TEOREMA DE GREEN

6.2. CARACTERIZAÇÃODOS CAMPOS CONSERVATIVOSNOPLANO 161
Consideremosocaminho poligonalligando (x 0 ,y 0 )e(x,y):
( x , y)
( x 0 , y 0 )
Figura6.18:
Parametrizando estos caminhos: γ 1 (t) = (x 0 ,t), y 0 ≤ t ≤ y e γ 2 (t) = (t,y 0 ), x 0 ≤ t ≤ x;
definamos f por:
f(x,y) =
∫ x
x 0
F 1 (t,y)dt +
∫ y
y 0
F 2 (x,t)dt.
Estafunção é bemdefinida,poisindependedacurva queliga ospontos (x 0 ,y 0 ) e (x,y) ∈ A. E
seguediretamentedadefinição que:
∂f
∂x (x,y) = F 1(x,y)
e
∂f
∂y (x,y) = F 2(x,y).
(3) ⇒ (4). Como ∇f(x,y) = F(x,y), segueque:
para todo (x,y) ∈ A.
∂F 2
∂x (x,y) = ∂F 1
∂y (x,y),
(4) ⇒ (1). Seguedo teoremade Green. De fato, podemosaplicar o teoremade Green pois se A
é simplesmenteconexo,aregião D limitada porqualquercurva fechada C estácontidaem A.
Exemplo 6.3.
∮
[1] Calcule
C
F, onde F(x,y) = ( −
y x )
x 2 + y 2, se:
x 2 + y 2
i) C équalquer curvafechada simples,bordodeumaregiãoquenão contemaorigem.
ii) C é qualquercurva fechadasimples,bordodeumaregião quecontemaorigem.
i) Seja C + comono desenho: