Lista 2 - Instituto de Física - UFRGS

Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Física – Departamento de Física
FIS01181 – Área IV – Lista 2
1. Transforme a) 223 o para radianos e b) 6 rad para graus. c) Calcule
cos(0.8 rad). d) Quanto vale sin θ, se cos θ = 0.75? e) Quanto vale
θ (em radianos) no caso do item anterior? f) Quais são os dois menores
ângulos positivos (em radianos) tais que cos θ é nulo e sin θ é
negativo?
2. Considere um ângulo φ(t) que varia com o tempo segundo a
relação φ(t) = 8t + δ e uma função x(t) que depende desse ângulo
x(t) = 12 cos φ onde t é dado em segundos, δ é uma incógnita dada
em radianos, e x é dado em centímetros. Suponha o intervalo de tempo
entre t = 0 e t = 10 s. a) Quais são as unidades das grandezas representadas
pelos fatores numéricos 8 e 12 nas relações acima? b) Quais
são os valores máximo e mínimo da função x(t) nesse intervalo de
tempo? c) Calcule os possíveis valores de δ sabendo que, no instante
inicial, x(t = 0) = 0. d) Determine o valor de δ sabendo que, nesse
instante (t = 0), sen φ é negativo.
3. Uma partícula move-se de acordo com a seguinte equação de movimento:
x(t) = 5cos(3.5t+π/3), onde a posição x(t) é dada em metros
e o tempo t, em segundos. a) Qual é a posição inicial da partícula?
Calcule os quatro primeiros instantes em que a partícula passa pelas
seguintes posições: b) x = 0, c) x = 5m, e d) x = −5m. e) Faça
um gráfico da função x(t).
4. Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de
movimento: x 1(t) = 5cos(3.5t+π/3) e x 2(t) = 5cos(3.5t+2π/3)
onde as posições x 1(t) e x 2(t) são dadas em metros e o tempo t, em
segundos. a) Quais são as posições iniciais das partículas? b) Qual
é a posição da partícula 2, quando a partícula 1 passa pela posição
x 1 = 4m pela primeira vez? c) Determine o primeiro instante de
tempo em que as partículas se encontram, e a posição onde isso ocorre.
5. Quando um bloco de 4 kg é pendurado em uma certa mola, produz
um aumento de 16 cm no tamanho normal da mola. a) Qual é o valor
da constante elástica da mola? b) O bloco é removido e um outro
bloco de 0.5 kg é pendurado, verticalmente, na extremidade da mesma
mola. Depois que a mola for esticada e a seguir libertada, qual será o
período da oscilação?
6. Um oscilador é constituído por um bloco de 0.5 kg conectado a
uma mola. Quando ele oscila com amplitude de 35 cm, verifica-se que
o seu movimento é repetido a cada 0.5 s. Calcule: a) o período; b) a
freqüência; c) a freqüência angular; d) a constante da mola; e) a velocidade
máxima, e f) a força máxima exercida sobre o bloco. g) Escreva
a equação de movimento do bloco, sabendo que ele passa pela origem,
com velocidade positiva, no instante inicial.
7. Um bloco de 50 g está ligado na extremidade inferior de uma
mola vertical, e o sistema começa a oscilar livremente. A velocidade
máxima do bloco é igual a 15 cm /s e o período é igual a 50 s. Calcule:
a) a constante da mola; b) a amplitude do movimento; c) a freqüência
das oscilações. d) Escreva a equação de movimento do bloco, sabendo
que, no instante inicial, sua velocidade máxima e positiva.
8. Um corpo oscila num movimento harmônico simples (MHS) de
acordo a relação:
x(t) = (6m) cos[(3π rad /s)t + π/3rad] .
Determine: a) o deslocamento; b) a velocidade; c) a aceleração e d)
a fase no instante t = 2s. Calcule também, em relação a este movimento,
e) a freqüência e f) o período.
