Um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas é o ...
Um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas é o ...
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO<br />
AULA 04: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES<br />
TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU<br />
1. SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM DUAS<br />
INCÓGNITAS<br />
1.1 Definição: <strong>Um</strong> <strong>sistema</strong> <strong>de</strong> equações <strong>do</strong> <strong>primeiro</strong> <strong>grau</strong> <strong>com</strong> <strong>duas</strong> incógnitas<br />
é o um conjunto forma<strong>do</strong> por <strong>duas</strong> equações <strong>do</strong> <strong>primeiro</strong> <strong>grau</strong> <strong>com</strong> <strong>duas</strong><br />
incógnitas da forma:<br />
on<strong>de</strong> x e y são suas incógnitas, a 1 e a 2 são os coeficientes <strong>de</strong> x , b 1 e b 2 são os<br />
coeficientes <strong>de</strong> y e c 1 e c 2 são os termos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes. A solução <strong>do</strong> <strong>sistema</strong><br />
será única se só se .<br />
Resolver um <strong>sistema</strong> <strong>de</strong> equações <strong>do</strong> <strong>primeiro</strong> <strong>grau</strong> significa encontrar os<br />
valores das incógnitas x e y que satisfaz, simultaneamente, as <strong>duas</strong> equações.<br />
É fácil verificar, por substituição, que x = -1 e y = 2 é solução <strong>do</strong> <strong>sistema</strong>.<br />
1ª equação : 2x + 3y = 2(-1) + 3(2) = -2 + 6 = 4<br />
2ª equação: x + 4y = (-1) + 4(2) = -1 + 8 = 7<br />
1.2 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA<br />
Os três principais méto<strong>do</strong>s da álgebra elementar para resolução <strong>de</strong> um<br />
<strong>sistema</strong> <strong>de</strong> equações <strong>do</strong> 1º <strong>grau</strong> são os méto<strong>do</strong>s <strong>de</strong> substituição, adição e<br />
<strong>com</strong>paração. Cada um <strong>de</strong>stes méto<strong>do</strong>s tem por objetivo eliminar uma das<br />
incógnitas <strong>do</strong> <strong>sistema</strong>, <strong>de</strong> mo<strong>do</strong> a transformar o mesmo numa única equação<br />
<strong>do</strong> 1º <strong>grau</strong> <strong>com</strong> uma variável. <strong>Um</strong>a vez encontra<strong>do</strong> o valor <strong>de</strong> uma das<br />
incógnitas, o valor da outra incógnita po<strong>de</strong> ser obti<strong>do</strong> através da substituição<br />
<strong>do</strong> valor conheci<strong>do</strong> em uma das equação <strong>do</strong> <strong>sistema</strong>.<br />
DESCRIÇÃO<br />
Méto<strong>do</strong> <strong>de</strong> substituição: O méto<strong>do</strong> consiste em eliminar uma das<br />
incógnitas <strong>de</strong> uma das equações. Tira-se em uma das equações o valor<br />
da incógnita a ser eliminada e, em seguida, substitui-se o valor da<br />
incógnita eliminada na outra equação, obten<strong>do</strong> assim uma equação <strong>do</strong><br />
1º <strong>grau</strong>.<br />
Da<strong>do</strong> o <strong>sistema</strong>: 2x – y = 3<br />
3x + 2y = 1<br />
Eliminan<strong>do</strong> a incógnita y e tiran<strong>do</strong> seu valor, na primeira equação, em<br />
termos <strong>de</strong> x:<br />
- y = 3 – 2x y = -3 + 2x y = 2x - 3<br />
Substituin<strong>do</strong> esse valor na segunda equação, temos:<br />
3x + 2(2x - 3) = 1 3x + 4x – 6 = 1 7x = 7 x = 1
Substituin<strong>do</strong> x = 1 na expressão y = 2x -3, Obtém-se y = 2(1) – 3 = 2 -3<br />
= -1<br />
Assim: x = 1 e y = -1 é a solução <strong>do</strong> <strong>sistema</strong>.<br />
Obs.: Caso o <strong>sistema</strong> seja constituí<strong>do</strong> <strong>de</strong> três equações e três<br />
incógnitas o mo<strong>do</strong> operante é quase idêntico. Substitui-se o valor da<br />
