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Análise Complexa - Lista de Exercícios 1<br />1. Prove que se z = re iθ então z n = r n e inθ .<br />2. a) Prove que<br />1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = zn − 1<br />z − 1 , z ≠ 1<br />b) Mostre que se ω ≠ 1 satisfaz ω n = 1 então<br />1 + ω + ω 2 + · · · + ω n−1 = 0<br />3. Se X é uma matriz de ordem 2 com coeficientes reais, resolva a<br />equação matricial<br />X 2 + I = 0<br />onde I é a matriz identidade. Mostre que<br />[ ] 0 −1<br />i =<br />1 0<br />é solução (existem outras) Conclua que para a, b ∈ R, temos<br />[ ] a −b<br />aI + bi =<br />b a<br />Isto fornece uma identificação entre números complexos e certas matrizes<br />reais.<br />4. Resolva as equações a) z − z = 1. b) z + zi = 2 + i. c) Calcule as<br />raízes cúbicas de i.<br />5. a) Prove que 2Re(z) = z + z e 2iIm(z) = z − z. b) Se z, w ∈ C<br />prove que zw = z w, z + w = z+w e extenda tais resultados para soma,<br />produto e divisão de uma quantidade qualquer (finita) de números<br />complexos. b) Prove que<br />|z + w| 2 = |z| 2 + 2Re(zw) + |w| 2<br />|z − w| 2 = |z| 2 − 2Re(zw) + |w| 2<br />|z + w| 2 + |z − w| 2 = 2(|z| 2 + |w| 2 )<br />6. Mostre que φ(θ) = e iθ é um homomorfismo de grupos do grupo<br />aditivo R sobre o grupo multiplicativo {z : |z| = 1}.<br />1

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