Geometria analítica - Lista de exercícios 1

Sistema cartesiano ortogonal
Lista 1
1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas:
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
2. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos:
a) A(1, -2)
b) D(0, 3)
c) Q(3, -2)
d) B(-3, 3)
e) P(-1, -5)
f) N(0, -4)
g) C(4, 4)
h) M(-4, 0)
i) R(3, 0)
3. No retângulo da figura, AB = 2a e BC = a. Dê as
coordenadas dos vértices do retângulo.
4. O raio da circunferência da figura mede 2
unidades. Quais são as coordenadas dos pontos A,
B, C e D?
5. Sabendo que P(a, b), com ab > O, em que quadrante se encontra o ponto P?
6. Sabendo que P(2m + 1, - 3m - 4) pertence ao terceiro quadrante, determine os possíveis valores reais de m.
7. Verifique as coordenadas dos pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes:
a) ímpares (primeiro e terceiro);
b) pares (segundo e quarto).
Distância entre dois pontos
8. Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3, 7) e B(1, 4)
c) H(-2, -5) e O(0, 0)
b) E(3, -1) e F(3, 5)
d) M(0, -2) e N( 5 , -2)
e) P(3, -3) e Q(-3, 3)
f) C(-4, 0) e D(0, 3)
9. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.

10. Qual é a distância do ponto A(cos a, sen a) ao ponto B(sen a, -cos a)?
11. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A(-1, 2) e B(1, 4). Quais são as
coordenadas do ponto P?
12. A abscissa de um ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q(1, 3) é 74 . Determine a ordenada do ponto.
13. Considere um ponto P(x, y) cuja distância ao ponto A(5, 3) é sempre duas vezes a distância de P ao ponto
B(-4, -2). Nessas condições, escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P.
14. Demonstre que um triângulo com vértices A(0, 5), B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles e calcule o seu perímetro.
15. Demonstre, usando a figura dada, que os
comprimentos das diagonais de um retângulo são
iguais.
16. Demonstre que os pontos A(6, -13), B(-2, 2), C(13, 10) e D(21, -5) são os vértices consecutivos de um
quadrado. (Sugestão: verifique que os lados são congruentes e que os ângulos são retos).
17. Encontre uma equação que seja satisfeita com as coordenadas de qualquer ponto P(x, y) cuja distância ao
ponto A(2, 3) é sempre igual a 3.
18. (UFU-MG) São dados os pontos A (2, y), B(1, -4) e C(3, -1). Qual deve ser o valor de y para que o
triângulo ABC seja retângulo em B?
19. Considere um triângulo com lados que medem a,b e c, sendo a medida do lado maior. Lembre-se de que:
• a² = b² + c² triângulo retângulo
• a² < b² + c² triângulo acutângulo
• a² > b² + c² triângulo obtusângulo
Dados A(4, -2), B(2, 3) e C(6, 6), verifique o tipo do triângulo ABC quanto aos lados (equilátero, isósceles ou
escaleno) e quanto aos ângulos (retângulo, acutângulo ou obtusângulo).
2.
1. a) A(2, 5)
b) B(5, 2)
c) C(-4,3)
d) D(-1, -6)
e) E(3, -4)
3. A(0, 0); B(2a, 0); C(2a, a); D(0, a)
4. A(2, 0); B(0, 2); C(-2, 0); D(0, -2)
5. P ∈ 1º quadrante ou P ∈ 3º quadrante
⎧
⎨
⎩
4
3
1
2
6. m ∈ R / − 〈 m〈−
}
7. a) P(a,a) b)P(a,-a)
8. a) 13
b) 6
c) 29
d) 5
e) 6 2
f) 5
9. ± 2 2
10. 2
11. P(3,0)
12. -2 ou 8
13. 3x² + 3y² + 42x + 22y +
46 = 0
14. 2 58 + 6
17. x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0
18. -
14
3
19. Triângulo escaleno;
obtusângulo

Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta
Lista 2
20. Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
a) A(-1,6) e B(-5, 4)
b) A(1, -7) e B(3, -5)
c) A(-1,5) e B(5, -2)
d) A(-4, -2) e B(-2, -4)
21. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2, -2). Sabendo que M(3, -2) é o ponto médio desse
segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento.
22. Calcule os comprimentos das medianas do triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 2) e C(2, 4).
23. Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base são segmentos coincidentes. Calcule a medida
da altura relativa à base BC de um triângulo isósceles de vértices A(5, 8), B(2, 2) e C(8, 2).
24. (EEM-SP) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados
do triângulo são M(-2, 1), N(5, 2) e P(2, -3).
25. Num paralelogramo ABCD, M(1, -2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabe-se que A(2, 3) e
B(6, 4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determine as
coordenadas dos vértices C e D.
26. Na figura, M é o ponto médio do lado AC e N é o ponto médio do lado BC. Demonstre, analiticamente, que
o comprimento do segmento MN é igual à metade do comprimento do lado AB.
27. A figura mostra um triângulo retângulo ABC. Seja M o ponto médio da hipotenusa BC. Prove,
analiticamente, que o ponto M é equidistante dos três vértices do triângulo.
28. A figura mostra um triângulo retângulo ABC no qual M é o ponto médio da hipotenusa. Prove que o
comprimento da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade do comprimento dessa hipotenusa.
Condição de alinhamento de três pontos
29. Verifique se os pontos:
a) A (0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5) estão alinhados;
b) A (-1, 3), B (2, 4) e C(-4, 10) podem ser os vértices de um triângulo.
30. (PUC-MG) Calcule o valor de t, sabendo que os pontos A ( 2
1 , t), B( 3
2 ,0) e C(-1, 6) são colineares.

31. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5), B (1, 3) e C(x, 1) sejam os vértices de um triângulo.
32. (FEI-SP) Os pontos A (0,1), B(1,0) e C(p, q) estão numa mesma reta. Nessas condições, calcule o valor de
p em função de q.
33. Considerando uma reta r que passa pelos pontos A (-1, -2) e B(4, 2) intersecta o eixo y no ponto P,
determine as coordenadas do ponto P.
34. Uma reta r passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, 4). Uma outra reta s passa pelos pontos C(-4, 0) e D(0, 2). O
ponto de intersecção das duas retas é P(a, b). Nessas condições, calcule as coordenadas a e b do ponto P.
35. Mostre que, para todos os valores reais de a e b, os pontos A (2 + 4a, 3 - 5a), B(2, 3) e C(2 + 4b, 3 - 5b)
estão alinhados.
36. Dados A(1, 5) e B(3, -1), determine o ponto no qual a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares.
37. Sabendo que P(a, b), A(0, 3) e B(1, 0) são colineares e P, C(1, 2) e D(0, 1) também são colineares,
determine as coordenadas de P.
Declividade ou coeficiente angular de uma reta
38. Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pêlos pontos:
a) A(3, 2) e B(-3, -1)
b) A(2, -3) e B(-4, 3)
c) P 1 (3, 2) e P 2 (3, -2)
d) P 1 (-1, 4) e P 2 (3, 2)
e) P(5, 2) e Q(-2, -3)
f) A(200, 100) e B(300, 80)
39. Se a é a medida da inclinação de uma reta e m é a sua declividade (ou coeficiente angular), complete a
tabela:
20. a) M(-3, 5)
b) M(2, -6) c) M (2,
2
3
)
d) M(-3, -3)
21. B(8,-2)
22. 3 2 , 3 e 3
23. 6
24. A (-5, -4); B(1,6); C(9,-2)
25. C(O, -7); D(-4, -8)
29. a) Não b) Sim
38. a)
2
1
b) -1
c) Não existe.
3
4 12
30. 34. a= ; b=
5 5 5
31. x ≠ - 1
36. P(2, 2)
32. p = 1 - q
⎛ 1 3 ⎞
6 37. ⎜ , ⎟
33. P (0,- ) ⎝ 2 2 ⎠ 5
d) -
2
1
e)
7
5
f) -
5
1
39.

