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Geometria analítica - Lista de exercícios 1

Geometria analítica - Lista de exercícios 1

10. Qual é a distância

10. Qual é a distância do ponto A(cos a, sen a) ao ponto B(sen a, -cos a)? 11. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A(-1, 2) e B(1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P? 12. A abscissa de um ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q(1, 3) é 74 . Determine a ordenada do ponto. 13. Considere um ponto P(x, y) cuja distância ao ponto A(5, 3) é sempre duas vezes a distância de P ao ponto B(-4, -2). Nessas condições, escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P. 14. Demonstre que um triângulo com vértices A(0, 5), B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles e calcule o seu perímetro. 15. Demonstre, usando a figura dada, que os comprimentos das diagonais de um retângulo são iguais. 16. Demonstre que os pontos A(6, -13), B(-2, 2), C(13, 10) e D(21, -5) são os vértices consecutivos de um quadrado. (Sugestão: verifique que os lados são congruentes e que os ângulos são retos). 17. Encontre uma equação que seja satisfeita com as coordenadas de qualquer ponto P(x, y) cuja distância ao ponto A(2, 3) é sempre igual a 3. 18. (UFU-MG) São dados os pontos A (2, y), B(1, -4) e C(3, -1). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B? 19. Considere um triângulo com lados que medem a,b e c, sendo a medida do lado maior. Lembre-se de que: • a² = b² + c² triângulo retângulo • a² < b² + c² triângulo acutângulo • a² > b² + c² triângulo obtusângulo Dados A(4, -2), B(2, 3) e C(6, 6), verifique o tipo do triângulo ABC quanto aos lados (equilátero, isósceles ou escaleno) e quanto aos ângulos (retângulo, acutângulo ou obtusângulo). 2. 1. a) A(2, 5) b) B(5, 2) c) C(-4,3) d) D(-1, -6) e) E(3, -4) 3. A(0, 0); B(2a, 0); C(2a, a); D(0, a) 4. A(2, 0); B(0, 2); C(-2, 0); D(0, -2) 5. P ∈ 1º quadrante ou P ∈ 3º quadrante ⎧ ⎨ ⎩ 4 3 1 2 6. m ∈ R / − 〈 m〈− } 7. a) P(a,a) b)P(a,-a) 8. a) 13 b) 6 c) 29 d) 5 e) 6 2 f) 5 9. ± 2 2 10. 2 11. P(3,0) 12. -2 ou 8 13. 3x² + 3y² + 42x + 22y + 46 = 0 14. 2 58 + 6 17. x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0 18. - 14 3 19. Triângulo escaleno; obtusângulo

Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta Lista 2 20. Determine o ponto médio do segmento de extremidades: a) A(-1,6) e B(-5, 4) b) A(1, -7) e B(3, -5) c) A(-1,5) e B(5, -2) d) A(-4, -2) e B(-2, -4) 21. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2, -2). Sabendo que M(3, -2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento. 22. Calcule os comprimentos das medianas do triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 2) e C(2, 4). 23. Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base são segmentos coincidentes. Calcule a medida da altura relativa à base BC de um triângulo isósceles de vértices A(5, 8), B(2, 2) e C(8, 2). 24. (EEM-SP) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são M(-2, 1), N(5, 2) e P(2, -3). 25. Num paralelogramo ABCD, M(1, -2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabe-se que A(2, 3) e B(6, 4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vértices C e D. 26. Na figura, M é o ponto médio do lado AC e N é o ponto médio do lado BC. Demonstre, analiticamente, que o comprimento do segmento MN é igual à metade do comprimento do lado AB. 27. A figura mostra um triângulo retângulo ABC. Seja M o ponto médio da hipotenusa BC. Prove, analiticamente, que o ponto M é equidistante dos três vértices do triângulo. 28. A figura mostra um triângulo retângulo ABC no qual M é o ponto médio da hipotenusa. Prove que o comprimento da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade do comprimento dessa hipotenusa. Condição de alinhamento de três pontos 29. Verifique se os pontos: a) A (0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5) estão alinhados; b) A (-1, 3), B (2, 4) e C(-4, 10) podem ser os vértices de um triângulo. 30. (PUC-MG) Calcule o valor de t, sabendo que os pontos A ( 2 1 , t), B( 3 2 ,0) e C(-1, 6) são colineares.

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