Matemática Financeira - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio

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Matemática Financeira - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio

IAG

Matemática

Financeira

Prof. Luiz Brandão

2012

1

B&A

Fluxo de Caixa

• O valor do dinheiro no tempo

• Representação:

Saídas

Entradas

(100) 100

2

B&A

• Visualização:

Fluxo de Caixa

0 1 2 3 4 5

• Definições:

Fluxo de Caixa

VP Valor Presente

i Taxa de juros

Fluxo de Caixa

VF Valor Futuro

n Número de Períodos

J Valor de Juros recebidos

3

B&A

4

B&A


VP = 1.000

i = 10% a.a.

n =1

Exemplo

J = VP x i = 1.000 x 10% = 100

VF = VP + J = 1.100

VF = VP (1+i)

0 1

VP =1.000 J = ?

VF = ?

Ano

Saldo no

Início do ano

Juros Simples

• Sempre são calculados sobre o valor inicial

do empréstimo

Taxa de

Juros

Base de

Cálculo

Juros do

período

Saldo final

do ano

1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.100

2 $1.100 10% $1.000 $100 $1.200

3 $1.200 10% $1.000 $100 $1.300

4 $1.300 10% $1.000 $100 $1.400

5

B&A

6

B&A

Juros Simples

• Fórmula Geral para Juros Simples:

b g

VF = VP 1+ i ⋅n

• A partir da fórmula acima podemos obter:

VP

VF

= i 1+ i ⋅ n

VF −VP

=

VP ⋅n

VF −VP

n =

iVP ⋅

Ano

Juros Compostos

• Sempre são calculados sobre o valor inicial do

empréstimo mais os juros do período

Saldo no

Início do ano

Taxa de

Juros

Base de

Cálculo

Juros do

período

Saldo final

do ano

1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.100

2 $1.100 10% $1.100 $110 $1.210

3 $1.210 10% $1.210 $121 $1.331

4 $1.331 10% $1.331 $133 $1.464

7

B&A

8

B&A


10000

7000

4000

1000

Juros Simples e Juros Compostos

Juros Compostos

Juros Simples

0 5 10 15 20 25

Juros Compostos

• Fórmula Geral para Juros Compostos:

( 1 )

VF = VP + i

• A partir da fórmula acima podemos obter:

VP =

VF

( 1+

i)

n

n

1

n

⎛VF


i = ⎜ ⎟ −1

VP

n =

⎛VF


ln ⎜ ⎟

⎝VP


⎝ ⎠ ln ( 1+

i)

9

B&A

10

B&A

VP = 100

i = 10% a.a.

n = 6

0 1

VP =100 VF = ?

Exemplo

VF = VP ( 1 + i )

VF = 100 ( 1 + 0,1 )

6

= 177,16

2

VF = ?

n

6

VF = ?

Exercícios

1. Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa

de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos

desta aplicação?

2. Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em

determinada instituição terá em 2 anos $2.420. Qual é a

taxa que esta instituição está pagando para sua

aplicação?

3. Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para

fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você

deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa

de juros que esta poupança paga é 12% ao ano?

11

B&A

12

B&A


Exercícios

4. Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica

$2.000,00 a juros compostos pelo período de 4 anos a

uma taxa de 20% ao ano?

5. Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao

final do 5 ano $1.500,00. Considere que a taxa de juros

compostos que você usou é de 10% ao ano.

6. Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar

$3.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos

de 20% ao mês?

7. Você tem hoje (t=0) $1.000.000,00 para aplicar a uma

taxa de 15% ao ano. Quanto você terá depois de 4 anos

desta aplicação?

13

B&A

Utilizando Calculadoras

Financeiras

Convenção:

0 1 2 3 n

......

PV PMT PMT PMT ...... PMT

FV

PV Valor Presente

i Taxa de juros

FV Valor Futuro

n Número de Períodos

PMT Anuidade

14

B&A

Usando a HP12c

• Funções Financeiras

• Teclas brancas, azuis e amarelas

• Casas decimais

• Exemplos

– Calculando um Valor Futuro

– Calculando um Valor Presente

– Calculando uma Taxa de Juros

Usando a HP12c

Calculando um Valor Futuro

Suponha que você irá investir $100 num banco a uma

taxa de 10% a.a. por um período de 6 anos. Qual o

montante a receber ao final dos 6 anos?

