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Lista 7 - Unesp

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – UNESP – IBILCE 7 a Lista de Exercícios Cálculo II 1. É dada uma curva γ que passa pelo ponto γ(t 0 ) = (1, 3) e cuja imagem está contida na curva de nível x 2 + y 2 = 10. Suponha que γ ′ (t 0 ) ≠ 0. (a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (1, 3). (b) Determine a curva γ(t) satisfazendo as condições acima. 2. Determine a equação da reta tangente à curva γ no ponto γ(t 0 ) = (2, 5) sabendo-se que γ ′ (t 0 ) ≠ 0 e que sua imagem está contida na curva de nível xy = 10. Qual a equação da reta normal a γ, neste ponto 3. Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado (a) x 2 + xy + y 2 − 3y = 1 em (1, 2). (b) e 2x−y + 2x + 2y = 4 em ( 1 2 , 1). 4. Determine uma reta que seja tangente à elipse 2x 2 + y 2 = 3 e paralela à reta 2x + y = 5. 5. Determine uma reta que seja tangente à curva x 2 + xy + y 2 = 7 e paralela à reta 4x + 5y = 17. 6. Seja z = f(x, y) diferenciável em R 2 e tal que ∇f(x, y) = g(x, y)(x, y), para todo (x, y) ∈ R 2 , onde g(x, y) é uma função de R 2 em R dada. (a) Com argumentos geométricos, verifique que é razoável esperar que f seja constante sobre cada circunferência de centro na origem. (b) Prove que f é constante sobre cada circunferência de centro na origem. (Sugestão: g(t) = f(R cos t, R sen t) fornece os valores de f sobre a circunferência x 2 +y 2 = R 2 .) 7. Calcule ∂f ∂u (x 0, y 0 ), sendo dados: (a) f(x, y) = x 2 − 3y 2 , (x 0 , y 0 ) = (1, 2) e u o versor de (2, 1). (b) f(x, y) = e x2 −y 2 , (x 0 , y 0 ) = (1, 1) e u o versor de (3, 4). (c) f(x, y) = arctg x y , (x 0, y 0 ) = (3, 3) e u o versor de ( 1 √ 2 , 1 √2 ). 8. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado (a) f(x, y) = ln ‖(x, y)‖ em (1, −1). (b) f(x, y) = √ 4 − x 2 − 2y 2 em (1, 1 2 ). 9. Seja f(x, y) = x arctg x ∂f . Calcule (1, 1), onde u aponta na direção e sentido de máximo y ∂u crescimento de f, no ponto (1, 1). 10. Calcule a deriva direcional de f(x, y) = √ 1 + x 2 + y 2 no ponto (2, 2) e na direção (a)v = (1, 2) (b) w = (−1, 2)

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