MACHADO, Jean Fernando Bertao.pdf - PPGEM - UTFPR

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MACHADO, Jean Fernando Bertao.pdf - PPGEM - UTFPR

PR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS DE CURITIBA

DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

E DE MATERIAIS - PPGEM

JEAN FERNANDO BERTÃO MACHADO

ESTUDO NUMÉRICO DA VIABILIDADE DE MEDIÇÃO

DE VAZÃO ATRAVÉS DE TERMOMETRIA

CURITIBA

OUTUBRO– 2006


JEAN FERNANDO BERTÃO MACHADO

ESTUDO NUMÉRICO DA VIABILIDADE DE MEDIÇÃO

DE VAZÃO ATRAVÉS DE TERMOMETRIA

Dissertação apresentada como requisito parcial

à obtenção do título de Mestre em Engenharia,

do Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de

Concentração em Engenharia Térmica, do

Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação,

do Campus de Curitiba, da UTFPR.

Orientador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD

Co-orientador: Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr.

CURITIBA

OUTUBRO - 2006


TERMO DE APROVAÇÃO

JEAN FERNANDO BERTÃO MACHADO

ESTUDO NUMÉRICO DA VIABILIDADE DE MEDIÇÃO

DE VAZÃO ATRAVÉS DE TERMOMETRIA

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia,

área de concentração em engenharia térmica, e aprovada em sua forma final pelo

Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.

_________________________________

Prof. Neri Volpato, PhD

Coordenador de Curso

Banca Examinadora

______________________________

Prof. Álvaro Toubes Prata, PhD

(UFSC)

______________________________

Prof. Ricardo Augusto Mazza, Dr.

(UNICAMP)

______________________________

Prof. Silvio Luiz de Mello Junqueira, Dr.

(UTFPR)

Curitiba, 27 de Outubro de 2006


iii

Dedico este trabalho aos meus pais,

Arnaldo e Neuza, pelo amor e incentivo.

Ao meu amor, Érica, por me dar forças

para superar os desafios. Aos meus

irmãos, Jeanen, Alisson e Janaina, e a

minha sobrinha Mariá, que sempre

acreditaram em mim e a toda a minha

família e àqueles que me incentivaram.


iv

AGRADECIMENTOS

Ao professor Cezar Otaviano Ribeiro Negrão, meu orientador, pelos conhecimentos

passados, por ter me dado essa oportunidade e acreditar na minha capacidade.

Ao meu co-orientador, professor Rigoberto Eleazar Melgarejo Morales, por sempre

estar disposto a me auxiliar.

À Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), em especial ao Laboratório

de Ciências Térmicas (LACIT), pela utilização dos equipamentos.

Aos demais professores e colegas do Programa de Pós-Graduação em Engenharia

Mecânica e de Materiais (PPGEM) que contribuíram direta ou indiretamente na realização

deste trabalho.


v

MACHADO, Jean Fernando Bertão, Estudo Numérico da Viabilidade de Medição

de Vazão através de Termometria, 2006, Dissertação (Mestrado em Engenharia) -

Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade

Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 2006.

RESUMO

Técnicas não-intrusivas de medição de vazão constituem uma necessidade

crescente nos processos industriais. Atualmente, diversos estudos têm sido

realizados com o objetivo de desenvolver técnicas de medição não-intrusivas que

possam suprir as deficiências das técnicas existentes. Uma das alternativas é a

utilização da termometria. Esta técnica se baseia na variação súbita de temperatura

que pode ocorrer em escoamentos em tubulações. A temperatura de uma corrente

fria é instantaneamente elevada e a temperatura da superfície externa do tubo é

medida em dois pontos diferentes, separados por uma distância conhecida. A razão

entre a distância entre os pontos de medição e a diferença de tempo para elevação

das temperaturas pode ser utilizada como estimativa da velocidade média do

escoamento. Isto será verdadeiro se a mudança da temperatura do tubo estiver

relacionada à velocidade do escoamento. Este trabalho investiga a transferência de

calor conjugada transitória em tubos de maneira a verificar a possibilidade de medir

a velocidade média do escoamento por meio da termometria. O problema físico é

modelado pelas equações da conservação da massa, quantidade de movimento e

energia. Através de hipóteses apropriadas, três soluções são propostas: analítica,

analítico-numérica e numérica. O método dos volumes finitos é empregado nas duas

últimas. Os resultados da solução analítico-numérica foram comparados com a

solução analítica e com dados experimentais. Os principais parâmetros de influência

do problema foram identificados e seus efeitos foram computados.

Palavras-chave: medição de vazão, termometria, transferência de calor conjugada

transitória, solução analítico-numérica.


vi

MACHADO, Jean Fernando Bertão, Numerical Study of Fluid Flow Measurement

Feasibility by Thermometry, 2006, MsC Thesis – Postgraduate Program in

Mechanical and Materials Engineering , Federal Technological University of Parana,

Curitiba, 2006.

ABSTRACT

Non-intrusive techniques of flow measurement are very useful in industrial

applications. Nowadays, several studies have been conducted to develop nonintrusive

measuring techniques that can overcome the shortcomings of the existing

ones. One alternative is the thermometry technique. It is based on sudden

temperature variations that may take place in tube flows. The temperature of a cold

stream is instantaneously changed to a higher value and the temperature of the

external surface temperature of the tube is measured at two different positions,

separated by a known distance. The ratio of the distance of the measuring points and

the time difference to increase both temperatures is an estimation of the flow average

speed. This is true if the temperature change is related directly to the flow speed.

This work investigates the transient conjugate (conduction-convection) heat transfer

problem in tubes in order to verify the possibility to measure the flow speed by using

thermometry. The physical problem is modeled by the conservation equations of

mass, momentum and energy. With appropriate assumptions, three approaches are

proposed: analytical, analytic-numerical and numerical solutions. The finite volume

method is employed to solve the latter two. The analytic-numerical solution results

are compared with the analytical solution and with experimental data. The main

parameters of influence of the physical problem are identified and its effects on the

proposed technique are computed.

Keywords: flow measurement, thermometry, transient conjugate heat transfer,

analytical-numerical solution.


vii

SUMÁRIO

RESUMO.....................................................................................................................v

ABSTRACT ................................................................................................................ vi

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. ix

LISTA DE TABELAS .................................................................................................xiii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ................................................................... xiv

LISTA DE SÍMBOLOS............................................................................................... xv

1 INTRODUÇÃO......................................................................................................1

1.1 OBJETIVOS .............................................................................................................................5

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................7

2.1 TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONJUGADA EM REGIME PERMANENTE......................13

2.2 TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONJUGADA EM REGIME TRANSITÓRIO ......................13

2.3 O PRESENTE TRABALHO....................................................................................................14

3 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................16

3.1 EQUAÇÕES GOVERNANTES ..............................................................................................16

3.2 EQUAÇÕES GOVERNANTES DISCRETIZADAS ................................................................19

3.3 SOLUÇÃO DO MODELO.......................................................................................................22

3.3.1 SOLUÇÃO ANALÍTICA ..................................................................................................23

3.3.2 SOLUÇÃO ANALÍTICO-NUMÉRICA .............................................................................25

3.3.3 SOLUÇÃO NUMÉRICA..................................................................................................31

4 VERIFICAÇÃO DOS MODELOS........................................................................37

4.1 VALIDAÇÃO DA SOLUÇÃO ANALÍTICO-NUMÉRICA..........................................................37

4.2 VALIDAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA..............................................................................42

4.3 VERIFICAÇÃO DA VALIDADE DA SOLUÇÃO ANALÍTICA..................................................47

4.4 COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS ....................................................54

5 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE...........................................................................59

6 CONCLUSÃO .....................................................................................................74

6.1 CONCLUSÕES ......................................................................................................................74

6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.....................................................................76


REFERÊNCIAS.........................................................................................................78

viii


ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Ilustração do escoamento quente intermitente em dois instantes de

tempo, t 1 e t 2 .........................................................................................................3

Figura 3.1 – Geometria Estudada. ............................................................................16

Figura 3.2 – Condições de contorno e iniciais do problema......................................22

Figura 3.3 – Discretização do domínio fluido para a solução analítico-numérica......27

Figura 3.4 – Discretização do domínio sólido............................................................28

Figura 3.5 – Balanço de energia na fronteira entre os domínios fluido e sólido. .......29

Figura 3.6 – Discretização do domínio fluido na solução numérica...........................34

Figura 4.1 – Comparação dos perfis de temperatura axial do escoamento no instante

τ = 200, obtidos através das soluções analítica e analítico-numérica para

diferentes malhas...............................................................................................38

Figura 4.2 – Comparação dos perfis de temperatura axial da superfície externa do

tubo no instante τ = 200, obtidos através das soluções analítica e analíticonumérica

para diferentes malhas. ......................................................................38

Figura 4.3 – Comparação dos perfis de temperatura axial do escoamento no instante

τ = 200, obtidos através das soluções analítica e analítico-numérica para

diferentes passos de tempo. ..............................................................................39

Figura 4.4 – Comparação dos perfis de temperatura axial da superfície externa do

tubo no instante τ = 200, obtidos através das soluções analítica e analíticonumérica

para diferentes passos de tempo. ......................................................40

Figura 4.5 – Distribuição de temperatura do escoamento nos instantes n-1e n para

∆ τ > ∆χ ..............................................................................................................41

Figura 4.6 – Distribuição de temperatura do escoamento nos instantes n-1 e n para

∆ τ < ∆χ ..............................................................................................................41


x

Figura 4.7 – Distribuição de temperatura axial do fluido obtida pela solução numérica

em R = 0,35 para diferentes malhas e pela solução analítico-numérica no

instante τ = 240.................................................................................................43

Figura 4.8 – Distribuição de temperatura axial da superfície externa do tubo obtida

pela solução numérica em R = 0,56 para diferentes malhas e pela solução

analítico-numérica no instante τ = 240. ............................................................43

Figura 4.9 – Perfil de temperatura axial da superfície externa do tubo obtido pela

solução numérica em R = 0,56 e pela solução analítico-numérica em χ =

240. ....................................................................................................................44

Figura 4.10 – Distribuição de temperatura axial do fluido em R = 0,35 obtida pela

solução numérica para diferentes passos de tempo e pela solução analíticonumérica

no instante τ = 240............................................................................45

Figura 4.11 – Distribuição de temperatura axial da superfície externa do tubo obtida

pela solução numérica em R = 0,56 para diferentes passos de tempo e pela

solução analítico-numérica no instante τ = 240. ...............................................45

Figura 4.12 – Distribuição de temperatura axial do fluido em R = 0,35 para um

escoamento invíscido.........................................................................................46

Figura 4.13 – Comparação das soluções analítica e analítico-numérica para

diferentes ψ .......................................................................................................49

Figura 4.14 – Comparação dos perfis de temperatura do escoamento laminar obtidos

pelas soluções analítica e analítico-numérica para diferentes valores de λ e Ε =

0,025 ..................................................................................................................51

Figura 4.15 – Comparação dos perfis de temperatura no escoamento laminar obtidos

pelas soluções analítica e analítico-numérica para diferentes valores de λ e Ε =

0,125 ..................................................................................................................52

Figura 4.16 – Comparação dos perfis de temperatura do escoamento turbulento das

soluções analítica e analítico-numérica..............................................................53

Figura 4.17 – Diagrama esquemático do aparato experimental................................54

Figura 4.18 – Ilustração do aparato experimental. ....................................................55


xi

Figura 4.19 – Comparação dos resultados experimentais com os resultados do

modelo analítico-numérico. ................................................................................57

Figura 4.20 – Comparação dos resultados experimentais com os resultados do

modelo analítico-numérico com a condição de entrada corrigida. .....................58

Figura 5.1 – Temperatura do escoamento em três posições. ...................................60

Figura 5.2 – Temperatura do escoamento em tempos distintos................................60

Figura 5.3 – Temperatura da superfície externa do tubo em três posições. .............61

Figura 5.4 – Temperatura da superfície externa do tubo em tempos distintos..........61

Figura 5.5 – Efeito do número de Reynolds na variação de temperatura da superfície

externa do tubo para Ε = 0,025.........................................................................64

Figura 5.6 – Efeito do número de Reynolds na variação de temperatura da

superfície externa do tubo para Ε = 0,125 ........................................................64

Figura 5.7 – Efeito do número de Prandtl na variação de temperatura da superfície

externa do tubo para Ε = 0,025.........................................................................66

Figura 5.8 – Efeito do número de Prandtl na variação de temperatura da superfície

externa do tubo para Ε = 0,125.........................................................................66

Figura 5.9 – Efeito da espessura adimensional da parede do tubo na variação de

temperatura da superfície externa do tubo.........................................................67

Figura 5.10 – Efeito do número de Biot externo na variação de temperatura da

superfície externa do tubo..................................................................................68

Figura 5.11 – Efeito do número de Biot externo na variação da temperatura da

superfície externa do tubo..................................................................................69

Figura 5.12 – Efeito do número de Biot externo na variação de temperatura em três

posições ao longo do tubo .................................................................................69

Figura 5.13 – Efeito da razão entre as condutividades térmicas na variação de

temperatura da superfície externa do tubo.........................................................70

Figura 5.14 – Efeito da razão entre as difusividades térmicas na variação de

temperatura da superfície externa do tubo.........................................................72


xii

Figura 5.15 – Efeito da razão entre as difusividades térmicas na variação de

temperatura da superfície externa do tubo para Bi e = 0,001..............................73


xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Coeficientes resultantes da discretização da equação da conservação

da energia no domínio sólido. ............................................................................28

Tabela 3.2 – Coeficientes resultantes da discretização da equação da conservação

da massa no domínio fluido. ..............................................................................33

Tabela 3.3 – Coeficientes resultantes da discretização das equações de

conservação da quantidade de movimento e da energia no domínio fluido.......33

Tabela 3.4 – Valores de D para cada fronteira do volume de controle no domínio

fluido...................................................................................................................33

Tabela 5.1 – Avaliação da velocidade média do escoamento baseada na variação de

temperatura externa do tubo..............................................................................62


xiv

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CFD

- Dinâmica dos Fluidos Computacional


xv

LISTA DE SÍMBOLOS

- Coeficiente leste resultante da discretização da equação da

⎡ ξ R ⋅∆R ⎤

a

E

conservação da energia no domínio sólido

⎢ ⋅ P


⎣Pe

∆χe


- Coeficiente norte resultante da discretização da equação da

⎡ ξ R ⋅∆R ⎤

a

N

conservação da energia no domínio sólido

⎢ ⋅ P


⎣Pe

∆χ

n ⎦

- Coeficiente central resultante da discretização da equação da ⎡a

W

+ a

E

+ a

S

+ ⎤

a

p

conservação da energia no domínio sólido

⎢ 0 ⎥

⎣a

N

+ a

P

−SP


0

- Coeficiente central no tempo anterior resultante da discretização ⎡R

⋅∆χ

P

⋅∆R

P ⎤

a

P da equação da conservação da energia no domínio sólido



⎣ ∆τ ⎦

- Coeficiente sul resultante da discretização da equação da

⎡ ξ R ⋅∆R ⎤

a

S

conservação da energia no domínio sólido

⎢ ⋅ P


⎣Pe

∆χs


- Coeficiente oeste resultante da discretização da equação da

⎡ ξ R ⋅∆R ⎤

a

W

conservação da energia no domínio sólido

⎢ ⋅ P


⎣Pe

∆χ

w ⎦

- Coeficiente leste resultante da discretização das equações de

A

E

conservação no domínio fluido

[ − ]

- Coeficiente norte resultante da discretização das equações de

A

N

conservação no domínio fluido

[ − ]

- Coeficiente central resultante da discretização das equações de

A

P

conservação no domínio fluido

[ − ]

0

- Coeficiente central no tempo anterior resultante da discretização

A

P das equações de conservação no domínio fluido

[ − ]

- Coeficiente sul resultante da discretização das equações de

A

S

conservação no domínio fluido

[ − ]

- Coeficiente oeste resultante da discretização das equações de

A

W

conservação no domínio fluido

[ − ]

Bi - Número de Biot

⎡h ⋅Di


⎢ ⎥

⎣ 2⋅

k ⎦

B 1 - Coeficiente da Equação 3.33

⎡ Nu ⎤


4

⎣ Pe ⎥ ⎦

B 2 - Coeficiente da Equação 3.34

2

⎡ Nu ⎤

⎢ N

4 ⎥

⎣ Pe 1−

N

2


2

⎡ Bie


B 3 - Coeficiente da Equação 3.34 ⎢ ξ N

4 ⎥

⎣ Pe 1−

N

2


B 4 - Coeficiente da Equação 3.37 [ B

2

+ B 3

]

