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INPE-14195-TDI/1097

RECUPERAÇÃO DE PERFIS VERTICAIS DE PROPRIEDADE

ÓTICAS INERENTES A PARTIR DA RADIAÇÃO EMERGENTE

DA ÁGUA

Roberto Pinto Souto

Tese de Doutorado do Curso de Pós-Graduação em Computação Aplicada, orientada

pelos Drs. Haroldo Fraga de Campos Velho e Stephan Stephany, aprovada em 28 de

março de 2006.

INPE

São José dos Campos

2006


0519.688:535.2

Souto, R. P.

Recuperação de perfis de propriedades óticas inerentes a

partir da radiação emergente da água / Roberto Pinto Souto. –

São José dos Campos: INPE, 2006.

139p. ; (INPE-14195-TDI/1097).

1.Ótica hidrológica. 2.Problemas inversos. 3.Otimização

por colônia de formigas. 4.Processamento paralelo. I.Título.


Ao meu pai Gilberto Souto


AGRADECIMENTOS

A Deus.

À minha família, um porto seguro nos momentos difíceis, onde encontro forças e alegria

para continuar a lutar pelos meus sonhos.

Aos meus orientadores, Dr. Haroldo Fraga de Campos Velho e Dr. Stephan Stephany, pela

oportunidade e confiança que me foram dadas de realizar este doutorado. E, também pela

efetiva participação e contribuição dadas ao longo desses anos, com idéias, sugestões e

críticas que ajudaram sobremaneira na elaboração deste trabalho.

Aos colegas e amigos que conheci durante este período como aluno no INPE, e em especial

pelo companherismo e amizade de Elcio Hideiti Shiguemori, Cláudio Faria, Leonardo

Dagnino Chiwiacowsky, Daniel Merli Lamosa, Nanci Naomi Arai e Álvaro Luiz Fazenda.

Ao Dr. Ezzat Selim Chalhoub, pelos primeiros passos que me foram dados, no aprendizado

dos códigos fonte de resolução da equação de transferência radiativa em Ótica

Hidrológica.

À Dra. Cynthia Feijó Segatto, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), e

ao Dr. Gilberto Orengo de Oliveira, do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), pela

ajuda no estudo do método LTS N para resolver problemas em meio não-homogêneo.

Ao Dr. Jairo Panetta, que durante este último ano em que estive no Centro de Previsão

de Tempo e Estudos Climáticos do INPE (CPTEC), sempre me deu total apoio no que eu

precisasse para terminar a tese, mesmo diante do volume de trabalho no CPTEC.

Ao Dr. Milton Kampel pela colaboração científica na área de Sensoriamento Remoto

aplicado à Ocenografia.

Ao Instituto Oceanográfico da Universidade de São Paulo, pelo embarque no Navio Oceanográfico

Prof. W. Besnard no trabalho de campo realizado.

Ao Dr. Frederico Brandini, e seus alunos do Centro de Estudos do Mar da Universidade

Federal do Paraná (CEM/UFPR), M.Sc. Ana Cristina Novelino Penna Franco, M.Sc.

Nilva Brandini e M.Sc. Juan Carlos Ugaz Codina, pela ajuda prestada durante trabalho de

campo e disponibilização de dados obtidos durante a campanha.


À Dra. Elisabete Caria Moraes da Divisão de Sensoriamento Remoto do INPE, pelas

instruções dadas quanto ao uso e processamento dos dados obtidos com o espectrorradiômetro

de campo.

Ao Programa de Pós-Graduação em Computação Aplicada, por oferecer todas as condições

para a realização deste trabalho, e pelo apoio e incentivo na participação de eventos

acadêmicos.

Ao CNPq pelo suporte financeiro durante este doutorado.


RESUMO

O presente trabalho propõe uma metodologia para reconstrução de propriedades óticas

inerentes de águas naturais, perfis verticais dos coeficientes de absorção e de espalhamento,

a partir de dados radiométricos multiespectrais da radiação emergente da água. O

problema direto de transferência radiativa é resolvido pelo método LTS N e empregam-se

modelos bio-ópticos que correlacionam os coeficientes de absorção e de espalhamento

com a concentração de clorofila da água. O correspondente problema inverso foi formulado

como um problema de otimização que é iterativamente resolvido por uma metaheurística

inspirada no comportamento coletivo das formigas, o método Ant Colony Optimization.

Foi incorporado um novo esquema de regularização intrínseca, que consiste

na pré-seleção das soluções candidatas a cada geração com base na sua suavidade. Foram

efetuadas diversas reconstruções de perfis de concentração de clorofila empregando dados

sintéticos com e sem ruído referentes a (i) radiâncias "in situ"com e sem simetria azimutal

e (ii) radiâncias multiespectrais emergentes na água, tendo obtidos bons resultados. Adicionalmente

foram implementadas versões paralelas do método LTS N e do otimizador.


RECONSTRUCTION OF VERTICAL PROFILES OF INHERENT OPTICAL

PROPERTIES FROM UPWELLING WATER RADIANCES

ABSTRACT

The current work proposes a metodology for the reconstruction of inherent optical properties

of natural waters, vertical profiles of the absorption and scattering coefficients,

from multispectral radiometric data of the radiation emerging from water. The radiative

transfer direct model is solved by the LTS N method and bio-optical models are employed

to correlate the absorption and scattering coefficients to the chlorophyll concentration in

the water. The corresponding inverse problem is formulated as an optimization problem

and iteratively solved by a metaheuristics inspired on the behavior of ants, the Ant Colony

Optimization method. It was included a new intrinsic regularization scheme that

pre-selects candidate solutions at every iteration based on their smoothness. Several reconstructions

of the chlorophyll concentration profile were performed using noiseless and

noisy synthetic data related to (i) “in situ” radiances with and without azimuthal symmetry,

and (ii) emerging multispectral radiances. These reconstructions yielded good quality

solutions. Furthermore, parallel versions of the LTS N method and of the optimizer were

implemented.


SUMÁRIO

Pág.

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

LISTA DE SÍMBOLOS

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 25

CAPÍTULO 2 - EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA 31

2.1 - Atenuação e emissão de radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 - Discretização da equação de transferência radiativa . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.2 - Método LTS N de resolução das equações de ordenadas discretas . . . . . . 43

2.1.3 - Formulação para geometria multi-região . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 - Transferência radiativa em ótica hidrológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 - Validação da implementação do método LTS N . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 - Dependência espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

CAPÍTULO 3 - PROBLEMA INVERSO 63

3.1 - Métodos de escolha do parâmetro de regularização . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 - Métodos de regularização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3 - Recuperação de propriedades óticas inerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4 - Método de otimização “Ant Colony Optimization” - ACO . . . . . . . . . . . 80

3.4.1 - ACO com pré-seleção das soluções candidatas . . . . . . . . . . . . . . . . 85

CAPÍTULO 4 - RECONSTRUÇÕES EFETUADAS E DISCUSSÃO DOS

RESULTADOS 89

4.1 - Considerações sobre processamento paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1 - Métricas de avaliação de desempenho paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.2 - Estratégias de paralelização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 - Estimação com dados in situ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.1 - Radiância com simetria azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


4.2.2 - Radiância sem simetria azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 - Estimação com dados externos multiespectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3.1 - Radiância com simetria azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3.2 - Radiância sem simetria azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS 125

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 131


LISTA DE FIGURAS

Pág.

2.1 Fluxo de radiação representado por um feixe com direção de propagação ˆξ,

confinado em um ângulo sólido infinitesimal dΩ, passando por um elemento

de área dA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Ângulos polar θ e azimutal ϕ, que definem a direção de propagação

ˆξ = ξ(θ, ϕ), no sistema de coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Elemento de volume dV = dA ds, por onde a radiação incide com energia

dQ. Parte da variação líquida d(dQ) liq de energia é devido a atenuação do

meio. Outra é consequência do processo de emissão do meio, para o interior

do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Geometria plano-paralela com R regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Esquema representando um corpo d’água e a interação deste com radiação solar 54

2.6 Intrumento de mediçao das irradiâncias escalares . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.7 Radiâncias obtidas pelo código PEESNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1 Modelo Direto e Modelo Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Critério de Morozov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Gráfico suavidade×ajuste dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 Perfil estimado de concentração de clorofila obtido em campo . . . . . . . . . 76

3.5 Curva gaussiana que modela um perfil de concentração de clorofila . . . . . . 79

3.6 Gráficos dos coeficientes de absorção e de espalhamento . . . . . . . . . . . 79

3.7 Formigas contornando obstáculo na trilha, em busca de alimento . . . . . . . 82

3.8 Esquema mostrando três formigas procurando a solução de dez valores discretos 86


4.1 Estimativa do perfil vertical de concentração de clorofila . . . . . . . . . . . 98

4.2 Gráficos que ilustram o forte decaimento dos valores de radiância com a profundidade

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Radiâncias da Figura 4.2 ponderadas por um fator de profundidade . . . . . . 99

4.4 Nova estimativa do perfil vertical de concentração de clorofila usando o fator

ponderador de profundidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5 Resultados médio de cinco sementes, usando ACO com pré-seleção . . . . . 102

4.6 Resultados médio de cinco sementes, sem pré-seleção . . . . . . . . . . . . . 103

4.7 Tempos de execução em segundos e curva de “speed up” . . . . . . . . . . . 103

4.8 Dados com 5% de ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.9 Dados com 10% de ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.10 Dados com 20% de ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.11 Gráficos que ilustram o forte decaimento dos valores de radiância com a profundidade,

para as direções polares negativas (a) e positivas (b). . . . . . . . . 107

4.12 Gráficos que ilustram o forte decaimento dos valores de radiância com a profundidade,

para as direções polares negativas (a) e positivas (b). . . . . . . . . 108

4.13 Perfis de concentração de clorofila recuperados pelo método ACO com préregularização

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.14 Tempos de execução em segundos (a) e curva de “speed up” (b) do método

ACO com pré-seleção, usando os parâmetros da Tabela 4.5, referentes a 4 iterações.

As curvas em linha tracejada indicam, em ambos os gráficos, tempos

e “speed ups” ideais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.15 Radiâncias com simetria azimutal na superfície, considerando-se o dominío

não homogêneo, para dez comprimentos de onda e dez direções polares negativas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


4.16 Solução média geral de dez sementes (a), e solução médias das cinco sementes

que recuperaram perfis com pico de máximo na curva (b). . . . . . . . . . 112

4.17 Primeiro refinamento da solução mostrada na Figura 4.16b, onde os cinco

primeiros valores foram congelados (a). Segundo refinamento, congelandose

a solução até a sétima profundidade (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.18 Soluções encontradas para recuperação do perfil constante (C = 4.0 mg/m 3 ).

Obtidas com o ACO usando os parâmetros da Tabela 4.6, sem ruído nos dados

de radiância. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.19 Recuperação do perfil dado pelos valores de C da Tabela 4.9, onde se obteve

resultado superior ao mostrado na Figura 4.16, ao se reduzir a precisão da

solução procurada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.20 Resultados obtidos com o ACO usando os parâmetros da Tabela 4.10.

(a) dados sem ruído; (b) com ruído de 1%;

(c) com ruído de 2%; (d) com ruído de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.21 Soluções encontradas para se recuperar perfil constante (C = 4.0 mg/m 3 ),

aplicando pré-regularização com critério de Tikhonov de 2 a ordem, a partir

de dados de radiância:

(a) sem ruído; (b) com ruído 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.22 Soluções encontradas para se recuperar perfil constante (C = 4.0 mg/m 3 ),

aplicando pré-regularização com critério de Tikhonov de 1 a ordem, a partir

de dados de radiância:

(a) sem ruído; (b) com ruído 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.23 Perfis médios recuperados para dados com ruído de 2% decartando as três

piores sementes (a), e com ruído de 5% descartando as cinco piores (b). . . . 120

4.24 Solução utilizando precisão mais baixa na busca (10 −1 ), a partir radiâncias

geradas com C com precisão da Tabela 4.3 (10 −4 ). . . . . . . . . . . . . . . 121

4.25 Histograma do erro quadrático entre radiâncias multiespectrais geradas com

C, contendo precisão (10 −4 ) e precisão (10 −1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . 121


4.26 Radiâncias sem simetria azimutal (N g =173) na superfície, considerando-se

o dominío não homogêneo, para dez comprimentos de onda e dez direções

polares negativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.27 Perfis obtidos com dados sem ruído (a-b), e dados corrompidos com 1% (c-d)

e 2% (e-f) de ruído. A primeira coluna (a-c-e) mostra as soluções médias com

dez sementes, equanto que na segunda (b-d-f) estão os resultados das cinco

sementes com maiores valores na quinta profundidade. . . . . . . . . . . . . 124


LISTA DE TABELAS

Pág.

1.1 Propriedades óticas estimadas com a metodologia inversa proposta. . . . . . . 28

2.1 Parâmetros usados no caso teste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Diferença percentual entre os valores de radiância do caso teste em Ótica

Hidrológica obtidos com os códigos PEESNA e LTSN. . . . . . . . . . . . . 60

3.1 Valores do fluxo solar médio logo acima do topo da atmosfera terrestre.

FONTE: Adaptada de O’Reilly et al. (1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Coeficientes de absorção da água pura a w λ e de absorção adimensional específico

de clorofila a c λ , para dez comprimentos de onda.

