em</strong> <strong>um</strong>a hora (3.600s)<br />
(c) O ponteiro dos segundos completa <strong>um</strong>a volta (2π) <strong>em</strong> <strong>um</strong> minuto (60s)<br />
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Física I<br />
Ex<strong>em</strong>plo 3<br />
Considere o relógio do exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos de<br />
15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada <strong>um</strong> dos ponteiros?<br />
Solução<br />
Considere o relógio do exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos de<br />
15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada <strong>um</strong> dos ponteiros?<br />
angular.<br />
O primeiro passo para a resolução é transformar a velocidade linear pedida <strong>em</strong> velocidade<br />
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Física I<br />
Ex<strong>em</strong>plo 4<br />
Uma BMW Z3 pode ter <strong>um</strong>a “aceleração lateral” de 0,87g ( g é a aceleração da gravidade).<br />
Isso representa a aceleração centrípeta máxima s<strong>em</strong> que o carro deslize para fora de <strong>um</strong>a trajetória<br />
circular. Se o carro se desloca a <strong>um</strong>a velocidade constante de 40 m/s, qual é o raio máximo da curva<br />
plana, que ele pode aceitar?<br />
Solução<br />
Resposta: 190 m<br />
Este é <strong>um</strong> probl<strong>em</strong>a muito simples, <strong>um</strong>a vez que conhec<strong>em</strong>os a aceleração centrípeta e a<br />
velocidade tangencial.<br />
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Física I<br />
Ex<strong>em</strong>plo 5<br />
Um satélite artificial completa 6 voltas <strong>em</strong> torno da Terra, durante 24 h. Qual é, <strong>em</strong> horas, o<br />
período do movimento do satélite, suposto periódico?<br />
Solução<br />
Resposta: 4 h<br />
Resposta: 4 h<br />
O período do movimento corresponde ao intervalo de t<strong>em</strong>po que o satélite gasta para<br />
completar 1 volta. Se o satélite completa 6 voltas <strong>em</strong> 24 h, 1 volta será completada <strong>em</strong> 4 h.<br />
Assim T = 4 h.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 6<br />
Um ponto material descreve <strong>um</strong>a circunferência horizontal com velocidade constante <strong>em</strong><br />
módulo. O raio da circunferência é de 15 cm e o ponto completa <strong>um</strong>a volta a cada 10 s. Calcule:<br />
a) o período e a freqüência;<br />
b) a velocidade angular;<br />
c) a velocidade escalar linear;<br />
d) o módulo da aceleração centrípeta.<br />
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Física I<br />
Solução<br />
a) o período e a freqüência;<br />
b) a velocidade angular;<br />
c) a velocidade escalar linear;<br />
d) o módulo da aceleração centrípeta.<br />
Ex<strong>em</strong>plo 7<br />
Duas polias A e B, ligadas por <strong>um</strong>a correia têm 10 cm e 20 cm de raio, respectivamente. A<br />
primeira efetua 40 rpm. Calcule:<br />
a) a freqüência da segunda polia;<br />
b) a velocidade linear dos pontos da correia.<br />
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Física I<br />
Solução<br />
t<strong>em</strong>os:<br />
b) todos os pontos da correia t<strong>em</strong> a mesma velocidade linear v. Considerando a polia A,<br />
Fór<strong>um</strong><br />
Com base nos conhecimentos adquiridos nesta aula, discuta com os seus colegas e seu<br />
professor as seguintes questões:<br />
É possível estar acelerando se você viaja com velocidade escalar constante?<br />
É possível fazer <strong>um</strong>a curva com aceleração nula? E com aceleração constante?<br />
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