C

- Coeficiente resultante da discretização das equações de

conservação da quantidade de movimento e energia no domínio

fluido

⎛ J ⎞

c

p - Calor específico à pressão constante ⎜ ⎟

⎝ kg ⋅K ⎠

[ − ]


xvi

D - Diâmetro ( m )

Err - Erro absoluto

⎛ s ⎞

⎜ ⎟

⎝ kg ⎠


Err - Erro relativo [ ]

m& - Fluxo mássico

⎛ kg ⎞

⎜ ⎟

⎝ s ⎠

- Coeficiente resultante da discretização das equações de

+ + +

∆ F conservação da quantidade de movimento e energia no domínio u

w

− u

e

+ vs


fluido

h - Coeficiente de película

⎛ W ⎞


2


⎝ m ⋅ K ⎠


0

+

[ v ]

I - Função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero [ ]

⎛ W ⎞

k - Condutividade térmica ⎜ ⎟

⎝ m ⋅ K ⎠

L - Comprimento da tubulação ( m )

⎡h


i

⋅ Di

Nu - Número de Nusselt ⎢ ⎥

⎣ k

f ⎦

p - Pressão ( Pa )

⎡ p ⎤

P - Pressão adimensional ⎢ 2 ⎥

⎣ρ

U f ⎦

Pe - Número de Peclet

⎡U

⋅D i


⎢ ⎥

⎣ αf


Pr - Número de Prandtl

⎡ µ ⎤

f

⎢ ⎥

⎣ρf

αf


*

P - Campo de pressão estimado [ − ]

P′ - Correção da pressão estimada [ − ]

′ - Fluxo de calor ( W

2 )

q ′

m

r - Coordenada radial ( m )

R - Coordenada radial adimensional

⎡ r ⎤

⎢⎣ D i

⎥⎦

Re - Número de Reynolds

⎡ ρ ⎤

f

⋅ U ⋅ D

⎢Re

=

i


⎣ µ

f ⎦

S

- Termo fonte resultante da discretização da equação da

conservação da energia no domínio sólido

[ − ]

S u - Termo resultante da linearização do termo fonte [ − ]

S p - Termo resultante da linearização do termo fonte [ − ]

n


xvii

S′

- Termo fonte resultante da discretização das equações de

conservação no domínio fluido

t - Tempo ( s )

0

T - Temperatura ( C)

0

T in - Temperatura na entrada do tubo para o tempo maior que zero ( C)

0

T 0 - Temperatura inicial ( C)

u - Velocidade na direção axial ( m )

s

+

u - Velocidade na direção axial adimensional [ u ]

*

u - Campo de velocidade na direção axial estimado [ ]

U - Velocidade média na direção axial ( m )

s

+

v - Velocidade na direção radial adimensional [ v ]

U

*

v - Campo de velocidade na direção radial estimado [ − ]

∆ V - Volume da célula discretizada

3

( m )

x - Coordenada axial ( m )

[ − ]

U


ÍNDICES

e - Superfície externa do tubo

i - Superfície interna do tubo

f - Domínio fluido

n - Instante de tempo presente

n - 1 - Instante de tempo passado

s - Domínio sólido

LETRAS GREGAS

α - Difusividade térmica ( m )

2

β

χ

∆χ

- Razão entre as capacidades térmicas do fluido e do sólido

- Coordenada axial adimensional

- Comprimento adimensional do volume de controle discretizado

s

⎡ρ


f

⋅cpf

⎢ ⎥

⎢⎣

ρs

⋅cps

⎥⎦

⎡ x ⎤

⎢⎣ D i

⎥⎦

⎡∆x


⎢⎣ D i

⎥⎦


xviii

ε - Espessura da parede ( m)

Ε

- Espessura adimensional da parede

φ - Propriedade conservativa [ − ]

Γ

- Comprimento adimensional do tubo

γ - Parâmetro das Equações 3.36 e 3.37 [ − ]

η

λ

- Razão entre as condutividades térmicas do sólido e do fluido

- Relação entre o tempo de propagação de calor no sólido e o

tempo de variação de temperatura em um ponto do fluido

⎡ ε

⎢⎣

⎡L

⎢⎣

D i

D i

⎡k s

⎢⎣ k

⎡Bi i


⎣ β

µ - Viscosidade dinâmica ( Pa ⋅s)

N

- Razão entre o diâmetro interno e o diâmetro externo do tubo

f


⎥⎦


⎥⎦


⎥⎦

2

⋅Ε

⎡D i

⎢⎣ D

⎡ T − T ⎤

0

θ - Temperatura adimensional ⎢ ⎥

⎣Tin

− T0


θ - Temperatura adimensional da interface sólido-fluido [ − ]

b

ρ - Massa específica ⎜

⎛kg



3

⎝ m ⎠

τ - Tempo adimensional

⎡t

⋅ U ⎤

⎢ ⎥

⎣ D i ⎦

+

⎡∆t

⋅u


∆ τ - Passo de tempo adimensional ⎢ ⎥

⎣ ∆x


ξ

⎡α

s ⎤

- Razão entre as difusividades térmicas do sólido e do fluido

⎢⎣ α

f

⎥⎦

ψ - Relação entre o tempo de propagação do calor no sólido e o ⎡Pe ⋅Γ ⎤

tempo de deslocamento da frente de calor no fluido

⎢ ⎥

⎣ ξ ⎦

e

⎥ ⎦



⎥⎦


Capítulo 1 Introdução 1

1 INTRODUÇÃO

A vazão é um dos indicadores de processo mais utilizado. No dia-a-dia, verificase

o uso da medição de vazão em diversas aplicações e diferentes ramos da

engenharia. Alguns exemplos são:

• Registro do consumo total de água dos moradores;

• Controle do fluxo de fluido em um oleoduto/gasoduto de petróleo;

• Contabilização do total de bebida engarrafada em uma linha de manufatura de

refrigerantes, cerveja, remédios, sucos, etc.

Devido a essa variedade de aplicações existe no mercado um grande número

de medidores disponíveis, sendo que a escolha do medidor é influenciada pela:

precisão exigida, faixa de operação, custo, complexidade, facilidade de leitura e

tempo de vida em serviço.

Os medidores, de uma maneira geral, podem ser classificados em intrusivos e

não-intrusivos. Os intrusivos são medidores fixos, instalados no interior da tubulação

em que se pretende realizar a medição. A maioria destes medidores, como o Venturi

e a placa de orifícios, se baseiam no princípio da aceleração de uma corrente fluida

através de alguma forma de bocal. A vazão é relacionada com o diferencial de

pressão entre as seções transversais de maior e menor área do medidor, aplicandose

o teorema de Bernoulli. Como fica em contato com o escoamento, o equipamento

se torna um obstáculo à corrente fluida, o que gera uma perda de carga. Além disso,

pode ocorrer a deposição de materiais e/ou contaminação do escoamento, o que

impede a utilização desses medidores em alguns processos.

Por outro lado, nos medidores não-intrusivos não existe o contato entre o fluido

em escoamento e o equipamento de medição, o que proporciona uma série de

vantagens em relação aos medidores intrusivos. Entre essas vantagens, pode-se

destacar:

• Ausência de perdas: Não existindo contato com o fluido a ser medido, não

ocorrem perdas de pressão ou distúrbios no escoamento;

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 1 Introdução 2

• Portabilidade: O equipamento e os sensores podem ser instalados e

removidos dos locais de medição, sem alteração do processo;

• Facilidade de instalação: Não há necessidade de interromper o fluxo ou

perfurar o tubo para operar o medidor;

• Maior vida útil: Por não existir o atrito entre o equipamento e o fluido, o

desgaste será menor, aumentando a vida útil em serviço.

Logo, devido a essas características, tem-se aumentado o interesse industrial

pelos medidores não-intrusivos, com destaque para os medidores por indução

magnética e os por efeito Doppler.

O medidor eletromagnético utiliza o princípio da indução magnética. Um campo

magnético é criado transversalmente ao tubo. Quando um fluido condutor passa

através do campo, uma voltagem é gerada a ângulos retos em relação aos vetores

de campo e velocidade. Eletrodos colocados diametralmente opostos são usados

para detectar o sinal de voltagem resultante. O sinal de voltagem é proporcional à

velocidade média axial quando o perfil é simétrico em relação ao seu eixo. Os

resultados obtidos possuem uma boa precisão. No entanto, conforme Delmée

(1995), os medidores magnéticos só podem ser usados com líquidos que tenham

condutividade elétrica acima de 100 microsiemens por metro (1 siemen = 1 amperé

por volt) e a velocidade mínima de escoamento deve ser acima de 0,3 m/s. Além

disso, os sensores utilizados são de custo elevado.

Já os medidores por efeito Doppler dependem da reflexão de ondas em

partículas espalhadas no fluido e por isso, necessitam gerar ondas com uma

freqüência bem definida. Quando as partículas se movem na velocidade do

escoamento, a mudança de freqüência é proporcional à vazão. Para gerar as ondas,

os medidores por efeito Doppler normalmente utilizam transdutores de ultra-som ou

um feixe de laser. Contudo, ambas as técnicas apresentam restrições, pois os

medidores por ultra-som não possuem uma precisão satisfatória para escoamentos

com baixo número de Reynolds, enquanto que os medidores que utilizam o feixe de

laser necessitam de acesso ótico ao local da medida e são muito caros, sendo

inviáveis para aplicações industriais.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 1 Introdução 3

Com isso, devido às limitações dos medidores por indução e por efeito Doppler,

tem-se a necessidade de se desenvolver outras técnicas de medição não-intrusiva.

Uma alternativa é a termometria. Esta técnica baseia-se na variação brusca da

temperatura do escoamento de fluidos em tubulações. Considere o escoamento de

um fluido em uma tubulação que sofre uma elevação instantânea de temperatura. A

medição da variação de temperatura entre dois pontos, separados por uma distância

conhecida, possibilita o cálculo da velocidade média do escoamento.

A Figura 1.1a ilustra a temperatura do escoamento em dois pontos diferentes

em tempos distintos, t 1 e t 2 . Esses pontos de medição estão separados por uma

distância conhecida, L. Observe, na Figura 1.1b, que a temperatura em uma

determinada posição muda no momento em que a corrente quente alcança aquele

ponto. Se a diferença de tempo,

∆ t , para mudar a temperatura nos dois pontos de

medição é conhecida, a velocidade média do escoamento pode ser estimada

através da razão entre a distância entre os dois pontos de medição e a diferença de

tempo para ocorrer a variação de temperatura ( L ).

∆ t

(a)

(b)

Figura 1.1 – Ilustração do escoamento quente intermitente em dois instantes de tempo, t 1 e t 2 .

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 1 Introdução 4

Para que a técnica seja viável, duas situações devem ser satisfeitas:

i. A frente de temperatura quente deve estar bem definida;

ii.

A temperatura do tubo deve responder de forma tão rápida quanto a

temperatura do escoamento, uma vez que a medição de temperatura é

realizada na superfície externa da tubulação, e não no escoamento.

Em outras palavras, a termometria será viável se a difusão térmica axial do

escoamento for desprezível e a convecção na superfície interna do tubo, bem como

a difusão térmica radial na parede forem altas. Desta maneira, sem uma difusão

térmica axial no escoamento, a frente de calor desloca-se na mesma velocidade do

escoamento, e uma elevada convecção na superfície interna do tubo e uma alta

difusão radial no tubo fazem com que a superfície externa do tubo indique uma

rápida variação de temperatura quando o fluido quente passar por aquela seção

transversal. Com isso, a medição da variação de temperatura entre dois pontos na

superfície externa do tubo, separados por uma distância conhecida, possibilita o

cálculo da velocidade média do escoamento e, por conseqüência, da vazão.

Para evidenciar a importância do desenvolvimento da técnica de medição de

vazão por termometria, pode-se citar o crescente interesse na utilização da

termografia infravermelha no estudo da transferência de calor em escoamentos

pulsantes em tubos e dutos. O interesse nesse tipo de problema tem aumentado nos

últimos anos devido a suas possíveis aplicações na área biomecânica e industrial,

principalmente com o objetivo de melhorar a eficiência dos trocadores de calor

(Lähdeniemi et al., 2000).

O problema na análise dos escoamentos transitórios com transferência de calor

em canais e tubos está relacionado com a solução do sistema de equações

governantes. As equações governantes deste processo são equações não -

lineares, o que restringe a utilização do método analítico de solução a uma análise

simplificada do problema. Sendo assim, o estudo deste problema deve ser realizado

por uma análise experimental ou pela solução numérica das equações governantes.

Dentre as possíveis abordagens existentes, a Dinâmica dos Fluidos

Computacional (CFD) tem sido bastante utilizada nas últimas décadas. Atualmente a

CFD é utilizada em uma grande variedade de aplicações e é tida como uma

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 1 Introdução 5

excelente ferramenta de projeto, chegando a ser considerada como uma análise

indispensável (Maliska, 1995).

A CFD é uma técnica de solução numérica para problemas que envolvem

escoamento de fluidos e/ou transferência de calor, tendo conquistado muitos

adeptos principalmente devido ao grande desenvolvimento computacional dos

últimos tempos e o seu baixo custo. Este desenvolvimento tem permitido a obtenção

de resultados cada vez mais rápidos e confiáveis. Contudo, deve-se tomar cuidado

na utilização da CFD, pois as predições numéricas podem apresentar resultados

imprecisos em alguns casos, principalmente na modelagem de escoamentos

turbulentos.

Outra restrição relacionada à técnica CFD é o elevado esforço computacional

que a solução pode apresentar, sendo o problema em análise um desses casos. O

escoamento transiente em tubos com transferência de calor conjugada apresenta

como característica a existência de descontinuidade tanto temporal como espacial, o

que pode levar a uma solução numérica de alto custo computacional. Sendo assim,

para solucionar esse possível problema, neste trabalho será desenvolvida uma

solução analítico-numérica, que irá permitir a obtenção dos resultados com baixa

demanda computacional.

1.1 OBJETIVOS

O objetivo do presente trabalho é analisar a viabilidade de utilização da

termometria na medição de vazão em tubulações. Para isso serão analisadas três

soluções para o problema: uma solução analítica, uma solução analítico-numérica e

uma solução numérica. As soluções analítico-numérica e numérica empregam o

método de volumes finitos (Patankar, 1980) para discretização das equações de

conservação e o código computacional TEACH (Gosman e Ideriah, 1976) para

solução das equações discretizadas. Para verificar a possibilidade de utilização da

termometria, será realizado um estudo paramétrico para identificar os parâmetros de

maior relevância para o problema, avaliando também o efeito de cada um desses

parâmetros nos resultados. O objetivo é determinar a faixa de valores dessas

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 1 Introdução 6

variáveis que possa viabilizar a utilização da técnica de termometria na medição de

vazão. Além disso, é realizada uma comparação do resultado analítico-numérico

com resultados experimentais de uma bancada de medição de vazão por

termometria, instalada no Laboratório de Ciências Térmicas (LACIT) da UTFPR.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 7

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A transferência de calor transitória em escoamentos em tubos é um fenômeno

físico que está presente em muitos processos de interesse na engenharia. Um

melhor conhecimento dessa classe de problemas é de muita utilidade no

dimensionamento de diversos equipamentos industriais, tanto que o interesse no

estudo desse fenômeno tem crescido bastante. Exemplos disto são as tentativas de

aumentar a efetividade dos trocadores de calor (Lähdeniemi et al., 2000).

O estudo da transferência de calor em escoamentos em tubos ou canais com

mudanças nas condições de contorno ou nas condições de entrada do fluido tem

sido investigada por um grande número de pesquisadores, tais como Sucec (1987,

2002), Bilir (1995, 2002), Bilir e Ateş (2003), Yapici e Albayrak (2004) e Yapici et al.

(2004). Alguns desses pesquisadores consideraram o escoamentos em tubos com

paredes extremamente finas, nos quais o efeito da condução na parede pode ser

ignorado e as condições na superfície externa do tubo podem ser assumidas como

sendo as condições na superfície interna. No entanto, para o caso de problemas

conjugados, ou seja, problemas em que a troca de calor entre o fluido e a parede

sólida não é conhecida a priori, a equação da conservação da energia no domínio do

sólido e do fluido devem ser resolvidas simultaneamente.

Em alguns desses problemas a condução de calor axial na parede e no fluido

são desprezadas, enquanto que em outros trabalhos, tanto a condução de calor

axial na parede como no fluido são consideradas. Além disso, na maioria das

análises a dissipação viscosa é desconsiderada.