9. Uma partícula executa um movimento harmônico linear em torno
do ponto x = 0. Em t = 0, ela apresenta um deslocamento
x = 0.37 cm e velocidade nula. A freqüência do movimento é igual
a 0.25 Hz. Determine: a) o período, b) a freqüência angular, c) a amplitude,
d) o deslocamento no instante t, e) a velocidade no instante t,
f) a velocidade máxima, g) a aceleração máxima, h) o deslocamento
para t = 3s e i) a velocidade para t = 3s.
10. A extremidade de uma certa mola vibra com um período de 2 s
quando um bloco de massa m está ligado a ela. Quando adicionamos
um bloco de massa igual a 2 kg a este bloco, verificamos que o novo
período é igual a 3 s. Calcule o valor de m.
11. Um oscilador é constituído por um bloco preso a uma certa mola
(k = 400 N /m). Num dado instante t, a posição (medida a partir da
configuração de equilíbrio), a velocidade, e a aceleração do bloco valem:
x = 0.1 m, v = −13.6 m /s, e a = −123 m /s 2 . Calcule a) a
freqüência, b) a massa do bloco, e c) a amplitude da oscilação.
12. Um pequeno objeto está pendurado em uma mola presa ao teto.
No instante inicial, o objeto é mantido cuidadosamente numa posição
tal que não existe deformação na mola. A seguir, o objeto é solto e
passa a oscilar, sendo de 10 cm o afastamento máximo da posição inicial.
a) Mostre que a posição de equilíbrio do sistema encontra-se a
5 cm abaixo da posição inicial. (Dica: Use a Conservação da Energia.)
b) Calcule a freqüência de oscilação. c) Qual é a velocidade do objeto
quando alcança, pela primeira vez, um ponto a 8 cm posição inicial?
d) Adiciona-se um outro objeto de 300 g ao objeto inicial, e verifica-se
que a nova freqüência de oscilação é metade da freqüência original.
Qual é a massa do objeto inicial?
13. Um bloco de massa m é colocado a oscilar sob a ação das
associações de molas mostradas nas figuras. Para cada um dos sistemas,
calcule o k efetivo (da mola, única, que poderia substituir as
duas, sem alterar o período) e o períodos de oscilação.
a)
b)
1
14. Um bloco de m = 1kg, apoiado sobre um bloco de M = 10 kg,
está preso à extremidade de uma mola (k = 200 N /m). Não existe
atrito entre a superfície horizontal e o bloco de massa M. O coeficiente
de atrito estático entre os dois blocos é igual a 0.4. Determine
qual será a amplitude máxima do movimento harmônico do sistema
para que não ocorra deslizamento relativo entre os dois blocos.
15. Um sistema oscilante bloco-massa possui uma energia mecânica
de 1 J, uma amplitude de 0.1 m, e uma velocidade máxima igual a
1.2 m /s. Calcule a) a constante da mola, b) a massa do bloco, e c) a
freqüência da oscilação.
16. Um disco circular, uniforme e achatado, tem massa igual a 3 kg e
raio igual a 0.7 m. Ele está suspenso num plano horizontal por meio
de um fio vertical ligado ao seu centro. Quando o disco sofre uma
torção de 2.5 rad em torno do fio, um torque de 0.06 N.m é necessário
para manter o disco nesta posição. Calcule a) o momento de inércia
do disco em torno do fio, b) a constante de torção κ do fio, e c) a
freqüência angular desse pêndulo de torção.
17. Calcule o comprimento de um pêndulo simples cujo período vale
1 s num ponto onde g = 9.82 m /s 2 .
18. Um pêdulo simples tem comprimento igual a 2.1 m e executa 62
oscilações em 3 minutos. Qual é a aceleração local da gravidade?
19. Uma régua de um metro de comprimento é usada como um
pêndulo físico. O pivô no qual ela é suspensa está encaixado num pequeno
orifício situado a uma distância x da marca referente a 50 cm.
