4 Método dos quadrados mínimos

4.7 - AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS
Introdução
Vimos, no capítulo anterior, que uma forma de se trabalhar com uma função
definida por uma tabela de valores é a interpolação polinomial.
Contudo, a interpolação não é aconselhável quando:
a) é preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do
intervalo de tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar;
b) os valores tabelados são resultados de algum experimento físico ou de alguma
pesquisa, porque, nestes casos, estes valores poderão conter erros inerentes
que, em geral, não são previsíveis.
Surge então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que
seja uma “boa aproximação” para os valores tabelados e que nos permita “extrapolar” com
certa margem de segurança.
4.7.1 - Método dos quadrados mínimos
4.7.1.1- O Caso discreto
Sejam dados os pontos (x 1 , f(x 1 )), (x 2 , f(x 2 )), ..., (x m , f(x m )) e as n funções g 1 (x),
g2(x), ..., gn(x) escolhidas de alguma forma.
Consideraremos que o número de pontos m, tabelados, é sempre maior ou igual a n
o número de funções escolhidas ou o número de coeficientes α i a se determinar.
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes α 1 , α 2 , ..., α n tais que a função ϕ(x) =
α 1 g 1 (x) + α 2 g 2 (x) + ... + α n g n (x) se aproxime ao máximo de f(x).
Seja dk = f(xk) – ϕ(xk) o desvio em xk. Vamos observar que, um conceito de
proximidade é que d k seja mínimo para todo k = 1, 2, ..., m.
O método dos quadrados mínimos consiste em escolher os α j´s de tal forma que a
soma dos quadrados dos desvios seja mínima. É claro que se a soma
m m
2
2
∑ d k = ∑ (f (x k ) − ϕ(xk
)) é mínima, teremos que cada parcela [f(x k ) – ϕ(x k )] 2 é
k=
1 k=
1
pequena, donde cada desvio [f(xk) – ϕ(xk)] é pequeno.
Portanto, dentro do critério dos quadrados mínimos, os coeficientes α k , que fazem
com que ϕ(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função
m
F(
α α α = ∑ − ϕ 2
1 , 2,
K , n ) [f (xk
) (x k )] =
k=
1
m
= ∑[ f (x − α − α − − α
2
k ) 1g1(xk
) 2g2
(x k ) K ng
n (xk
)] .
k = 1
96

Observamos que, se o modelo ajustar exatamente os dados, o mínimo da função
acima será zero e, portanto, a interpolação é um caso especial dentro do método dos
quadrados mínimos.
Usando o Cálculo Diferencial, sabemos que, para obter um ponto de mínimo de
F(α 1, α 2, ..., α n), temos de, inicialmente, encontrar seus pontos críticos, ou seja, os (α 1, α 2,
..., α n ) tais que
temos
∂F
= 0 , j = 1, 2, ..., n.
∂α j ( α1,
α2
, K,
αn
)
Calculando estas derivadas parciais para cada j = 1, 2, ..., n, temos
m
∂F
= 2∑[f (xk
) − α1g1(xk
) − K − α ngn
(x k )]
∂α j ( α , α , , α ) k = 1
1 2 K n
Impondo a condição
∂F
∂α j ( α1,
α2
, K,
αn
)
= 0 , j = 1, 2, ..., n.
m
∑[ f (x k ) − α1g1(x
k ) −K − αng
n (xk
)][g j (x k )] = 0 , j = 1, 2, ..., n.
k = 1
Assim,
m
⎫
∑[f(x
k ) − α1g1(x
k ) −...
− αngn
(xk
)]g1(x
k ) = 0⎪
k=
1
⎪
m
⎪
∑[f
(xk
) − α1g1(x
k ) − ... − α ngn
(x k )]g2
(x k ) = 0⎪
⎬ ⇒
k = 1
⎪
M
m
⎪
⎪
∑[f(x
k ) − α1g1(xk
) − ... − αng
n (xk
)]g n (x k ) = 0
⎪
k=
1
⎭
⎧ m
m
⎪ [ ∑ g1(x
k )g1(xk
)] α1
+ K + [ ∑g
n (xk
)g1(xk
)] α n
⎪ k=
1
k=
1
⎪ m
m
⎪
⇒
[
α + +
α
⎨ ∑ g1(x
k )g 2 (x k )] 1 K [ ∑ gn
(x k )g2
(xk
)] n
⎪ k=
1
k=
1
⎪ m
m
⎪
⎪
[ ∑ gn
(x k )g1(xk
)] α1
+ K + [ ∑g
n (xk
)gn
(xk
)] α n
⎩ k=
1
k=
1
m
= ∑ f (x k )g1(x
k )
k = 1
m
= ∑ f (x k )g2
(xk
)
k = 1
M
m
= ∑ f (x k )gn
(x k )
k = 1
que é um sistema linear com n equações e n incógnitas: α 1, α 2, ..., α n.
97