Diferentes trabalhos desenvolvidos, como os de Bilir (1995, 2002) e de Bilir e

Ateş (2003), se concentraram na determinação dos parâmetros de influência e seus

efeitos. Nesses trabalhos, foi realizado um estudo paramétrico para analisar o

problema da transferência de calor em escoamentos transitórios, identificando cinco

parâmetros fundamentais:

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 8

- Número de Peclet (Pe)

UD

Pe = i

(2.1)

α

f

onde U é a velocidade média na direção axial, D é o diâmetro, α é a difusividade

térmica e os subscritos “i” e “f” se referem, respectivamente, a superfície interna do

tubo e ao domínio fluido.

- Número de Biot externo (Bi e )

Bi

h

D

e i

e

= (2.2)

2⋅k

s

onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, k é a condutividade

térmica, e os subscritos “e” e “s” se referem, respectivamente, à superfície externa

do tubo e ao domínio sólido.

- Razão entre as Condutividades Térmicas do Sólido e do Fluido ( η)

k

s

η =

(2.3)

k

f

- Razão entre as Difusividades Térmicas do Sólido e do Fluido ( ξ )

α

s

ξ =

(2.4)

α

f

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 9

- Espessura Adimensional da Parede ( Ε )

ε

Ε =

(2.5)

D i

onde ε é a espessura da parede e D i é o diâmetro interno do tubo.

Com relação aos trabalhos que utilizam uma análise analítica na investigação de

problemas que envolvem a transferência de calor conjugada, diferentes métodos de

solução foram propostos. No estudo de Kiwan e Al-Nimr (2002) é analisado o

escoamento laminar termicamente desenvolvido em canais e tubos com paredes

finas e condução axial de calor no fluido desprezível. Nesse estudo é encontrada

uma solução analítica utilizando transformada de Laplace para três situações:

regime permanente, regime transitório com condução axial na parede desprezível e

para os primeiros instantes de tempo. Através das equações encontradas tem-se a

distribuição de temperatura no fluido e no sólido, e com isso é possível determinar

quantidades de interesse para a engenharia, como por exemplo, o número de

Nusselt.

No trabalho de Piva (1995) são investigados os efeitos da condução axial de

calor na parede durante o aquecimento por convecção forçada de escoamentos

laminares hidrodinamicamente desenvolvidos. A geometria em estudo consiste de

um tubo aquecido por um determinado comprimento, que possui uma região com a

parede termicamente isolada à montante da região aquecida. Além disso, o tubo

possui uma espessura pequena para que os efeitos da variação de temperatura

radial na parede possam ser desprezados. Outras hipóteses adotadas neste

trabalho são a condução de calor axial e dissipação viscosa no fluido desprezíveis.

Piva (1995) obtém uma solução analítica em termos de funções hipergeométricas

confluentes. Através dos resultados obtidos, Piva (1995) demonstra que na região

pré-aquecida o fluxo de calor na parede varia exponencialmente e determina uma

maneira de calcular o número de Nusselt através de um único parâmetro, o qual

depende do número de Peclet e da condutividade térmica da parede.

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Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 10

Outro estudo que teve uma abordagem analítica foi realizado por Fourcher e

Mansouri (1997). Neste estudo, Fourcher e Mansouri analisaram a transferência de

calor transitória em escoamentos laminares completamente desenvolvidos em

canais de placas paralelas sujeitos a uma variação senoidal de temperatura na

entrada. Os efeitos da dissipação viscosa e da condução axial de calor no fluido são

desprezados. Na solução do problema é considerada uma condição de contorno que

leva em conta os efeitos da convecção externa ao canal e da capacidade térmica da

parede do canal. O método de Galerkin de segunda ordem é utilizado para se obter

a solução do problema. Fourcher e Mansouri investigaram os efeitos da condução de

calor radial na parede e da relação entre as capacidades térmicas do fluido e do

sólido na distribuição de temperatura da parede, e compararam os resultados

obtidos com uma solução por diferenças finitas.

Para o caso de fluidos não-Newtonianos, tem-se os trabalhos de Khellaf e

Lauriat (1997) e de Olek (1998). Nesses estudos são obtidas soluções exatas da

transferência de calor conjugada em escoamentos de fluidos não-Newtonianos

utilizando-se expansões especiais de autofunções. Khellaf e Lauriat estudaram a

transferência de calor por convecção forçada na região de entrada de canais e tubos

com temperaturas constantes na superfície externa e escoamentos laminares

hidrodinâmicamente desenvolvidos de fluidos não-Newtonianos. Eles desprezaram a

condução de calor axial no fluido e, através da solução encontrada, determinaram a

distribuição de temperatura do escoamento e o número de Nusselt local para a

região de entrada. Olek resolveu o mesmo problema considerando a condução axial

de calor no fluido e paredes mantidas a temperatura e fluxo constante.

Em relação à análise experimental, tem-se o trabalho de Barozzi e Pagliarini

(1984). Neste trabalho, Barozzi e Pagliarini estudaram os efeitos da condução de

calor axial na parede em escoamentos laminares permanentes em tubos

uniformemente aquecidos. Duas condições para o perfil de velocidade na entrada do

tubo aquecido foram consideradas: escoamento totalmente desenvolvido e

parcialmente desenvolvido. Os resultados experimentais obtidos neste trabalho

mostram que os efeitos do perfil de velocidade totalmente ou parcialmente

desenvolvidos são praticamente os mesmos, e que a condução de calor axial na

parede do tubo aumenta o fluxo de calor entre o sólido e o fluido.

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Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 11

Considerando a análise numérica, Barletta e Schio (2000) realizaram um

estudo do escoamento laminar permanente em tubos. Barletta e Schio consideraram

o escoamento como tendo um perfil de velocidade completamente desenvolvido e

um perfil de temperatura uniforme na entrada do tubo, além de desprezarem os

efeitos da dissipação viscosa. Esse trabalho teve por objetivo avaliar o efeito da

condução axial no fluido em escoamentos em que há uma variação senoidal do fluxo

de calor na parede do tubo.

Outro trabalho que analisa o escoamento em regime permanente, porém de um

fluido não-Newtoniano, foi realizado por Luna et al. (2002). Nesse estudo, Luna et al.

analisaram o processo de transferência de calor conjugado na região de entrada

térmica de um escoamento laminar desenvolvido de um fluido não-Newtoniano em

um tubo circular submetido a um fluxo de calor uniforme sobre a sua superfície

externa. A equação da conservação da energia no fluido é resolvida analiticamente

usando a aproximação da camada limite integral e desprezando a geração de

energia por dissipação viscosa e a condução axial de calor no fluido. Esta solução é

acoplada à equação de Laplace para o sólido, onde os efeitos da condução axial de

calor são considerados. As equações governantes são reduzidas a uma equação

integro-diferencial, a qual é resolvida utilizando métodos analíticos e numéricos.

O primeiro pesquisador a realizar estudos numéricos da transferência de calor

conjugada no regime transitório foi Sucec (Sucec, 1981 apud Bilir, 2002, p. 1781), o

qual analisou a transferência de calor em escoamentos bifásicos líquido-gás padrão

golfadas, com variação na temperatura de entrada do líquido ou da temperatura da

parede do tubo. Sucec (1987) extendeu sua análise para tubos expostos a uma

mudança súbita na temperatura ambiente. Outro problema analisado por Sucec

(2002) foi o da transferência de calor conjugada em escoamentos em tubos com

geração de calor na parede. No entanto, nestes estudos Sucec considerou o

escoamento com números de Peclet altos, desprezando assim a condução axial e a

dissipação viscosa no escoamento, além de considerar a parede do tubo como

tendo uma resistência térmica transversal baixa, desprezando com isso a condução

radial na parede do tubo.

Um estudo sobre a transferência de calor de escoamentos laminares em tubos

considerando uma condução de calor bidimensional na parede foi realizado por

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 12

Campo e Schuler (1988). A geometria analisada neste estudo é um tubo com

paredes espessas que tem um determinado comprimento aquecido por um fluxo de

calor constante, sendo o restante do tubo isolado. Na entrada da região a ser

aquecida, o perfil de velocidade é considerado totalmente desenvolvido e o de

temperatura, uniforme. Além disso, é assumido um escoamento com número de

Peclet elevado, desprezando assim a condução axial no escoamento. O problema é

resolvido numericamente usando a técnica de diferenças finitas. Os resultados

obtidos por Campo e Schuler mostram a influência de quatro parâmetros no

problema: o número de Peclet, a razão entre as condutividades térmicas do fluido e

do sólido, a espessura da parede e o comprimento da região aquecida.

Além da determinação da transferência de calor, estudos numéricos foram

realizados com o objetivo de determinar as tensões térmicas originadas nos

equipamentos e sistemas em que há uma variação de temperatura. Yapici e

Albayrak (2004) realizaram um estudo da transferência de calor e da tensão térmica

em um tubo externamente aquecido com um fluxo de calor não uniforme. Neste

trabalho, Yapici e Albayrak utilizaram o código computacional FLUENT 4.5 e

obtiveram o campo de temperatura no fluido e na parede do tubo e a distribuição de

tensão na parede, sendo esses resultados utilizados no projeto e na operação de

equipamentos com trocas térmicas. Em outro estudo, Yapici et al. (2004)

investigaram o comportamento do escoamento de fluidos com propriedades térmicas

dependentes da temperatura. Neste trabalho, Yapici et al. analisaram o escoamento

de materiais líquidos (lítio e sódio) em tubos de compósito de carbono e silício,

SiC/SiC, externamente aquecidos a altas temperaturas, utilizando o código

computacional FLUENT 5.3. Através da análise numérica, obtiveram o campo de

temperatura e, com isso, foi possível avaliar a tensão termicamente induzida. Os

resultados desse trabalho são de grande importância para área de energia nuclear,

pois tanto os metais líquidos, que possuem altos pontos de ebulição, como o

compósito SiC/SiC, que é resistente a altas temperaturas, apresentam

potencialidade para a obtenção de um sistema de fusão nuclear com maior eficiência

e segurança.

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Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 13

2.1 TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONJUGADA EM REGIME PERMANENTE

Bilir (1995) realizou uma análise numérica que considera tanto a condução axial

na parede como no fluido. Bilir considerou ainda o escoamento laminar

termicamente desenvolvido com transferência de calor tridimensional na parede. O

problema foi resolvido numericamente utilizando o método das diferenças finitas e,

através de uma adimensionalização das equações governantes, Bilir demonstrou

que os resultados do problema dependem de três parâmetros: número de Peclet

(Pe), razão entre as condutividades térmicas do sólido e do fluido ( η) e espessura

adimensional da parede ( Ε ). Realizando diversas simulações, Bilir observou que

quando Pe > 20, os efeitos da condução axial no fluido e da condução na parede

podem ser desprezados. Outra constatação importante é que para η > 100, as

mudanças nesse parâmetro quase não afetam os resultados. Além disso, Bilir

verificou que para Ε < 0,02, ou seja, quando a espessura da parede é pequena, os

efeitos da condução radial na parede podem ser desprezados. Bilir também conclui

que, para a condição de Pe < 20, a condução axial no fluido tem influência

dominante na transferência de calor, tendo os resultados uma maior dependência da

transferência de calor no escoamento do que na parede.

2.2 TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONJUGADA EM REGIME TRANSITÓRIO

Bilir (2002) realizou um estudo numérico sobre a transferência de calor

conjugada transitória para escoamento laminar, considerando condução de calor

bidimensional na parede e condução de calor axial no fluido, ou seja, escoamento a

baixo número de Peclet. Bilir investigou os efeitos do número de Peclet (Pe), da

espessura adimensional da parede ( Ε ), da razão entre as condutividades térmicas

do sólido e do fluido ( η) e da razão entre as difusividades térmicas do sólido e do

fluido ( ξ ). Através dos resultados obtidos, Bilir concluiu que, apesar da transferência

de calor conjugada ser afetada por esses parâmetros, o tempo para o sistema atingir

o regime permanente é dependente apenas do efeito cumulativo dos quatro

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 14

parâmetros, sendo que a variação de apenas um parâmetro não influi

significativamente nesse tempo.

Em outro trabalho Bilir e Ateş (2003) realizaram um estudo numérico sobre a

transferência de calor conjugada transitória para escoamento laminar na região de

entrada térmica de tubos. O problema, assim como o anterior, é analisado

considerando uma condução de calor bidimensional na parede e uma condução de

calor axial no fluido. Inicialmente todo sistema está a uma temperatura T 0 e

subitamente a temperatura ambiente é elevada para um novo valor T 1 ,

permanecendo constante até o sistema atingir o regime permanente. Os autores

utilizam o método de diferenças finitas para resolver o problema e realizam

simulações para determinar a influência de cinco parâmetros: Pe, Bi e , η, ξ e Ε . As

principais conclusões obtidas foram:

1 – Os efeitos da condução na parede e da condução axial no fluido na

transferência de calor aumentam com o aumento de Ε e com a diminuição dos

demais parâmetros;

2 – O problema é insensível a valores de Ε < 0,02, η > 100, ξ > 100, Pe > 20 e

Bi e > 100;

3 – A sensibilidade da transferência de calor aos cinco parâmetros é mais

significativa nos primeiros instantes do regime transiente e diminuem com a

aproximação do regime permanente;

2.3 O PRESENTE TRABALHO

O presente trabalho tem por finalidade apresentar e discutir a viabilidade de

utilização da técnica de termometria na medição de vazão em tubos. Este objetivo é

alcançado através da modelagem da transferência de calor no escoamento e no

tubo. Os parâmetros do problema são identificados e uma análise de sensibilidade

em relação a estes é realizada.

Para a solução do modelo matemático, propõem-se três soluções: analítica,

analítico-numérica e numérica. Entre essas soluções, destaca-se a solução analítico-

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 15

numérica, pois está é uma solução que permiti avaliar os efeitos da condução radial

e axial na parede com um custo computacional baixo. Esses efeitos têm uma grande

influência no estudo da viabilidade da medição de vazão por termometria, contudo

eles não são considerados na solução analítica e, apesar da solução numérica

contemplar esses efeitos, o custo computacional requerido por esta solução é muito

elevado.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 16

3 MODELAGEM MATEMÁTICA

3.1 EQUAÇÕES GOVERNANTES

O problema em análise consiste no estudo do escoamento de um fluido no

interior de um tubo de diâmetro interno D i , comprimento L e espessura ε , conforme

mostra a Figura 3.1. Inicialmente, o fluido está em regime permanente, desenvolvido

hidrodinamicamente e termicamente, a uma baixa temperatura e subitamente é

submetido a um perfil de velocidade e de temperatura uniforme na entrada do tubo.

Figura 3.1 – Geometria Estudada.

Esse problema é governado pelas equações de conservação da massa, da

quantidade de movimento e da energia. Como a geometria em estudo é um tubo,

onde o escoamento é simétrico em relação ao seu próprio eixo, é conveniente

trabalhar em coordenadas cilíndricas. O escoamento é considerado bidimensional,

incompressível, com propriedades constantes, sem geração de energia. Além disso,

são desprezadas as forças de corpo. Sendo assim, as equações governantes no

domínio do escoamento resultam em:

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 17

• Conservação da Massa

( rv)

∂u

1 ∂

+

∂x

r ∂r

= 0

(3.1)

• Conservação da Quantidade de Movimento

- Direção Axial:

⎛ ∂u

∂u

∂u

⎞ ∂p

⎡1

∂ ⎛ ∂u


⎜ + u + v ⎟ = − + µ ⎢ ⎜r

⎟ +

⎝ ∂t

∂x

∂r

⎠ ∂x

⎣r

∂r

⎝ ∂r


2

∂ u ⎤

∂x



ρf

2

(3.2)

- Direção Radial:

⎛ ∂v

∂v

∂v

⎞ ∂p

⎡ ∂ ⎛1


⎜ + u + v ⎟ = − + µ ⎢ ⎜

⎝ ∂t

∂x

∂r

⎠ ∂r

⎣∂r

⎝ r ∂r

2

⎞ ∂ v ⎤

( rv) ⎥ ⎦

ρf

2

⎟ +

⎠ ∂x

(3.3)

• Conservação da Energia

2

⎛ ∂T

∂T

∂T

⎞ ⎡1

∂ ⎛ ∂T

⎞ ∂ T⎤

( ) ⎜ + u + v ⎟ = k ⎜r

⎟ + ⎥ ⎦

ρ

2

c ⎢

(3.4)

p f

f

⎝ ∂t

∂x

∂r

⎠ ⎣r

∂r

⎝ ∂r

⎠ ∂x

Para o domínio sólido, a equação da conservação da energia assume a forma:

2

∂T

⎡1

∂ ⎛ ∂T

⎞ ∂ T⎤

( ) = k ⎜r

⎟ + ⎥ ⎦

ρ

2

c ⎢

(3.5)

p s

s

∂t

⎣r

∂r

⎝ ∂r

⎠ ∂x

Nas equações anteriores, x é a coordenada axial, r é a coordenada radial, t é o

tempo, u e v são, respectivamente, as componentes da velocidade na direção axial e

radial. p é a pressão, T, a temperatura, ρ, a massa específica, µ, a viscosidade

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 18

dinâmica e c p , o calor específico a pressão constante. Os índices f e s representam,

respectivamente, o fluido e o sólido.