Valor do investimento hoje: PV = 100

Taxa de juros do investimento: i = 10%

Duração do investimento: n = 6

Valor Futuro deste investimento: FV = ?

15

B&A

16

B&A


Usando a HP12c

Usando a HP12c

Calculando um Valor Presente

Ação

Descrição

1 tecle

Limpa a memória financeira

FIN

2 100 e tecle Informa que o Valor Presente é $100

3 10 e tecle Informa que os juros são 10% p/ período

4 6 e tecle Informa que são 6 períodos

5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16

Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter

acumulado um total de $1.000 daqui a 12 meses, a

umataxade3%aomês?

Valor Futuro: FV = 1.000

Taxa de juros do investimento: i = 3%

Duração do investimento: n = 12

Valor Presente deste investimento: PV = ?

17

B&A

18

B&A

Usando a HP12c

Usando a HP12c

Calculando uma Taxa de Juros

Ação

1 tecle FIN Descrição

Limpa a memória financeira

2 100 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.000

2 12 e tecle Informa que são 12 períodos

3 10 3 e tecle Informa que os juros são 3% 10% p/ p/ período

4 1000 6 e tecle Informa que o são Valor 6 períodos Futuro será $1.000

5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16

5 tecle Calcula o Valor Presente: -701.37

Qual é a taxa de juros anual que faz uma aplicação

hoje no valor de 1.000,00 valer $1.200,00 em 1 ano?

Valor Presente: PV = 1.000

Valor Futuro: FV = (1.200)

Duração do investimento: n = 1

Taxa de juros do investimento: i = ?

19

B&A

20

B&A


Usando a HP12c

Anuidades (PMT)

• Uma anuidade é uma série de pagamentos ou

recebimentos iguais e sucessivos.

Ação

1 tecle

FIN

Descrição

Limpa a memória financeira

2 100 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.000

2 12 e tecle Informa que são 12 períodos

2 1000 e tecle Informa que o Valor Presente é $1.000

3 1200 10 3 e tecle Informa que o os Valor juros Fut. são será 3% 10% p/ ($1.200) p/ período

4 1000 61 e tecle Informa que é o são 1 Valor período 6 períodos Futuro será $1.000

5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16

5 tecle Calcula o Valor Presente: -701.37

5 tecle Calcula os juros: 20%

• É muito utilizado em financiamentos para compra de

bens.

• A maioria das vendas de crediário, conforme

anunciados nos jornais, utiliza cálculo de anuidade.

– Ex: TV Full HD 42”: Apenas 12 x R$ 299,00 (ou R$ 2.800,00

à vista).

Obs: É necessário teclar

para trocar o sinal do Valor Futuro.

21

B&A

22

B&A

Anuidade

• Valor Futuro de uma Anuidade:

PMT = 1.000

i = 10% a.a.

n = 3

• FórmulaGeral:

0 1 2 3

n


t=

1

( 1 )

VF = PMT + i

1000 1000 1000

1100

1210

3310

n−t

23

B&A

Anuidade

• Valor Presente de uma Anuidade:

PMT = 730

i = 1% a.m.

n = 3

• FórmulaGeral:

VP =

n


t=

1 1

PMT

( + i)

0 1 2 3

723

716

708

2147

730 730 730

24

B&A

n


Exercícios

1. Em 1989, o Banco Garantia comprou o controle acionário da

Brahma por 60 milhões de dólares. Em 1997, oito anos depois,

a participação do Garantia na empresa valia 1 bilhão de

dólares. Qual foi a rentabilidade anual desse investimento no

período?

2. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros

compostos de 2% a.m., de forma que possa retirar $10.000 no

final do sexto mês e $20.000 no final do décimo-segundo mês.

Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses

valores nos meses indicados?

3. Determinada pessoa deseja dispor de $100.000 ao fim de seis

meses e de $200.000 ao fim de um ano. Que quantia dever

depositar hoje a uma taxa de juros compostos de 2.8% a.m.,

de modo que possa fazer as retiradas indicadas, sem deixar

saldo final?