As equações deste sistema linear são as chamadas equações normais.
O sistema linear acima pode ser escrito na forma matricial Aα = b:
⎧ a11α1
+ a12α
2 + K + a1n
αn
⎪
a 21α1
+ a 22α2
+ K + a 2n αn
⎨
⎪
⎪
⎩a
n1α1
+ a n 2α
2 + K + a nnαn
= b1
= b 2
M
= b n
m
onde A = (a ij ) é tal que a ij = ∑ g j(xk
)gi
(xk
) = aij
(ou seja, A é simétrica)
k=
1
α = (α 1 , α 2 , ..., α n ) t e b = (b 1 , b 2 , ..., b n ) t é tal que
m
bi = ∑ f (xk )gi
(x k ) .
k = 1
Lembramos que, dados os vetores x e y ∈ R m , o número real
chamado de produto escalar de x por y.
Usando esta notação, o sistema normal Aα = b ficará expresso por
x , y = ∑
m
x i y i é
i=
1
A =
( a ij)
= gi,
g j e b = (b i ) = f , gi
onde
g l é o vetor (g l (x1)g l (x2) ... g l (xm)) T e f, o vetor (f(x1)f(x2) ... f(xm)) T .
Demonstra-se que, se as funções g 1 (x), ..., g n (x) forem tais que os vetores
g1,
g 2,
K , g n sejam linearmente independentes, então o determinante da matriz A é
diferente de zero e, portanto, o sistema linear
⎧ m
m
⎪ [ ∑g1(xk
)g1(x
k )] α1
+ K+
[ ∑ gn
(x k )g1(xk
)] αn
⎪ k=
1
k=
1
⎪ m
m
⎪[
α + +
α
⎨
∑g1(xk
)g2
(x k )] 1 K [ ∑g
n (xk
)g2
(xk
)] n
k=
1
k = 1
⎪
⎪ m
m
⎪
⎪
[ ∑g
n (xk
)g1(x
k )] α1
+ K+
[ ∑ gn
(x k )g n (xk
)] αn
⎩ k = 1
k=
1
m
= ∑ f (x k )g1(x
k )
k = 1
m
= ∑ f (x k )g2
(x k )
k = 1
M
m
= ∑ f (x k )gn
(x k )
k = 1
98

admite solução única:
α K . Ainda mais, demonstra-se também que esta solução
1 , , αn
α1 , K , αn
é o ponto em que a função F( 1 , , αn
α K ) atinge seu valor mínimo.
Observamos que, se os vetores g1,
g 2,
K , g n tiverem uma propriedade
suplementar de serem tais que g i , g j : ⎨ ⎧ = 0, i ≠ j
⎩ ≠ 0,i = , o que, em linguagem de álgebra linear
j
se diz “se os vetores g1,g
2,
K , g n forem ortogonais entre si”, então a matriz A do sistema
normal será matriz diagonal, com aii ≠ 0 e, portanto, o sistema terá solução única, a qual
será facilmente determinada.
Felizmente, dado um conjunto de pontos {x1, x2, ..., xm} é fácil construir
polinômios de grau 0, 1, ..., n que são ortogonais, no sentido acima, em relação ao produto
escalar
g i , g j = ∑
m
g i (x k )g j(xk
) .
k = 1
Polinômios ortogonais constituem uma classe particular de funções ortogonais.
Tais funções possuem várias propriedades muito interessantes e úteis. O leitor interessado
em aprender sobre o assunto pode pesquisar, por exemplo, nos livros [5] e [27]. O estudo
de funções ortogonais, em particular de polinômios ortogonais, merece um capítulo
especial, o que será feito aqui.
Exemplo 4.7.1:
Seja o conjunto de pontos X5 = {–1, – ½, 0, ½, 1} e os polinômios
g 0 (x) = 1; g 1 (x) = x, g 2 (x) = x 2 – ½
Então, os polinômios g 0 (x), g 1 (x) e g 2 (x) são funções ortogonais em X 5 com
relação ao produto escalar g i , g j = ∑
m
g i (x k )g j(xk
) pois os vetores
k = 1
g 0 = (g 0 (x i )) = (1 1 1 1 1) T
g 1
= (g 1 (x i )) = (–1 – ½ 0 ½ 1) T e
g 2 = (g 2 (x i )) = ( ½ – ¼ – ½ –¼ ½ ) T são ortogonais entre si, o que se verifica
facilmente:
g 0 , g 0 = 5 ≠ 0
g 0 , g 1 = 1(– 1) + 1(–½ ) + 1(0) + 1(½) + 1(1) = 0
g 0 , g 2 = 1(½) + 1(–¼) + 1(–½) + 1(–¼) + 1(½) = 0
Fica a cargo do leitor fazer as demais verificações.
99