FONTE: adaptada de Mobley (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Parâmetros do método ACO para resolução do problema inverso. . . . . . . . 87

4.1 Problemas apresentados em ordem crescente de complexidade. . . . . . . . . 89

4.2 Parâmetros usados na meta-heurística ACO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 Concentração de clorofila em dez profundidades. . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Parâmetros usados na meta-heurística ACO, com pré-seleção. . . . . . . . . . 101

4.5 Parâmetros usados no ACO, com pré-seleção. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6 Parâmetros usados na meta-heurística ACO, para resolver o problema inverso

multiespectral em ótica hidrológica, a partir de dados de radiância com simetria

azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.7 Valores numéricos dos cinco perfis mais côncavos, a partir da 2 a profundidade. 113

4.8 Valores numéricos dos cinco perfis mais convexos, a partir da 2 a profundidade. 114


4.9 Concentração de clorofila em dez profundidades. . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.10 Parâmetros usados na meta-heurística ACO, para resolver o problema inverso

multiespectral em ótica hidrológica, a partir de dados de radiância com simetria

azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.11 Parâmetros usados na meta-heurística ACO, para resolver o problema inverso

multiespectral em ótica hidrológica, a partir de dados de radiância sem simetria

azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1 Diferença percental entre os valores de radiância sem simetria azimutal obtidos

considerando-se as equações correspondentes a todos os N g =173 modos

azimutais ou somente as 48 primeiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

ETR – Equação de Transferência Radiativa

LTSN – código-fonte no qual foi implementado o método LTS N

Hydrolight – código-fonte no qual foi implementado o método de inserção invariante

PEESNA – código-fonte onde foi implementado o método analítico

IOPs – “Inherent Optical Properties” - Propriedades Óticas Inerentes

AOPs – “Apparent Optical Properties” - Propriedades Óticas Aparentes

ACO – “Ant Colony Optimization” - Meta-heurística de otimização

baseado no comportamento coletivo de colônia de formigas

TSP – “Travelling Salesman Problem” - Problema do Caixeiro Viajente

PTT – método de regularização Phillips-Tikhonov-Twomey

NAG – “Numerical Algorithms Group”

biblioteca numérica propritária

IMSL – “International Mathematical Subroutine Library”

biblioteca numérica propritária

LAPACK – “Linear Algebra PACKage” - biblioteca numérica livre

PAR – “Photosynthetically Available Radiation” - Radiação fotosinteticamente ativa

CZCS – “Coastal Zone Color Scanner”

SeaWiFS – “Sea-viewing Wide Field-of-view Sensor”


LISTA DE SÍMBOLOS

λ – comprimento de onda nm

t – tempo s

A – área m 2

Q, q – energia J

L λ – radiância espectral W · m −2 · sr −1 · nm −1

E λ – irradiância espectral W · m −2 · nm −1

θ – ângulo polar rad

ϕ – ângulo azimutal rad

⃗ξ ou

ˆξ(θ, ϕ) – direção de propagação

Ω – ângulo sólido sr

z – variável geométrica de profundidade m

τ – variável ótica de profundidade

ζ – profundidade ótica

a – coeficiente de absorção m −1

b – coeficiente de espalhamento m −1

c – coeficiente de atenuação m −1

ϖ 0 – albedo de espalhamento simples

j – coeficiente de emissão m −1

F – fluxo líquido de radiação incidente,

integrado em todas as

direções (irradiância)

W · m −2 · nm −1

µ – cosseno do ângulo polar (cosθ)

θ ′ – ângulo polar da espalhamento rad

ϕ ′ – ângulo azimutal de espalhamento rad

⃗ξ ′ ou

ˆξ ′ (θ, ϕ) – direção de propagação de espalhamento

Θ – ângulo de espalhamento

formado pelas direções ξ ⃗ e ξ ⃗′

rad

p(cosΘ) – função de fase de espalhamento

p HG (cosΘ) – função de fase de Henyey-Greenstein

g – fator de assimetria ou

anisotropia do espalhamento

S ∗ – função fonte de espalhamento

devido às partículas não-espalhadas W · m −2 · sr −1 · nm −1

S 0 (z) – termo de fontes internas de radiação W · m −2 · sr −1 · nm −1

S B (z) – fontes internas de bioluminescência W · m −2 · sr −1 · nm −1

S F (z) – fontes internas de fluorescência W · m −2 · sr −1 · nm −1

S R (z) – fontes internas devido espalhamento Raman W · m −2 · sr −1 · nm −1


N g – ordem de anisotropia; número de termos

da expansão de Legendre de p(cosΘ)

N F – número de termos da expansão por

decomposição de Fourier de L

N – ordem da quadratura para integração

no domínio dos ângulos polares

N d – número total de dados observados

N µ – número de direções polares dos dados

observados de radiância

N λ – número de comprimento de onda

dos dados observados de radiância

R – número de regiões no domínio espacial

N z = R + 1 – número de profundidades

R(z; λ) – reflectância espectral de irradiância

R rs (µ, ϕ; λ) – reflectância espectral de sensoriamento remoto

C – concentraçao de clorofila mg · m −3

ε – erro máximo permitido do ajuste

dos dados observados

ρ – grau de tendenciosidade máximo,

ou suavidade máxima

σ – percentual presumido de ruído gaussiano,

relativo aos valores observados de radiância

γ – parâmetro de regularização

L w – “water-leaving radiance” ou radiância emergente W · m −2 · sr −1 · nm −1


CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

A ótica é uma matéria fundamental em uma ampla variedade de processos físicos, com

impacto direto e imediato em ciência e engenharia. A construção de lentes, telescópios,

microscópios, tratamento de imagens (onde a ótica de Fourier se destaca), pinças óticas

e toda a tecnologia moderna usada hoje em engenharia e medicina (por exemplo, o uso

intensivo de lasers), bem como em computação (o CD-ROM é só um exemplo no nosso

dia-a-dia), estão diretamente relacionados com o desenvolvimentos da ótica. Todavia, a

interpretação da natureza da luz despertou diferentes concepções ao longo do tempo (HE-

CHT, 1991).

Inicialmente, nos séculos XVII e XVIII, estabeleceu-se uma disputa intelectual se a luz

seria interpretada como onda (posição defendida por Willebrord Snell, René Descartes,

Christian Huygens, entre outros), ou consitituída por um feixe de minúsculas partículas

(o grande defensor deste ponto de vista era Isaac Newton). A teoria ondulatória explicava

muitas das propriedades da luz, mas a razão principal para Newton rejeitar a teoria

ondulatória residia na propagação retilínea da luz.

No século XIX, entretanto, Thomas Young consegue explicar os padrões de interferências

(que podem ser vistos na passagem de um trem de ondas sobre uma dupla fenda), fenômeno

este que não era explicado pela teoria corpuscular. Assim, a ótica prosseguiu seu

desenvolvimento baseando-se na teoria ondulatória.

Entretanto, desde o tempo de Newton e Huygens se sabia que a luz se propagava rapidamente,

mas com velocidade finita, seja interpretada pela teoria ondulatória ou pela

corpuscular. Os experimentos do dinamarquês Ole Christensen Romer e, mais tarde, o de

Armand H. L. Fizeau, comprovavam a velocidade finita de propagação da luz. O apogeu

da teoria ondulatória se dá quando a luz é identificada como uma onda eletromagnética.

Ocorreu assim a unificação da ótica com o eletromagnetismo, sendo James C. Maxwell

seu grande expoente, que a descreveu no seu Tratato de Eletricidade e Magnetismo.

Tudo favorecia a teoria ondulatória da luz, renovada com a incorporação da ótica ao eletromagnetismo,

exceto que essa teoria não explicava o efeito de metais emitirem elétrons

quando expostos à radiação luminosa.

Em 1905, o jovem físico alemão Albert Einstein, usa o conceito de Planck sobre quanta

25


de luz — onde a energia é quantificada por E = nhν (sendo n = 1, 2, . . ., ν a freqüência e

h a constante de Planck) —, para explicar o efeito fotoelétrico 1 , comentado no parágrafo

anterior. Com os fótons de Einstein (o termo fóton foi cunhado por G.N. Lewis, num

artigo na revista Nature de 1926), a teoria corpuscular ressurge.

Numa aplicação simplificada da teoria de Boltzmann, Schuster (1905) e Schwarzschild

(1906) descrevem a dinâmica de um gás de fótons – a teoria de transporte de fótons. Esta

é considerada uma aproximação válida para grande quantidade de problemas em ótica. A

Ótica Hidrológica apresenta fenômenos que podem ser descritos utilizando-se a equação

de transporte de Boltzmann, a qual em ótica é comumente referida como Equação da

Transferência Radiativa (ETR) (LIOU, 1980; MOBLEY, 1994).

No século XX, a interpretação da natureza da luz, bem como de uma partícula elementar

2 , lhe atribui comportamento dual, ou seja, um comportamento tanto de onda, como

de partícula. Assim, será o tipo de experimento ou observação que determinaraá qual

comportamento será observado.

Neste contexto, o problema direto pode ser descrito tanto pela teoria ondulatória (equações

de Maxwell), como por uma teoria de transporte de partículas (equação de transporte

de Boltzmann). Associadas a essas equações, tem-se as condições iniciais e de contorno.

Também devem ser conhecidas as propriedades e a intensidade de fontes e sumidouros no

interior do meio. O problema direto envolve a determinação de radiâncias (potência por

unidade de área e ângulo sólido) ou irradiâncias (potência por unidade de área). As propriedades

do meio são as propriedades óticas inerentes (IOPs-“Inherent Optical Properties”):

coeficientes de absorção e espalhamento, e função de fase.

O trabalho de Chalhoub et al. (2003) faz um estudo comparativo em termos de precisão

e tempo de processamento de quatro técnicas de solução da ETR: método P N (harmônicos

esféricos), AS N (S N analítico), LTS N e inserção invariante. O melhor desempenho em

termos de precisão e tempo de processamento foi alcançado pelo método AS N . Souto et

al. (2004a) realizam uma comparação semelhante, mas para ambiente computacional de

processamento paralelo. Neste caso, a implementação em que se obteve a maior redução

no tempo de processamento foi o código do método LTS N . A outras versões paralelas avaliadas

foram as do código Hydroligyht (que implementa a técnica de inserção invariante)

1 Segundo o próprio Albert Einstein, de seus 5 famosos artigos de 1905, o mais revolucionário era o que

abordava esse efeito. Esses artigos estão reunidos num livro que está disponível em português (STACHEL,

2001).

2 Partícula na escala atômica ou menor.

26


e do código PEESNA (implementa o esquema AS N ).

O correspondente problema inverso em transferência radiativa se estabelece quando queremos

estimar alguma (ou todas) propriedade física do meio, ou as condições iniciais ou

de contorno, ou ainda o termo de fonte, a partir de medidas radiométricas realizadas in

situ ou remotamente 3 .

Nas últimas décadas, o desenvolvimento de metodologias de inversão em transferência

radiativa tem se estabelecido como um relevante tema de pesquisa em muitas áreas da

ciência e engenharia (MCCORMICK, 1992). Um trabalho de revisão em Ótica Hidrológica

inversa foi apresentado por Gordon (2002). Num artigo de revisão de métodos e aplicações

de problemas inversos em engenharia, química, medicina, computação e na área

espacial, o prof. McCormick (2001) relata problemas em que uma metodologia de inversão

explícita pode ser desenvolvida. Porém, no próprio artigo é comentado que, para

problemas mais gerais e complexos, a metodologia mais geral é a dos métodos inversos

implícitos (iterativos).

Há uma longa tradição de se estabelecer métodos explítos em transferência radiativa. Por

exemplo, (SIEWERT, 1978) apresenta uma expressão em forma fechada para estimar a

seção de choque de um meio homogêneo e semi-infinito, em espalhamento isotrópico,

usando medidas no contorno. Técnicas explícitas também são descritas na identificação

de condições de contorno (BARICHELLO; VILHENA, 1993; BARICHELLO et al., 1997) e em

reconstrução de termos de fonte radiativa (SIEWERT, 1993; SIEWERT, 1994).

A estimação de propriedades do meio, como albedo simples e refletividade difusa das

superfície do contorno, é feita usando os momentos da radiação emergente (SILVANETO;

MCCORMICK, 2002). Contudo, o método parece depender da estimativa inicial, pois os

autores relatam que por vezes a solução inversa não convergiu ou convergiu para valores

incorretos. Siewert (2002) descreve soluções inversas explícitas para estimar espessura

ótica e função de fase. Um artigo de revisão em que várias técnicas e aplicações de métodos

explítos são descritos deve-se a Barichello (2002).

Desde 1997, um dos tópicos de pesquisa do grupo de problemas inversos do Laboratório

Associado de Computação e Matemática Aplicada (LAC) do Instituto Nacional de Pesquisas

Espaciais (INPE, Brasil), tem sido Ótica Hidrológica inversa. Nesse escopo, vem-se

tentado estabelecer uma metodologia geral para atacar estes problemas. As referências

3 Medidas in situ são medidas experimentais realizadas no interior do meio, enquanto que medidas externas

(ou remotas) são aquelas obtidas por detectores localizados fora do meio

27


TABELA 1.1 - Propriedades óticas estimadas com a metodologia inversa proposta.

Caso Propriedade M. Direto Tipo Otimizador Regularização dados ruído

(I) S B (z) Ins. Invar. par. Q-N – E λ 5%

(II) a(z), b(z) Ins. Invar. fun. Q-N MaxEnt-0 E λ 2%

(III) p(cosΘ) S N - Dif. Fin. par. Q-N MaxEnt-0 E λ /L λ 2% - 20%

(IV) C-C LTS N par/fun Q-N Tikhonov-1 E λ /L λ 2% - 10%

(V) p(cosΘ), ϖ 0 AS N par. L-M – L λ 2%,5%,10%,

(VI) p(cosΘ), ϖ 0 , ζ AS N par. L-M – E λ /L λ 5% - 20%,

(VII) S 0 (z) AS N par. L-M – L λ 0%,1%,2%,5%,

C-C

Q-N

L-M

Ins. Invar

par.

fun.

MaxEnt-0

Tikhonov-1

Condição de contorno

Método quasi-Newton, implementado na biblioteca NAG

Método de Levenberg-Marquardt, implementado na biblioteca IMSL

Método de Inserção Invariante

Estimação de parâmetros

Estimação de valores discretos de função

Regularização por máxima entropia de ordem zero

Regularização de Tikhonov (ou PTT) de ordem um

(CAMPOSVELHO et al., 2003; CAMPOSVELHO et al., 2000) são trabalhos que descrevem os

resultados do grupo ao longo dos anos.

Nesta metodologia, o problema inverso é formulado como um problema de otimização

não linear, onde a função objetivo é constituída por uma norma-2, a diferença quadrática

entre dados observacionais e dados obtidos do modelo direto (essa norma expressa o

ajuste da solução candidata), associado a um operador de regularização (que busca impor

um grau de suavidade da solução candidata). O balanço suavidade × ajuste dos dados é

ponderado pelo parâmetro de regularização.

Nesta linha de pesquisa várias contribuições são possíveis, tais como a investigação de

novos métodos de otimização, novas técnicas para a identificação do parâmetro de regularização,

novos operadores de regularização, bem como o ajuste/ponderação dos dados

de observação ao modelo direto (SOUTO et al., 2004).

Reconstruções de propriedades óticas foram obtidas usando dados radiométricos in situ

ou de sensoriamento remoto. A Tabela 1.1 sumariza os resultados de inversão obtidos

com a presente análise inversa (implícita), mostrando a propriedade estimada, a técnica

empregada para o modelo direto, o operador de regularização e o otimizador usado.

Um aspecto interessante no Caso-I é que regularização não foi necessária (STEPHANY,

28


1998; STEPHANY et al., 2000b), sendo o termo de fonte aproximado como uma soma de

distribuições gaussianas. No Caso-II a estratégia alternada passo-a-passo foi introduzida,

ou seja, os coeficientes de absorção e espalhamento (a, b) são estimados primeiro, e depois

o termo de fonte e assim sucessivamente até a convergência ser verificada (STEPHANY et

al., 2000a). Estes casos referem-se somente à estimação de parâmetros, uma vez que os

parâmetros a e b não variam com a profundidade. A função de fase foi identificada no

Caso-III (CHALHOUB et al., 2000), onde a estimação foi possível mesmo com altos nível

de ruído. Condições de contorno foram identificadas no Caso-IV (RETAMOSO et al.,

2002; CAMPOSVELHO et al., 2002). Uma estimação conjunta de função de fase com alta

ordem de espalhamento e albedo de espalhamento simples, usando dados “in situ” de

radiância foi realizada no Caso-V (CHALHOUB; CAMPOSVELHO, 2001). No Caso-VI, semelhante

estimação simultânea é feita, acrescentando a recuperação da espessura ótica

do meio, e se utilizando apenas dados de radiância emergente (CHALHOUB; CAMPOSVE-

LHO, 2002). Finalmente, o Caso-VII representa uma primeira aplicação desta abordagem

em Ótica Hidrológica para dados de sensoriamento remoto (multiespectrais) (CHALHOUB;

CAMPOSVELHO, 2003).