Lista 3
Equação da reta quando são conhecidos um ponto P 1 (X 1 ,Y 1 ) e a declividade m da reta
40. Determine a equação da reta que satisfaz as seguintes condições:
a) A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2,-3).
b) A inclinação é de 45° e passa pelo ponto P(4, 1).
c) Passa pelo ponto M(-2, -5) e tem coeficiente angular O.
d) Passa pelos pontos A(3, 1) e B(-5, 4).
e) Passa pelo ponto P(-3, -4) e é paralela ao eixo y.
f) Tem coeficiente angular - 2
1 e passa pelo ponto A(2, -3).
g) Passa pelo ponto P(1, -7) e é paralela ao eixo x.
h) Passa pelos pontos A(1, 1) e B(-2, -2).
i) A inclinação é de 150° e passa pela origem.
41. (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa por eles.
42. (Fuvest-SP) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e pelo ponto O, simétrico de P em
relação à origem.
43. (MACK-SP) Qual é a equação da reta r da figura?
44. Verifique se o ponto P(2, 3) pertence à reta r que passa pelos pontos A(1, 1) e B(0, -3).
Forma reduzida da equação da reta
45. Dada a reta que tem a equação 3x + 4y = 7, determine sua declividade.
46. Determine a equação da reta de coeficiente angular m = -2 e que intersecta o eixo y no ponto A(0,-3).
47. Uma reta passa pelo ponto P(- 1, -5) e tem coeficiente angular m = 2
1 . Escreva a equação da reta na forma
reduzida.
48. Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos P 1 ,(2, 7) e P 2 (- 1, -5).
49. Escreva a equação:
a) da reta bissetriz dos quadrantes ímpares;
b) da reta bissetriz dos quadrantes pares;
c) do eixo x;
d) do eixo y.
Forma segmentária da equação da reta
50. Escreva na forma segmentaria a equação da reta que satisfaz as seguintes condições;
a) Passa pelos pontos A(3, 0) e B(0, 2);
b) Passa pelos pontos A(5, 0) e tem declividade 2;
c) Passa pelos pontos P 1 (4, -3) e P 2 (-2, 6);
d) Sua equação reduzida é y = - x + 5.

51. Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um quadrado de
lado 3. Escreva a equação da reta suporte da diagonal AC.
52. Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um quadrado de
lado 4. Sabendo que M é o ponto médio de OA e N, o ponto médio de OC, escreva a equação da reta que passa
por C e M e a equação da reta que passa por A e N.
53. Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um retângulo.
Nessas condições, escreva a equação da reta suporte da diagonal AC.
40. a) 4x - y - 11 = O
b) x-y-3=0
c) y = -5
d) 3x + 8y - 17 = O
e) x = -3
f) x + 2y + 4 = O
g) y = -7
h) y = x
i) y = -
3
x
3
41. x-3y+7 = 0
42. 3x-2y = 0
43. 2x+y+2=0
44. Não pertence.
45. -
4
3
46. y = -2x-3
47. y =
2
1
x -
2
9
48. y = 4x – 1
49. a)y=x ou x-y=0
b) y=-x ou x+y=0
c)y=0
d) x=0
x y
d) + =1
5 5
x y
x y 51. + =1
50. a) + =1
3 3
3 2 x y x y
x y 52. + =1; + =1
b) + =1
2 4 4 2
5 −10
x
x y 53. y= - +4
c) + =1 2
2 3