O escoamento em questão se encontra em regime permanente, desenvolvido

hidrodinamicamente e termicamente, com um perfil de velocidade na entrada do

tubo constante, U, e temperatura, T 0 . No instante t = 0, uma temperatura elevada,

T in , é imposta na entrada do tubo. Além disso, a temperatura ambiente é igual a T 0 e

se mantém constante.

Sendo assim, as condições iniciais no instante t = 0 são:

T = T = T

(3.6)

f

s

0

u = U ; v = 0

(3.7)

As condições de contorno para qualquer instante t > 0 são:

T = T

f x=

0

in

(3.8)

∂T

∂x

x=

0

∂Ts

=

∂x

s

=

x=

L

0

(3.9)

∂T

∂x

f

=

x=

L

0

(3.10)

u x 0

=

=

U

(3.11)

v x 0

=

=

0

(3.12)

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 19

∂u

∂r

r=

0

= v

r=

0

= 0

(3.13)

u Di = v Di

= 0

r= r=

(3.14)

2

2

∂T

∂r

f

=

r=

0

0

(3.15)

k

f

∂Tf

∂r

∂T

= k

s

s

Di

r= ∂r

2

Di

r=

2

(3.16)

− k

s

∂Ts

∂r

Di

r=


2

= h

e

( T − T )

e

0

(3.17)

onde os índices i e e indicam, respectivamente, as superfícies interna e externa do

tubo.

3.2 EQUAÇÕES GOVERNANTES DISCRETIZADAS

Para facilitar a análise do problema, a seguinte adimensionalização foi

introduzida:

χ =

x

D i

R =

r

D i

+

u =

u

U

+

v =

v

U

tU

τ =

D i

θ =

T − T0

T T

in


0

Ρ

p

=

ρ f

U

2

forma:

Com isso, as equações governantes são reescritas e assumem a seguinte

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 20

- Domínio do Fluido

+

∂u

∂χ

+

1

R

+

( Rv )

= 0


∂R

(3.18)

+

∂u

+ u

∂τ

+

+

∂u

+ v

∂χ

+

+

∂u

∂R

∂P

= − +

∂χ

1

Re

⎡ 1


⎣ R

+

⎛ ∂u

⎜ R

R ⎝ ∂R



2 +

⎞ ∂ u

⎟ +

2

⎠ ∂χ




(3.19)

+

∂v

+ u

∂τ

+

+

∂v

+ v

∂χ

+

+

∂v

∂R

∂Ρ

= − +

∂R

1

Re






⎛ 1


R ⎝ R


∂R

2 +

+ ⎞ ∂ v ⎤

( Rv ) ⎟ + ⎥ ⎦


2

∂χ

(3.20)

2

⎛ ∂ θ



f

∂θ


⎛ ∂ ∂

+ f

θ

+ f ⎞ 1 1 ∂ θ

f ⎞ θ

f

⎜ + u + v

⎟ = ⎢

⎜ R

⎟ +

2


(3.21)

⎝ ∂τ

∂χ

∂R

⎠ Pe ⎢⎣

R ∂R

⎝ ∂R

⎠ ∂χ

⎥⎦

- Domínio do Sólido

∂θ

s

=

∂τ

ξ ⎡ 1


Pe ⎣ R

⎛ ∂θ

s

⎜ R

R ⎝ ∂R




⎟ +


2

∂ θ

s

2

∂χ




(3.22)

onde

Re

ρ

µ

f

UD

= i

é o número de Reynolds e

f

UD

Pe = i

é o número de Peclet e

α

f

α

α

s

ξ = é a razão entre as difusividades térmicas do sólido e do fluido. Vale lembrar

f

que o número de Peclet é o produto do número de Reynolds pelo número de Prandtl

⎛ µ

f


do fluido ⎜Pr = ⎟ .

⎝ ρ

f

α

f ⎠

Com isso, as condições iniciais no instante τ = 0 são:

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 21

.

θ θ = 0

(3.23)

f

= s

As condições de contorno para qualquer instante τ > 0 são:

θ = 1

f

(3.24)

χ =0

∂θ

s

∂χ

∂θ

s

=

∂χ

χ = 0

χ =Γ

= 0

(3.25)

∂θ f

= 0

(3.26)

∂χ

χ =Γ

u

+

χ=0 =

1

(3.27)

v

+

χ=0 =

0

(3.28)

+

∂u

∂R

R=

0

= v

+

R=

0

= 0

(3.29)

+

+

u 1 = v 1 = 0

(3.30)

R=

2

R=

2

∂θ

f

∂R

R= 0

= 0

(3.31)

∂θ

f

∂R

1

R=

2

∂θ

s

= η

∂R

1

R=

2

(3.32)

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 22

∂θs


∂R

1

R=


2

Bie

= θ

1+ Ε

s

(3.33)

onde

L

Γ = é o comprimento adimensional do tubo,

D i

ε

Ε = é a espessura

D i

adimensional da parede do tubo,

do sólido e do fluido e

h

D

k

k

s

η = é a razão entre as condutividades térmicas

f

e e

Bi

e

= é o número de Biot na superfície externa.

2k

s

As condições de contorno e iniciais consideradas estão representadas na Figura

3.2.

Figura 3.2 – Condições de contorno e iniciais do problema.

3.3 SOLUÇÃO DO MODELO

Para resolver o problema são apresentadas três propostas: uma solução

analítica, uma solução analítico-numérica e uma solução numérica.

A solução analítica é obtida considerando escoamentos com número de Peclet

altos e espessuras da parede do tubo pequenas. Isso faz com que a solução

analítica fique restrita aos casos em que não há difusão axial de calor no

escoamento e quando as difusões de calor axial e radial são desprezíveis na parede

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 23

do tubo. No entanto, o resultado obtido com esta solução é um resultado exato, o

que faz com que a solução analítica possa ser utilizada para validar os resultados

das soluções analítico-numérica e numérica.

A solução analítico-numérica é desenvolvida considerando o escoamento

unidimensional com elevado número de Peclet e transferência de calor

bidimensional na parede do tubo. Com isso, a solução analítico-numérica permite

avaliar os efeitos da condução radial e axial na parede. Contudo, assim como a

solução analítica, esta solução não permite analisar os efeitos do desenvolvimento

das camadas limites hidrodinâmica e térmica, além de desprezar a difusão de calor

axial no escoamento.

A solução numérica é a que permite obter o maior número de informações

físicas sobre o problema, pois esta solução não introduz simplificações às equações

governantes do problema (Equações 3.18 a 3.22). Sendo assim, através desta

solução é possível analisar os efeitos da condução axial no escoamento e do

desenvolvimento das camadas limites hidrodinâmica e térmica, além de permitir uma

análise mais completa do escoamento turbulento.

3.3.1 SOLUÇÃO ANALÍTICA

Uma solução analítica para a transferência de calor transitório conjugada em

tubos foi proposta por Kiwan e Al-Nimr (2002). Para obter essa solução os autores

consideraram que no domínio fluido o escoamento é unidimensional, termicamente

desenvolvido, com dissipação viscosa desprezíveis e elevados números de Peclet

(condução axial no escoamento desprezível), enquanto que para o domínio sólido foi

considerada uma parede do tubo com pequena espessura (condução radial na

parede desprezível) e difusão de calor axial desprezível. Com essas hipóteses, as

equações do movimento ficam redundantes e a equação da conservação da energia

nos domínios fluido e sólido, Equações 3.21 e 3.22 respectivamente, ficam reduzidas

a:

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 24

∂θ

f

∂τ

∂θ

f

+

∂χ

+ B

1

( θ − θ ) = 0

f

s

(3.34)

∂θ

s

− B

∂τ

( θ −θ

) + B θ 0

2 f s 3 s

=

(3.35)

onde

2

2

Nu

B = 1

4

Pe

, Nu N

Bie

Ν

B2

= 4 β , B

2 3

= 4 ξ ,

2

Pe 1−

N

Pe 1− Ν

h D

i i

Nu = (número de

k

f

Nusselt),

ρ

f

c

pf

β = (razão entre as capacidades térmicas do fluido e do sólido), e

ρ c

s

ps

D

D

i

Ν = (razão entre o diâmetro interno e o diâmetro externo do tubo).

e

É importante ressaltar que, para escoamentos laminares, o número de Nusselt é

independente do número de Reynolds, possuindo um valor constante ( Nu = 3, 66 -

número de Nusselt para temperatura prescrita na parede). O mesmo não ocorre para

o regime turbulento, onde o número de Nusselt depende do número de Reynolds.

No presente trabalho a correlação de Dittus e Boelter (Incropera e Dewitt, 1992) foi

adotada para escoamento turbulento:

0,8 0,3

Nu = 0,023Re Pr

(3.36)

A faixa de validade dessa equação é: Re ≥ 10000; 0,7 ≤ Pr ≤ 160 e

L ≥ 10.

D i

As Equações 3.34 e 3.35, sujeitas à condição de contorno (Equação 3.24) e

condição inicial (Equação 3.23), possuem solução analítica através da transformada

de Laplace (Kiwan e Al-Nimr, 2002):

θ

f

{ [ ] } ( )

−B

χ − ( τ−χ) 2

1 B4

( τ,

χ) = e e I 2( B B χ( τ − χ)

)

1/

0 1 2

+ γ , τ − χ ≥ 0

θ ( τ,

χ) = 0,

( τ − χ) < 0⎭ ⎬⎫

f

(3.37)

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Capítulo 3 Modelagem Matemática 25

θ

s

B

2 −B



( τ,

χ) = e γ,

( τ − χ)

≥ 0⎪ B4


θ ( τ,

χ) = 0, ( τ − χ) < 0⎪ ⎭

s

(3.38)

onde γ =

⎛ B ⎞

1B2χ



B


k

⎝ 4 ⎠ −B4 ( τ−χ)

k−p

∑ ⎢k!

−e

⎨∑

( B4

( τ − χ)

) ⎬⎥

,

2

0

k= 0

p=

0 ( k − p )!

( k! )

k


⎢⎣

modificada de primeira espécie de ordem zero e B

4

= B2

+ B3.



k!

⎫⎤

⎭⎥⎦

I é a função de Bessel

3.3.2 SOLUÇÃO ANALÍTICO-NUMÉRICA

Na solução analítico-numérica, o problema é resolvido utilizando o código

computacional TEACH (Gosman e Ideriah, 1976). A discretização das equações

governantes nesse código é realizada por meio do método dos volumes finitos com

malhas deslocadas (Patankar, 1980) e o sistema de equações algébricas é resolvido

com o uso do método TDMA.

Nesta solução, são adotadas algumas simplificações para o problema, o que

permite empregar uma solução analítica para a equação da conservação da energia

no domínio do fluido. O desenvolvimento desta solução tem como objetivo diminuir o

esforço computacional necessário para solucionar o problema.

Assumindo o escoamento como unidimensional (dissipação viscosa desprezível)

e desprezando a difusão de calor axial no escoamento, ou seja, que o número de

Peclet seja muito maior do que 1, e adotando as mesmas hipóteses da solução

analítica para o domínio sólido, a equação da conservação da energia para o

domínio fluido é a mesma da solução analítica, Equação 3.34:

∂θ

f

∂τ

∂θ

f

+

∂χ

+ B

1

( θ − θ ) = 0

f

b

(3.39)

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 26

Note que

θs

foi substituída pela temperatura da interface sólido-fluido,

θ

b

. A

proposta agora é resolver a Equação 3.39 em conjunto com a equação da

conservação da energia para o domínio sólido (Equação 3.22).

Aplicando a transformada de Laplace à Equação 3.39, sujeita à condição inicial

(Equação 3.23) e condição de contorno (Equação 3.24), e admitindo que a

temperatura θ

b

é uma constante, obtém-se como solução:

θ

f

−B1τ

( 1−

e )

θf = θb,

τ < χ

(3.40)

= θ +

b

( θ − θ ) τ ≥ χ⎭ ⎬⎫

−B1χ

e ,

in

b

onde

χ = τ indica a posição da frente de calor. Para qualquer τ ≥ χ , o valor da

temperatura do fluido é uma função apenas da sua posição e é independente do

tempo.

O tubo é agora discretizado em um número finito de volumes, conforme mostra

a Figura 3.3. A Equação 3.40 é então aplicada ao volume de controle finito de

comprimento

∆ χp

, no intervalo de tempo ∆ τ:

θ

n

fe

θ

= θ

n

fe

n

bP

= θ

+

n −B1∆τ

bP

( 1−

e ),

τ < χ

− ∆χ

( θ − θ ) τ ≥ χ⎭ ⎬⎫

n−1

n B1

p

e ,

fw

bP

(3.41)

onde

∆ χ

p

é o comprimento adimensional do volume de controle, ∆ τ é o passo de

tempo adimensional e os índices n-1 e n representam, respectivamente, as

temperaturas adimensionais nos instantes passado e presente. Os índices w e e

representam, respectivamente, as interfaces esquerda e direita do volume de

controle P.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 27

w

θ

bW

θ

bP

e

θ

bE

R

i

θ

fW

θ

fP

θ

fE

∆ χ p

Figura 3.3 – Discretização do domínio fluido para a solução analítico-numérica.

Note que foi adotada uma formulação implícita na Equação 3.41, a menos da

temperatura na entrada do volume de controle, onde utilizou-se o valor no instante

anterior, n-1. Isso acontece devido a característica altamente convectiva deste

problema, o que faz com que a temperatura θ

fe

no instante n seja influenciada pela

temperatura da posição em que a frente de calor se encontra no instante n-1.

Além disso, a malha no domínio fluido está deslocada em relação à malha do

domínio sólido, sendo a temperatura do fluido avaliada nas fronteiras da malha do

domínio sólido. Isto evita aproximações para temperaturas nas fronteiras. Adotou-se

nas simulações um passo de tempo adimensional,

adimensional da célula,

∆ τ, igual ao comprimento

∆ χ . Esse procedimento foi realizado para garantir que a

frente de calor esteja na fronteira w da célula no instante n-1. Os efeitos de não

empregar este procedimento serão discutidos na seção 4.1 (Validação da Solução

Analítico-Numérica).

Para haver uma compatibilidade entre as malhas dos domínios fluido e sólido,

a temperatura no centro dos volumes do domínio fluido foi estimada como uma

média entre as temperaturas das fronteiras w e e.

A equação da conservação da energia no domínio sólido, Equação 3.22,

também é discretizada pelo método dos volumes finitos, conforme mostra a Figura

3.4. Além disso, a discretização temporal é feita através da formulação totalmente

implícita. O resultado dessa discretização é um conjunto de equações algébricas que

possui a seguinte forma:

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 28


a θ = a θ + a θ + a θ + a θ + a θ + S

(3.42)

P

n

sP

W

n

sW

E

n

sE

S

n

sS

N

n

sN

0

P

n 1

sP

u

A Tabela 3.1 mostra as expressões dos coeficientes a W , a E , a S , a N , a 0 P, e a P .

Tabela 3.1 – Coeficientes resultantes da discretização da equação da conservação da energia no

domínio sólido.

a

W

ξ R∆

Pe ∆χ

R P

w

a

E

ξ R∆

Pe ∆χ

R P

e

a

S

R∆χ

Pe ∆R

ξ ξ ( R + ∆R)

s

P

Pe

0

a

N

a

P

∆R

n

∆χ

P

R ∆χ

∆ R P

∆τ

P

a

W

+ a

N

a

P

+ a

E

+ a

+ a

0

P

S

−S

P

fonte:

Os valores dos termos S u e S p são obtidos através da linearização do termo

n

S∆ V = S u

+ S p

θ

(3.43)

sP

onde S é o termo fonte e

∆ V , é o volume da célula. Para as células no interior do

domínio sólido, S é nulo. Contudo, para as células adjacentes às fronteiras, o valor

de S deve ser modificado para incorporar as condições de contorno.

∆ χ w

∆ χ e

θ

sN

∆ R P

θ

sW

θ

sP

θ

sE

∆ R n

∆ R s

θ

sS

R

∆ χ p

Figura 3.4 – Discretização do domínio sólido.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 29

O acoplamento entre a solução do domínio fluido e a solução do domínio sólido

é feito através de um balanço de energia na fronteira entre esses dois domínios,

como mostra a Figura 3.5.