O presente estudo está voltado à estimação dos coeficientes de absorção e espalhamento

para águas oceânicas em alto mar. Tipicamente, neste tipo de tipo de águas naturais, a concentração

de fitoplâncton predomina em relação aos demais constituintes. Consequentemente,

a absorção da luz é regida principalmente pela presença dos pigmentos de clorofila

presentes nestes organismos. Nesta circustância, os coeficientes podem ser descritos em

função da concentração de clorofila, por meio de modelos bio-óticos (GORDON; MOREL,

1983; MOREL, 1991).

Uma contribuição relevante deste trabalho é a aplicação do método de otimização baseado

em colônia de formigas (Ant Colony Optmization: ACO). Segundo o sítio de M. Dorigo

(IRIDIA, 2006), esta foi a primeira vez que esta técnica de otimização estocástica é empregada

em problemas inversos. Mais importante ainda, foi proposto e aplicado um esquema

de regularização intrínseca, onde, a cada geração, um percentual das formigas/soluções

mais suaves é pré-selecionado (PRETO et al., 2004). A quantificação de suavidade das soluções

candidatas é realizada pela norma de Tikhonov-2. Esta abordagem apresenta boas

inversões com a vantagem importante de uma grande redução do esforço computacional

envolvido.

Talvez os resultados mais expressivos sejam relativos à estimação de propriedades usando

dados de sensoriamento remoto (radiâncias emergentes). A metodologia segue aquela

29


apresentada por Chalhoub e CamposVelho (2003). Aliás, um dos grandes desafios em

Ótica Hidrológica inversa é identificar propriedades a partir de observações remotas. Há

poucos trabalhos na literatura, a maioria deles baseados na equação de Gershun e na

estimação de propriedades óticas aparentes: coeficiente de atenuação de irradiância ou no

coeficiente de atenuação difusa. Outras aproximações para estimava por sensoriamento

remoto de propriedades bio-óticas incluem considerar um oceano homogêneo (GORDON,

1976; GOULD, 1997).

Para os resultados de inversão, o modelo direto (ETR) foi resolvido empregando-se o

método LTS N . As definições usadas no texto referente a tranferência radiativa, bem como

uma completa descrição da técnica LTS N , estão descritas no Capítulo 2. A técnica de

inversão e o método de otimização empregados são apresentados no Capítulo 3, onde é

apresentado o algoritmo do sistema de colônia de formigas e o conceito de regularização

intrínseca.

Resultados são apresentados e comentados no Capítulo 4. Foram realizadas inversões

com dados in situ e com dados externos (somente observada a radiância emergente da

superfície do oceano. Em ambos os casos foram consideradas duas situações: casos com

e sem simetria azimutal. Para o caso de inversões com dados in situ foi desenvolvido e

empregado um novo fator de ponderação ao dado de radiância. (SOUTO et al., 2004).

Finalmente, as conclusões estão endereçadas no Capítulo 5. Este trabalho, além de desenvolver

e aplicar novas metodologias para um problema importante na área de Ótica

Hidrológica em águas naturais (MOBLEY, 1994), é a continuidade de um estudo que intenciona

permitir o uso de medições remotas, que foi uma motivação enunciada por Stephany

(1998).

30


CAPÍTULO 2

EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA

Basicamente, a equação de transferência radiatiava (ETR) busca modelar a interação da

radiação com o meio, governada principalmente pelos processos de absorção e de espalhamento

aos quais a mesma é submetida. Desta interação resulta em um balanço da

quantidade de energia radiante dQ, definida para um fluxo radiante passando em um intervalo

de tempo dt, por um elemento de área dA, nas direções compreendidas por um

ângulo sólido dΩ, com incremento infinitesimal de comprimento de onda (λ, λ + dλ). Ou,

em outras palavras, é o balanço de energia definido para um feixe de luz que incide e é

espalhado no interior de um meio.

Esta quantidade de energia para os feixes de luz, pode ser expressa em termos de uma

grandeza radiométrica denominada radiância espectral, L λ ,

dQ = cosθ L λ dt dA dΩ dλ, (2.1)

onde θ é o ângulo entre a direção do fluxo radiante e a direção normal ˆn ao plano de dA,

conforme ilustrado na Fig 2.1

Portanto, a radiância espectral é definida por

L λ =

dQ

cosθ dt dA dΩ dλ

[

W · m

−2 · sr −1 · nm −1] . (2.2)

É de interesse igualmente conhecer o fluxo de radiação não apenas de feixes isolados,

mas também o fluxo decorrente de todos aqueles que, no conjunto, contemplam todas

as direções de propagação. Esta abordagem corresponde à definição de irradiância que,

para feixes de luz com radiância L λ integrados em todos as suas respectivas direções de

propagação ˆξ, confinados nos ângulos sólidos dΩ, é dada por


E λ =


cosθ L λ dΩ =

dQ

dt dA dλ

[

W · m

−2 · nm −1] (2.3)

A radiância e o ângulo sólido podem ser expressos pelos dos ângulos polar θ e azimutal ϕ

que definem a direção de propagação ˆξ = ξ(θ, ϕ), mostrados no sistema de coordenadas

31


^

n

^

ξ

θ


dA

FIGURA 2.1 - Fluxo de radiação representado por um feixe com direção de propagação ˆξ, confinado

em um ângulo sólido infinitesimal dΩ, passando por um elemento de área

dA.

cartesianas da Figura 2.2, utilizando representação no sistema de coordenadas esféricas.

Neste caso, tem-se que dΩ = senθ dθ dϕ, e a Equação (2.3) torna-se 1

E λ =

∫ 2π ∫ π

0 0

L λ (θ, ϕ) cosθ senθ dθ dϕ (2.4)

z

^

ξ=ξ(θ,ϕ)

θ

y

ϕ

x

FIGURA 2.2 - Ângulos polar θ e azimutal ϕ, que definem a direção de propagação ˆξ = ξ(θ, ϕ),

no sistema de coordenadas cartesianas.

1 Neste caso, mesmo que dµ = dcosθ = −senθ dθ, o sinal negativo não faria sentido para representar

elemento de ângulo sóligo. Por este motivo faz-se dΩ = senθ dθ dϕ = dµ dϕ na Equação (2.4).

32


Neste Capítulo, esta grandeza ganha maior atenção na Seção referente à aplicação de

transferência radiativa em Ótica Hidrológica. Muitas das propriedades e processos que

ocorrem em águas naturais, podem ser modelados e explicados a partir de métodos desenvolvidos

para valores de irradiância neste meio.

Inicialmente será dedicado espaço para explicar alguns dos fundamentos de transferência

radiativa, por meio da medida que traduz o comportamento da radiação incidente através

do meio, dada pela radiância.

2.1 Atenuação e emissão de radiação

Supor um cilindro de comprimento ds e base com área dA infinitesimais, por onde o fluxo

radiante atravessa, como ilustrado na Figura 2.3. Da energia radiante (dQ) que entra, há

uma variação líquida ao final do cilindro, decorrente de perda e ganhos de energia. Parte

da energia perdida sofre um processo de absorção, no qual pode ocorrer transformação

da radiação em outras formas de energia ou então surgir radiação em outra frequência

(comprimento de onda). Outra parcela da atenuação é devido a infuência do espalhamento

do fluxo radiante. Estes dois efeitos combinados, resulta no que se chama de atenuação

da radiação pelo meio que, ao longo do comprimento ds, é expressa por

d(dQ) c = −c λ dQ ds, (2.5)

ou então, de acordo com a Equação (2.1),

d(dQ) c = −c λ L λ dt dA dΩ dλ ds, (2.6)

onde c λ é o coeficiente de atenuação do meio. Analogamente à atenuação, existem os

respectivos coeficiente de absorção a λ e coeficiente de espalhamento b λ do meio. A soma

desses dois coeficientes resulta no coeficiente de atenuação, ou seja, c λ = a λ + b λ .

No mesmo cilindro de volume infinitesimal dV , além da energia atenuada, há também a

energia emitida pelo meio que, para direções confinadas a um elemento de ângulo sólido

dΩ, é dada por

d(dQ) j = j λ dt dV dΩ dλ = j λ dt ds dA dΩ dλ, (2.7)

onde j λ é o coeficiente de emissão do meio. A variação líquida de energia resulta do

33


dQ

dQ+d(dQ) liq

dA

ds

FIGURA 2.3 - Elemento de volume dV = dA ds, por onde a radiação incide com energia dQ.

Parte da variação líquida d(dQ) liq de energia é devido a atenuação do meio. Outra

é consequência do processo de emissão do meio, para o interior do cilindro.

balanço entre a engergia atenuada e emitida no meio

d(dQ) liq = d(dQ) c + d(dQ) j . (2.8)

Mas, de acordo com a Equação (2.1), a variação líquida de energia pode também ser

expressa por

d(dQ) liq = dL λ dλ dA dΩ dt. (2.9)

Portanto, substituindo-se as Eqs. (2.9), (2.6) e (2.7), na Equação (2.8), obtém-se

dL λ = −c λ L λ ds + j λ ds. (2.10)

ou

dL λ

c λ ds = −L λ + j λ

c λ

(2.11)

O segundo termo no lado direito da equação (2.11) é uma razão entre os coeficientes de

emissão e de atenuação, a qual é definida como função fonte, e é representada por F λ . A

equação (2.11) pode então ser reescrita como

que é a equação diferencial de transferência radiativa (ETR)

dL λ

c λ ds = −L λ + F λ , (2.12)

Considere-se então a energia radiante, dada pela Equação (2.13), que incide com direção

normal na Seção de área dA, com direção de propagação ⃗ ξ ′ = ˆξ(θ ′ , ϕ ′ ), em um ângulo

34


sólido dΩ ′ , com intervalo de tempo dt, numa faixa estreita dλ de comprimento de onda.

dQ ′ = L λ ( ⃗ ξ ′ ) dA dt dλ dΩ ′ . (2.13)

Esta energia, ao percorrer o elemento de volume, é espalhada em todas as direções

(dQ) b = b λ ds dQ ′ = b λ ds L λ ( ⃗ ξ ′ ) dA dt dλ dΩ ′ . (2.14)

Estamos interessados em mostrar a fração desta energia que é espalhada dentro do ângulo

sólido dΩ, com direção de ˆξ = ˆξ(θ, ϕ). Esta fração é proporcional a probabilidade da

radiação que se propaga na direção ˆξ ′ , ao ser espalhada vá se propagar na direção ˆξ. Esta

probabilidade é representada p( ˆξ ′ , ˆξ )dΩ/4π, onde p( ˆξ ′ , ˆξ ) é a denominada função fase

de espalhamento.

Ao se multiplicar a energia dada pela Equação (2.14) por esta fração, e integrar para todas

as direções incidentes, tem-se a equação para o total de energia que emerge do elemento

de volume dV = ds dA, (THOMAS; STAMNES, 1999)


(dQ) j = b λ dV dt dλ dΩ L λ ( ξ ⃗′ ) p( ˆξ ′ , ˆξ )

dΩ ′ . (2.15)

4π 4π

Em geral, a emissão em um meio não pode ser explicada exclusivamente pelo espalhamento.

Em meios onde isso ocorre, tem-se o que na literatura se denomina como scattering

medium, algo como, numa tradução livre, meio espalhante ou meio espalhador.

Neste caso, tem-se que

j λ ≡ j (s)

λ

(2.16)

Logo, considerando que seja um meio espalhante, a partir das Eqs. (2.7) e (2.15), e da

Equação (2.16), se deduz que

j (s)

λ

= b λ



L λ ( ⃗ ξ ′ ) p( ˆξ ′ , ˆξ )


dΩ ′ (2.17)

Da definição de função fonte da ETR, vista nas Eqs. (2.11) e (2.12),

F (s) = j(s) λ

c λ

= b λ

L λ ( ξ

c λ

∫4π

⃗′ ) p( ˆξ ′ , ˆξ )

dΩ ′ , (2.18)


35


onde a razão b λ /(c λ ) define uma grandeza chamada albedo de espalhamento simples (ϖ 0 ).

O valor de ϖ 0 pode ser entendido como a probabilidade da radiação ser espalhada, dado

que ocorre uma atenuação (THOMAS; STAMNES, 1999), visto que c λ = a λ + b λ . Outra

interpretação consiste em se considerar ϖ 0 a fração da perda de energia que é atribuída

ao espalhamento (CHANDRASEKHAR, 1960). Numa situação peculiar, quando o albedo de

espalhamento simples é unitário (ϖ 0 = 1), o meio se encontra em um caso conservativo

de espalhamento perfeito.

A Equação (2.18) pode ser reescrita em função de ϖ 0 , e dos ângulos polar θ ′ e azimutal

ϕ ′ no lugar de ˆξ ′ e de Ω ′ , e sabendo-se que dΩ ′ = senθ ′ dθ ′ dϕ ′ .

F (s) (θ ′ , ϕ ′ ) = ϖ 0


∫ 2π ∫ π

0 0

p(θ, ϕ; θ ′ , ϕ ′ )L λ (θ ′ , ϕ ′ )senθ ′ dθ ′ dϕ ′ . (2.19)

Dado que as propriedades do meio, tais como os coeficentes de absorção e de espalhamento,

variam predominantemente na direção vertical (z), em relação às direções horizontais

(x e y), adota-se uma geometria onde o domínio é estratificado em planos paralelos,

conhecida como geometria plano-paralela. Empregando-a na Equação (2.12), têm-se

que

cosθ

dL(z, θ, ϕ)

c(z)dz

= −L(z, θ, ϕ) + F(z, θ, ϕ), (2.20)

uma vez que dz = cosθds. Por conveniência de notação, é omitida a dependência com λ

nas variáveis e pela primeira vez aparece de forma clara a dependência vertical em z do

coeficiente de atenuação c.