Sabendo que o período desse pêndulo físico é igual a 2 s, calcule a
distância x.
20. Um disco circular uniforme, de raio R=12.5 cm, está suspenso,
como um pêndulo físico, por um ponto situado na sua periferia. a)
1
2
2

Calcule o período das oscilações. b) Mostre que, se estivesse suspenso
de um ponto situado na metade da distância entre o centro e a
periferia, ele deveria ter o mesmo período.
21. Um pêndulo é formado ao articular uma barra homogênea, longa
e fina, de compromento L e massa m, em torno de um ponto que está
a uma distância d acima do centro da barra. a) Ache o período das
oscilações de pequena amplitude desse pêndulo em termos de d, L, m
e g. b) Mostre que o período tem um valor mínimo quando d = 0.29L.
22. Um pêndulo é constituído por um disco uniforme com raio de
10 cm e massa igual a 500 g, tendo uma haste fina presa ao centro do
disco. A haste tem comprimento de 50 cm e 270 g de massa. a) Determine
o momento de inércia do pêndulo em torno do pivô. b) Qual é
a distância entre o pivô e o centro de massa do pêndulo? c) Calcule o
período das pequenas oscilações deste pêndulo.
23. Você deve construir três sistemas que oscilem em ressonância, com
um período de 2 s: um sistema bloco-mola, um pêndulo simples, e um
pêndulo físico. Para tanto, você dispõe de uma mola de k = 2 N /m e
massas de valores variados, um fio longo e uma esfera de m = 50g,
e uma régua de 1 m de comprimento e 300 g de massa que pode ser
suspensa através de qualquer ponto. Considere que g = 9.8 m /s 2 , e
determine: a) a massa do bloco do sistema bloco-mola, b) o comprimento
do fio do pêndulo simples, e c) o ponto de suspensão do pêndulo
físico.
RESPOSTAS: 1. 3.89 rad, 343 o , 0.697, ±0.661, 0.23π rad e −1.77π rad, 3π/2 rad e 7π/2 rad 2. 8 rad /s e 12 cm, ±12 cm,
±π/2 rad, −π/2 rad 3. 2.5 m; 0.15 s, 1.05 s, 1.94 s, 2.84 s; 1.5 s, 3.29 s, 5.09 s, 6.88 s; 0.6 s, 2.39 s, 4.19 s, 5.98 s 4. ±2.5 m;
−4.3 m; π/7 s,−4.3 m 5. 245 N /m; 0.284 s 6. 0.5 s; 2 Hz; 12.6 rad /s; 79 N /m; 4.4 m /s; 27.6 N; x(t) = 0.35 cos(4πt − π/2) 7.
7.9 × 10 −4 N/m; 1.19 m; 0.02 Hz; x(t) = 1.19 cos(πt/25 − π/2) 8. 3 m; −49 m /s; −267.5 m /s 2 ; 19.9 rad; 1.5 Hz; 0.67 s 9.
4 s; π/2 rad /s; 0.37 cm; 0.37 cos(πt/2); −0.58sen (πt/2); 0.58 cm /s; 0.91 cm /s 2 ; 0; 0.58 cm /s 10. 1.6 kg 11. 5.6 Hz; 0.33 kg;
0.4 m 12. 2.23 Hz; −0.56 m /s; 100 g 13. k ef = k 1 + k 2 ; k −1
ef
= k −1
1 + k −1
2 14. 21.6 cm 15. 200 N /m; 1.39 kg; 1.91 Hz 16.
0.735 kg.m 2 ; 0.024 N.m; 0.181 rad /s 17. 0.249 m 18. 9.84 m /s 2 19. 9.3 cm 20. 0.869 s 21. 2π √ (L 2 + 12d 2 )/12gd 22.
0.205 kg.m 2 ; 0.477 m; 1.5 s 23. 203g; 99.3 cm; 40.7 m da extremidade