P =
Os polinômios citados são conhecidos como polinômios de Gram, { im} m i 0
2 i
ortogonais em conjuntos de pontos eqüidistantes, xi = –1 + . m
Assim,
Pi
,m , Pj,
m
⎧=
0
⎨
⎩≠
0
se i ≠
j
≠
Exemplo 4.7.2:
Seja a função tabelada
x –1.0 –0.75 –0.6 –0.5 –0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0
f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05
Feito o diagrama de dispersão, deve ser ajustada por uma parábola passando pela
origem, ou seja, f(x) = ϕ(x) = αx 2 (neste caso temos apenas uma função g(x) = x 2 ).
Temos, pois, de resolver apenas a equação
11
11
[ ∑ g(xk )g(x k )] α = ∑ f (x k )g(xk
)
k=
1
k = 1
11
11
2
[ ∑g(x
k ) ] α = ∑f
(xk
)g(x k )
k−1
k=
1
11
11
[ ∑(x
2 ) 2]
α = 2
∑ (x )f (x
k
k k )
k=
1
k = 1
Continuando a tabela com g(xk)g(xk) e g(xk)f(xk), temos
x –1.0 –0.75 –0.6 –0.5 –0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0
Somas
(x 2 )(x 2 ) 1 0.3164 0.1296 0.0625 0.0081 0 0.0016 0.0256 0.0625 0.2401 1.0 2.8464
f(x)x 2 2.05 0.6486 0.162 0.1 0.045 0 0.008 0.096 0.128 0.0588 2.05 5.8756
5.8756
Assim, nossa equação é 2.0642α = 5.8756 ⇒ α = ≈ 2.0642
2.8464
Então ϕ(x) =2.0642x 2 é a parábola que melhor se aproxima, no sentido dos
quadrados mínimos, da função tabelada.
4.7.1.2- O Caso Contínuo
Para simplificar a notação, desenvolveremos aqui o caso em que “escolhemos”
apenas duas funções.
100

Sejam então f(x) contínua em um intervalo [a, b] e g 1 (x) e g 2 (x) duas funções
contínuas em [a, b] que foram escolhidas de alguma forma. É preciso encontrar duas
constantes reais α 1 e α 2 tais que ϕ(x) = α 1 g 1 (x) + α 2 g 2 (x) esteja o “mais próximo possível”
de f(x).
Seguindo o critério dos quadrados mínimos para o conceito de proximidade entre
ϕ(x) e f(x), os coeficientes α 1 e α 2 a serem obtidos deverão ser tais que o valor de
b
∫ [ f(x) − ϕ (x)]
2 dx seja o menor possível.
a
Geometricamente, isto significa que a área entre as curvas f(x) e ϕ(x) seja mínima.
Portanto, o problema consiste em obter o mínimo para
b
b
2
2
2
∫ [ f(x) − ϕ(x)]
dx = ∫[f(x)
− 2f (x) ϕ(x)
+ ϕ(x)
]dx =
a
a
b
2
2 2
= ∫ { f (x) − 2f(x)[ α1g1(x)
+ α2g2
(x)] + α1
g1
(x) +
a
2 2
+ 2α1α2g1(x)g2
(x) + α2g2
(x)}dx
b
b
b
= 2
∫f
(x) dx − [2∫
f (x)g1(x)dx]
α1
− [2 ∫ f(x)g2
(x)dx] α2
+
a
a
a
b
b
b
+ 2 2
2
[ ∫ g1 (x)dx] α1
+ [2∫
g1(x)g2
(x)dx] α1α2
+ [ ∫ g 2(x)dx]
= F( α1,
α2
)
a
a
a
b
⇒
2
∫ [ f (x) − ϕ(x)]
dx = F( α1,
α2
)
a
Com o mesmo argumento do caso discreto, temos de achar os pontos críticos de F,
ou seja, achar (α 1, α 2) tal que
∂F
∂αi
( α1,
α2
)
= 0 , i = 1, 2.
b
b
∂F
2
i = 1 ⇒ = −2
+
α +
∂α ∫f
(x)g1(x)dx
[2∫
g1
(2)dx] 1
1 ( α , α ) a
a
1
2
+ [ 2∫ g 1 (x)g 2 (x)dx]
α 2
Assim,
∂F
∂α1
∂F
= = 0 ⇒
∂α
( α1,
α2
) 2 ( α1,
α2
)
101