25

B&A

Exercícios

4. Determinar o valor atual do seguinte fluxo de caixa, para uma

taxa de juros compostos de 3% a.m.:

Mês 0 = - 10.000 Mês 3 = + 2.000 Mês 5 = + 5.000

Mês 1 = + 3.000 Mês 4 = - 8.000 Mês 6 = + 6.000

Mês 2 = + 6.000

5. Você recebe no seu extrato de cobrança uma oferta de

assinatura de TV a cabo por 6 meses com desconto em

relação à taxa mensal. Você paga atualmente R$118,00, e a

assinatura semestral custa R$ 656,00. Se você tem dinheiro

investido em uma aplicação que rende 1% a.m., vale a pena

mudar? Considere que o pagamento da mensalidade (e da

assinatura) é devida no início do mês.

26

B&A

Exercícios

6. Uma loja anuncia uma promoção de um fogão: “Preço de

$600,00, sem juros! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60

dias) sem juros ou à vista com 30% de desconto!” A loja está

fazendo propaganda enganosa ou não? Porque?

7. Marcos Ferreira quer vender o seu automóvel por R$

18.000,00 à vista. No entanto, ele recebeu uma oferta compra

onde receberia 20% a vista, e três parcelas mensais e iguais

de R$ 5.500,00, com a primeira vencendo em 30 dias. Se a

taxa de juros for de 2.% a.m., esta oferta é interessante para o

Sr. Ferreira?

8. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira mensal, a

juros compostos de 1,5% a.m., de forma que possa retirar

$15.000 no final de dois anos. Qual o menor valor da aplicação

mensal que permite a retirada desses valores nos meses

indicados?

27

B&A

Exercícios

9. Como Presidente da Januzzi Empreendimentos, lhe foi

oferecido uma oportunidade de participar em um projeto que

irá gerar fluxos de caixa líquidos de R$ 150.000, R$ 170.000,

R$ 190.000, R$ 230.000 e R$ 200.000 respectivamente em

cada um dos cinco anos de vida útil do projeto. O custo do

investimento é de R$ 700.000. Considerando que a taxa de

desconto é de 12% a.a., qual é o valor presente líquido? Você

recomendaria que o projeto fosse aceito ou não?

10. Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em três

parcelas mensais e sucessivas. A primeira parcela será de R$

30.000,00 e a segunda de R$ 35.000. Se a taxa de juros

mensal for de 1% a.m., qual deve ser o valor da terceira e

última parcela?

28

B&A


Respostas

1. 42,14% a.a..

2. $24.649.58

3. $228.316,97

4. $2.628,53

5. Sim. VP mensalidade = $690,70

6. Sim. 51,08%

7. Sim. $19.461,36

8. $523,86

9. Não. VPL = $664.344 - $700.000 = -$35.644,69

10. $16.471,08

Perpetuidade

• Uma anuidade que dura um tempo infinito é

denominada uma perpetuidade.

• Perpetuidades são muito utilizadas em avaliação de

empresas.

• Isso ocorre porque consideramos que os fluxos de

caixa de uma empresa não possuem limite de prazo.

29

B&A

30

B&A

Exemplo

• Durante o processo de privatização da Vale em 1995, a

empresa foi avaliada em $10 bilhões de dólares.

• Este valor equivalia aproximadamente ao valor de mercado

observado na bolsa na época

• Setores críticos da privatização da empresa questionaram

esse cálculo, que não teria levado em conta o valor das

enormes jazidas minerais da Vale.

• O argumento era que somente Carajás teria reservas

comprovadas de minério suficientes para 450 anos de

consumo, que ao preço de mercado da época, representava

cerca de $80 bilhões de dólares

Perpetuidades

• Qual o valor de uma anuidade de $100 pelos

seguintes períodos?

No de Períodos PMT Valor Presente

a) 10 anos 100 614,46

b) 30 anos 100 942,69

c) 100 anos 100 999.93

d) 450 anos 100 1.000,00

e) Infinito 100 1.000,00

31

B&A

32

B&A


Perpetuidade

Perpetuidade

Contribuição Incremental (Taxa de 10%)

Precisão do Fluxo em função do no. de Períodos

10,0%

100%

7,5%

75%

10%

5,0%

% do Total

50%

2,5%

25%

0,0%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Períodos

0%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

No. de Períodos utilizado no fluxo de caixa

33

B&A

34

B&A

Valor de uma Perpetuidade Constante

Perpetuidade

Valor =

Taxa de Juros

Valor de uma Perpetuidade Crescente

• Exemplo:

