Escola de Engenharia de Lorena – EEL - Sistemas

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
Resistência dos Materiais – Prof. Carlos Baptista
Introdução à Análise de Tensão: O Estado de Tensão em um Ponto
Componentes de máquinas e estruturas são normalmente submetidos a diferentes tipos de
carregamentos, que causam tensões e deformações no material. O pressuposto da análise de tensões
é que o componente – e todo e qualquer ponto pertencente a ele – esteja em equilíbrio.
Considere um corpo deformável qualquer, em equilíbrio sob a ação de forças externas,
conforme a figura abaixo. Seja um ponto P qualquer pertencente a este corpo, e seja um plano de
corte passando por este ponto, dividindo o corpo em duas partes, A e B. Considere o equilíbrio de
uma dessas partes (por exemplo, da parte B). Em geral, este equilíbrio requer a presença de esforços
internos (forças e momentos), atuando no plano de corte. Essas forças e momentos são resultantes
de esforços que se distribuem continuamente pela seção de corte, mas em geral variam de
intensidade e direção ao longo da área do corte.
Tensão é o termo usado para designar a intensidade e direção desses esforços internos
atuando num ponto do corpo, a um dado plano de corte. O plano de corte é definido pelo vetor
unitário (versor) normal a este plano, η r . Considerando uma área elementar ∆A contendo o ponto P,
e a parcela ∆F η dos esforços internos correspondente a essa área, o valor da tensão T neste ponto é
determinado pela expressão dada a seguir. Esta tensão pode ser decomposta em componentes
normal (σ) e tangencial (τ) ao plano de corte, conforme mostrado na figura.
T
∆Fη
= lim
∆A→0
∆A
Contudo, pelo mesmo ponto P podemos passar infinitos planos de corte. A cada plano
corresponderá um valor diferente dos esforços internos atuando na área de corte, e,
conseqüentemente, valores diferentes dos componentes de tensão atuando no ponto P.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
Lembre que, quando um corpo está sob a ação de esforços externos, sua deformação pode
ser observada (ou medida). Dizemos que a tensão é a causadora da deformação, ou seja, a tensão é
uma “abstração matemática” justificada pela existência da deformação. Num caso geral, além de
variar com o plano de corte, a tensão varia de ponto a ponto em um corpo.
Assim, num único ponto do corpo, a tensão poderia assumir infinitos valores, dependendo
do plano de corte escolhido. Para assegurar que um componente mecânico não sofra falha em
serviço, o projetista deve localizar os pontos de tensão mais severa e analisar a tensão nestes pontos,
ou seja, determinar como os componentes de tensão variam com o plano de corte, de modo a
identificar seus valores extremos.
Pode-se demonstrar que: “Se por um ponto são passados 3 planos de corte mutuamente
perpendiculares, então os componentes de tensão neste ponto, correspondentes a qualquer outro
plano de corte, podem ser escritos em função dos componentes nesses 3 planos iniciais”.
Seja então um sistema de eixos cartesianos xyz. Por meio de cortes perpendiculares a esses
eixos, define-se um volume elementar contendo o ponto P. Para diferenciar os componentes de
tensão atuando nas faces deste elemento, estes são referenciados em relação aos eixos cartesianos,
conforme indicado na figura abaixo.
Assim, para que a tensão em um ponto seja completamente definida, é necessário conhecer
seus 9 componentes: matematicamente isto significa que a tensão num ponto é um tensor de
segunda ordem, cuja representação matricial é dada abaixo. Pela imposição do equilíbrio em torno
de cada um dos eixos coordenados, verifica-se a simetria do tensor tensão, ou seja, sua matriz é
simétrica em relação à diagonal principal, e portanto existem de fato 6 componentes independentes.
O conjunto de componentes de tensão correspondentes aos 3 planos de corte mutuamente
perpendiculares define o Estado de Tensão no ponto analisado.
⎡σ
r
x
⎢
T = ⎢τ
yx
⎢
⎣
τ zx
τ
σ
τ
xy
y
zy
τ xz
⎤
⎥
τ yz ⎥
σ ⎥
z ⎦
Quando todos os componentes não-nulos da tensão estão contidos num único plano (por
exemplo, todos os componentes na direção z iguais a zero, situação encontrada em chapas finas e
em superfícies livres de carregamento), tem-se o caso particular denominado Tensão Plana.