incógnita a ser eliminada nas <strong>duas</strong> outras equações, obten<strong>do</strong> assim um<br />
<strong>sistema</strong> <strong>de</strong> <strong>duas</strong> equações <strong>com</strong> <strong>duas</strong> incógnitas.<br />
Exemplo: 2x + 3y + z = 1<br />
x + 2y – z = -3<br />
x + y + z = 2<br />
Eliminar z na primeira equação: z = 1 – 2x – 3y<br />
Substituir o valor <strong>de</strong> z nas <strong>duas</strong> outras equações:<br />
x + 2y – (1 – 2x – 3y) = -3<br />
x + y + (1 – 2x – 3y) = 2<br />
Agrupan<strong>do</strong> os termos semelhantes, obtém-se um <strong>sistema</strong> <strong>com</strong> <strong>duas</strong><br />
equações e <strong>duas</strong> incógnitas:<br />
3x + 5y = -2<br />
-x – 2y = 1<br />
Aplican<strong>do</strong> o méto<strong>do</strong> da substituição, conclui-se que x = 1 e y = - 1.<br />
Substituin<strong>do</strong> os valores <strong>de</strong> x e y na expressão <strong>de</strong> z, temos: z = 1 – 2(1) –<br />
3(-1) = 1 – 2 + 3 = 2. Logo, a solução <strong>do</strong> <strong>sistema</strong> é o terno (1, -1, 2).<br />
Méto<strong>do</strong> <strong>de</strong> Adição: O méto<strong>do</strong> consiste em multiplicar as <strong>duas</strong><br />
equações por um número real conveniente escolhi<strong>do</strong> <strong>de</strong> mo<strong>do</strong> que os<br />
coeficientes da incógnita a ser eliminada fiquem reduzi<strong>do</strong>s a números<br />
simétricos. Em seguida, somam-se membro a membro das equações,<br />
obten<strong>do</strong> uma equação <strong>do</strong> 1º <strong>grau</strong> <strong>com</strong> uma incógnita.<br />
Exemplo:<br />
2x – y = 3 4x – 2y = 6 (multiplican<strong>do</strong> ambos os membros por 2)<br />
3x + 2y = 1 3x + 2y = 1(multiplican<strong>do</strong> ambos os membros por 1 )<br />
7x = 7<br />
x = 1<br />
Substituin<strong>do</strong> o valor <strong>de</strong> x na primeira equação: 2(1) – y = 3 2 – y =<br />
3 y = 2 – 3 = -1.<br />
Solução <strong>do</strong> <strong>sistema</strong> é x = 1 e y = -1<br />
Méto<strong>do</strong> <strong>de</strong> Comparação: O méto<strong>do</strong> consiste em isolar uma mesma<br />
variável nas <strong>duas</strong> equações e <strong>com</strong>parar os resulta<strong>do</strong>s, obten<strong>do</strong> assim,<br />
uma equação <strong>do</strong> 1º <strong>grau</strong> <strong>com</strong> uma incógnita que é a outra variável.<br />
Consi<strong>de</strong>ran<strong>do</strong> o <strong>sistema</strong> forma<strong>do</strong> por <strong>duas</strong> equações <strong>do</strong> <strong>primeiro</strong> <strong>grau</strong><br />
<strong>com</strong> <strong>duas</strong> incógnitas:
Substituin<strong>do</strong> o valor <strong>de</strong> y em uma das equações iniciais, obtém se o<br />
valor <strong>de</strong> x correspon<strong>de</strong>nte.<br />
1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS<br />
Os <strong>sistema</strong>s po<strong>de</strong>m ser classifica<strong>do</strong>s <strong>com</strong>o:<br />
quan<strong>do</strong> admite uma única solução.<br />
Exemplo:<br />
O <strong>sistema</strong> tem uma única solução (1 , 1).<br />
quan<strong>do</strong> recai numa equação impossível.<br />
Exemplo:<br />
O <strong>sistema</strong> não admite solução.<br />
quan<strong>do</strong> recai numa i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>.<br />
Exemplo:<br />
O <strong>sistema</strong> tem infinitas soluções.<br />
EXERCITANDO 1<br />
Resolva o <strong>sistema</strong> <strong>de</strong> equação:<br />
Classifique os <strong>sistema</strong>s, caso seja <strong>de</strong>termina<strong>do</strong>, in<strong>de</strong>termina<strong>do</strong> e<br />
impossível.<br />
Responsável: Kiara Lima Costa<br />
Universida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral <strong>do</strong> Ceará - Instituto UFC Virtual