Costuma-se representar adimensionalmente a dependência dos valores da ETR com a

profundidade por meio da denominada variável ótica τ. A relação entre a variação em τ

e em z é dada por

dτ ≡ c(z)dz. (2.21)

Assim, para uma dada profundidade geométrica z ∗ , a correspondente profundidade ótica

ζ é obtida com

ζ ≡ τ ∗ =

∫ z ∗

0

c(z)dz. (2.22)

Portanto, reescrevendo a Equação (2.20) em termos de variável ótica τ, e fazendo µ =

cosθ, obtêm-se uma nova expressão para a ETR

dL(τ, µ, ϕ)

µ


= −L(τ, µ, ϕ) + F(τ, µ, ϕ), (2.23)

36


ou então, de acordo com a Equação (2.18),

dL(τ, µ, ϕ)

µ


= −L(τ, µ, ϕ) + ϖ 0(τ)


sujeita às condições de contorno

∫ 2π ∫ 1

0

−1

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L(τ, µ ′ , ϕ ′ )dµ ′ dϕ ′ , (2.24)

L(0, µ, ϕ) = F δ(µ − µ 0 )δ(ϕ − ϕ 0 )

(2.25a)

e

L(ζ, −µ, ϕ) = 0,

(2.25b)

para µ ∈ (0, 1] e ϕ ∈ [0, 2π].

Na Equação (2.25a), µ 0 e ϕ 0 representam as direções polar e azimutal de um feixe incidente

de luz, enquanto F expressa o fluxo líquido de radiação integrada em todas as

direções, ou seja, representa a irradiância da radiação incidente.

Conforme (CHANDRASEKHAR, 1960), há dois componentes que formam o campo de radiação.

O primeiro é referente à radiação que não sofreu nenhum espalhamento ao longo

de toda a profundidade ótica ζ, recebendo a denominação de componente direto ou solar

(THOMAS; STAMNES, 1999), ou simplesmente não-espalhado (CHALHOUB et al., 2003),

expresso neste trabalho por L u , de unscattered. Por sua vez, a radiação que sofreu espalhamento,

é dada pelo segundo componente, chamado de componente difuso (THOMAS;

STAMNES, 1999) ou espalhado (CHALHOUB et al., 2003), representado por L s , de scattered.

Assim, a intensidade de radiação total L pode ser escrita como a soma das intensidades

das radiações não-espalhada e espalhada

L(τ, µ, ϕ) = L u (τ, µ, ϕ) + L s (τ, µ, ϕ). (2.26)

O componente L u (τ, µ, ϕ) é obtido considerando-se que, na ausência de espalhamento,

ϖ 0 (τ) = 0 com a Equação (2.24) reduzindo-se a

µ dL u(τ, µ, ϕ)


= −L u (τ, µ, ϕ), (2.27)

sujeita às condições de contorno

L u (0, µ, ϕ) = F δ(µ − µ 0 )δ(ϕ − ϕ 0 )

(2.28a)

37


e

que tem como solução

L u (ζ, −µ, ϕ) = 0,

(2.28b)

L u (τ, µ, ϕ) = F δ(µ − µ 0 )δ(ϕ − ϕ 0 )e −τ/µ 0

(2.29)

para τ ∈ [0, ζ], µ ∈ (0, 1] e ϕ ∈ [0, 2π].

Resta encontrar uma solução para o componente espalhado L s do campo de radiação .

Substituindo-se a Equação (2.26) na equação de transferência radiativa dada pela Equação

(2.24), obtém-se

µ dL u(τ, µ, ϕ)

+ µ dL s(τ, µ, ϕ)

= −L u (τ, µ, ϕ) − L s (τ, µ, ϕ)



+ ϖ ∫ 1 ∫ 2π

0(τ)

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L u (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′


+ ϖ 0(τ)


−1 0

∫ 1 ∫ 2π

−1

0

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L s (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′ .

(2.30)

De acordo com a Equação (2.27), os termos de L u fora da integral, dos lados esquerdo e

direito da Equação (2.30), se cancelam. Rearranjando-se os termos restantes resulta

µ dL s(τ, µ, ϕ)


= −L s (τ, µ, ϕ) + ϖ 0(τ)


+ ϖ 0(τ)


∫ 1 ∫ 2π

−1 0

∫ 1 ∫ 2π

−1

0

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L s (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L u (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′ .

(2.31)

Mas, segundo a solução do componente L u dada pela Equação (2.29), tem-se então que

µ dL s(τ, µ, ϕ)

= −L s (τ, µ, ϕ) + ϖ 0(τ)



+ ϖ 0(τ)


∫ 1 ∫ 2π

−1

0

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )

∫ 1 ∫ 2π

−1

0

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L s (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′

(2.32)

38


ou simplesmente

µ dL s(τ, µ, ϕ)


= −L s (τ, µ, ϕ) + ϖ 0(τ)


∫ 1 ∫ 2π

−1

0

+ ϖ 0(τ)

4π p(µ, ϕ; µ 0, ϕ 0 )F e −τ/µ 0

.

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L s (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′

(2.33)

O último termo do lado direito da equação Equação (2.33) é chamado de função fonte de

espalhamento (THOMAS; STAMNES, 1999), sendo representado por S ∗ (τ, µ, ϕ). Note que

esta função fonte é originada das partículas não-colididas (não-espalhadas). Portanto, a

radiância L s é solução da equação íntegro-diferencial

µ dL s(τ, µ, ϕ)


= −L s (τ, µ, ϕ) + ϖ 0(τ)


∫ 1 ∫ 2π

−1

+ S ∗ (τ, µ, ϕ),

0

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ )L s (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′

(2.34)

sujeita às condições de contorno

L s (0, µ, ϕ) = 0

(2.35a)

e

para µ ∈ (0, 1] e ϕ ∈ [0, 2π].

L s (ζ, −µ, ϕ) = 0,

(2.35b)

2.1.1 Discretização da equação de transferência radiativa

Em geral, a solução analítica exata da equação de transferência radiativa integrodiferencial

é de difícil, ou até mesmo de impossível obtenção. Entretanto, pode-se reduzir

esta representação da ETR em outras onde o tratamento é menos complexo, havendo

meios de se obter solução analítica ou numérica, através de métodos amplamente conhecidos

e utilizados. Por exemplo, através da discretização do domínio da direção polar µ,

a equação integro-diferencial se transforma em um conjunto de sistema de equações lineares,

cujos métodos de resolução são bastante consolidados. Nesta Seção são então mostradas

esta e outras das possíves discretizações dos domínios da ETR integro-diferencial.

Dado que a Equação (2.34) contempla radiação anisotrópica, antes de abordar a discre-

39


tização na direção polar, é conveniente começar pela função de fase de espalhamento. A

função de fase pode ser representada por uma expansão finita de polinômio de Legendre

P l , em termos do cosseno do ângulo de espalhamento Θ.

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ ) = p(cosΘ) =

L∑

(2l + 1)χ l P l (cosΘ). (2.36)

l=0

onde os coeficientes da expansão de L-ésima ordem da função de fase são obtidos por

χ l = 1 2

∫ 1

−1

P l (cosΘ)p(cosΘ)d(cosΘ). (2.37)

Para l = 1, polinômio de Legendre é P 1 (cosΘ) = cosΘ, e o correspondente coeficiente

na expansão será

χ 1 = 1 2

∫ 1

−1

cosΘp(cosΘ)d(cosΘ) ≡ 〈cosΘ〉 . (2.38)

Ou seja, χ 1 é equivalente ao primeiro momento (média) de cosΘ, e costuma ser simbolizado

por g, representado o grau de assimetria ou anisotropia dos ângulos de espalhamento

Θ (THOMAS; STAMNES, 1999). Por este motivo, g é denominado o fator de assimetria ou

anisotropia do espalhamento. Por sua vez, o símbolo L é muito usado na literatura para

designar ordem de anisotropia. Mas para não haver confusão com símbolo de radiância

empregado nesta tese, daqui por diante, a ordem de anisotropia será representada por N g .

Quando o espalhamento é isotrópico, isto é, simétrico em torno de cosΘ = 0, tem-se que

g = 0. Para radiação que é totalmente espalhada na direção de propagação, então g = 1.

Na situação em que o espalhamento ocorre todo na direção contrária a da propagação

incidente, g = −1.

Uma representação simplificada da função de fase dada pela Equação (2.36), foi apresentada

por Henyey e Greenstein (1941), onde o valor exato da mesma é aproximado através

de uma formulação analítica, parametrizada pelo fator de assimetria g

p HG (cosΘ) =

1 − g 2

(1 + g 2 − 2g cosΘ) , (2.39)

que é a denominda função de fase de Henyey-Greenstein. Deve-se, no entanto, tomar o

cuidado de somente utilizar esta formulação nos casos em que se tiver um bom o ajuste

com a função de fase real.

40


Representando agora cosΘ em termos de (µ, ϕ) e de (µ ′ , ϕ ′ ),

cosΘ = µµ ′ + ( 1 − µ 2) 1/2 (

1 − µ

′2 ) 1/2

cos(ϕ ′ − ϕ), (2.40)

e denotando ω l = (2l + 1)χ l , a Equação (2.36) fica

N

∑ g

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ ) = ω l P l

[µµ ′ + ( 1 − µ 2) 1/2 ( ) ]

1 − µ

′2 1/2

cos(ϕ ′ − ϕ)

l=0

(2.41)

Ao expandir-se o polinômio de Legendre nesta forma, pelo teorema da adição dos harmônicos

esféricos(GRADSHTEYN; RYZHIK, 1980), obtém-se

N

∑ g

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ ) = ω l

[P l (µ)P l (µ ′ ) + 2

l=0

]

l∑ (l − m)!

(l + m)! P l

m (µ)Pl m (µ ′ ).cos(ϕ ′ − ϕ)

m=1

Invertendo a ordem dos somatórios no lado direito da equação, têm-se

com

onde

N

∑ g

p(µ, ϕ; µ ′ , ϕ ′ ) = (2 − δ 0,m )

m=0

δ 0,m =

[ Ng


l=m

define um função de Legendre associada, e

ωl m Pl

m (µ)Pl m (µ ′ )

{

1, se m=0,

0, caso contrário,

]

(2.42)

cos m(ϕ ′ − ϕ) (2.43)

(2.44)

P m

l (µ) = ( 1 − µ 2) m/2 d m

dµ m P l(µ) (2.45)

ω m l

=

(l − m)!

(l + m)! ω l. (2.46)

41


Portanto, subtituindo-se a Equação (2.43) na Equação (2.33), vem a expressão

µ d

dτ L s(τ, µ, ϕ) = −L s (τ, µ, ϕ)

+ ϖ 0(τ)


+ ϖ 0(τ)


∫ 1 ∫ [

2π Ng

−1 0

[ Ng


(2 − δ 0,m )

m=0


(2 − δ 0,m )

m=0

{ Ng


l=m

{ Ng


l=m

ωl m Pl

m (µ)Pl m (µ ′ )

ωl m Pl

m (µ)Pl m (µ 0 )

}

}

cos m(ϕ 0 − ϕ)

cos m(ϕ ′ − ϕ)

]

]

F e −τ/µ 0

.

L s (τ, µ ′ , ϕ ′ )dϕ ′ dµ ′

(2.47)

Ao se expandir L s (τ, µ, ϕ) por decomposição de Fourier de cossenos (CHANDRASEKHAR,

1960)

L s (τ, µ, ϕ) = 1 2

∑N F

m=0

(2 − δ 0,m )L m (τ, µ)cos m(ϕ − ϕ 0 ), (2.48)

e, para qualquer valor de m = 0, 1, 2, ..., N F . Fazendo a expansão com N F = N g , resulta

em

µ d

dτ Lm (τ, µ) = −L m (τ, µ) + ϖ 0(τ)

2

N

∑ g

l=m

+ S m (τ, µ),

∫ 1

ωl m Pl m (µ) Pl m (µ ′ )L m (τ, µ ′ )dµ ′

−1

(2.49)

ou seja, (N g + 1) equações independentes onde

S m (τ, µ) = ϖ 0(τ)


sujeita as condições de contorno

[ Ng


l=m

ωl m Pl

m (µ)Pl m (µ 0 )

]

F e −τ/µ 0

(2.50)

L m (0, µ) = L m (ζ, −µ) = 0 (2.51)

para µ ∈ (0, 1]. Note que, por conveniência de notação, foi omitido o índice s para sinalizar

o espalhamento.

Já a discretização no domínio da direção polar µ é feita por meio de uma aproximação da

integral da Equação (2.49), utilizando-se uma quadratura de ordem N. De maneira geral,

pode-se aplicar qualquer tipo de esquema de quadratura que abranja todo intervalo [−1, 1]

da integral, sem necessariamente haver o mesmo número de pontos nos sub-intervalos

[−1, 0] e [0, 1], tal como é esclarecido em (BARICHELLO et al., 2000). Entretanto, costuma-

42


se utilizar um esquema de Gauss-Legendre padrão, de ordem N = 2n, sendo que cada

sub-intervalo é de ordem n.

Obtém-se os nós da quadratura ao se discretizar os valores de µ em {µ i }, com i =

1, 2, ..., N, sendo então a equação de transferência radiativa do componente espalhado

expressa por

d

µ j

dτ Lm (τ, µ j ) = −L m (τ, µ j ) + ϖ 0(τ)

2

N

∑ g

l=m

+ S m (τ, µ j ),

j = 1, 2, ..., N

ω m l P m

l (µ j )

N∑

i=1

η i P m

l (µ i )L m (τ, µ i )

(2.52)

onde {η i } são os pesos da quadratura. Assume-se que os primeiros n nós da quadratura

referem-se às direções positivas, enquanto que os demais n nós representam as direções

negativas, ou seja, {µ n+k } = {−µ k } com {η n+k } = {η k }, para k = 1, 2, ..., n. A função

fonte de espalhamento é dada por

S m (τ, µ j ) = ϖ 0(τ)


e as condições de contorno por

[ Ng


l=m

ωl m Pl

m (µ j )Pl m (µ 0 )

]

F e −τ/µ 0

, (2.53)

L m (0, µ j ) = 0, j = 1, 2, ..., n (2.54a)

L m (ζ, µ j ) = 0, j = n + 1, n + 2, ..., N. (2.54b)

Tal como aparecem na Equação (2.52), estas equações são conhecidas como equações de

ordenadas discretas, ou equações S N , as quais definem o método das ordenadas discretas,

também citado na literatura como método de Wick-Chandrasekhar (CHANDRASEKHAR,

1960).

2.1.2 Método LTS N de resolução das equações de ordenadas discretas

O método LTS N surgiu no início da década de 1990 como conseqüência de pesquisas

em transporte de neutrons (BARICHELLO; VILHENA, 1993), e foi posteriormente estendido

para problemas de transferência radiativa (SEGATTO; VILHENA, 1994). Neste método

aplica-se a transformada de Laplace nas equações de ordenadas discretas, definidas por

43


(2.52) e (2.54), resultando em um sistema de equações algébricas em s mostrada na equação

(2.55). Inicialmente, se supõe que estamos tratando de um meio homogêneo, no qual

as propriedades óticas inerentes não variam com a profundidade, representadas pelo albedo

de espalhamento simples ϖ 0 constante.

sL m (s) + 1 µ j

L m (s) −

ϖ 0

∑ L

2µ j

l=m

β m l

P m

l (µ j )

L m j (0) + 1 µ j

S m (s)

N∑

i=1

η i P m

l (µ i )L m (s) =

(2.55)

onde L m (s) = ∫ ∞

0

L m (τ)e −sτ dτ. Na forma matricial, a equação (2.55) torna-se

M m N (s)L m (s) = L m (0) + S m (s). (2.56)

onde a matriz M m N (s), de ordem N, denominada matriz LTS N , é dada por

M m N (s) = sI + A m (2.57)

e I é matriz identidade de ordem N, enquanto a matriz A m é dada por


1

− ϖ ∑ L

0

µ j 2µ j

⎪⎨

l=m

a m (i, j) =

⎪⎩

− ϖ ∑ L

0

2µ j

l=m

β m l

β m l

Pl

m (µ j )η j Pl m (µ j ), se i = j,

Pl

m (µ j )η i Pl m (µ i ), se i ≠ j.