⎧ b
b
2
⎪[
∫g1
(x)dx] α1
+ [ ∫ g1(x)g2
(x)dx] α2
⎪
a
a
⎨
b
b
⎪
⎪[
∫g
α + 2
1(x)g2(x)dx]
1 [ ∫ g2
(x)dx] α2
⎪⎩
a
a
b
= ∫ f(x)g1(x)dx
a
b
= ∫ f(x)g2
(x)dx
a
b
b
b
2
Se a 11 = ∫ g1
(x) dx , a 12 = ∫ g1(x)g2(x)dx = ∫ g 2(x)g1(x)dx
= a 21
a
a
a
b
2
a 22 = ∫g
2(x)
dx
a
b
b
b 1 = ∫ f (x)g1(x)
dx e b 2 = ∫ f(x)g2
(x) dx ,
a
a
podemos escrever o sistema linear acima como
⎧a11α1
+ a12α2
= b1
⎨
⎩a
21α1
+ a 22α2
= b2
⎛ a11
ou Aα = b, onde A = ⎜
⎝ a 21
a12
a 22
⎞
⎟
⎠
α = (α 1 α 2 ) T , b = (b 1 b 2 ) T .
Demonstra-se que, se as funções escolhidas g1(x) e g2(x) forem linearmente
independentes, o determinante da matriz A é diferente de zero, o que implica que o sistema
linear admite única solução ( α 1,
α2)
. Ainda mais, demonstra-se também que esta solução
é o ponto em que a função F(α 1, α 2) atinge seu valor mínimo.
Usando aqui a definição de produto escalar de duas funções p(x) e q(x) no
intervalo [a, b] por
b
p , q = ∫ p(x)q(x)dx ,
a
teremos que, no caso em que queremos aproximar
f(x) ≈ α 1 g 1 (x) + ... + α n g n (x) o sistema normal Aα = b fica
A = (a ij ) = g i , g j
b
= ∫ gi
(x)g j(x)dx
=
a
b
b = (bi) = f , gi
= ∫f
(x)gi
(x) dx .
a
g j,
gi
102

Da mesma forma que no caso discreto, temos funções ortogonais com relação ao
produto escalar, como mostrará o exemplo abaixo.
Exemplo 4.7.3:
Os polinômios de Legendre, definidos por
(k)
1 d
P 0 (x) ≡ 2 k
1, P k (x) =
[(x − 1)] , k = 1, 2, ...
k (k)
2 k! dx
b
são ortogonais em [–1, 1], com relação ao produto escalar p , q = ∫ p(x)q(x)dx .
a
Fica como exercício a verificação de que os três primeiros polinômios de Legendre
P0(x) ≡ 1, P1(x) = x e P2(x) = 1 (3x
2 − 1)
são ortogonais entre si.
2
Uma observação interessante é que, em geral, polinômios ortogonais satisfazem
uma fórmula de recorrência de 3 termos, ou seja, dados P 0 (x) e P 1 (x), conseguimos
construir P k (x), k = 2, 3, ...
No caso dos polinômios de Legendre, a fórmula de recorrência é
⎛ 2j + 1⎞
⎛ j ⎞
P j + 1 (x) = ⎜ ⎟xP
j(x)
− ⎜ ⎟Pj−1
(x)
, j = 1, 2, ...
⎝ j + 1 ⎠ ⎝ j + 1⎠
Exemplo 4.7.4:
Vamos aproximar f(x) = 4x 3
intervalo [a, b] = [0, 1].
por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no
ϕ(x) = α 1 g 1 (x) + α 2 g 2 (x) = α 1 + α 2 x, α 1 , α 2 ∈ R
(g 1 (x) ≡ 1 g 2 (x) = x).
Pelo que vimos, (α 1 , α 2 ) é a única solução de Aα = b onde
A =
⎡a11
⎢
⎣a21
a12
⎤
a
⎥
22 ⎦
α =
⎡α1
⎤
⎢ ⎥
⎣α2
⎦
b =
⎡b1
⎤
⎢ ⎥ , sendo
⎣b2
⎦
a 11 =
a 12 =
b
1
2
1 = 1
∫ g (x)dx ∫1dx
=
a
b
0
1 2
1
x 1
1 a 21
2 2
0
0
∫ g (x)g2
(x)dx = ∫ xdx = = =
a
103