θ

sW

sP

θ

sE

q ′′

θ

θ

bP

∆ R P

Di

2

θ

θ

fW

θ

fP

fE

Figura 3.5 – Balanço de energia na fronteira entre os domínios fluido e sólido.

O fluxo de calor convectivo na fronteira entre os domínios é dado pela lei de

resfriamento de Newton:

( θ −θ

)

q′ = h

(3.44)

f

b

O fluxo de calor difusivo no sólido é dado pela Lei de Fourier:

q

∂θ

s

′′ = −k

(3.45)

s

∂r

b

Sendo assim, igualando os fluxos convectivo e difusivo, tem-se:

q

∂θ

( θ − θ )

s

′′ = −k

s

= h

(3.46)

f b

∂r

b

Na forma adimensional,

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 30

∂θ

Nu

η

( θ − θ )

s

− =

(3.47)

f b

∂R

Discretizando esta equação, obtém-se:

θ − θ

∆R

2

Nu

=

η

( θ − θ )

sP bP


fP bP

(3.48)

Finalmente, rearranjando os termos, tem-se a seguinte solução para θ

bP

:

2 Nu

θsP

+ θfP

∆R

η

θ =

(3.49)

bP

2 Nu

+

∆R

η

Para o critério de convergência ou critério de parada dos ensaios da solução

analítico-numérica, foi utilizado o erro absoluto, o qual é calculado pela Equação

3.50:

Err = Err

m & ⋅φ

(3.50)

+ 2

ρf

⋅u

⋅π⋅Di

onde Err é o erro relativo, Err é o erro absoluto, m& =

é o fluxo mássico

4

e φ é uma propriedade conservativa, ou seja, é a unidade na equação da

conservação da massa, a velocidade adimensional na equação da conservação da

quantidade de movimento e a temperatura adimensional na equação da

conservação da energia. O erro relativo é baseado nas equações de conservação da

massa, quantidade de movimento e energia e adota-se para φ o valor da

propriedade conservativa da primeira célula do domínio fluido.

O método de convergência utilizado consiste de um modo interativo, onde para

cada volume da malha é calculado o erro relativo. A cada passo de tempo utiliza-se

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 31

o maior valor de erro relativo encontrado para se calcular o erro absoluto. Se o erro

absoluto encontrado for menor que o erro absoluto estipulado para simulação,

avança-se um passo de tempo. Senão, o programa retorna os cálculos até conseguir

o erro estipulado ou até acabar o número de iterações arbitrado.

Para todas as simulações foi estipulado um Err ≤ 0, 0001.

Por fim, a solução analítico-numérica é obtida através do seguinte

procedimento:

I. Cálculo das temperaturas na fronteira entre os domínios fluido e sólido

através da Equação 3.49;

II. Cálculo das temperaturas do fluido nas fronteiras axiais dos volumes

através da Equação 3.41;

III. Determinação da temperatura do fluido no centro do volume de controle

através da média das temperaturas nas fronteiras w e e do volume de

controle;

IV. Cálculo das temperaturas adimensionais do sólido através da Equação

3.42;

V. Se o critério de convergência foi atingido ( Err ≤ 0, 0001), avança-se um

passo de tempo. Senão, retorna-se ao passo I.

3.3.3 SOLUÇÃO NUMÉRICA

Na solução numérica, assim como na solução analítico-numérica, o problema é

resolvido utilizando o código computacional TEACH (Gosman e Ideriah, 1976).

Para a discretização do domínio fluido, é utilizado o esquema híbrido de

interpolação para os termos convectivos. Sendo assim, a discretização das

Equações. 3.18 a 3.21, mostrada na Figura 3.6, resulta em um conjunto de

equações algébricas que possuem a seguinte forma:

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 32

n

n

n

n

n 0 n− 1

A

P

φfP

= A

WφfW

+ A

EφfE

+ ASφfS

+ A

NφfN

+ A

PφfP

+ S′

(3.51)

onde S′é o termo fonte, sendo que:

• Nas equações da conservação da massa e da energia,

S ′ = Su

;

• Na equação da quantidade de movimento na direção axial,

( Pe

− Pw

) ⋅R∆R

P

Su

S ′ = −

+ ;

• Na equação da quantidade de movimento na direção radial,

( Pn

− Ps

) ⋅∆χP

Su

S ′ = −

+ .

Os coeficientes da Equação 3.51 para a equação de conservação da massa

são mostrados na Tabela 3.2 e para as equações de conservação da quantidade de

movimento e da energia estão mostrados na Tabela 3.3

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 33

Tabela 3.2 – Coeficientes resultantes da discretização da equação da conservação da massa no domínio fluido.

A

W

A

E

− u

+

⋅ R ⋅∆χ

+

u ⋅R

⋅ ∆χ

w

w

e

e

A

S

− v

+ ⋅ R ⋅∆R s s

v

n

⋅R

⋅∆χ

n

0

A

N

A

P

A

P

+ 0 0

Tabela 3.3 – Coeficientes resultantes da discretização das equações de conservação da quantidade de movimento e da energia no domínio fluido.


máx. ⎢u


+

w

A

W

A

E


, ⎜C


w

+

u ⎞ ⎤

w

+ ⎟,0⎥

2 ⎠ ⎦


máx. ⎢−

u

⎢⎣

+

⎛ u

e

,

⎜C

e


⎝ 2

+

e

⎞ ⎤

⎟,0⎥

⎠ ⎥⎦

A

S

0

A

N

A

P

+



+

+

⎛ v ⎞



s

+

⎛ v ⎞

n

máx. ⎢v

,

⎜C

+


s s

,0⎥

máx. ⎢−

v ⎜ ⎟

n

, Cn

− ,0⎥ ⎢⎣

⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦

R∆χ

∆R

P

∆τ

P

A

W

+ A

+ A

0

P

− S

A

P

E

P

+ A

S

+ ∆F

+ A

N

u

v

+

w

+

s

∆ F

− u

− v

+

e

+

n

+

onde máx. é a abreviação de máximo.

Os valores de C da Tabela 3.3 são mostrados na Tabela 3.4.

Tabela 3.4 – Valores de C para cada fronteira do volume de controle no domínio fluido.

Face w e s n

Quantidade de Movimento 1 R∆R P

1 R∆R P

1 R∆ χP

1 ( R + ∆R)

∆χ

Re ∆χ

Re ∆χ

Re ∆R

Re ∆R

Energia

1

Pe

R∆

∆χ

WP

R P

WP

1

Pe

R∆

∆χ

PE

R P

PE

1

Pe

SP

R χ

∆R

P

SP

PN

∆ 1 ( R + ∆R)

Pe

∆R

PN

∆χ

P

P

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 34

∆ χ w

∆ χ e

φ

fN

∆ R P

φ

fW

+

u

w

+

v

n

φ

fP

+

u

e

φ

fE

∆ R n

+

v

s

φ

fS

∆ R s

R

∆ χ p

Figura 3.6 – Discretização do domínio fluido na solução numérica.

No problema em estudo, como o escoamento é considerado incompressível, a

conservação da massa não é utilizada como equação redutiva de qualquer variável

e passa a ser apenas uma restrição que deve ser obedecida pelo campo de

velocidades. Neste caso é necessário determinar um campo de pressões que,

quando inserido nas equações de conservação da quantidade de movimento, origine

um campo de velocidades que satisfaça a conservação da massa. Este problema é

resolvido através dos métodos de acoplamento pressão-velocidade.

O TEACH emprega o método SIMPLE para o acoplamento pressão-velocidade.

*

Neste método, inicialmente estima-se os campos de pressão ( P ) e velocidades

*

( u e

*

v ). A seguir, as equações de conservação da quantidade de movimento são

resolvidas a partir do campo de pressão estimado, obtendo novos campos de

velocidade estimados. O próximo passo é calcular uma correção para a pressão, P′,

a qual é obtida através da seguinte equação:

P

P

W

W

E

E

S

S

N

N

* *

* *

[( u − u ) R∆R

+ ( v − v ) ∆χ

]

A P′ = A P′

+ A P′

+ A P′

+ A P′


(3.52)

e

w

P

n

s

P

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 35

onde os coeficientes

A ,

W

A ,

E

A e

S

A são os mesmos da Tabela 3.3 e

N

A

P

= A + A + A + A − S + ∆F

.

W

E

S

N

P

Depois disso, os campos de velocidades estimados são corrigidos a partir das

Equações 3.53 e 3.54:

u

+

P

= u

*

P


( P′

− P′

)

e

R∆R

w

A

P

P

(3.53)

v

+

P

= v

*

P


( P′

− P′

)

n

A

s

P

∆χ

P

(3.54)

Satisfeita a conservação da massa, a pressão é corrigida fazendo

P = P + P .

*


Por fim, a equação de conservação da energia é resolvida e o procedimento se

reinicia fazendo

P * = P até que o critério de convergência seja satisfeito.

No domínio sólido, somente a equação da conservação da energia é

discretizada, resultando no mesmo conjunto de equações algébricas da Equação

3.42. Os coeficientes são os mesmos da Tabela 3.1. Isso acontece porque uma

condição de contorno é aplicada nas células do domínio sólido para fixar velocidade

nula na parede do tubo, igualando com isso os coeficientes da equação da

conservação da energia ao coeficiente D. Essa condição de contorno é especificada

fazendo a seguinte modificação nos termos fontes da Equação 3.51 (conservação

da quantidade de movimento):

30

S

p

= 10 ; S u

= 0

(3.55)

O critério de convergência adotado é o mesmo da solução analítico-numérica.

Sendo assim, a solução numérica é obtida através do seguinte procedimento:

I. Estimativa dos campos de pressão,

*

*

P , e velocidades, u e

*

v ;

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 3 Modelagem Matemática 36

II. Cálculo dos coeficientes da equação de conservação da quantidade de

movimento, Tabela 3.2;

III. Solução da equação de conservação da quantidade de movimento

usando

*

P ;

IV. Solução da equação para correção da pressão, Equação 3.52;

V. Correção de

*

u e

*

v a partir das Equações 3.53 e 3.54;

VI. Correção da pressão,

P = P + P ;

*


VII. Solução da equação da conservação da energia nos domínios fluido e

sólido;

VIII. Se o critério de convergência foi atingido ( Err ≤ 0, 0001), avança-se um

passo de tempo adimensional. Senão, faz-se

procedimento a partir do item II.

P * = P e reinicia-se o

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 37

4 VERIFICAÇÃO DOS MODELOS

As soluções analítico-numérica, numérica e analítica serão discutidas neste

capítulo. Além disso, no final do capítulo será realizada uma comparação dos

resultados da solução analítico-numérica com resultados experimentais obtidos de

uma bancada desenvolvida no Laboratório de Ciências Térmicas (LACIT) da

UTFPR. Devido a esta comparação, os parâmetros utilizados nas simulações terão

como base os valores experimentais. Como o fluido de trabalho é a água e o

material do tubo da seção de testes é o cobre, os parâmetros utilizados nas

α

simulações serão: Pr = 6,50; s

k

ξ = = 750 ; s

ρf

⋅cpf

η = = 620 e β = = 1, 20 .

α

k

ρ ⋅c

f

f

s

ps

4.1 VALIDAÇÃO DA SOLUÇÃO ANALÍTICO-NUMÉRICA

Nesta seção são realizadas comparações da solução analítica com a solução

analítico-numérica, com o objetivo de determinar a malha e o passo de tempo

apropriados para a solução analítico-numérica. Os parâmetros utilizados nesses

testes foram: Re = 2000; Pr = 6,50; Bi e = 0; Ε = 0,125; ξ = 750; η = 620; β = 1,20 e

L = 1000.

D i

As Figuras 4.1 e 4.2 mostram, respectivamente, comparações dos perfis de

temperatura axial do escoamento e da superfície externa do tubo, no instante τ =

200, obtidos através da solução analítica e da solução analítico-numérica. Nessa

comparação, é mostrada a solução analítico-numérica para duas malhas: 100 x 10 e

200 x 15, onde o primeiro número indica o número de volumes na direção axial, χ, e

o segundo número indica o número de volumes na direção radial. Nas duas

simulações, fez-se o passo de tempo adimensional igual ao comprimento

adimensional de cada volume finito, ou seja,

∆ τ = ∆χ

. Analisando os resultados,

observa-se que a solução analítico-numérica apresenta uma pequena divergência

em relação à solução analítica para malha 100 x 10. Enquanto que para malha 200 x

15 as soluções são praticamente coincidentes.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 38

1,0

0,8

0,6

θf (-)

θf (-)

0,4

0,2

0,0

Analítica

Malha 200 x 15

Malha 100 x 10

0 200 400 600 800 1000

χ (-)

Figura 4.1 – Comparação dos perfis de temperatura axial do escoamento no instante τ = 200,

obtidos através das soluções analítica e analítico-numérica para diferentes malhas.

0,4

0,3

θs (-)

0,2

0,1

Analítica

Malha 200 x 15

Malha 100 x 10

0,0

0 200 400 600 800 1000

χ (-)

Figura 4.2 – Comparação dos perfis de temperatura axial da superfície externa do tubo no instante τ

= 200, obtidos através das soluções analítica e analítico-numérica para diferentes malhas.

Vale destacar que essas simulações foram obtidas utilizando um computador

pessoal com processador Intel Pentium 4 de 3.0 Ghz e 512 MB de memória RAM e

que o tempo computacional de simulação da malha 200 x 15 foi de 5 segundos.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 39

A utilização do passo de tempo adimensional com valor diferente do

comprimento adimensional dos volumes finitos é agora analisada. As Figuras 4.3 e

4.4 mostram uma comparação da solução analítica com a solução analíticonumérica

para uma malha 200 x 15 e

∆ τ ≠ ∆χ

. Observa-se que tanto no perfil de

temperatura axial do escoamento, Figura 4.3, como no perfil de temperatura axial na

superfície externa do tubo, Figura 4.4, o resultado da solução analítico-numérica

com

∆ τ > ∆χ

apresenta valores de temperatura menores do que os valores da

solução analítica. Quando

∆ τ < ∆χ

, a situação se inverte, e a solução analíticonumérica

apresenta valores de temperatura maiores do que os apresentados pela

solução analítica. Isso acontece porque o cálculo da temperatura da frente de calor

no instante n, conforme a Equação 3.40, é dependente do seu valor no instante

anterior. No entanto, quando

∆ τ ≠ ∆χ

, a temperatura de influência é a temperatura

na fronteira esquerda do volume, a qual é diferente da temperatura da frente de

calor no instante anterior, resultando com isso em uma solução analítico-numérica

errônea.

1,0

0,8

0,6

θf (-)

θf (-)

0,4

0,2

Analítica

∆τ = 5 ∆χ

∆τ = 0,2 ∆χ

0,0

0 200 400 600 800 1000

χ (-)

Figura 4.3 – Comparação dos perfis de temperatura axial do escoamento no instante τ = 200,

obtidos através das soluções analítica e analítico-numérica para diferentes passos de tempo.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 40

0,4

0,3

θs (-)

0,2

0,1

Analítica

∆τ = 5 ∆χ

∆τ = 0,2 ∆χ

0,0

0 200 400 600 800 1000

χ (-)

Figura 4.4 – Comparação dos perfis de temperatura axial da superfície externa do tubo no instante τ

= 200, obtidos através das soluções analítica e analítico-numérica para diferentes passos de tempo.

A Figura 4.5 ilustra a distribuição de temperatura do escoamento nos instantes n

e n-1 para valores de

∆ τ > ∆χ

. O perfil de temperatura da solução analíticonumérica

será menor do que o perfil de temperatura da solução analítica, pois no

instante n-1, a frente de calor está no ponto 1 e ainda não chegou à fronteira w do

volume de controle. Logo, θ

fw

é menor do que θ

1

e proporcionará valores menores

para θ

fe

. Por outro lado, para valores de

∆ τ < ∆χ

, no instante n-1 a frente de calor

se encontra no ponto 2, como mostra a Figura 4.6. Como a fronteira w do volume de

controle está à montante do ponto 2, θ

fw

é maior do que θ

2

, o que faz com que a

temperatura do escoamento seja maior na solução analítico-numérica do que na

solução analítica. Nota-se, assim, que a temperatura da frente de calor é

dependente do seu valor no instante anterior.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 41

Ponto 1

w

∆ χ

e

θ n-1 θ n-1 θ n-1

1

fw

fe

Instante n-1

∆ τ

Ponto 1

w

∆ χ

e

θ n

1

θ n

fw

θ n

fe

Instante n

∆ τ

Figura 4.5 – Distribuição de temperatura do escoamento nos instantes n-1e n para

τ > ∆χ

∆ .

w

∆ χ

e

θ n-1

fw

θ n-1

2

θ n-1

fe

Instante n-1

∆ τ

Ponto 2

w

∆ χ

e

θ n

fw

θ n

2

θ n

fe

Instante n

∆ τ

Ponto 2

Figura 4.6 – Distribuição de temperatura do escoamento nos instantes n-1 e n para

τ < ∆χ

∆ .