(2.58)

e os vetores L m (s), L m (0) e S m (s) são definidos como

L m (s) = [ L m 1 (s)L m 2 (s) . . . L m N (s) ] ,

L m (0) = [L m 1 (0)L m 2 (0) . . . L m N (0)] ,

[

]

S m S m 1 (s) S m 2 (s)

(s) =

. . . Sm N (s)

.

µ 1 µ 2 µ N

Para resolver a equação matricial (2.56), a mesma deve ser multiplicada pelo inverso da

44


matriz M m N (s), tal como segue

L m (s) = [ M m (s) ] −1

L m (0) + [ M m (s) ] −1

S

m

(s),

L m (s) = B m (s)L m (0) + B m (s)S m (s).

(2.59a)

(2.59b)

Ao se aplicar a transformada inversa de Laplace, obtém-se

L m (τ) = B m (τ)L m (0) + H m (τ) (2.60)

onde

e

B m (τ) = L −1 [ B m (s) ] (2.61)

H m (τ) = B m (τ) ∗ S m (τ) (2.62)

onde “∗” denota convolução , ou seja

H m (τ) =

∫ τ

0

B m (τ − ε)S m (ε)dε (2.63)

A inversão da matriz LTS N , mostrada na Equação (2.59), tem um alto custo computacional.

Para superar este problema, (SEGATTO et al., 1999) aplicaram o método de diagonalização,

que usa o fato de a matriz LTS N ser não-degenerada, que tem a propriedade

de ter todos os autovalores diferentes. Como conseqüência disso, a matriz A m pode ser

diagonalizada da seguinte forma

A m = X m D m (X m ) −1 , (2.64)

onde D m é a matriz diagonal contendo os autovalores de A m , e X m é a correspondente

matriz dos autovetores. Deste modo, têm-se que

B m (τ) = L −1 [ (sI + A m ) −1]

= L −1 [ (sX m (X m ) −1 + X m D m (X m ) −1) −1 ]

(2.65)

= X m L −1 [ (sI + D m ) −1] (X m ) −1 .

45


A matriz D é dada por

então,

tendo como inversa,



d 1 0 . . . 0

0 d

D =

2 . . . 0

⎢ .

⎣ . .. ⎥ . ⎦

0 . . . 0 d N



s + d 1 0 . . . 0

0 s + d

sI + D =

2 . . . 0


.

⎣ .

.. ⎥ . ⎦

0 . . . 0 s + d N


(sI + D) −1 =



1

s+d 1

0 . . . 0

0

1

.

s+d 2

. . . 0

. .. .

0 . . . 0

1

s+d N




(2.66)

(2.67)

(2.68)

Portanto, tem-se que

B m (τ) = X m L [ −1 (sI + D m ) −1] (X m ) −1



e τd m

1

0 . . . 0

0 e

= X m τd 2

. . . 0


.

⎣ . .. ⎥ (X m ) −1

. ⎦

0 . . . 0 e τd N

= X m e τDm (X m ) −1 .

(2.69)

que tem um custo computacional bastante reduzido na sua obtenção, uma vez que a inversa

da matriz apresentada na equação (2.67), sai de forma direta, conforme mostrado

na equação (2.68). Ao substituir o resultado apresentado na equação (2.69) na equação

(2.60), tem-se

L m (τ) = X m e τDm (X m ) −1 L m (0) + H m (τ). (2.70)

Reescrevendo a Equação (2.60) em forma de matriz de blocos, tem-se

[ ] m [

] m [ ] m [

L d (τ) B 11 (τ) B 12 (τ) L d (0) H d (τ)

= +

L u (τ) B 21 (τ) B 22 (τ) L u (0) H u (τ)

] m

, (2.71)

46


com as letras d e u indicando se fluxo de radiação é descendente (downward) ou ascendente

(upward). Dos componentes do vetor L m (0), são conhecidos somente os referentes

ao fluxo incidente (para µ j > 0) de radiação, ou seja, os N/2 primeiros valores deste vetor,

representado por L d (0). Portanto, o sistema mostrado pela Equação (2.70) não pode

ainda ser resolvido.

Para τ = ζ, resulta

[

L d (ζ)

] m

=

[

B 11 (ζ)

B 12 (ζ)

] m [

L d (0)

] m

+

[

H d (ζ)

] m

, (2.72)

L u (ζ)

B 21 (ζ)

B 22 (ζ)

L u (0)

H u (ζ)

onde é conhecido o fluxo incidente L u (ζ) (para µ j < 0), dado pela condição de contorno

na equação (2.54), bem como os valores de H(ζ). Deste modo, é possível se determinar

os N/2 valores de L u (0)

L u (ζ) = B 21 (ζ)L d (0) + B 22 (ζ)L u (0) + H u (ζ) (2.73)

ou

B 22 (ζ)L u (0) = L u (ζ) − B 21 (ζ)L d (0) − H u (ζ) (2.74)

permitindo assim, que a solução da Equação (2.60) seja obtida. Por conveniência, o índice

m dos modos azimutais é omitido.

Da forma como está descrito na equação (2.70), o método tem uma limitação computacional

devido a natureza exponencial da solução apresentada. Sabendo que os autovalores

da matriz LTS N aumentam conforme a ordem da mesma para valores altos de N ocorre

erro de “overflow” numérico.

A maneira encontrada por (GONçALVES et al., 2000) para superar este problema, consiste

em se aplicar a propriedade de invariância (DUDERSTADT; MARTIN, 1979) das direções

discretas µ j . Graças a esta propriedade, a radiação ascendente (µ j < 0) pode ser tratada

em separado e da mesma maneira que a radiação descendente (µ j > 0). Assim, a solução

dada pela equação (2.70) pode ser expressa em componentes relativos às direções positivas

e negativas, o que se faz a partir de uma decomposição da matriz B(τ), tal como

segue descrito na equação (2.75),

B(τ) = Xe τD X −1 = Xe τD+ (X) −1 + Xe τD− (X) −1 = B + (τ) + B − (τ), (2.75)

47


onde os elementos das matrizes D + e D − são

d + i,j = {

di,j se d i,j > 0

0 se d i,j 0

e d − i,j = {

di,j se d i,j < 0

0 se d i,j 0 , (2.76)

com d i,j sendo os elementos da matriz D. Logo, a equação (2.60) pode ser reescrita como

L m (τ) = B m+ (τ)L m (0) + B m− (τ)L m (0) + H m (τ) (2.77)

e, de acordo com a propriedade de invariância

B m+ (τ − ζ)L m (ζ) = B m− (τ)L m (0), (2.78)

então,

L m (τ) = B m+ (τ − ζ)L m (ζ) + B m− (τ)L m (0) + H m (τ), (2.79)

com o vetor H m (τ) dado por

H m (τ) =

∫ τ

ζ

B m+ (τ − ε)S m (ε)dε +

∫ τ

0

B m− (τ − ε)S m (ε)dε. (2.80)

Usa-se a Equação (2.79), porque a forma apresentada na Equação (2.77) é numericamente

instável, pois o expoente dos autovalores positivos da matriz D, fazem com que se

atinja um estouro numérico (“overflow”) da solução para valores grandes de N. Na Equação

(2.79), como o valor de τ tem como limite a profundidade ótica ζ, o expoente dos

autovalores positivos da matriz D sempre será negativo, com o que se evitam possíveis

“overflows” nos valores da solução.

2.1.3 Formulação para geometria multi-região

As equações apresentadas até aqui, descrevem a equação de transferência radiativa em

um meio homogêneo, onde considera-se que os coeficientes são constantes com relação à

profundidade. Na situação contrária, com a(τ) e b(τ) variando conforme a profundidade,

têm-se um caso de meio não-homogêneo. Configura-se deste modo um sistema com R

regiões com valores de coeficientes diferentes entre as regiões, mas constantes dentro

de cada uma. Portanto, o domínio espacial da variável ótica τ é discretizado em R + 1

valores, a partir de τ 0 = 0 até τ R = ζ, conforme ilustra a Figura 2.4.

Então, para r = 0, 1, ..., R e j = 1, 2, ..., N, o problema em geometria multi-região pode

48


τ 0= 0

τ 1

Superficie

regiao 1

regiao 2

τ

τ 2

τr−1

τ r

τR−2

τ R−1

τ R= ζ

. . . . . . . .

regiao r

regiao R−1

regiao R

FIGURA 2.4 - Geometria plano-paralela com R regiões que correspondem a

camadas horizontais.

FONTE: adaptada de Chalhoub et al. (2003).

ser expresso por

d

µ j

dτ Lm r (τ, µ j ) = −L m r (τ, µ j ) + ϖ r

2

N

∑ g

l=m

+ S m r (τ, µ j ),

ω m l P m

l (µ j )

N∑

i=1

η i P m

l (µ i )L m r (τ, µ i )

(2.81)

com

ϖ 0 (τ) = ϖ r = b r

c r

=

b r

a r + b r

, (2.82)

sendo constante em toda a região r, para qualquer valor de τ, onde c r , a r e b r são os

coeficientes de atenuação, de absorção e de espalhamento. A Equação (2.81) está sujeita

as condições de contorno

L m 1 (τ 0 , µ j ) = L m R (τ R , −µ j ) = 0. (2.83)

Nas interfaces entre as regiões, considera-se a condição de continuidade, que diz que o

fluxo de radiação no final de uma região não se altera quando entra na região adjascente.

Este conceito é expresso por

L m r (τ r , ±µ j ) = L m r+1(τ r , ±µ j ), (2.84)

49


para r = 1, 2, ..., R − 1.

Com a finalidade de facilitar a utilização do método, emprega-se ainda uma mudança de

variável em τ (OLIVEIRA, 2002), de maneira que para

τ ∈ [τ r−1 , τ r ] (2.85)

faz-se então

τ ← τ − τ r−1 , (2.86)

para r = 1, 2, ..., R. Consequentemente, tem-se τ ∈ [0, ζ r ], com ζ r = τ r − τ r−1 sendo

a espessura ótica da região r. Agora a condição de continuidade entre as fronteiras das

regiões é definida por

L m r (ζ r , ±µ j ) = L m r+1(0, ±µ j ), (2.87)

para r = 1, 2, ..., R − 1. Em cada uma das R regiões, considera-se que o meio é homogêneo,

sendo válida portanto a expressão dada pela Equação (2.81). Deste modo, a partir

das condições de contorno e de continuidade dadas para um meio não homogêneo, tem-se

L d 1(0) = B (1)

11 (0)L d 1(0) + B (1)

12 (0)L u 1(0) + H d 1 (0) = 0, (2.88a)

L 1 (ζ 1 ) = L 2 (0)

L 2 (ζ 2 ) = L 3 (0)

(2.88b)

(2.88c)

.

L R−1 (ζ R−1 ) = L R (0)

(2.88d)

L u R(ζ R ) = B (R)

21 (ζ R )L d R(0) + B (R)

22 (ζ R )L u R(0) + H u R(ζ R ) = 0. (2.88e)

Reescreve-se a seguir as radiâncias nas interfaces como descrito na Equação (2.60).

B (1)

11 (0)L d 1(0) + B (1)

12 (0)L u 1(0) + H d 1 (0) = 0, (2.89a)

B (1) (ζ 1 )L 1 (0) + H 1 (ζ 1 ) = B (2) (0)L 2 (0) + H 2 (0)

B (2) (ζ 2 )L 2 (0) + H 2 (ζ 2 ) = B (3) (0)L 3 (0) + H 3 (0)

(2.89b)

(2.89c)

.

B (R−1) (ζ R−1 )L R−1 (0) + H R−1 (ζ 1 ) = B (R) (0)L R (0) + H R (0)

(2.89d)

50


B (R)

21 (ζ R )L d R(0) + B (R)

22 (ζ R )L u R(0) + H u R(ζ R ) = 0, (2.89e)

Lembrando que B(τ) = Xe τD X −1 (Equação 2.69), e fazendo uma substituição de variável

com ξ r = X −1 L r (0), para i = 1, 2, · · · , R, obtém-se

B (1)

11 (0)ξ d 1 + B (1)

12 (0)ξ u 1 + H d 1 (0) = 0, (2.90a)

B (1) (ζ 1 )ξ 1 + H 1 (ζ 1 ) = B (2) (0)ξ 2 + H 2 (0)

B (2) (ζ 2 )ξ 2 + H 2 (ζ 2 ) = B (3) (0)ξ 3 + H 3 (0)

(2.90b)

(2.90c)

.

B (R−1) (ζ R−1 )ξ R−1 + H R−1 (ζ 1 ) = B (R) (0)ξ R + H R (0)

(2.90d)

B (R)

21 (ζ R )ξ d R + B (R)

22 (ζ R )ξ u R + H u R(ζ R ) = 0, (2.90e)

onde B = Xe τD . Finalmente, com o rearranjo dos termos, tem-se o sistema de equações

cuja a solução resolve o problema de transferência radiativa em um meio não-homogêneo.

B (1)

11 (0)ξ d 1 + B (1)

12 (0)ξ u 1 = −H d 1 (0), (2.91a)

B (1) (ζ 1 )ξ 1 − B (2) (0)ξ 2 = H 2 (0) − H 1 (ζ 1 )

B (2) (ζ 2 )ξ 2 − B (3) (0)ξ 3 = H 3 (0) − H 2 (ζ 2 )

(2.91b)

(2.91c)

.

B (R−1) (ζ R−1 )ξ R−1 − B (R) (0)ξ R = H R (0) − H R−1 (ζ 1 )

(2.91d)

B (R)

21 (ζ R )ξ d R + B (R)

22 (ζ R )ξ u R = −H u R(ζ R ). (2.91e)

A respectiva representação do sistema na forma matricial é mostrada na Equação (2.92),

onde o vetor ξ contém as radiâncias a serem obtidas, dados os valores dos coeficientes de

espalhamento b r e de absorção a r , para todas as R regiões do meio não-homogêneo, com

r = 1, 2, ..., R.

51





B (1)

11 (0)B(1) 12 (0)

B (1) (ζ 1 ) −B (2) (0)

−H u R (ζ R)

B (2) (ζ 2 ) −B (3) (0)



−H1 d (0)

H 2 (0) − H 1 (ζ 1 )

H 3 (0) − H 2 (ζ 2 )

=

.