Fluxos não Uniformes

0 1 2 3 4

100 170 200 140

Valor

=

Perpetuidade

Taxa de Juros − g

O cálculo pode ser feito descontando-se um período

de cada vez. Considere i = 10%

35

B&A

36

B&A


Fluxos não Uniformes

Fluxos não Uniformes

• Exemplo:

Passo Ação Descrição

0 1 2 3 4

90,9

100 170 200 140

140,5

150,3

95,6

477,3

1 tecle

FIN

Limpa a memória financeira

2 100 e tecle CF j

Informa que o primeiro Fluxo é $100

3 170 e tecle CF j

Informa que o segundo Fluxo é $170

4 200 e tecle

CF j

Informa que o terceiro Fluxo é $200

5 140 e tecle CF j

Informa que o quarto Fluxo é $140

6 10 e tecle Informa que os juros são 10% p/ período

7 tecle Calcula o Valor Presente: 477,3

NPV

37

B&A

38

B&A

Fluxos não Uniformes

Fluxos não Uniformes

• Exemplo: (taxa de 15% a.a.)

0 1 2 3 4

2.434,8

2.800 2.000 (4.500) 3.000

1.512,3

(2.958,8)

1.715,3

2.734,5

5.437,98

5

5.500

Passo Ação Descrição

1 tecle

FIN

Limpa a memória financeira

2 2800 e tecle CF j

Informa que o primeiro Fluxo é R$2.800

3 2000 e tecle CF j

Informa que o segundo Fluxo é R$2.000

4 4500 e tecle

CF j

Informa que o terceiro Fluxo é - R$4.500

5 3000 e tecle CF j

Informa que o quarto Fluxo é R$3.000

6 3000 e tecle CF j

Informa que o quarto Fluxo é R$3.000

7 15 e tecle Informa que os juros são 15% a.a.

8 tecle Calcula o Valor Presente: R$5.437,98

NPV

39

B&A

40

B&A


Exemplo

1) Calcular o VPL do seguinte projeto. Considere uma

taxa de desconto de 10% a.a.:

0 1 2 3 4 5 6

CF 0

(10000)

CF 1

2000

CF 2

2200

CF 3

1800

VPL = 740

CF 4

2800

CF 5

3000

41

B&A

CF 6

3500

Usando a HP12c

Passo Ação Descrição

Informa que o primeiro Fluxo é -$10000

1 tecle

FIN

Limpa a memória financeira

2 10000 e tecle

CF 0

2 2000 e tecle

CF j

Informa que o primeiro Fluxo é $2000

2 2200 e tecle

CF j

Informa que o primeiro Fluxo é $2200

2 1800 e tecle

CF j

Informa que o primeiro Fluxo é $1800

3 2800 e tecle

CF j

Informa que o segundo Fluxo é $2800

4 3000 e tecle

CF j

Informa que o terceiro Fluxo é $3000

5 3500 e tecle

CF j

Informa que o quarto Fluxo é $3500

6 10 e tecle Informa que o Custo de Capital é 10% a.a.

7 tecle

NPV

Calcula o Valor Presente: 740

42

B&A

Usando a HP12c

Passo Ação Descrição

Informa que o primeiro Fluxo é -$10000

1 tecle

FIN

Limpa a memória financeira

2 10000 e tecle

CF 0

2 2000 e tecle

CF j

Informa que o primeiro Fluxo é $2000

2 2200 e tecle

CF j

Informa que o primeiro Fluxo é $2200

2 1800 e tecle

CF j

Informa que o primeiro Fluxo é $1800

3 2800 e tecle

CF j

Informa que o segundo Fluxo é $2800

4 3000 e tecle

CF j

Informa que o terceiro Fluxo é $3000

5 3500 e tecle

CF j

Informa que o quarto Fluxo é $3500

6 10 e tecle Informa que o Custo de Capital é 10% a.a.

7 tecle

Equivalência de Fluxos de

Caixa

• Dada uma taxa de juros, dois fluxos de caixa são

equivalentes se os seus valores atuais forem iguais.

• O estudo da equivalência de fluxos de caixa se faz

no regime de juros compostos

NPV Calcula o Valor Presente: 740 44

B&A

43

B&A


Equivalência de Fluxos de

Caixa

• Todos os quatro planos são equivalentes a

uma taxa de 10% a.a.