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 42

Para solucionar o problema quando

∆ χ ≠ ∆τ

, existem duas possibilidades:

i) Implementação de um esquema de interpolação de maior ordem no

domínio fluido;

ii)

Utilização de uma média ponderada na determinação da temperatura

adimensional na entrada do volume de volume,

θ .

n−1

fw

Contudo, como a solução com

∆ χ = ∆τ

apresentou resultados satisfatórios, não

foi necessário implementar nenhuma dessas alternativas.

4.2 VALIDAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA

Nessa etapa, foram realizadas simulações com diferentes malhas e passos de

tempo para determinar o grau de influência dos mesmos nos resultados. Os

parâmetros utilizados nesses testes foram os mesmos da validação da solução

analítico-numérica.

Inicialmente foi realizada uma análise de sensibilidade da malha fazendo

simulações com três malhas uniformes diferentes: 300 x 80 (30), 400 x 120 (45) e

800 x 120 (45), onde o primeiro valor indica o número de pontos na direção axial, o

segundo na direção radial e o número entre parênteses indica o número de pontos

na parede. Nessas simulações o passo de tempo utilizado foi de ∆ τ = 1. Nas Figuras

4.7 e 4.8 estão representados, respectivamente, os perfis de temperatura axial do

fluido na posição R = 0,35 e do sólido na posição R = 0,56 no instante τ = 240 para

as diferentes malhas. Além disso, os perfis de temperatura axial obtidos através da

solução analítico-numérica no instante τ = 240 também são mostrados. Na Figura

4.9 está mostrado o perfil de temperatura na superfície externa do tubo obtido

através da solução analítico-numérica e da solução numérica para as diferentes

malhas em χ = 240. Pode-se observar que os resultados para a distribuição de

temperatura das malhas 400 x 120 e 800 x 120 são coincidentes, enquanto que os

perfis de temperatura da malha 300 x 80 apresentam uma pequena discrepância em

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 43

relação aos demais. No entanto, deve-se destacar que os resultados numéricos

divergem dos resultados analítico-numéricos, pois a solução numérica apresenta

uma difusão axial (Figura 4.7) e, conseqüentemente, um aquecimento prematuro da

superfície externa do tubo (Figura 4.9), o que não é característico de problemas

altamente convectivos como este.

1,0

0,8

θf (-)

0,6

0,4

Malha 300 x 80

Malha 400 x 120

Malha 800 x 120

Solução Analítico-Numérica

0,2

0,0

0 100 200 300 400 500

χ (-)

Figura 4.7 – Distribuição de temperatura axial do fluido obtida pela solução numérica em R = 0,35

para diferentes malhas e pela solução analítico-numérica no instante τ = 240.

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

0,2

Malha 300 x 80

Malha 400 x 120

Malha 800 x 120

Solução Analítico-Numérica

0,0

0 100 200 300 400 500

χ (-)

Figura 4.8 – Distribuição de temperatura axial da superfície externa do tubo obtida pela solução

numérica em R = 0,56 para diferentes malhas e pela solução analítico-numérica no instante τ = 240.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 44

1,0

θs (-)

0,8

0,6

0,4

Malha 300 x 80

Malha 400 x 120

Malha 800 x 120

Solução Analítico-Numérica

0,2

0,0

0 200 400 600 800 1000

Figura 4.9 – Perfil de temperatura axial da superfície externa do tubo obtido pela solução numérica

em R = 0,56 e pela solução analítico-numérica em χ = 240.

τ (-)

Novamente, utilizou-se um computador pessoal com processador Intel Pentium

4 de 3.0 Ghz e 512 MB de memória RAM para realizar essas simulações. O tempo

computacional de cada simulação é mostrado na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 – Tempo de simulação para diferentes malhas utilizadas na solução numérica.

Malha

Tempo de simulação

300 x 80 6 horas e 42 minutos

400 x 120 14 horas e 57 minutos

800 x 120 28 horas e 37 minutos

Os resultados mostrados na Tabela 4.1 comprovam o elevado custo

computacional da solução numérica.

As Figuras 4.10 e 4.11 mostram, respectivamente, o resultado dos perfis de

temperatura axial do fluido na posição R = 0,35 e do sólido na posição R = 0,56,

ambos no instante τ = 240 para malha a 800 x 120 utilizando-se dois passos de

tempos distintos: ∆ τ = 1 e ∆ τ = 0,01. Novamente, os perfis de temperatura obtidos

através da solução analítico-numérica são mostrados como referência. Como pode-

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 45

se notar, os perfis de temperatura, tanto no fluido como no sólido, são os mesmos

nos dois passos de tempo analisados, porém os resultados da solução numérica

continuam apresentando uma forte difusão e são bem diferentes dos resultados da

solução analítico-numérica.

1,0

0,8

0,6

0,4

∆τ = 1

∆τ = 0,01

Solução Analítico-Numérica

0,2

0,0

0 100 200 300 400 500

χ (-)

Figura 4.10 – Distribuição de temperatura axial do fluido em R = 0,35 obtida pela solução numérica

para diferentes passos de tempo e pela solução analítico-numérica no instante τ = 240.

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

∆τ = 1

∆τ = 0,01

Solução Analítico-Numérica

0,2

0,0

0 100 200 300 400 500

χ (-)

Figura 4.11 – Distribuição de temperatura axial da superfície externa do tubo obtida pela solução

numérica em R = 0,56 para diferentes passos de tempo e pela solução analítico-numérica no instante

τ = 240.

A partir desses resultados, conclui-se que, apesar da malha e do passo de

tempo não influenciarem nas simulações, o perfil de temperatura do fluido não

concorda com os perfis obtidos pelas soluções analítica e analítico-numérica, devido

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 46

à forte difusão axial presente nos resultados numéricos. Sendo assim, para

determinar se a difusão apresentada é devido a erros numéricos ou a efeitos físicos

que não são contemplados pelas soluções analítica e analítico-numérica, foram

realizadas simulações considerando o fluido como sendo invíscido, ou seja,

escoamentos puramente convectivos, onde não há difusão hidrodinâmica, apenas

difusão térmica. Com isso, o perfil de velocidades permanece constante, não se

alterando ao longo da tubulação.

A Figura 4.12 mostra os perfis de temperatura axial do fluido para R = 0,35 em

diferentes instantes, utilizando a malha 800 x 120 e um passo de tempo de ∆ τ = 1.

Analisando os resultados, observa-se a existência de uma difusão axial no perfil de

temperatura. Além disso, essa difusão vai aumentando com o passar do tempo.

Como a simulação foi realizada considerando que o fluido não possui viscosidade, o

perfil de velocidade permanece uniforme, o que significa que a difusão

hidrodinâmica é nula. Sendo este um escoamento puramente convectivo, conclui-se

que esta difusão axial é de origem numérica.

1,0

0,8

θs θf (-)

0,6

0,4

τ = 200

τ = 400

τ = 600

τ = 800

0,2

0,0

0 200 400 600 800 1000

χ (-)

Figura 4.12 – Distribuição de temperatura axial do fluido em R = 0,35 para um escoamento invíscido.

Para solucionar o problema da difusão numérica, existem três alternativas:

i) Refinamento da malha;

ii)

Utilização de esquemas de interpolação de maior ordem;

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 47

iii)

Implementação de uma malha adaptativa refinada na posição da frente

de calor e que se desloca juntamente com a mesma a cada passo de

tempo.

Dentre as soluções possíveis a mais viável é a terceira. No entanto,

considerando a relação entre o tempo necessário para a implementação de uma

malha adaptativa e o ganho de informações físicas que se teria com a solução

numérica, optou-se por utilizar somente a solução analítico-numérica na análise dos

resultados.

4.3 VERIFICAÇÃO DA VALIDADE DA SOLUÇÃO ANALÍTICA

Conforme já discutido no capítulo anterior, a solução analítico-numérica

contempla os efeitos de difusão de calor radial e axial na parede do tubo, que não

estão incluídos na solução analítica. Sendo assim, o objetivo desta seção é

determinar as situações em que a difusão de calor radial e axial no domínio sólido

passa a ser significativas e que inviabiliza a utilização da solução analítica.

Para avaliar a influência da difusão de calor no problema é realizada uma

análise de ordem de grandeza (Bejan, 1995) dos termos das Equações. 3.21 e 3.33.

Supostamente todos os termos destas equações são da mesma ordem de grandeza

e são assim representados nas Equações 4.1 e 4.2:

∆θ

∆τ

f

f

∆θ

Γ

Nu

Pe

f

~ ~ ∆θf

(4.1)

∆θ

∆τ

s

s

ξ ∆θ

~

Pe Γ

s

2

ξ ∆θ

~

Pe Ε

s

2

(4.2)

A difusão de calor axial é avaliada através da razão entre o tempo de

propagação do calor no sólido e o tempo de deslocamento da frente de calor no

fluido. Considerando que o termo de inércia do domínio fluido seja da ordem do

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 48

termo convectivo e o termo de inércia do domínio sólido da ordem da difusão axial,

chega-se à:

∆θ

∆τ

f

f

∆θf

~ ∴∆τf

Γ

~ Γ

(4.3)

∆θ

∆τ

s

s

2

ξ ∆θs

PeΓ

~ ∴∆τ

2 s

~

(4.4)

Pe Γ

ξ

Tem-se assim que o tempo adimensional de deslocamento da frente de calor no

fluido é proporcional ao do comprimento adimensional do tubo (Equação 4.3), e que

o tempo adimensional de propagação do calor no sólido é proporcional ao número

de Peclet, ao quadrado do comprimento adimensional do tubo e inversamente

proporcional à razão de difusividades térmicas (Equação 4.4).

Com isso, a razão entre o tempo de propagação do calor no sólido em relação

ao tempo de deslocamento da frente de calor no fluido será de:

2

∆τs PeΓ

1 UL ∆τs

~ ⋅ = ∴ ~ ψ

(4.5)

∆τ ξ Γ α ∆τ

f

s

f

onde

Γ

ψ =

Pe é a relação entre o tempo de propagação axial do calor no sólido e o

ξ

tempo de deslocamento da frente de calor no fluido. Note ainda que o número

adimensional resultante é a relação entre a advecção no fluido ( UL ) e a difusão no

sólido ( α

s

).

Analisando a Equação 4.5, observa-se que quando

ψ → ∞ , o tempo de

propagação do calor no sólido é muito maior do que o tempo de deslocamento do

fluido. Em outras palavras, isso quer dizer que a velocidade de propagação do calor

na direção axial no sólido é bem menor do que no fluido. Com isso, a condução de

calor axial na parede pode ser desprezada. Contudo, quando ψ →1, os tempos de

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 49

deslocamento no sólido e no fluido são da mesma ordem e a condução de calor

axial no sólido passa a ser significativa.

A Figura 4.13 apresenta uma comparação dos perfis de temperatura na

superfície externa do tubo obtidos através das soluções analítica e analíticonumérica,

para diferentes valores de ψ . Deve-se destacar que a solução analítica é

independente do parâmetro ψ . Nessa figura, para valores de ψ =1, existe uma

pequena discrepância entre as soluções nos instantes iniciais de aquecimento da

parede. Isso acontece porque na solução analítico-numérica o aquecimento da

parede do tubo se inicia antes que o fluido aquecido atinja o ponto χ = 100, sendo

que esse aquecimento prematuro é causado pela condução axial na parede. Para

valores de ψ < 1, essa diferença passa a ser significativa. Além disso, percebe-se

que conforme ψ diminui, o tempo de início do aquecimento da parede sofre uma

antecipação, e o tempo para atingir o regime permanente também é maior.

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Analítico-Numérica ψ ~ 1

Analítico-Numérica ψ ~ 0,1

Analítico-Numérica ψ ~ 0,01

Analítica

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 4.13 – Comparação das soluções analítica e analítico-numérica para diferentes ψ

( χ =100, Re = 2000, Pr = 6,50, Bi e = 0, β = 1, e Ε = 0,025).

Para determinar a influência da difusão de calor radial na parede realiza-se um

procedimento similar ao desenvolvido para a difusão de calor axial. Considerando

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 50

que, o termo de inércia do domínio fluido é da ordem da troca de calor convectiva e

que o termo de inércia do domínio sólido é da ordem da difusão radial, tem-se:

∆θ

∆τ

f

f

Nu

~ ∆θ

f

∴∆τ

f

Pe

~

Pe

Nu

(4.6)

∆θ

∆τ

s

s

2

ξ ∆θs

PeΕ

~ ∴∆τ

2 s

~

(4.7)

Pe Ε

ξ

Assim, o tempo para alterar a temperatura em um ponto do fluido em função da

troca de calor com a parede é proporcional à razão entre o número de Peclet e o

número de Nusselt (Equação 4.6), enquanto que o tempo adimensional para que o

calor atravesse a parede é proporcional ao número de Peclet, ao quadrado da

espessura adimensional da parede e inversamente proporcional à razão entre as

difusividades (Equação 4.7).

A razão entre os tempos de propagação de calor radial no sólido e a variação de

temperatura em um ponto do fluido será:

2

2

∆τs PeΕ

Nu BiiΕ

∆τs

~ ⋅ = ∴ ~ λ

(4.8)

∆τ ξ Pe β ∆τ

f

f

onde

Bi Ε

λ = i

β

2

é a relação entre o tempo de propagação radial de calor no sólido e

o tempo de variação de temperatura em um ponto do fluido. Quanto menor for λ ,

menor o efeito da difusão radial no sólido.

O número de Biot interno ( Bi

i

) representa a relação entre as resistências

térmicas de condução no sólido e de convecção na superfície interna do tubo, β é a

razão entre as capacidades térmicas do fluido e do sólido e Ε é a espessura

adimensional da parede do tubo.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 51

Para que λ → 0 , a resistência térmica de condução deve ser pequena em

relação à de convecção, ou a capacidade térmica do fluido deve ser alta em relação

à do sólido, ou ainda, o quadrado da espessura adimensional da parede do tubo

(volume do sólido em relação ao volume do fluido) deve ser pequeno.

Comparações dos perfis de temperatura na superfície externa do tubo no regime

laminar obtidos através das soluções analítica e analítico-numérica para Ε = 0,025 e

Ε = 0,125 são mostradas nas Figuras 4.14 e 4.15. Vale ressaltar que a solução

analítica é independente do parâmetro λ . Observa-se nessas figuras que as

soluções apresentam um mesmo comportamento somente para valores de λ

pequenos. À medida que o valor de λ aumenta, os resultados vão divergindo. Isso

acontece porque ocorre um atraso no início do aquecimento da superfície externa.

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Analítico-Numérica λ ~ 0,0001

Analítico-Numérica λ ~ 0,01

Analítico-Numérica λ ~ 1

Analítica

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 4.14 – Comparação dos perfis de temperatura do escoamento laminar obtidos pelas soluções

analítica e analítico-numérica para diferentes valores de λ e Ε = 0,025

( χ =100, Re = 2000, Pr = 6,50, Nu = 3,66, Bi e = 0 e β = 1).

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 52

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

Analítico-Numérica λ ~ 0,000001

Analítico-Numérica λ ~ 0,001

Analítico-Numérica λ ~ 1

Analítica

0,2

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 4.15 – Comparação dos perfis de temperatura no escoamento laminar obtidos pelas soluções

analítica e analítico-numérica para diferentes valores de λ e Ε = 0,125

( χ =100, Re = 2000, Pr = 6,50, Nu = 3,66, Bi e = 0 e β = 1).

No escoamento turbulento, o número de Nusselt não é constante, sendo o seu

valor dependente do número de Reynolds e do número de Prandtl, conforme

estabelecido pela Equação. 3.35. A Figura 4.16 mostra a comparação dos perfis de

temperatura na superfície externa do tubo para o escoamento turbulento obtidos

através das soluções analítica e analítico-numérica. Analisando a Figura 4.16, podese

notar que os resultados apresentam uma discordância cada vez maior à medida

que Nu aumenta, o que aumenta λ .

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 53

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

Analítico-Numérica λ ~ 0,0001 - Nu = 65

Analítico-Numérica λ ~ 0,01 - Nu = 2000

Analítico-Numérica λ ~ 1 - Nu = 175000

Analítica Nu = 65

Analítica Nu = 2000

Analítica Nu = 175000

0,2

0,0

0 200 400 600 800 1000

Figura 4.16 – Comparação dos perfis de temperatura do escoamento turbulento das soluções

analítica e analítico-numérica

τ (-)

( χ =100, Pr = 6,50, Bi e = 0, ξ = 120, β = 1 e Ε = 0,025).