⎣ H R (0) − H R−1 (ζ R−1 ) ⎦

. ..

B (R−1) (ζ R−1 ) −B (R) (0)

B (R)

21 (ζ R)B (R)

22 (ζ R)

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣

ξ 1

ξ 2

ξ 3

.

ξ R−1

ξ R


=



(2.92)

No código computacional do método LTS N , para resolver este sistema de N · R equações,

foi utilizada a implementação do método iterativo CGNR (“Conjugate Gradient Method

on the Normal Equations”), contida no pacote de algoritmos paralelos PIM (“Parallel

Iterative Methods”) (DACUNHA, 1995). Embora as rotinas presentes nesta biblioteca, tenham

sido desenvolvidas para se rodar em paralelo, neste trabalho empregou-se o modo

de execução sequencial.

2.2 Transferência radiativa em ótica hidrológica

O desenvolvimento teórico de transferência radiativa tem origem fundamentalmente no

estudo feito em ciências espaciais, em particular na Astrofísica, para pesquisas de atmosferas

planetárias e de estrelas, cuja referência clássica é a de Chandrasekhar (1960).

Literatura com uma abordagem voltada à Oceanografia, tem como principal marco inicial

a publicação do livro “Optical Oceanography” de Jerlov (1968). Do mesmo autor

seguiu-se também outro clássico na área denominado “Marine Optics” (JERLOV, 1976).

Ambos os livros dão um tratamento com uma ênfase descritiva do problema, sem levantar

muito os aspectos matemáticos, importante ao se considerar as particularidades em se trabalhar

com águas naturais, no lugar de atmosferas. Tal ponto de vista recebeu um enfoque

mais aprofundado com Preisendorfer (1976), no tratado de seis volumes sobre o assunto

“Hydrologic Optics”.

Essas publicações desempenharam portanto, importante papel na formação e consolidação

da Ótica Hidrológica como ciência, influenciando toda uma comunidade de pesqui-

52


sadores, gerando uma massa crítica motivada a publicar outros trabalhos sobre o tema,

incorporando novos avanços no conhecimento. Dentre estes, destacam-se aqui os livros

de Kirk (1983), “Light and Photosynthesis in Aquatic Ecosystems”, e de Mobley (1994),

“Light and water: radiative transfer in natural waters”. Tendo então como referência principal

este último, nesta Seção as grandezas apresentadas referentes ao estudo da equação

de transferência radiativa, tais como radiância, coeficiente de absorção e função de fase

de espalhamento, por exemplo, são vistas sob o contexto da Ótica Hidrológia.

Ao se falar sobre transferência radiativa em água, sobretudo em águas naturais, deve-se

ter em mente a diversidade de fatores que podem caracterizar este ambiente. A presença

de partículas provenientes de matéria orgânica dissolvida, de material inorgânico ou então

de microorganimos (algas, fitoplâncton, bactérias, etc...) e a salinidade na água do mar,

por exemplo, interferem no modo como a radiação se propaga no meio. Como particularmente

aqui, é relevante a radiação na faixa de onda da luz visível, esta última afirmação é

equivalente a se dizer que os fatores citados fazem com que as propridades óticas do meio

se alterem. Acrescente-se a isso, o agravante de que a concentração desses constituintes

costuma variar temporal e espacialmente, o que confere ao estudo de águas naturais um

grau de complexidade ainda mais elevado. Há portanto, uma ampla variedade de tipos de

corpos d’água, cada qual possuindo propriedades óticas que os caracterizam.

Na ilustração da Figura 2.5, há um esquema mostrando a interação da radiação solar em

um corpo d’água, onde se identificam as parcelas de luz espalhada (b) e absorvida (a)

pelo meio. Além desses, todos as outras grandezas que contribuem para compor a ETR

expressa pela Equação (2.34) estão representadas. Grandezas tais como os ângulos polar

θ e azimutal ϕ de incidência da luz, a profundidade ótica ζ e as condições de contorno

dadas pelas radiâncias na superfície e no fundo.

Outro componente que aparece na ilustração da Figura 2.5, que até então não fora mencionado,

se refere às fontes internas de radiação do meio. Foi visto somente o termo da função

fonte de espalhamento S ∗ (τ, µ, ϕ), mostrado na Equação (2.34), que se deve às partículas

não-colididas. Por sua vez, as fontes internas têm como principais origens, fenômenos

relacionados à bioluminescência de organismos marinhos, e outros dois referentes

a processos inelásticos conhecidos como fluorescência e espalhamento Raman (MOBLEY,

1994), onde a luz incidente passa a se propagar com comprimento de onda mais longo.

No caso do espalhamento Raman, este fenômeno se dá devido a luz incidente provocar,

de maneira instantânea, um aumento nos estados quânticos rotacional ou vibracional de

53


uma molécula. Por sua vez, na fluorescência o processo inelástico não ocorre instantaneamente,

podendo ser compreendido como uma absorção seguida por uma emissão.

Uma representação completa da ETR mostrada na Equação (2.24), contém então um

termo referente às fontes internas de radiação, dada pela pela Equação (2.93),

dL(τ, µ, ϕ)

µ


= −L(τ, µ, ϕ) + ϖ 0(τ)


∫ 2π ∫ 1

0

−1

p(cosΘ)L(τ, µ ′ , ϕ ′ )dµ ′ dϕ ′ + S 0 (τ)

(2.93)

onde S 0 (τ) = S B +S F +S R , é resultado da soma das fontes internas de bioluminescência

(S B ), de fluorescência (S F ) e de espalhamento Raman (S R ).

Sol

ϕ

θ

τ= 0

L(0,µ,ϕ)

L(0,−µ,ϕ)

ar

b

Θ

a

fontes

internas

τ = ζ

p( Θ)

radiancia: L

irradiancia: E

agua

L(ζ,µ,ϕ)

L(ζ,−µ,ϕ)

fundo

FIGURA 2.5 - Esquema representando um corpo d’água e a interação deste com radiação solar.

FONTE: adaptada de Stephany (1998).

A aplicação da ETR propicia a modelagem da propagação da luz em águas naturais,

conhecendo-se suas propriedades óticas. Dentre estas propriedades, existem aquelas que

dependem exclusivamente do meio, não importando a geometria do campo luminoso. São

as denominadas propriedades óticas inerentes, ou simplesmente IOPs (do inglês “Inherent

Optical Properties”).

54


Dada então a ETR descrita pela Equação (2.24), quaisquer dois corpos d’água livres de

fontes internas e sob iguais condições de contorno, que tenham os mesmos albedo de

espalhamento simples ϖ 0 e função de fase de espalhamento p(cosΘ), terão a mesma distribuição

de radiância (MOBLEY, 1994). Claramente, ϖ 0 e p(cosΘ) são dois exemplos de

propriedades óticas inerentes de águas naturais. Assim como, naturalmente, os coeficientes

de atenuação c, de absorção a e de espalhamento b.

Em um segundo grupo, estão as propriedades óticas aparentes (AOPs - de “Apparent Optical

Properties”), que têm dependência tanto da geometrica do campo luminoso, quanto

das características do meio. Uma AOP deve ter valores estáveis o suficiente para que a

mesma possa descrever um corpo d’água. Ou seja, é necessário que os valores da grandeza

pouco mudem conforme as variações externas do ambiente (MOBLEY, 1994).

Destacamos duas propriedades aparentes de grande uso em Bio-ótica marinha - uma subdivisão

da Oceanografia - que são a reflectância espectral de irradiância R(z; λ) e a

reflectância espectral de sensoriamento remoto R rs (µ, ϕ; λ), definidas respectivamente

pelas Eqs. (2.94) e (2.95)

R(z = z w ; λ) ≡ E u(z = z w ; λ)

E d (z = z w ; λ)

(2.94)

R rs (µ, ϕ; λ) ≡ L(z = z a; µ, ϕ; λ)

E d (z = z a ; λ)

[sr −1 ]. (2.95)

O índice d indica irradiância no sentido da radiação solar incidente (“downward”), enquanto

u sinaliza a irradiância ascendente do meio, no sentido contrário (“upward”). Da

definição de irradiância (Equação 2.4), vem

E d (z; λ) =

∫ 2π ∫ π/2

0

0

L λ (z, θ, ϕ) cosθ senθ dθ dϕ (2.96)

∫ 2π ∫ π

E u (z; λ) = − L λ (z, θ, ϕ) cosθ senθ dθ dϕ. (2.97)

0 π/2

As profundidades z = z w e z = z a , significam que em R(z, λ) é feita medição na água,

logo abaixo da superfície (z w ≈ 0), enquanto que para R rs a medição é realizada no ar,

logo acima da superfície (z a ≈ 0). A radiância emergente L(z = z a ; µ, ϕ; λ) é chamada

na literatura de “water-leaving radiance”, representada por L w .

55


Uma informação que está implícita na Equação (2.96), sugere que se dois feixes de radiação

penetram com a mesma energia em um plano, mas com diferentes ângulos de

inciência θ, irão gerar valores diferentes de irradiâncias E d . Isto ocorre porque a quantidade

que é integrada em todas as direções é dada na equação por L λ (z, θ, ϕ) cosθ. A

irradiância E d então recebe o nome de irradiância plana descendente. Analogamente, a

irradiância plana ascendente é simbolizada por E u .

Se este plano for o sensor do instrumento de medição, significa dizer que os fótons incidentes

não sensibilizam igualmente este sensor. O sinal gerado será proporcional ao cosseno

do ângulo de incidência do fóton no plano do sensor. Um instrumento com sensor

projetado de maneira a ser sensibilizado igualmente em toda sua superfície, é mostrado

na Figura 2.6.

LUZ

difusor esferico

escudo

absorvedor

filtro

detetor

SENSOR ESFERICO

FIGURA 2.6 - Intrumento de mediçao das irradiâncias escalares E od , E ou e E o .

FONTE: adaptada de Stephany (1998).

O formato esférico faz com que em qualquer ponto desta superfície, a radiância incidente

será normal ao instrumento. Consequentemente, cosθ = 1 para toda a área da esfera

onde incide radiação descendente. Um escudo absorvedor impede que fótons com direção

ascendente sejam medidos ao mesmo tempo. Desde modo, a irradiância obtida é dada por

E od (z; λ) =

∫ 2π ∫ π/2

0 0

L λ (z, θ, ϕ) senθ dθ dϕ, (2.98)

56


e por

E ou (z; λ) =

∫ 2π ∫ π

0 π/2

L λ (z, θ, ϕ) senθ dθ dϕ, (2.99)

para a esfera voltada para baixo, coletando agora os fótons ascendentes. Estas são as

denominadas irradiâncias escalares descendente E od e ascendente E ou . Se o escudo for

removido, obtém-se a irradiância escalar total E o

E o (z; λ) = E od (z; λ) + E ou (z; λ). (2.100)

Embora nenhuma destas irradiâncias possa ser classificada como uma propriedadade aparente,

a sua definição é útil para apresentar outra AOP muito importante, conhecida como

coeficiente de antenuação difusa K. Os valores de irradiância decaem exponencialmente

com a profundidade, e esta é a grandeza que fornece a taxa de decaimento em cada profundidade

sendo K d (z; λ) dado por

[ ∫ z

]

E d (z; λ) ≡ E d (0; λ) exp − K d (z ′ ; λ)dz ′ , (2.101)

0

K d (z; λ) = − dlnE d(z; λ)

dz

= − 1 E d (z; λ)

E d (z; λ) dz

[m −1 ]. (2.102)

Para o intervalo de profundidade entre 0 e z, ao se empregar uma taxa de decaimento

médio

K d (z; λ) ≡ 1 z

∫ z

a Equação (2.101) pode ser reescrita como

0

K d (z ′ ; λ)dz ′ [m −1 ], (2.103)

E d (z; λ) ≡ E d (0; λ) exp [ −K d (z; λ) z ] (2.104)

De maneira análoga, os coeficientes de atenuação difusa K u , K od , e K ou são também

determinados.

A importância dessas AOPs vistas aqui, reside no fato de que muito dos métodos costumeiramente

utilizados em Bio-óptica marinha para se fazer estimativa de IOPs, o fazem

por meio da obtenção dos valores dessas propriedades aparentes. Valores calculados a

partir de medições de radiância e dos diversos tipos de irradiância apresentados, e em

diferentes plataformas, tais como satélites de sensoriamento remoto através de espectror-

57


adiômetros embarcados, medindo em profundidade ou somente na superfície, e também

por meio de bóias oceanográficas, perfiladores submarinos, entre outros.

2.3 Validação da implementação do método LTS N

Com o propósito de se averiguar a correção da implementação computacional do método

LTS N para região não-homegênea, foram comparados valores de radiância obtidos para

um caso teste de Ótica Hidrológica, com os resultados alcançados pelo código PEESNA

(CHALHOUB, 1997; CHALHOUB; GARCIA, 2000; CHALHOUB et al., 2003). O código PE-

ESNA implementa uma solução analítica para as equações de ordenadas discretas. Os

parâmetros que definem o corpo d’água no caso teste são dados pela Tabela 2.1.

Embora todo desenvolvimento tenha sido voltado para a resolução da ETR em regiões

não-homogêneas, conforme apresentado na Seção 2.1.3, a validação é feita usando resultados

obtidos para uma região homegênea. De fato, os resultados do código PE-

ESNA foram obtidos tratando o domínio como uma única região, mas mostrados nas

Figs. 2.7a e 2.7b em sete níveis de profundidade ótica: 0.00, 0.05ζ, 0.10ζ, 0.20ζ, 0.50ζ,

0.75ζ e 1.00ζ. Por sua vez, na implementação de LTS N multi-região, cada uma destas

profundidades é tratada como o limite de seis regiões com diferentes propriedades entre

si, embora neste exemplo específico não o sejam de fato.

TABELA 2.1 - Parâmetros usados no caso teste.

parâmetro significado valor

R número de regiões 6

N z = R + 1 número de profundidades 7

z(N z ) profundidade geométrica (m) 30

a r coeficiente de absorção 0.179

b r coeficiente de espalhamento 0.219

c r coeficiente de atenuação 0.398

ϖ r albedo de espalhamento simples 0.5503

ζ = c r z(N z ) profundidade ótica 11.94

ϕ 0 ângulo azimutal de incidência 0

µ 0 cosseno do ângulo polar 0.8

de incidência

N g ordem de anisotropia 173

N ordem da quadratura 174

N µ número de direções polares 20

58


L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

0.05

20

0.04

15

0.03

0.02

10

0.01

0

−0.0823

−0.2446

−0.4003

−0.5451

−0.675

−0.7864

−0.8765

−0.9983

µ

−0.75

−0.5

τ

−0.2 −0.1 −0.05 0

0.9983 0 5

0.8765

0.7864

0.675

0.5451

0.4003

0.2446

0.0823

µ

−1

−0.75

τ

−0.5

−0.2 −0.1 −0.05

a

FIGURA 2.7 - Radiâncias obtidas pelo código PEESNA a partir dos parâmetros da Tabela 2.1,

em sete níveis de profundidade ótica, para dez direções polares negativas (a) e

dez positivas (b).

b

Para 20 direções polares - 10 positivas (ascendentes) e 10 negativas (descendentes) - a

maior diferença encontrada entre os dois códigos foi de aproximadamente 0.4%, conforme

se constata pelos dados comparativos apresentados na Tabela 2.2. E a direção onde

ocorre esta diferença (µ = 0.7864), é próxima à direção polar de incidência (µ 0 = 0.8) do

feixe de luz. Nesta direção, conforme é destacado em negrito, também é onde ocorre a

maior diferença percentual dos valores de radiância em cada uma das sete profundidades.

