Filtros

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Filtros

Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros

Carlos Cardeira

Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and

Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya),

maioritariamente baseados na informação pública disponível em

http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html


Definições

• Convolução:

( x*

y)(

n)

k

x(

k)

y(

n

k)

( x*

y)(

t)

x(

s)

y(

t

s)

ds

• Comutativa : x*y=y*x

• Homogénea : (ax)*y=a(x*y)

• Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y)

• Invariante no tempo : (D T (x))*y=D T (x*y)


Exemplo (discreto)

y(n)=1,-2 n 2, else y(n)=0

( x*

y)(

n)

k

x(

n

k)

y(

k)

2

k 2

x(

n

x(

n 2)

k)

1

x(

n

1)

x(

n)

x(

n

1)

x(

n

2)

É uma média móvel


Exemplo


Exemplo (contínuo)

• y(t)=1,-2 t 2, else y(t)=0

( x*

y)(

t)

x(

s)

y(

t

s)

ds

s

t

2

x(

s)

ds

2

x(

t

s)

ds

t-2

t t+2

s

t

2

s

2

• É uma média móvel (dividindo pela largura da

janela)


Exemplo (contínuo)

Nota: a expressão não é válida para t


Exemplo (flip and drag)

1

x(t)

x * y ( t)

x(

s)

y(

t s)

ds

1 y(t)

y(s)

1

x(s)

s=t

x*y

1

s

t


Delta de Kronecker


Delta de Kronecker é uma base

Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto numa

combinação linear de Deltas de Kronecker

Para os sistemas LTI, se eu souber a resposta ao delta

de Kronecker, por linearidade posso saber a resposta

do sistema a qualquer sinal


Delta de Dirac


Explicação intuitiva do delta de

Dirac

1/

x(s)

x*

y ( t)

x(

s)

y(

t s)

ds

1

x(

t)

x(

t)

( 0)

y(t-s)


Resposta Impulsiva e Convolução

(Discreto)


Resposta Impulsiva e Convolução

(contínuos)


Exemplo


Detalhe do cálculo da convolução

y ( t)

h(

s)

x(

t s)

ds

y(

t)

h(

s)

x(

s)

ds

t

t

e

0

x(

t s)

ds


0 1

t

s

e

s

x(

t s)

ds


2 1

0

t

t

t

0

2

2


Demonstração intuitiva do

teorema: Sistema Discreto LTI

(n)

S

h(n)

x(

m)

( n

m)

( n m)

h(

n m)

x(

m)

h(

n m)

x(

m)

( n

m)

x(

n)

x(

m)

h(

n

m)

y(

n)

m

m


Demonstração intuitiva do

teorema :Sistema Contínuo LTI

S

(t)

h(t)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

y

s

t

h

s

x

t

x

s

t

s

x

s

t

h

s

x

s

t

s

x

s

t

h

s

t


Demonstração intuitiva do

teorema

• Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída

correspondente, tanto no caso discreto como

no caso contínuo, foi dada pela convolução do

sinal de entrada com a resposta impulsiva do

sistema.

• A diferença é que nos sistemas discretos se

usa o delta de Kronecker para definir a

resposta impulsiva enquanto que nos sistemas

contínuos se usa o delta de Dirac.


Exemplos

y(

n)

x(

n)

x(

n

1)

x(

n

1)

h(

n)

( n)

( n

1)

( n

1)

x(n)

-1

0 1

h(n)

-1 0 1

Nota: sistema LTI mas não causal


Exemplos

x(t) D T y(t)

h(t)= (t-T)


Relação entre Resposta Impulsiva

e Resposta em Frequência

ds

e

s

h

w

H

e

w

H

ds

s

t

x

s

h

t

x

h

t

y

t

x

h

t

y

t

x

e

w

H

e

jws

jwt

e

jwt

jwt

s

t

jw

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)(

*

(

)

(

)

)(

*

(

)

(

)

(

)

(

)

(


Exemplo:

h(

t)

( t

T

)

H

( w)

h(

s)

e

jws

ds

e

jwT

Obtivemos o mesmo H(w) que em tempos

obtiveramos por outro método


Exemplo:

y(

t)

x(

t)

x(

t)

( t)

y(

t)

t

x(

s)

ds

t

( s)

ds

0

1

2

1

t

t

t

0

0

0


Filtro genérico

• Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + 0.2y(n-2)

x(n)

y(n)

+ +

D

D

x(n-1)

0.5

1

y(n-1)

D

D

x(n-2)

0.7

0.2

y(n-2)

Quatro variáveis de estado mas poder-se-ia ter feito com menos


Filtro genérico

x(n)

• Podemos definir que são dois sistemas em cascata

w(n)

+ +

y(n)

D

D

x(n-1)

0.5

1

y(n-1)

D

D

x(n-2)

0.7

0.2

y(n-2)


Filtro genérico

x(n)

• A ordem pode ser invertida porque são sistemas LTI

+

+

y(n)

D

D

1

0.5

D

D

0.2

0.7


Filtro genérico – número de

estados

• De uma forma geral, se houver k atrasos

de y(n) e m atrasos de x(n), o número

de atrasos necessário é max (k,m)


|H(w)|

Fase

Projecto de um filtro ideal

H( w)

1 0

0

w

4

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

w pi/4

w

4

1

0.5

2

Filtro Ideal

0

Para implementar este filtro

realizando a convolução em

tempo real num DSP

pretende-se saber os

primeiros 128 pontos

da resposta impulsiva.

-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

w

x(t)

127

Filtro

Ideal

0

y(t)

h(0), h(1), h(2),..., h(127)

y( n) h( m) x( n m)

m


Resposta em Frequência

127

y( n) h( m) x( n m)

0

jwn

x( n) e y( n) H ( w)

e

H ( w)

e

m

jwn

jwn

127

(

h( m) e

jw n

127

m)

m

0 m 0

h( m)

e

Como sabemos o H(w) que pretendemos “só” teremos que

resolver o sistema com 128 incógnitas para calcular os 128

valores de h(n). Este cálculo só se faz uma vez, porque

depois são carregados em registos e em tempo real só é

necessário efectuar a convolução.

jwm


Cálculo da resposta impulsiva

• O filtro verdadeiramente vertical será impossível, mas é

possível aproximarmo-nos dele.

• Se chamarmos Hd à resposta em frequência desejada, e

Hh à resposta em frequência que se pode obter através

da resposta impulsiva h, o problema de optimização a

resolver é:

max H d ( w) H ( w)

• Se usarmos o critério do desvio máximo.

• Há outros critérios e uma quantidade grande de filtros

já predefinidos (em Matlab, por exemplo)

h

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