Deve-se destacar que, analisando os resultados apresentados, observa-se que

para λ < 0, 0001 o efeito da difusão de calor radial na parede é desprezível.

Com isso, pode-se concluir que a solução analítica só é válida em determinadas

condições, as quais irão depender das propriedades do material do tubo e do fluido

e de características do escoamento. Note que ao mesmo tempo a difusão no sólido

deve ser relativamente pequena na direção axial ( ψ ) e elevada na direção radial ( )

Estas características aparentemente contraditórias só seriam possíveis com um

material anisotrópico. Para se alcançar estes dois efeitos simultaneamente, ψ deve

ser elevado ( ψ ≥1)

e λ deve ser pequeno ( ≤ 0,0001)

λ .

Deve-se lembrar também que a condução de calor no sólido, tanto axial como

radial, além de invalidarem a solução analítica, dificultam a utilização da termometria

na medição de vazão. Ambos os efeitos provocam uma resposta mais lenta da

temperatura na superfície externa do tubo, dificultando assim a determinação do

instante em que a frente de calor passa pelos pontos de medição.

λ .

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 54

4.4 COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Nesta seção é realizada uma comparação preliminar dos resultados da

solução analítico-numérica com valores experimentais obtidos por uma bancada

desenvolvida no LACIT.

O aparato experimental é composto por uma seção de testes, dois

reservatórios de nível constante (um quente e outro frio) para manter o

escoamento na seção de testes a uma temperatura e vazão constantes, três

válvulas solenóides para comutar a corrente fria e quente, um grande reservatório

de água quente para alimentar o de nível constante e uma bomba de recirculação.

As Figuras 4.17 e 4.18 mostram, respctivamente, um diagrama esquemático e

uma ilustração do aparato experimental.

Figura 4.17 – Diagrama esquemático do aparato experimental.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 4 Verificação dos Modelos 55

Figura 4.18 – Ilustração do aparato experimental.

A seção de testes consiste de um tubo de cobre de 5 m de comprimento e

seus diâmetros interno e externo são, respectivamente, 10 mm e 12,5 mm. A

temperatura é medida em dois pontos distintos ao longo da seção de testes (os

dois pontos são posicionados, respectivamente, à 700 mm e 3700 mm da válvula

solenóide de três vias) através de termoresistores com 2 mm de diâmetro e

freqüência de aquisição dos sinais de10 Hz. Para realizar a aquisição de dados foi

desenvolvido um sistema composto por uma placa de aquisição analógica/digital

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Capítulo 4 Verificação dos Modelos 56

(A/D) e um circuito eletrônico que alimenta, amplifica e converte o sinal dos

termoresistores.

A vazão do escoamento é medida através do seguinte procedimento:

i) Um recipiente com massa conhecida coleta um volume de água na saída da

seção de testes, sendo o tempo de coleta cronometrado;

ii) A massa do volume de água coletada é medida por uma balança digital;

iii) A vazão mássica é calculada pela razão da massa de água coletada pelo

tempo cronometrado.

Para medir a temperatura, realiza-se o seguinte procedimento:

i) A água fria escoa na seção de testes até atingir o regime permanente;

ii)

iii)

iv)

A seguir, a temperatura na superfície externa do tubo é medida durante

20 s;

Acionando um circuito eletrônico, a válvula solenóide é comutada,

fazendo com que água quente passe a escoar pela seção de teste;

A partir daí, a temperatura na superfície externa do tubo é medida

durante 40 s.

Uma comparação da solução analítico-numérica com resultados experimentais

é mostrada na Figura 4.19. Os parâmetros experimentais são: Ε =0,125, ξ =

755, η = 620, β = 1,20, Bi e = 2x10 -4 , Re = 9450 e Pr = 6,50.

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Capítulo 4 Verificação dos Modelos 57

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

0,2

Experimental χ=70

Experimental χ=370

Analítico-Numérica χ = 70

Analítico-Numérica χ = 370

0,0

0 400 800 1200 1600 2000

τ (-)

Figura 4.19 – Comparação dos resultados experimentais com os resultados do modelo analíticonumérico.

Analisando a comparação realizada, observa-se que os resultados apresentam

uma discrepância. Além disso, os resultados para χ = 370 tem uma melhor

concordância do que os resultados para χ = 70. As possíveis razões para a

ocorrência dessa discordância são:

i) Imprecisão das medidas experimentais

O termoresistor utilizado na medição de temperatura possui uma inércia

térmica da ordem de 1 s (conforme consta no manual do fabricante), o que pode

levar a um atraso na indicação do aquecimento da superfície externa do tubo;

ii) Condição de contorno errônea

A condição de contorno assumida para a entrada do tubo é de θ f = 1, o que

não acontece na prática. As válvulas e tubulações presentes a montante da seção

de testes irão resfriar o escoamento antes que este atinja a entrada do tubo,

fazendo com que θ f na entrada tenha um valor menor do que 1.

Das razões existentes a que possui uma maior probabilidade de interferência

nos resultados é a segunda. Uma alternativa para se estabelecer um perfil de

temperatura na entrada similar ao que acontece na prática é considerar um tubo

de comprimento maior do que o real. Este aumento de comprimento simula o

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Capítulo 4 Verificação dos Modelos 58

resfriamento causado pelas válvulas e tubos a montante da entrada. Buscou-se

assim, um comprimento de tubo que ajustasse os resultados da solução analíticonumérica

aos dados experimentais. A Figura 4.20 mostra essa comparação com

uma boa concordância entre os resultados, principalmente no segundo ponto de

medição, pois o primeiro ponto pode estar sofrendo influência dos efeitos das

camadas limites hidrodinâmica e térmica, efeito este que não é contemplado pela

solução analítico-numérica.

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

0,2

Experimental χ=70

Experimental χ=370

Analítico-Numérica χ = 300

Analítico-Numérica χ = 600

0,0

0 400 800 1200 1600 2000

τ (-)

Figura 4.20 – Comparação dos resultados experimentais com os resultados do modelo analíticonumérico

com a condição de entrada corrigida.

Apesar dos perfis de temperatura apresentarem certa semelhança, é necessária

a realização de uma investigação mais profunda para verificar se os efeitos físicos,

que influenciam esse problema, estão sendo contemplados na modelagem e se o

tempo de resposta dos termoresistores não estão mascarando os resultados.

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Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 59

5 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

No presente capítulo, será realizada uma investigação da influência dos

principais parâmetros do problema. Além disso, serão verificadas as situações em

que a utilização desta técnica é mais adequada. É importante lembrar que na

presente análise o número de Peclet será sempre maior que 600, o que garante a

validade da solução analítico-numérica.

As Figuras 5.1 e 5.2 mostram, respectivamente, a variação temporal e espacial

da temperatura do escoamento. As condições para este caso são Nu = 3,66

(escoamento laminar com temperatura prescrita na parede), Re = 2000, Pr = 6,50

(número de Prandtl da água), ξ = 120, η = 120, β = 1 e Ε = 0,025.

Percebe-se nessas figuras a existência de descontinuidades temporal e

espacial. Para valores de τ < χ, a temperatura do fluido permanece inalterada.

Quando τ = χ, ocorre uma variação brusca na temperatura do fluido, o que permite

identificar o exato momento em que o fluido quente chega à posição χ. Sendo assim,

consegue-se determinar o tempo decorrido para que a frente de calor atinja dois

pontos distintos, possibilitando a determinação da velocidade média do escoamento.

Para valores de τ > χ, a temperatura do escoamento aumenta até atingir a

temperatura de regime permanente.

Outro ponto a se destacar é que quanto maior for χ, maior é a diferença entre a

temperatura de regime permanente e a temperatura que o fluido atinge quando a

frente de calor alcança a posição χ (Figura 5.1). Isso ocorre devido à inércia do tubo.

Como o tubo está a uma temperatura inferior a do fluido quente, ocorre uma

transferência de calor do fluido para a parede. Quanto maior for a distância

percorrida pela frente de calor, maior terá sido o calor trocado, o que faz com que o

pico de temperatura seja cada vez menor. Esse pico de temperatura irá diminuir até

que, numa determinada distância χ, a temperatura da frente de calor será igual à

temperatura inicial do tubo ( θ = s

0 ).

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 60

1,0

0,8

0,6

θf (-)

0,4

0,2

χ = 200

χ = 400

χ = 600

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.1 – Temperatura do escoamento em três posições.

1,0

0,8

0,6

θf (-)

0,4

0,2

τ = 200

τ = 400

τ = 600

0,0

0 200 400 600 800 1000

χ (-)

Figura 5.2 – Temperatura do escoamento em tempos distintos.

Na Figura 5.3, é mostrada a temperatura da superfície externa do tubo nas

posições χ = 200, χ = 400 e χ =600. Enquanto isso, na Figura 5.4, pode-se observar

a variação da temperatura ao longo da parede externa do tubo em três instantes: τ =

200, τ = 400 e τ = 600.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 61

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

χ = 200

χ = 400

χ = 600

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.3 – Temperatura da superfície externa do tubo em três posições.

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

0,2

τ = 200

τ = 400

τ = 600

0,0

0 200 400 600 800 1000

χ (-)

Figura 5.4 – Temperatura da superfície externa do tubo em tempos distintos.

Assim como ocorreu com a temperatura do fluido, a temperatura do tubo não irá

se alterar para valores de τ < χ. Quando τ = χ ,o tubo começa a se aquecer, porém,

essa variação de temperatura não é tão abrupta como a que ocorre com a

temperatura do escoamento. Sendo assim, torna-se mais difícil de determinar o

instante em que o tubo começa a se aquecer. Além disso, percebe-se que as curvas

possuem inclinações diferentes, tendendo a se aproximarem com o passar do

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Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 62

tempo; as curvas tendem para o mesmo valor de regime permanente ( θ =1 s

) , pois o

número de Biot externo é igual a zero (parede externa adiabática).

A Tabela 5.1 mostra uma avaliação da velocidade média do escoamento através

do intervalo de tempo necessário para que dois pontos distintos na superfície

externa do tubo atinjam a mesma temperatura. A razão entre a distância

adimensional entre os pontos e o intervalo de tempo adimensional fornece a

velocidade média adimensional. Sendo assim, como a velocidade média

adimensional é igual a 1, quanto mais próximo de 1 for essa razão, mais preciso é o

resultado.

Tabela 5.1 – Avaliação da velocidade média do escoamento baseada na variação de temperatura

externa do tubo.

τ ∆χ = 200 (400 - 200) ∆χ = 400 (600 - 200)

θ s

χ = 200 χ = 400 χ = 600 ∆τ ∆χ / ∆τ Erro (%) ∆τ ∆χ / ∆τ Erro (%)

0,1 212 414,86 618,50 202,86 0,986 1,4 406,50 0,984 1,6

0,2 225,29 431,33 638,40 206,04 0,971 2,9 413,11 0,968 3,2

0,3 240,33 449,80 660,40 209,47 0,955 4,5 420,07 0,952 4,8

0,4 257,33 470,60 685,00 213,27 0,938 6,2 427,67 0,935 5,1

0,5 278,00 495,00 713,00 217,00 0,922 7,8 435,00 0,920 8,0

0,6 303,00 524,33 746,66 221,33 0,904 9,6 443,66 0,902 9,8

0,7 334,66 561,50 788,50 226,84 0,882 11,8 453,84 0,881 11,9

0,8 379,50 613,00 845,50 233,50 0,857 14,3 466,00 0,858 14,2

0,9 455,00 698,00 939,00 243,00 0,823 17,7 484,00 0,826 17,4

1,0 1014,00 1306,00 1585,00 292,00 0,685 31,5 571,00 0,701 29,9

Pode-se observar na Tabela 5.1 que a diferença de tempos entre as curvas não

é constante. Quanto maior for a temperatura, maior será a diferença de tempo entre

elas. Deve-se ressaltar também que, para uma mesma temperatura, a diferença de

tempos entre as curvas não varia significativamente para valores de θ s ≤ 0,9. Apesar

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Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 63

do erro maior ocorrer a temperaturas mais elevadas, quanto menor for a temperatura

de medição, mais difícil é de se determinar o intervalo de tempo necessário para que

a temperatura de duas posições distintas cheguem a um mesmo valor.

Note ainda que, apesar de não haver uma variação brusca de temperatura no

tubo, o tubo só começa a se aquecer quando a frente de calor atingi uma

determinada posição χ. Essas condições indicam a aplicabilidade da termometria na

medição de vazão do escoamento. No entanto, essa técnica terá uma maior

viabilidade caso o perfil de temperatura do tubo se aproxime do perfil de temperatura

do escoamento.

A resposta da temperatura na superfície externa do tubo em função da variação

do número de Reynolds para Ε = 0,025 e Ε = 0,125 é mostrada, respectivamente,

nas Figuras 5.5 e 5.6. Conforme pode-se observar nessas figuras, tanto no

escoamento laminar como no escoamento turbulento, um aumento no número de

Reynolds aumenta o tempo de resposta da temperatura da superfície externa do

tubo. Para a espessura adimensional de 0,025, nota-se também que os

escoamentos turbulentos (Re = 20.000 e Re = 1.000.000), quando comparados com

o escoamento laminar com Re = 2.000, possuem um tempo de resposta menor. Isso

acontece porque no escoamento turbulento ocorre um aumento significativo do

número de Nusselt, o que faz com que a temperatura cresça mais rapidamente.

Além disso, percebe-se que a sensibilidade do problema ao número de Reynolds é

maior no escoamento laminar do que no escoamento turbulento. Isso se deve ao

fato de que no escoamento laminar o coeficiente de película é constante, o que não

acontece no escoamento turbulento. No escoamento turbulento, um aumento no

número de Reynolds gera um aumento do número de Nusselt, o que tende a

diminuir o efeito do acréscimo no número de Reynolds.

Outro ponto a se destacar é a discrepância de comportamento apresentado pelo

perfil de temperaturas para Re = 1.000.000 e Ε = 0,125 (Figura 5.6). Como pode ser

observado, a temperatura da superfície externa do tubo não se aquece no momento

em que a frente de calor chega na posição χ = 100. Isso acontece porque neste caso

λ =130 , o que faz com que a condução de calor radial na parede seja significativa.

Com isso, o tempo de aquecimento da superfície interna é pequeno quando

comparado ao tempo para o calor atravessar a parede do tubo. A temperatura na

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Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 64

superfície interna do tubo começa a se aquecer no instante em que o fluido quente

atinge a posição χ = 100, no entanto, a temperatura na superfície externa levará um

tempo maior para iniciar o aquecimento.

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Re = 100

Re = 2000

Re = 20000

Re = 1000000

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.5 – Efeito do número de Reynolds na variação de temperatura da superfície externa do tubo

para Ε = 0,025

(χ = 100, Pr = 6,50, Bi e = 0, ξ = 120, η = 120, β = 1).

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Re = 100

Re = 2000

Re = 20000

Re = 1000000

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.6 – Efeito do número de Reynolds na variação de temperatura da superfície externa do tubo

para Ε = 0,125

(χ = 100, Pr = 6,50, Bi e = 0, ξ = 120, η = 120, β = 1).

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Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 65

Observando esses resultados, identifica-se que a utilização da técnica de

termometria tem maior viabilidade na medição de escoamentos turbulentos, pois a

resposta da temperatura na superfície externa do tubo é mais imediata. No entanto,

quando o efeito da condução radial no tubo é significativo, a resposta para

escoamentos turbulentos é mais lenta do que para escoamentos laminares.

Outro parâmetro a ser avaliado é o número de Prandtl. Para escoamentos

laminares, uma variação no número de Prandtl tem o mesmo efeito de uma variação

no número de Reynolds. Contudo, em escoamentos turbulentos isso não acontece.

Nos escoamentos turbulentos, os números de Reynolds e Prandtl afetam de

maneiras diferentes o coeficiente de película, conforme Equação 3.35. Sendo assim,

a sensibilidade do problema, no escoamento turbulento, não será a mesma para

estes dois parâmetros.

Nas Figuras 5.7 e 5.8, é mostrada a variação da temperatura na superfície

externa do tubo ao longo do tempo para Ε = 0,025 e Ε = 0,125. Os resultados são

similares aos efeitos do número de Reynolds, ou seja, quanto menor for o número de

Prandtl, mais rápida é a resposta da temperatura. Isso acontece porque um menor

número de Prandtl implica em uma maior difusividade térmica do fluido, o que tende

a aumentar a velocidade de aquecimento da superfície interna do tubo.