Estes resultados atestam uma boa qualidade dos resultados obtidos com o código de LTS N

implementado.

2.4 Dependência espectral

Em tempo, se faz necessário ressaltar neste ponto que os valores de radiância dependem

do comprimento de onda λ da radiação. Apesar de não estar expressa nas equações desenvolvidas

nas seções anteriores, esta dependência espectral está implícita nas mesmas. Tal

omissão deveu-se até aqui unicamente por uma conveniência de notação. As deduções do

métodos apresentados em nada se alteram com a presença do comprimento de onda nas

equações.

Portanto, para r = 0, 1, ..., R e j = 1, 2, ..., N, o problema espectral em geometria multi-

59


TABELA 2.2 - Diferença percentual entre os valores de radiância do caso teste em Ótica Hidrológica

obtidos com os códigos PEESNA e LTSN.

(L P EESNA − L LT SN )/(L P EESNA ) ∗ 100) %

τ/ζ

µ

0.00 0.05 0.10 0.20 0.50 0.75 1.00

-0.9983 0.013 0.011 0.010 0.008 0.006 0.005

-0.9830 -0.018 -0.001 -0.002 -0.001 0.000 0.000

-0.9426 0.002 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000

-0.8765 -0.001 0.000 -0.001 -0.001 0.000 0.000

-0.7864 0.006 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000

-0.6750 -0.001 -0.001 0.000 0.000 0.000 0.000

-0.5451 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

-0.4003 0.001 0.000 0.000 0.000 -0.001 0.000

-0.2446 0.001 -0.001 -0.001 -0.001 -0.001 -0.001

-0.0823 0.025 0.000 0.000 -0.001 -0.001 -0.001

0.0823 0.001 0.001 0.001 0.002 0.001 0.017

0.2446 0.002 0.002 0.002 0.003 0.003 0.003

0.4003 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002

0.5451 -0.008 -0.007 -0.005 -0.003 -0.002 -0.001

0.6750 -0.079 -0.067 -0.048 -0.017 -0.006 -0.003

0.7864 0.402 0.384 0.344 0.209 0.107 0.038

0.8765 0.075 0.061 0.039 0.006 0.000 0.000

0.9426 0.016 0.014 0.009 0.002 0.001 0.000

0.9830 0.000 0.000 0.001 0.002 0.001 0.001

0.9983 0.050 0.048 0.046 0.041 0.036 0.032

região pode ser expresso de forma análoga a Equação (2.81)

com

d

µ j

dτ Lm r,λ(τ, µ j ) = −L m r,λ(τ, µ j ) + ϖ r,λ

2

sujeita às condições de contorno

N

∑ g

l=m

+ S m r,λ(τ, µ j ),

ϖ r,λ = b r,λ

c r,λ

=

ω m l P m

l (µ j )

N∑

i=1

η i P m

l (µ i )L m r,λ(τ, µ i )

(2.105)

b r,λ

a r,λ + b r,λ

, (2.106)

L m 1,λ(τ 0 , µ j ) = L m R,λ(τ R , −µ j ) = 0, (2.107)

60


e à condição de continuidade nas interfaces entre as regiões

L m r,λ(τ r , ±µ j ) = L m r+1,λ(τ r , ±µ j ), (2.108)

para r = 1, 2, ..., R − 1.

61


CAPÍTULO 3

PROBLEMA INVERSO

Uma definição conhecida do assunto foi dada pelo russo Oleg Alifanov, “a solução de um

problema inverso engloba determinar causas desconhecidas a partir da observação de seus

efeitos”. Esta relação de causa-efeito pode ser representada matematicamente por Ax = f,

com x ∈ X representando as causas, f ∈ F os efeitos e A é um operador com domínio de

definição D A .

No problema direto, aplicam-se leis conhecidas da física, utilizando parâmetros conhecidos

(causas), para calcular a solução (efeitos). O problema inverso faz exatamente o

oposto, ou seja, a partir de efeitos conhecidos tenta-se estimar os parâmetros que levaram

a essa solução. A Figura 3.1 ilustra o problema direto e o correspondente problema inverso.

De acordo com o critério de Hadamard, um problema será bem-posto caso satisfizer

estas três condições:

a) Existência: ∀f ∈ F ⇒ ∃x ∈ D A de modo que Ax = f;

b) Unicidade: ∀x 1 e x 2 ∈ D A com Ax 1 = Ax 2 ⇒ x 1 = x 2 ;

c) Estabilidade: ∀x 1 e x 2 ∈ D A com Ax 1 = f 1 e Ax 2 = f 2 ⇒ x 1 → x 2 em X, logo f 1 → f 2

em F .

Conforme Tikhonov e Arsenin (TIKHONOV; ARSENIN, 1977), um problema inverso é definido

matematicamente como mal-posto (ill-posed), se não assegura a existência, unicidade

e estabilidade da solução. Isto faz com que os problemas inversos sejam de difícil

resolução.

Se o problema for linear, discreto e finito, o operador A reduz-se a uma matriz N d × N p ,

onde N d é a quantidade de valores observados/medidos armazenados no vetor f =

[f 1 , f 2 , . . . , f Nd ] T , e N p é o número de parâmetros a serem estimados no vetor x =

[

x1 , x 2 , . . . , x Np

] T. Se Nd = N p , basta resolver o sistema Ax = f por qualquer dos métodos

computacionais conhecidos. Se N d > N p , então o sistema é sobredeterminado,

ou seja, há mais dados do que parâmetros a serem estimados. Neste caso, a existência

da solução pode ser obtida via método dos mínimos quadrados, que consiste em estimar

uma solução ˆx, de forma que o quadrado da norma euclidiana do resíduo (f − A x), seja

mínimo.

63


MODELO

DIRETO

^

PARAMETROS

~

+ CONDICOES ,

DE CONTORNO

DADOS

OBSERVADOS

Causas

MODELO

INVERSO

Efeitos

FIGURA 3.1 - Modelo Direto e Modelo Inverso.FONTE: adaptada de (STEPHANY, 1998).

Ou seja:

ˆx ⇒ min x ‖f − Ax‖ 2 = min x

[

(f − Ax) T (f − Ax) ] = min x J(x), (3.1)

onde J(x) é a função objetivo. Derivando-se a função objetivo em relação a x k

(k = 1, 2, ..., N p ) e igualando a zero, obtêm-se:

A T A ˆx = A T f (3.2)

A solução deste sistema linear de equações, ˆx é o minimante da função objetivo. Este é

um exemplo de método dito explícito, onde se dispõe da formulação analítica da solução.

Neste trabalho, operador A é não-linear discreto, representando a resolução do problema

direto da equação íntegro-diferencial descrita pela Equação (2.34), por algum método

numérico. Nesta situação, por não haver uma expressão analítica para achar a solução,

deve-se adotar um método de resolução implícito do problema inverso, o qual busca encontrar

a solução de modo iterativo, caracterizando-se então um problema de otimização

da função objetivo (LAMM, 1993).

Se tomarmos f = f exp e Ax = f mod , dois vetores com N d elementos, e fazendo r =

f exp − f mod , então a função objetivo pode ser reescrita como

R(x) = ∥ f exp − f mod∥ ∥ 2 ∑N d

=

i=1

(f exp

i

− f mod

i ) 2 = r T r (3.3)

64


onde exp significa dados experimentais, e mod o resultado numérico do modelo direto

para uma solução candidata x, e r i é

r i = f exp

i

− f mod

i , i = 1, 2, . . . , N d (3.4)

Dado que um problema inverso é mal-posto, a solução ˆx da função objetivo (Equação 3.3),

na grande maioria das vezes é instável, onde pequenas variações em f exp resulta em grande

variação em ˆx.

Isto implica que diferentes pequenos erros instrumentais nas medidas observacionais levam

a diferentes estimativas ˆx. No entanto, apesar de obtermos diferentes soluções de x,

todas ajustam os dados observacionais f exp dentro da precisão numérica do erro experimental.

Deve-se, no entanto, buscar uma solução com maior suavidade (ou regularidade,

ou estabilidade), e que ajusta os dados.

Existem três abordagens possíveis para se alcançar uma solução com tal caracterítica.

Numa delas, impõe-se uma restrição às soluções candidatas, de modo que se admitam

somente aquelas que atendam a um critério de suavidade. Logo, a Equação (3.1) pode ser

reescrita como

ˆx ⇒ min x ‖f − Ax‖ 2 sujeito a ‖Bx‖ 2 ≤ ρ 2 , (3.5)

sendo B a matriz que representa um operador de regularização. Este é o caso em que

há máximo ajuste dos dados, isto é, ajuste quase exato, para uma determinada suavidade,

onde se escolhe x de modo a solucionar o problema dado pela Equação (3.5).

De forma análoga, numa outra abordagem, pode-se escolher uma solução x que minimize

‖Bx‖, para ‖f − Ax‖ ≤ ε. Há aqui uma máxima suavidade da solução, sujeito aos dados

experimentais a serem ajustados dentro de uma precisão menor ou igual ao erros.

ˆx ⇒ min x ‖Bx‖ 2 sujeito a ‖f − Ax‖ 2 ≤ ε 2 , (3.6)

Por sua vez, uma terceira abordagem que encontre x, de modo que ambas as restrições

sejam satisfeitas, isto é, ‖f − Ax‖ ≤ ε e ‖Bx‖ ≤ ρ, equivale a se resolver o problema

ˆx ⇒ min x

{

‖f − Ax‖ 2 + γ ‖Bx‖ 2} , (3.7)

onde γ é o parâmetro de regularização. O valor de γ deve ser escolhido de modo que

atenda ao compromisso entre suavidade×ajuste dos dados, isto é, não pode ser tão alto

65


que suavize demais, nem tão baixo que pouco regularize a solução.

3.1 Métodos de escolha do parâmetro de regularização

As três abordagens de regularização da solução ˆx vistas estão comtempladas na ilustração

da Figura 3.2, para o caso de dois parâmetros (ρ e ε) em que x (0) é a solução exata. A

elipse delimita as soluções regularizadas de acordo com a Equação (3.6), enquanto que

no círculo, de raio ρ, encontram-se as soluções regulares pelo critério da Equação (3.5). A

interseção entre o círculo e a elipse, define uma região em comum, onde estão as soluções

que satisfazem a Equação (3.7).

De início tem-se uma solução ˆx, não-regularizada (γ = 0), com resíduo menor que ε 2 e

sem suavidade, com ‖Bˆx‖ > ρ. Conforme incrementa-se o valor do parâmetro de regularização,

as soluções encontradas seguem uma trajetória no plano da elipse. A solução

que intercepta a circunferência do círculo, corresponde ao valor de γ = γ(ρ), onde se tem

o melhor ajuste do dados com uma suavidade mínima ρ. Desta forma, γ é o menor valor

possível para obter-se uma solução estável com mínima tendenciosidade (nenhuma informação

“a priori” da solução exata), e que explique os dados experimentais dentro da

precisão ε.

No outro extremo da região em comum, para um γ = γ(ε) > γ(ρ), a solução intercepta

a circunferência da elipse. Neste ponto atinge-se a máxima suavidade para um dado grau

ε de ajuste dos dados. Desta forma, γ é o maior valor possível para obter-se uma solução

estável que explique os dados experimentais, porém com máxima tendenciosidade

(com informação “a priori” da solução exata). Entre estas duas soluções, existe um valor

ótimo do parâmetro de regularização (γ opt ), para o qual a solução correspondente é a mais

próxima da solução exata x (0) .

Depreende-se do gráfico da Figura 3.2, que se a área definida pela interseção entre a elipse

e o círculo não for muito grande, as soluções alcançadas quando γ = γ(ρ) e γ = γ(ε),

podem ser uma boa aproximação da solução para γ opt (BERTERO; BOCCACCI, 1998).

Métodos de escolha de γ, os quais se baseiam na tarefa de se encontrar γ(ρ), tal que

‖Bx‖ = ρ, são denominados métodos “a priori”. A premissa deste tipo de método, é a de

que se tem uma boa informação prévia da solução a ser estimada. Mas em boa parte das

vezes, este dado não é disponível ou então não é suficientemente confiável ou preciso.

Em geral, uma alternativa mais viável consiste em se empregar métodos, onde a escolha

66


x^

γ=0

γ=γ(ρ)

x (0)

γ otimo

γ=

8

γ=γ(ε)

FIGURA 3.2 - A elipse delimita todas as soluções cujo resíduo ‖f − Ax‖ ≤ ε, enquanto que no

interior do círculo situam-se as soluções com ‖Bx‖ ≤ ρ. A interseção entre elipse

e o círculo define a região onde se localizam as soluções que atendem as duas

restrições.

FONTE: adaptada de Bertero e Boccacci (1998).

do parâmetro de regularização seja orientada pela busca de um γ(ε), o qual resulte em

‖f − Ax‖ = ε. Este é o chamado Princípio da Discrepância de Morozov (1984). Parte-se

do pressuposto de que o erro (ou discrepância) ε 2 para γ = γ(ε), conseqüente de ruído

nos dados observados, é corretamente estimado. Para o caso em que os dados experimentais

estão contaminados por ruído aditivo, independente e gaussiano, o valor esperado do

resíduo é dado por

∑N d

E(ε 2 ) = E(‖f − Ax‖ 2 ) = σ 2 = N d σ 2 , (3.8)

onde σ representa o ruído nos dados.

Logo, tendo uma estimativa para ε 2 , a busca da solução utilizando o critério de Morozov,

pode ser feita utilizando o Algoritmo 3.3.1:

i=1

67


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Algoritmo 3.1: Escolha de γ pelo critério de Morozov

Início

k = 0

γ k = 0.0

{

ˆx ⇒ min x ‖f − Ax‖ 2 + γ k ‖Bx‖ 2}

Dado σ 2 = σ ∗ , um ruído presumido Enquanto ‖f − Aˆx‖ 2 < N d σ 2

k = k + 1

γ k = γ k−1 · 10 1/10

{

ˆx ⇒ min x ‖f − Ax‖ 2 + γ k ‖Bx‖ 2}

Fim Enquanto

Fim

faça

O passo logarítmico para a busca de γ(ε), se justifiva através do gráfico ‖Bˆx‖×‖f − Aˆx‖,

presente na Figura 3.3, que recebe o conveniente nome de curva-L. Note que em intervalos

da curva-L mais próximos ao eixo vertical, uma variação pequena de γ, resulta numa

acentuada variação de ‖Bˆx‖. O mesmo se observa com relação a ‖f − Aˆx‖, para intervalos

da curva-L mais próximos do eixo horizontal. Portanto, o passo logarítmico ameniza

o efeito destas variações bruscas nestes intervalos críticos, tornando a busca de γ(ε) mais

eficiente.