Ano Plano A Plano B Plano C Plano D

1 100,00 315,47 350,00

2 100,00 315,47 325,00

3 100,00 315,47 300,00

4 1.464,10 1.100,00 315,47 275,00

VP

1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00

Exercícios

1. Qual é o pagamento mensal constante que amortiza um

empréstimo de $15.000,00 em 12 parcelas mensais à taxa de

5% a.m.?

2. Mário comprou um imóvel de $100.000 financiado em 36

meses, pagando 20% à vista, 15% daqui a um ano e o restante

em 24 parcelas mensais iguais. Considerando que os juros do

financiamento são de 1,5% a.m., qual o valor da parcela

mensal a pagar?

3. Um investidor comprou US$ 1.000 em ações da Disney em

1984. Dez anos depois, essas ações valiam US$ 20.100. Qual

foi o retorno anual (em %) desse investidor no período?

4. Joana tem um salário de $2.500,00, sendo que nos últimos

anos ela recebeu três aumentos cumulativos: 15%, 10% e

25%. Qual é o salário atual da Joana?

45

B&A

46

B&A

Exercícios

5. Qual é a taxa de juros que um banco está cobrando de uma

empresa, se a empresa recebe $9.000 ao descontar uma

duplicata de $9.500 que vence daqui a um mês, e o banco

ainda cobra antecipadamente uma comissão de 2% sobre o

valor da duplicata?

6. Vocês acabaram de casar, e com duas rendas e sem filhos,

resolveram iniciar uma poupança visando juntar $100.000 para

comprar uma casa daqui a cinco anos. Considerando que os

recursos aplicados renderão 1,2% a.m., qual o valor que deve

ser depositado mensalmente ao final de cada mês para se

obter o montante desejado ao final deste período?

Exercícios

7. A Loja Bom Mercado está anunciando uma geladeira ecológica

movida a energia solar. O preço é de $2.000, mas a loja

anuncia que pode ser financiado em quatro parcelas sem

juros, sendo que a primeira é paga no ato da compra. Por

outro lado, para compra à vista, a loja oferece um desconto de

5%. A loja está realmente financiando sem juros? Qual a taxa

mensal de juros cobrada?

8. Uma empresa está considerando se deve ou não fazer um

projeto de quatro anos de duração que apresenta a seguinte

expectativa de fluxos de caixa: FC 1 = $28.000, FC 2 =

$32.000, FC 3 = $25.000 e FC 4 = $22.000. O custo do projeto é

de $80.000 no tempo zero. A taxa para desconto dos fluxos de

caixa é 15% a cada período. Qual é o valor (VPL) deste

projeto? A empresa deve fazer este investimento?

47

B&A

48

B&A


Exercícios

9. Para liberar um empréstimo de $5.000,00 à taxa de 3% a.m.

por um prazo de 60 dias, um banco cobra da empresa uma

taxa de abertura de crédito de 2% sobre o valor do

empréstimo. O banco adota o cálculo de juros simples, mas

cobra os juros totais devidos e a taxa de abertura de crédito no

ato da liberação dos recursos. Quais as taxas efetivas mensal

e anual desta operação em regime de juros simples?

10. Determinar o valor atual (valor presente) do seguinte conjunto

de fluxos de caixa, para uma taxa de juros compostos de 2.5%

a.m.

Mês 0 = +3.000 Mês 3 = - 6.000 Mês 6 = - 4.200

Mês 1 = 2.000 Mês 4 = 3.000 Mês 7 = 3.500

Mês 2 = 2.500 Mês 5 = 2.000

49

B&A

Respostas

1. VP = 15.000 i =5% n = 12 PMT =1.692,38

2. i = 1,5% VP = 100.000 - 20.000 - 12.545,81(VP 12 ) = 67.454,19

n = 36 PMT = 2.438,63

3. Resp: 35% a.a.

4. Resp: 3.953,13

5. VP = 9.000 - 190 = 8.810 VF = 9.500 n=1 i = 7,83%

6. VF = 100.000 n=60 i = 1,2% PMT =1.147,61

7. VP=2.000-100- 500=1.400 PMT = 500 n=3 Não. i = 3,53%

8. VPL =-2.439,10, Não

9. VP = 5.000-100-150-150 =4.600 VF = 5.000 n=2

i = 4,0%a.m.; 48,0%a.a.

10. VPL = 5.567,50

50

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Prof. Luiz Brandão

2011

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