a 22 =
b
1 3
1
2
2 x
∫ g 2 (x)dx = ∫ x dx = =
3
a
0
0
1
3
b
1
4
1
3 4x
b1 = ∫ f (x)g1(x)dx
= ∫ 4x dx = = 1
4
a
0
0
b
1
5
1
3 4x 4
b2 = ∫ f (x)g2
(x)dx = ∫ 4x xdx = =
5 5
a
0
0
Temos então o sistema
⎧ 1
⎪
1α
1 + α2
= 1
2
⎨
⎪1
1 4
α + α =
1 2
⎩ 2 3 5
4 18
⇒ α1 = − , α2
= .
5 5
Logo, a aproximação por quadrados mínimos de f(x) = 4x 3 no intervalo [0, 1], por
18 4
um polinômio de grau 1, é a reta ϕ(x) = x − .
5 5
4.7.3- O Caso Não Linear
Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode ser não linear nos
parâmetros, como, por exemplo, se ao diagrama de dispersão de uma determinada função se
ajustar uma exponencial do tipo f(x) ≈ ϕ(x) = α1e –α 2 x , α 1 e α 2 positivos.
Para se aplicar o método dos quadrados mínimos, é necessário que se efetue uma
linearização do problema através de alguma transformação conveniente.
Por exemplo:
y ≈ α 1 e –α 2 x ⇒ z = ln(y) ≈ ln(α 1 ) – α 2 x.
Se a1 = ln(α 1) e a2 = – α 2 ⇒ ln(y) ≈ a1 – a2x = φ(x) que é um problema linear nos
parâmetros a 1 e a 2 .
O método dos quadrados mínimos pode então ser aplicado na resolução do
problema linearizado. Obtidos os parâmetros deste problema, usaremos estes valores para
calcular os parâmetros originais.
É importante observar que os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do
critério dos quadrados mínimos, isto porque estamos ajustando o problema linearizado por
quadrados mínimos e não o problema original.
Portanto, no exemplo, os parâmetros a 1 e a 2 são os que ajustam a função φ(x) à
função z(x) no sentido dos quadrados mínimos; não se pode afirmar que os parâmetros α 1 e
α 2 (obtidos através de a 1 e a 2 ) são os que ajustam ϕ(x) à f(x) dentro do critério dos
quadrados mínimos.
104

Exemplo 4.7.5:
Suponhamos que num laboratório obtivemos experimentalmente os seguintes
valores para f(x) sobre os pontos x i , i = 1, 2, ..., 8:
x –1.0 –0.7 –0.4 –0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
f(x) 36.547 17.264 8.155 3.852 1.820 0.860 0.406 0.246
Fazendo o diagrama de dispersão dos dados acima, obtemos
y
Figura 4.7.1 – diagrama de dispersão dos dados da tabela dada.
x
Os dados nos sugere um ajuste y ≈ ϕ(x) = α 1 e –α 2 x .
Conforme vimos anteriormente, a “linearização” a ser feita é
z = ln(y) ≈ ln(α 1e –α 2 x ) = ln(α 1) – α 2x = φ(x).
Assim, em vez de ajustarmos y por quadrados mínimos, ajustaremos z = ln(y) por
quadrados mínimos, encontrando φ(x) = a 1 + a 2 x, onde a 1 = ln (α 1 ) e a 2 = –α 2 . (Aqui g 1 (x)
= 1 e g 2 (x) = x).
Temos pois:
x –1.0 –0.7 –0.4 –0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
z = ln(y) 3.599 2.849 2.099 1.349 0.599 –0.151 –0.901 –1.402
e a1 e a2 serão a solução do sistema:
105