Observa-se novamente um atraso no aquecimento do tubo para um Pr = 65 e Ε

= 0,125 (Figura 5.8) pois λ = 0, 03 . Sendo assim, um número de Prandtl elevado além

de proporcionar uma resposta mais lenta, ocasiona um aumento no número de

Nusselt, o que pode aumentar a importância da condução radial na parede do tubo.

Portanto, pode-se dizer que a termometria possui uma maior viabilidade na

medição de gases e metais líquidos, os quais possuem um número de Prandtl menor

do que 1. Além do aquecimento do tubo ser mais rápido, um escoamento com esses

fluidos apresenta uma menor importância da condução radial quando comparado ao

escoamento de óleos. Contudo, deve-se tomar cuidado na medição de escoamentos

de metais líquidos, pois para números de Peclet baixos (Pe < 20) pode-se ter uma

condução axial no fluido significativa, o que impossibilitaria a utilização dessa

técnica.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 66

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Pr= 0,65

Pr = 6,5

Pr = 65

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.7 – Efeito do número de Prandtl na variação de temperatura da superfície externa do tubo

para Ε = 0,025

(χ = 100, Re = 20000, Bi e = 0, ξ = 120, η = 120, β = 1).

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Pr= 0,65

Pr = 6,5

Pr = 65

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.8 – Efeito do número de Prandtl na variação de temperatura da superfície externa do tubo

para Ε = 0,125

(χ = 100, Re = 20000, Bi e = 0, ξ = 120, η = 120, β = 1).

O próximo parâmetro a ser analisado é a espessura adimensional da parede, Ε .

A Figura 5.9 mostra os perfis de temperatura na superfície externa do tubo para Ε

igual a 0,025, 0,055, 0,125 e 0,214. A espessura da parede está relacionada com a

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Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 67

resistência e a inércia térmica do tubo. Percebe-se na Figura 5.9 que em tubos com

paredes finas o calor atravessa rapidamente a mesma, pois a resistência térmica e a

inércia da parede são baixas. Um aumento na espessura da parede leva a um

aumento na inércia térmica e, com isso, o tempo para atingir o regime permanente

será maior.

Assim, quanto maior for a espessura da parede, menor é a possibilidade de se

ter uma medição eficiente utilizando termometria. Além disso, quanto mais espessa

for a parede, maior será a resistência térmica na direção radial. A condução radial é

significativa para λ ≥ 0, 001 e isso vale tanto para o escoamento laminar como para o

escoamento turbulento.

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Е = 0,025

Е = 0,055

Е = 0,125

Е = 0,214

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.9 – Efeito da espessura adimensional da parede do tubo na variação de temperatura da

superfície externa do tubo

(χ = 100, Re = 2000,Pr = 6,50, Nu = 3,66, Bi e = 0, ξ = 120, η = 120, β = 1).

O número de Biot externo também é um parâmetro de relevância do problema.

Nas Figuras 5.10 e 5.11 é mostrada a variação da temperatura na superfície externa

para, respectivamente, escoamento laminar (Re = 2000) e escoamento turbulento

(Re = 20000). Enquanto isso, na Figura 5.12, é apresentado o perfil de temperatura

do escoamento laminar em três posições: χ = 100, χ = 200 e χ =400, para Bi e = 0,01.

Observa-se nessas figuras que quanto menor for o número de Biot, menor será a

transferência de calor entre o tubo e o ambiente, o que implica em um tempo maior

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 68

para se atingir o regime permanente. Além disso, quando o Biot é diferente de zero,

a temperatura de regime permanente vai ser menor quanto maior for a distância da

entrada do tubo.

Outro ponto a se ressaltar é a maior sensibilidade apresentada pelo escoamento

laminar. Nota-se na Figura 5.10 que a variação do perfil de temperatura para um

número de Biot entre 0,0001 e 0,001 é pequena. No entanto, para um número de

Biot igual a 0,01, a curva apresenta uma inclinação bem diferente das outras duas.

Isso acontece porque para números de Biot altos (Bi e > 0,001) as resistências

térmicas convectivas nas superfícies externa e interna do tubo possuem a mesma

ordem de grandeza, o que faz com que o efeito do número de Biot externo passe a

ser significativo. No escoamento turbulento por sua vez (Figura 5.11), a sensibilidade

ao número de Biot é bem pequena. Na mudança do regime laminar para o turbulento

ocorre um aumento brusco no número de Nusselt, o que implica em uma diminuição

da resistência térmica convectiva na superfície interna do tubo. Com isso, é

necessário um Biot externo elevado para que haja uma mudança significativa nos

perfis de temperatura.

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Bi = 0,0001

Bi = 0,001

Bi = 0,01

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.10 – Efeito do número de Biot externo na variação de temperatura da superfície externa do

tubo

(χ = 100, Re = 2000, Pr = 6,50, Nu = 3,66, ξ = 120, η = 120, β = 1, Ε = 0,125).

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 69

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

Bi = 0,0001

Bi = 0,01

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.11 – Efeito do número de Biot externo na variação da temperatura da superfície externa do

tubo

(χ = 100, Re = 20000,Pr = 6,50, Nu = 111,17, ξ = 120, η = 120, β = 1, Ε = 0,125).

1,0

0,8

θs (-)

0,6

0,4

0,2

χ = 100

χ = 200

χ = 400

0,0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

τ (-)

Figura 5.12 – Efeito do número de Biot externo na variação de temperatura em três posições ao longo

do tubo

(Re = 2000,Pr = 6,5, Nu = 3,66, Bi e = 0,01, ξ = 120, η = 120, β = 1, Ε = 0,125).

O número de Biot externo é um parâmetro de difícil determinação, pois na

superfície externa do tubo se estabelece um processo de convecção natural e

radiação em regime transitório. Portanto, o uso da termometria é mais apropriado na

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 70

medição de escoamentos turbulentos, pois mesmo que o número de Biot varie muito

durante a medição, isso não afetará a curva de temperatura, o que não acontece no

regime laminar. Além disso, essa sensibilidade ao número de Biot externo no regime

laminar faz com que haja uma diminuição gradativa da temperatura em regime

permanente ao longo do tubo. Consequentemente, a diferença entre as inclinações

das curvas é ainda maior do que no caso da parede adiabática, o que dificulta a

utilização da termometria.

Na Figura 5.13, é mostrado o perfil de temperatura na superfície externa do tubo

em função da razão entre as condutividades térmicas do sólido e do fluido. Observase

que quanto menor for essa razão, mais rápido é o aumento da temperatura do

tubo. Isso acontece porque uma maior condutividade térmica do fluido implica na

diminuição da resistência térmica convectiva na parede interna do tubo,

proporcionando um aumento na taxa de transferência de calor convectiva.

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

η = 12

η = 120

η = 1200

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.13 – Efeito da razão entre as condutividades térmicas na variação de temperatura da

superfície externa do tubo

(χ = 100, Re = 2000, Pr = 6,5, Nu = 3,66, Bi e = 0, ξ = 120, Ε = 0,125).

O efeito da razão entre as difusividades térmicas do sólido e do fluido no perfil

de temperatura da superfície externa do tubo, para uma parede adiabática (Bi e = 0),

é mostrado na Figura 5.14. Analisando essa figura nota-se que um aumento desse

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 71

parâmetro leva a um aquecimento mais rápido do tubo, resultado de uma difusão de

calor maior na parede do tubo em relação ao fluido.

Outro ponto a se ressaltar é que os efeitos das razões entre as condutividades e

difusividades são opostos. Comparando as Figuras 5.13 e 5.14, observa-se que um

aumento na razão entre as condutividades térmicas produz o mesmo efeito que a

diminuição na razão entre as difusividades térmicas. Assim, pode-se dizer que, para

paredes adiabáticas, a propriedade física que influencia o problema é a razão entre

as capacidades térmicas do fluido e do sólido, β.

Da solução analítica temos que:

∂θs

∂τ

= B

2

( θf

− θs

) + B3θs

2

2

Nu N

Bie

Ν

onde B2

= 4 β e B

2 3

= 4 ξ . Sendo a parede adiabática, Bi

2

e

é nulo

Pe 1−

N

Pe 1− Ν

e, consequentemente, B 3 será nulo. Com isso, de acordo com a solução analítica, o

aquecimento da parede depende da temperatura do fluido,

θ

f

, da temperatura do

sólido, θ

s

, e do coeficiente B 2 . Considerando que os números de Nusselt e de Peclet

e a espessura da parede são constantes, a solução analítica mostra que o

parâmetro que influencia o problema é a razão entre as capacidades térmicas do

fluido e do sólido, o que está de acordo com os resultados obtidos.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 72

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

ξ = 12

ξ = 120

ξ = 1200

0,0

0 200 400 600 800 1000

τ (-)

Figura 5.14 – Efeito da razão entre as difusividades térmicas na variação de temperatura da

superfície externa do tubo

(χ = 100, Re = 2000, Pr = 6,5, Nu = 3,66, Bi e = 0, η = 120, Ε = 0,125).

Analisando a solução analítica, observamos que quando a parede não é

adiabática, o coeficiente B 3 não é nulo e a razão entre as difusividades térmicas do

sólido e do fluido passa a ter influência no problema. Sendo assim, na Figura 5.15 é

mostrada a resposta da temperatura na superfície externa do tubo em função da

razão entre as difusividades térmicas do sólido e do fluido com um número de Biot

igual a 0,001. Neste caso, o que está sendo avaliado é o efeito da razão entre as

difusividades térmicas na troca de calor convectiva entre a superfície externa do tubo

e o ambiente. Com isso, para que a razão entre as difusividades térmicas não afete

a difusão na parede, a razão entre as capacidades térmicas é mantida constante.

Percebe-se na Figura 5.15 que um aumento razão entre as difusividades térmicas

acarreta uma diminuição na temperatura de regime permanente. Isto também

diminui o tempo para se atingir o regime permanente, dificultando a identificação do

instante em que se inicia o aquecimento da parede do tubo. Como o número de Biot

é mantido constante, um aumento na razão entre as difusividades térmicas, implica

em uma diminuição relativa da resistência térmica convectiva na superfície externa

do tubo.

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


Capítulo 5 Análise de Sensibilidade 73

1,0

0,8

0,6

θs (-)

0,4

0,2

ξ = 12

ξ = 120

ξ = 1200

0,0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

τ (-)

Figura 5.15 – Efeito da razão entre as difusividades térmicas na variação de temperatura da

superfície externa do tubo para Bi e = 0,001

(χ = 100, Re = 2000, Pr = 6,5, Nu = 3,66, β = 1, Ε = 0,125).

Vale ressaltar que, comparando as Figuras 5.10 e 5.15, observa-se que um

aumento na razão entre as difusividades térmicas possui o mesmo efeito que um

aumento no número de Biot externo, pois ambos ocasionam uma diminuição relativa

da resistência térmica convectiva na superfície externa do tubo, o que também está

de acordo com a solução analítica tendo em vista que ambos possuem o mesmo

efeito sobre o coeficiente B 3 .

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REFERÊNCIAS 74

6 CONCLUSÃO

6.1 CONCLUSÕES

Técnicas de medição de vazão não-intrusivas são de grande interesse para

indústria e pesquisas estão sendo realizadas com o objetivo de desenvolver novas

técnicas que possam suprir as deficiências daquelas já existentes. A medição de

vazão através de termometria é uma das alternativas.

O estudo da medição de vazão em tubos através da termometria consiste em

analisar um problema físico que compreende a convecção-condução conjugada em

tubulações operando em regime transitório. Devido à impossibilidade de se estudar o

problema analiticamente sem adotar simplificações, a utilização de uma análise

numérica é uma opção.

A solução analítico-numérica desenvolvida neste trabalho foi validada pela

solução analítica, apresentando resultados idênticos para as situações em que a

solução analítica é válida. Além disso, a solução proposta contempla efeitos de

difusão axial e radial no sólido, os quais não são previstos pela solução analítica. Na

comparação dos resultados da solução analítico-numérica com valores

experimentais, observou-se uma boa semelhança entre os perfis de temperatura da

superfície externa do tubo. No entanto, a solução analítico-numérica diverge da

solução analítica para os casos em que o passo de tempo adimensional é diferente

do comprimento adimensional de cada volume.

Por outro lado, a solução numérica do conjunto completo de equações de

conservação no fluido apresenta uma forte difusão numérica no domínio fluido

devido às descontinuidades espacial e temporal do problema físico. A solução para

este problema é refinar a malha, ou utilizar um esquema de interpolação de maior

ordem, ou ainda, implementar uma malha adaptativa refinada na posição da frente

de calor e que se desloque juntamente com a mesma a cada passo de tempo.

A medição de vazão em tubos através de termometria tem uma maior

viabilidade nos casos em que a difusão de calor no sólido, tanto axial como radial, é

desprezível. Com uma análise de escalas realizada, foi possível determinar

PPGEM – Engenharia Térmica (2006)


REFERÊNCIAS 75

parâmetros que identificam as situações em que as difusões de calor axial e radial

no domínio sólido são significativas. A partir desses parâmetros pode-se determinar

uma faixa de número de Reynolds em que a técnica de termometria terá uma maior

aplicabilidade.

Na análise de sensibilidade realizada, verificou-se que o aumento no número

de Reynolds e/ou no número de Prandtl provoca um aumento no tempo de resposta

da temperatura na superfície externa do tubo. Contudo, escoamentos turbulentos

quando comparados com escoamentos laminares próximos à transição possuem um

tempo de resposta mais rápido. Outro parâmetro analisado foi a espessura da

parede, e os resultados mostraram que quanto maior for a espessura da parede,

maior será o tempo para atingir o regime permanente. Outra conclusão obtida é que

o perfil de temperatura da superfície externa do tubo possui uma maior sensibilidade

ao número de Biot externo nos escoamentos laminares do que nos escoamentos

turbulentos. Em relação às razões entre as condutividades e difusividades térmicas

do sólido e do fluido, observou-se que seus efeitos são opostos, no caso de uma

parede adiabática. Em outras palavras, uma diminuição na razão entre as

condutividades tem o mesmo efeito que um aumento na razão entre as

difusividades. Nota-se assim que a propriedade física que influência o problema é a

razão entre as capacidades térmicas do fluido e do sólido. Caso a parede não seja

adiabática, um aumento na razão entre as difusividades térmicas ocasiona um

aquecimento mais lento da parede, pois, assim como um aumento no número de

Biot externo, um aumento na razão entre as difusividades térmicas diminui a

resistência térmica convectiva na superfície externa do tubo.

Portanto, a partir dos resultados e conclusões obtidas com este trabalho, podese

dizer que a medição de vazão em tubos através de termometria possui uma maior

viabilidade de medição de escoamentos turbulentos de gases e metais líquidos, com

razões entre as capacidades térmicas do fluido e do sólido altas e em tubos com

espessuras pequenas. Deve-se levar em conta também os efeitos da condução de

calor axial e radial na parede, as qual está relacionadas com as propriedades do

material do tubo e do fluido e de características do escoamento. Ambos os efeitos

dificultam a utilização da termometria na medição de vazão. Sendo assim, para que

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REFERÊNCIAS 76

a medição tenha uma maior viabilidade, deve-se ter valores de ψ elevados ( ψ ≥1)

e

valores de λ pequenos ( λ ≤ 0,001)

.

Levando em conta todos os efeitos que dificultam a medição de vazão por

termometria, considera-se que a faixa de operação em que essa medição é eficaz

pode ser muito restrita, o que pode inviabilizar a sua utilização. Para se ter uma

conclusão mais abalizada sobre o assunto é necessário a realização de um estudo

experimental que identifique a faixa de operação em que a termometria possa ser

utilizada com sucesso.

6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Baseado nas diversas análises realizadas durante este trabalho e visando um

maior entendimento dos efeitos físicos que influenciam o problema estudado

recomenda-se:

i. Implementação de um esquema de interpolação de maior ordem na

discretização do domínio fluido da solução analítico-numérica;

ii.

iii.

iv.

Utilização de uma média ponderada na determinação da temperatura

adimensional do centro do volume para que não haja uma dependência

entre o passo de tempo adimensional e o comprimento adimensional de

cada volume;

Implementação de uma malha adaptativa na solução numérica para que

o problema de difusão numérica seja solucionado;

Realização de um estudo experimental utilizando termoresistores com

uma menor inércia térmica para validar os resultados numéricos e

determinar com uma maior precisão a faixa de operação em que a

medição de vazão através de termometria pode ser aplicada com

eficácia;

v. Estudo da possibilidade de realizar a medição de vazão por termometria

através do problema inverso, ou seja, levantando o perfil de

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REFERÊNCIAS 77

temperatura de um determinado ponto, identificar o número de

Reynolds a ele associado.

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