Resolver exercícios 391, 392, 393 e 394 das páginas 183 e 184.

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II
TPC 5 do plano de trabalho nº 10
Resolver exercícios 391, 392, 393 e 394 das páginas 183 e 184.
391. Calculemos ( h g) ( ln3)
′ , derivada de h g
h′ x = x − 1 e
no ponto ln3 , sabendo que ( )
2
x
( ) = e . Ora ( h g) ′ ln3
( ln3) = h′ ( g( ln3)
) × g′ ( ln3) = h′
( 3)
× 3 = 8× 3 = 24 porque ( )
g x
x
ln3
′( ) = e pelo que ( )
g x
g′ ln3 = e = 3.
gln3 = e = 3e
392. Vamos calcular os limites seguintes utilizando a sugestão dada no enunciado: “escrever 2 x e
a x como exponenciais de base e.
a.
b.
x
x
ln( 2 )
x
2 −1 e −1 ln 2 xln2
lim = lim × = 1× lim = ln2
x→0 x 0 x
x → x x→0
ln 2
x
( )
( )
x
x
ln( a )
x
a −1 e −1 ln a xlna
lim = lim × = 1× lim = lna
x→0 x 0 x
x → x x→0
ln a
x
( )
( )
393. Calculemos as funções derivadas de:
f′ x = 3× 2 × ln2
3x
3x
a. f( x) = 2
( )
b. ( ) ( )
c. f( x)
x 2
2 2 2
= + ⋅ f′ ( x) = 3 x + ( x + 1) ⋅2x ⋅3 x ⋅ ln3 = 3 x ( 1+ 2x 2 ln3 + 2x ln3)
f x x 1 3
( x)
=
x
2 1
x 1
2 + +
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
x+ 1 x x x+ 1 x+ 1 x x x+ 1 x+
1
2 × 2 ln2 − 2 + 1 × 2 ln2 2 × 2 ln2 − 2 × 2 ln2 −2 ln2 ln2
2 2 x+
1
x+ 1 x+
1
f′ = = = −
2 2
2
394. Determinemos o domínio e a função derivada de cada uma das funções reais de variável real
definidas por:
2
a. y log( x 1)
b.
c.
= + D=
IR
2
y log3
t 1
= + D=
IR
1
y =
ln t 1
( + )
y′ =
2
( x + )
Professora: Rosa Canelas 1
2008-2009
2x
2t
1 ln10
2
2 t 1 t
y′ =
+
=
+ ln3 t 1
2
ln3 t 1
2
( + )
{ ( ) } ] [ ] [
D= t∈ IR:t+ 1> 0∧ ln t+ 1 ≠ 0 = −1,0 ∪ 0, +∞

− 1
y′ =
t + 1
= −
( ln( t+ 1)
) ( t+ 1) ( ln( t+
1)
)
x+
1
d. y = log2
x − 1
e.
f.
1
2 2
⎧ x+
1
⎫
D= ⎨x∈ IR: > 0∧x−1≠ 0 ⎬= −∞, −1 ∪ 1, +∞
⎩ x−
1
⎭
x−1−x−1
2
( x−1) −2( x−1)
−2
y′ = = =
2
x+ 1
2
ln2 ( x+ 1)( x−1) ln2 ( x − 1)
ln2
x−
1
y
1 1
logt t
] [ ] [
= + D = { t ∈ IR : t > 0 ∧logt ≠0 ∧t ≠ 0 } = IR + \ { 1 }
1
−
1 1 1
y′ =
tln10
− = − −
2 2 2 2
t
y
g. ( )
( logt) t t ln10( logt)
2
= log x
D=
IR +
1
g x = ln x
1
−
2
x
1 1
2
2 1
g′ x
( x)
= = − x = −
1 2 2x
x x
Vamos resolver ainda a inequação ( )
1 2logx
y′ = 2logx× =
xln10 xln10
⎧⎪
1 1 ⎫⎪
D= ⎨x∈IR:x ≠0∧ ≥0∧ > 0⎬=
IR
⎪⎩
x x ⎪⎭
1 ⎛ 1⎞
1
2g x ≥lnx ⇔ 2ln ≥lnx ⇔ln ≥lnx⇔ln ≥lnx
x ⎜
x ⎟
⎝ ⎠
x
porque o domínio da condição é IR + podemos identificar ln x com ln x .
⇔−lnx−lnx≥0⇔lnx≤0⇔x≤1∧ x> 0⇔x∈
] 0,1]
+
2
Professora: Rosa Canelas 2
2008-2009