⎧ 8
8
8
⎪[
∑g1(xk
)g1(x
k )]a1
+ [ ∑ g2
(xk
)g1(x
k )]a 2 = ∑ z(xk
)g1(xk
)
⎪ k = 1
k=
1
k=
1
⎨
8
8
8
⎪
⎪[
∑g1(xk
)g2
(xk
)]a 1 + [ ∑ g 2(x
k )g 2(x
k )]a 2 = ∑ z(xk
)g2
(xk
)
⎩ k = 1
k = 1
k=
1
8
g 1 (x) = 1 ⇒ ∑ g1 (x k )g1(x
k ) = ∑1=
a11
= 8
k = 1
k = 1
8
8
g (x )g (x ) x2
∑ 2 k 2 k = ∑ = a 22 = 3.
k
k = 1
k=
1
g2(x) = x ⇒ 59
8
donde
8
8
∑ g1(xk
)g2
(xk
) = ∑1x
k = a12
= a 21 = 0.3
k = 1
k=
1
8
8
b 1 = ∑ z(x k )g1(x
k ) = ∑ z(xk
) = 8. 041
k=
1
k=
1
8
8
b 2 = ∑ z (x k )g2
(x k ) = ∑ z(xk
)xk
= −8.
646
k=
1
k=
1
⎡ 8 0.3 ⎤
⎡ 8.041⎤
A = ⎢ ⎥ b = ⎢ ⎥
⎣0.3
3.59⎦
⎣− 8. 646 ⎦
e o sistema fica
⎧ 8.0a1
+ 0.3a 2
⎨
⎩0.3a1
+ 3.59a 2
= 8.041
= −8.646
⇒ a 1 = 1. 099 e a 2 − 2. 5
Agora, α 1 = e a 1 ⇒ α 1 = e 1.099 = 3.001
α 2 = –a 2 ⇒ α 2 = 2.5.
Assim, a função ϕ(x) = α 1e –α 2 x = 3.001e –2.5x
Assim, como no exemplo anterior, onde ajustamos aos dados a curva y ≈ α 1 e –α 2 x , é
comum encontrarmos casos em que os dados tabelados, feito o diagrama de dispersão,
devem ser ajustados por
1
1) Uma hipérbole: y ≈ = ϕ(x)
α1
+ α 2x
106

1
( z = ≈ α1 + α2x)
x
x
2) Uma curva exponencial: y ≈ α 1 α 2 = ϕ(x)
(se y > 0, z = ln(y) ≈ ln( α + α =
123 1 ) x ln(
14243
2 ) a 1 + a 2 x = φ(x)).
a
1 a 2
3) Uma curva geométrica: y ≈ α 1 x α 2 = ϕ(x)
(se x > 0 e y > 0, z = ln(y) ≈ ln( α1 ) + α
{ 2 ln( x)
= a 12
3 1 + a 2{
ln( x)
a1 a2
t
⇒ z = ln(y) ≈ a 1 + a 2 t = φ(t)).(Aqui minimizamos a soma dos quadrados dos
desvios nos logaritmos de y, para os logaritmos de x.)
4) Uma curva trigonométrica: y ≈ α 1 + α 2 cos(wx) = ϕ(x).(t = cos(wx) ⇒ ϕ(t) = α 1
+ α 2t e, neste caso, estamos minimizando a soma dos quadrados dos desvios
em y.)
4.7.4- Teste de Alinhamento
Uma vez escolhida uma função linear em α 1, α 2, ..., α n para ajustar uma função
dada, uma forma de verificarmos se a escolha feita foi razoável é aplicarmos o teste de
alinhamento, que consiste em:
i) fazer a “linearização” da função não linear escolhida;
ii) fazer o diagrama de dispersão dos novos dados;
iii)se os pontos do diagrama (ii) estiverem alinhados, isto significará que a função
não linear escolhida foi uma “boa escolha”.
Observamos que, devido aos erros de observação, e cálculos aproximados,
consideramos satisfatório o diagrama de dispersão onde os pontos se distribuem
aleatoriamente em torno de uma reta média.
No exemplo 4.7.5, temos
x –1.0 –0.7 –0.4 –0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
y 36.547 17.264 8.155 3.852 1.820 0.860 0.406 0.246
z = ln(y) 3.599 2.849 2.099 1.349 0.599 –0.151 –0.901 –1.402
107

z
x
Figura 4.7.2- diagrama de dispersão dos dados da tabela dada.
4.7.5- Exercícios
Ver Ruggiero (página 287 a 291 – exercícios 01 ao 13)
108