Lista 4
Forma paramétrica da equação da reta
54. Em cada caso, escreva a equação geral da reta definida pelos pontos A e B:
a) A(-1, 6) e B(2, -3)
c) A(5, 0) e B(-1, -4)
b) A(-1,8) e B(-5,-1)
d) A(3, 3) e B(1, -5)
55. Sabendo que os pontos A(2, 0), B(0, 4) e C(4, 2) são os vértices de um triângulo, determine a equação geral
das retas suportes dos lados desse triângulo.
56. Se os pontos A(3, 5) e B(-3, 8) determinam uma reta, calcule o valor de a para que o ponto C(4, a) pertença
a essa reta.
57. Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2, 3), B(4, 1) e C(6, 7), determine a equação geral da reta
suporte da mediana relativa ao lado BC.
58. Sabendo que o ponto P(2, 1) pertence à reta de equação 3kx + (k - 3)y = 4, determine o valor de k e escreva,
a seguir, a forma geral da equação dessa reta.
59. Na figura dada, ABCD é um paralelogramo. Determine a equação geral das retas suportes das suas
diagonais AC e BD.
60. Se a reta cuja equação geral é 5x - y - 5 = 0 passa pelo ponto A (k, k + 3), calcule as coordenadas do ponto A.
61. Na figura dada, o ponto O é origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, OAB é um triângulo
equilátero de lado 8 e BCDE é um quadrado de lado 8. Se M é ponto médio de OB e N é ponto médio de DE,
determine a equação geral da reta que passa por M e N.
62. Passe a equação da reta de uma das formas conhecidas para outra:
x y
a) + = 1, para a forma reduzida;
3 2
b) y - 6 = 2
1 (x + 4), para a forma geral;
c) 3x + 9y - 36 = 0, para a forma segmentária;
⎧ x = 3 − t
d) ⎨ , para a forma geral.
⎩y
= t + 2
Posições relativas de duas retas no plano
63. Qual é a posição da reta r, de equação 15x + 10y - 3 = 0, em relação à reta s, de equação 9x + 6y - 1 = 0? .
64. Se as retas de equações (a + 3)x + 4y - 5 = 0 e x + ay + 1 =0 são paralelas, calcule o valor de a.
x y
⎧ t
⎪ x =
65. Dê a posição da reta r, de equação + = 1, em relação à reta s, de equação definida por ⎨ 2 .
2 5 ⎪ ⎩ y = t + 5
66. (FAAP-SP) Determine os valores de m para que as retas L1, e L2, respectivamente, de equações
(1- m) x -10y + 3 = 0 e (m + 2) x + 4y - 11 m - 18 = 0, sejam concorrentes.

67. (Fuvest-SP) Qual deve ser a relação de igualdade que se pode estabelecer entre as coordenadas a e b para
que a reta r, de equação x - 3y + 15 = 0, seja paralela à reta s, determinada pelos pontos P1 (a, b) e P2(1 , 2)?
68. Em cada caso, determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta da equação dada:
a) P(1 , 2) e 8x + 2y - 1 = 0
c) P(4, - 4) e x + y - 5 = 0
f) P(2, -5) e x = 2
x y d) P(-1, 3) e 2x - 5y + 7 = 0
b) P(2, 5) e + = 1 2 3 e) P(- 4, 2) e y - 2 = 0
69. Consideremos a reta r, de equação 4
x + 5
y = 1. Determine a equação de uma reta s que é paralela à reta r e
passa pelo ponto A(3, 10).
70. Se uma reta r passa pelo ponto A(- 1 , 2) e é paralela a uma reta s, determinada pelos pontos B(2, 3) e
C(- 1, -4), escreva a equação da reta r.
71. A figura mostra um trapézio ABCD. Determine a equação da reta suporte da base menor do trapézio.
72. (Fatec-SP) Observe a figura e determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta
determinada pelos pontos B e C.
73. Na figura, ABCD é um quadrado. Determine a equação da reta suporte do lado BC.
54.a)3x + y - 3 = 0
b) x - 2y + 16 = 0
b)9x - 4y + 41 = 0
x y
c)2x - 3y - 10 = 0
c) + = 1
d)4x - y - 9 = 0
12 4
55.AB:2x + y-4 = 0;
d) x + y - 5= 0
AC: x - y - 2 = 0;
63.Paralelas
BC: x + 2y - 8 = 0
64. -4 ou 1
9
65. Concorrentes
56. 66. {m e IR / m ≠ - 4}
2 67. 3b - a = 5
57. x - 3y + 7 = 0
68. a) y = -4x + 6
58. k = 1; 3x - 2y - 4 = 0
59. 4x - 5y + 1 = 0; 2x + 3y - 16 = 0
3x
b) y = - + 8
60. A(2, 5)
2
61. x-y-4 = 0
c) y = -x
2x
62. a) y = - + 2
3
d) y =
e) y = 2
f) x = 2
69. y = -
70. y =
2x 17
+
5 5
71. y = 5
72. y = x + 4
5x 55
+
4 4
7x 13
+
3 3
73. y = -
3
x
+1