B x

ρ

γ(ρ)

γ

H

γ opt

γ(ε)

ε

f − Ax

FIGURA 3.3 - Gráfico da curva ‖Bˆx‖ × ‖f − Aˆx‖, em função de γ.

68


No gráfico, aparece um novo valor de parâmetro de regularização γ H , correspondente a

um terceiro método de busca de γ, localizado no ponto da curva onde a sua curvatura

é máxima. A escolha recai neste ponto, porque é onde se dá a relação mais equilibrada

de suavidade×ajuste dos dados, e onde a diferença no efeito da variação de γ é reduzido.

Denominado de método de Hansen (1992), ou método da curva-L, não requer nem

conhecimento prévio da solução exata x (0) a ser estimada, nem qualquer informação da

discrepância dos valores obtidos com a solução ˆx encontrada, ao contrário dos outros dois

métodos abordados anteriormente.

Embora este método venha sendo empregado com sucesso na resolução de vários problemas,

deve-se no entanto, ter cuidado ao aplicá-lo nos casos onde o ruído tende a zero, e

em situações onde a curvatura máxima da curva-L é de difícil determinação (BERTERO;

BOCCACCI, 1998).

3.2 Métodos de regularização

Até aqui, pouco foi discutido sobre o operador de regularização B, que é de grande importância,

pois é de acordo com a sua escolha que se define o método de regularização

empregado. No caso do método de Tikhonov (TIKHONOV; ARSENIN, 1977), também conhecido

como PTT (Phillips-Tikhonov-Twomey), B = B (ϱ) é uma matriz (N p − ϱ) × N p

que representa um operador discreto de diferenças finitas, onde ϱ depende da ordem de

regularização utilizada.

Por exemplo, um problema inverso onde se deseje estimar cinco parâmetros (N p =5),

têm-se que o operador de regularização B (ϱ) para regularização de ordens zero, um e

dois, é dado respectivamente por



1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

B (0) ≡ I =

0 0 1 0 0



⎣ 0 0 0 1 0 ⎦

0 0 0 0 1



−1 1 0 0 0

B (1) =

0 −1 1 0 0


⎣ 0 0 −1 1 0



0 0 0 −1 1

(3.9a)

(3.9b)

69




1 −2 1 0 0

B (2) ⎢


= ⎣ 0 1 −2 1 0 ⎦ .

0 0 1 −2 1

(3.9c)

Portanto, de acordo com a Equação (3.7), a função objetivo a ser minimizada usando o

método de regularização de Tikhonov, é dada por

J(x) = ‖f − Ax‖ 2 + γ ∥ ∥ B (ϱ) x ∥ ∥ 2 . (3.10)

De forma mais geral, a Equação (3.10) escrita como

J(x) = R(x) + γ Γ(x), (3.11)

sendo R(x) o termo que indica o resíduo r T r, da Equação (3.3), entre os dados experimentais

(exp) e dados obtidos pelo modelo direto (mod), enquanto Γ(x) é a denominada

função de regularização. Particularmente, a regularização de Tikhonov realizada com as

matrizes mostradas nas Eqs. (3.9) para o caso unidimensional, pode ser representada pela

respectiva função de regularização

Γ(x) =

N

∑ p

i=1

x 2 i

(3.12a)

Γ(x) =

N∑

p−1

i=1

(−x i + x i+1 ) 2

(3.12b)

Γ(x) =

N∑

p−2

i=1

(x i − 2x i+1 + x i+2 ) 2 . (3.12c)

Semelhantemente ao método de Tikhonov, outra técnica que busca a regularidade global

da solução ˆx, é a chamada regularização entrópica. Do ponto de vista da Probabilidade, a

entropia é uma grandeza que nos fornece o grau de incerteza de algo ocorrer. Por exemplo,

sejam dois conjuntos de eventos, {A} e {B}, com as seguintes distribuições de probabilidade:

P A = {0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}

(3.13a)

P B = {0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0}

(3.13b)

O nível de informação sobre qual evento irá ocorrer no primeiro caso é muito baixo, pois

70


todos têm a mesma chance de acontecer. Por outro lado, no segundo caso existe a certeza

de que o segundo evento ocorre sempre. Consequentemente, a enropia de {A} é maior

que a entropia de {B}, isto é, a incerteza do que vai acontecer é maior.

Uma expressão que mensura esta incerteza na informação foi proposta por Shannon e

Weaver (1949), dada por

H(P ) = −

n∑

p i log p i , (3.14)

i=1

sendo p i a probabilidade do i-ésimo de evento com distribuição de probabilidade P acontecer,

e n o número total de possíveis eventos. Se a distribuição for uniforme, como

no exemplo da Equação (3.13a), então p i = 1/n, é a situação de máxima incerteza ou

máxima entropia, com H max = log n. Na situaçao oposta, visto no exemplo da Equação

(3.13b), onde todos os eventos têm probabilidade zero, exceto um, têm-se certeza do

que vai acontecer, e o correspondente valor de entropia será H min = 0.

Jaynes (1957) foi quem primeiro utilizou esta formulação, para propor uma técnica de

inferência baseada no príncípio da máxima entropia. Posteriomente, a partir do final da

década de 1960, este conceito foi estendido como uma técnica de regularização (BURG,

1967). De fato, é razoável supor que soluções mais suaves (regulares), são aquelas que

conseqüentemente possuem maior valor de entropia com relação às que apresentam muita

oscilação (irregulares). Sendo bem sucedida, esta abordagem ganhou impulso com outros

trabalhos pioneiros na década seguinte (FRIEDEN, 1972; WERNECKE; D’ADDARIO, 1977;

GULL; DANIELL, 1978).

A função de regularização entrópica, com base na máxima entropia, será então representada

por

para γ < 0 na Equação (3.11).

N

∑ p

Γ(x) ≡ S(x) = − q i log q i , com q i =

i=1

x i

∑ Np

j=1 x j

(3.15)

Embora esta abordagem se mostre satisfatória na maioria dos problemas, há casos que

podem ser melhor resolvidos a partir de uma solução cuja distribuição possua baixa entropia.

Uma variação da regularização entrópica, baseada na minimização da entropia do

vetor de diferenças finitas de x, foi primeiramente proposta para se resolver um problema

inverso em geofísica, de estimação de condutividade elétrica na Terra, a partir de dados

magnetotelúricos (RAMOS; CAMPOSVELHO, 1996; CAMPOSVELHO; RAMOS, 1997). Campos

elétricos induzidos por fontes naturais na ionosfera e magnetosfera são usados para

71


identificar a condutividade elétrica no interior do planeta. Procura-se então identificar,

em um domínio bi-dimensional, descontinuidades na condutividade elétrica que formam

portanto, soluções com baixa entropia.

Na então denominda mínima entropia de primeira ordem, tem-se que

q i =

p i

∑ Np−1

j=1 p j

,

p i = |x i+1 − x i | + ς , i = 1, 2, . . . , N p − 1

com

0 < ς ≪ 1,

(3.16)

onde ς é um valor pequeno que assegura que o cálculo da entropia terá valores definidos,

para γ > 0 na Equação (3.11).

Pode ainda pensar na aplicação de regularização entrópica, em situações que demandem

soluções cuja distribuição possam ser ajustadas a polinômios de segunda ordem. Foi proposto

então o uso da entropia do vetor de diferenças finitas de segunda ordem de x, com

vistas inicialmente a recuperação perfis verticais de temperatura na atmosfera (CARVA-

LHO, 1998; RAMOS et al., 1999), tendo sido alcançados bons resultados.

Neste caso têm-se a máxima entropia de segunda ordem, que é dada por

q i =

p i

∑ Np−1

j=2 p j

,

p i = x i+1 − 2x i + x i−1 + 2(x max − x min ) + ς , i = 2, . . . , N p − 1,

(3.17)

para γ < 0 na Equação (3.11).

3.3 Recuperação de propriedades óticas inerentes

O contexto deste trabalho trata da resolução de problemas inversos em Ótica Hidrológica.

Sob este enfoque, a equação de transferência radiativa é utilizada para modelar o comportamento

da radiação especificamente na faixa de comprimento de onda do visível (entre

em torno de 400 nm e 700 nm), sob diferentes condições físicas de um corpo d’água.

Esta é a faixa do espectro, em águas naturais, que caracteriza a chamada radiação fotossinteticamente

ativa, ou simplesmente PAR (de “Photosynthetically Available Radiation”),

72


sendo definida por

P AR(z) =

∫ 700

400

1

q E o(z; λ) dλ [fotons · s −1 · m −2 ], (3.18)

onde E o (z; λ) é a irradiância escalar total, definida na Equação (2.100) do Capítulo 2, e q

é a energia de um foton da luz com comprimento de onda λ.

As propriedades óticas inerentes da água nesta faixa de comprimento de onda, são então

fortemente influenciadas pela presença dos denominados constituintes fotossinteticamente

ativos. Notadamente, os organismos que contém pigmentos de clorofila, como os

fitoplâncton. Portanto, a estimativa de concentração de clorofila nos oceanos recebe muita

atenção em Ótica Hidrológica, sendo uma aplicação de grande alcance na Oceanografia.

A importância se deve também ao fato de que esta informação serve de suporte a diversos

campos, tais como pesca, estudos sobre ciclo do carbono, estudos climáticos, entre outros.

Para se fazer a estimativa de concentração de clorofila em grandes extensões do mar, a

comunidade ocenográfica emprega modelos empíricos, que utilizam valores de radiância

obtidos a partir de sensores embarcados em satélites de sensoriamento remoto, os quais

contém bandas espectrais projetadas especificamente para fins de pesquisa oceanográfica.

Tais modelos baseiam-se na teoria conhecida como “ocean-color”, ou cor da água que,

basicamente, busca estabelecer uma relação entre a concentração de clorofila, com radiâncias

emergentes L w , em comprimentos de onda relativos à PAR. E esta relação se dá

por meio da razão entre as radiâncias de bandas centradas em diferentes comprimentos de

onda.

Exemplificando, o sensor orbital CZCS (“Coastal Zone Color Scanner”), que esteve em

operação de 1978 a 1986, possuía quatro bandas centradas em λ 1 =443nm, λ 2 =520nm,

λ 3 =550nm e em λ 4 =670nm. Portanto, a primeira banda localizada na faixa do azul, a

segunda e terceira bandas na faixa da cor verde, enquanto que a quarta banda na faixa do

vermelho.

Para boa parte das águas em alto mar, observou-se que os valores de concentração de

clorofila variavam a uma taxa logarítmica aproximadamente linear, com a razão entre radiância

L w de duas bandas do sensor. Ou seja, fazendo R(1,3)=L w (λ 1 =443)/L w (λ 3 =550),

a razão entre as radiâncias medidas nas bandas centradas nos comprimentos de onda do

73


azul e do verde do sensor CZCS, têm-se que

logC = a 0 + a 1 logR(1, 3), (3.19)

onde os coeficientes a 0 e a 1 são encontrados através de ajuste por mínimos quadrados.

No entanto, esta modelagem é uma simplificação distante da realidade, devido a implicações

como a influência da atmosférica na medição de radiância, por exemplo. Novos

e mais complexos modelos empíricos foram então propostos, principalmente para se trabalhar

com dados do sensor SeaWiFS (“Sea-viewing Wide Field-of-view Sensor”), colocado

em órbita em 1997. Este sensor conta com seis bandas espectrais, centradas em

λ 1 =413nm, λ 2 =443nm , λ 3 =490nm, λ 4 =510nm, λ 5 =555nm e em λ 6 =670nm, com largura

de 20nm cada.

Os modelos desenvolvidos para este sensor, trabalham não com razão de radiância diretamente,

mas com a razão da reflectância espectral de sensoriamento remoto R rs (µ, ϕ; λ),

definida na Equação (2.95) do Capítulo 2.

O sensor SeaWiFS trabalha de fato com a radiância normalizada nL w , na qual se anulam

os efeitos da variação do ângulo zenital de elevação solar (GORDON; CLARK, 1981). Deste

modo, a reflectância R rs (µ, ϕ; λ) é expressa por

R rs (µ, ϕ; λ) = nL w(λ)

¯F 0 (λ)

[sr −1 ], (3.20)

onde a grandeza ¯F 0 (λ) é o fluxo solar médio logo acima do topo da atmosfera terrestre

(NECKEL; LABS, 1984), cujos valores para o sensor SeaWiFS são dados pela Tabela 1, extraídos

de O’Reilly et al. (1998). Portanto, as seis bandas espectrais do SeaWiFS são então

representadas respectivamente, por Rrs412, Rrs443, Rrs490, Rrs510, Rrs555 e Rrs670.

Um dos modelos empíricos mais utilizados é o Ocean Chlorophyll 2 (OC2) (O’REILLY et

al., 1998), onde os dados são ajustados a um polinômio cúbico modificado, sendo então a

concentração de clorofila é dada por

C = 10ˆ(a 0 − a 1 R + a 2 R 2 − a 3 R 3 ) − a 4 [mg · m −3 ], (3.21)

com R = log 10 (Rrs490/Rrs555). Os coeficientes da Equação (3.21) vão depender do

tamanho e da distribuição geográfica dos dados coletados em campo, para se fazer o

74


TABELA 3.1 - Valores do fluxo solar médio logo acima do topo da atmosfera terrestre.

FONTE: Adaptada de O’Reilly et al. (1998).

Centro de ¯F0 (λ)

banda [nm] [W · m −2 · nm −1 ]

412 1.708

443 1.894

490 1.937

510 1.884

555 1.854

670 1.534

ajuste estatístico. A versão 4 do modelo (OC2v4), em operação atualmente, tem como

coeficientes a 0 =0.319, a 1 =2.336, a 2 =0.879, a 3 =0.135 e a 4 =0.071 (O’REILLY et al., 2000).

Sem dúvida, o emprego de dados de satélites oceanográficos, junto com o respectivo

desenvolvimento de modelos para estimativa de concentração de clorofila, significa um

grande avanço na pesquisa em bio-ótica marinha. Possibilitou o monitoramento periódico

para grandes áreas no oceano.

Entretanto, a grande limitação do uso de dados obtidos a partir de satélites, se deve a falta

de informação da estrutura vertical da concentração de clorofila - C(z) (PLATT; SATHYEN-

DRANATH, 1988). Para situações onde a concentração de clorofila é aproximadamente

uniforme com a profundidade, esta abordagem é válida.

Mas em grande parte das vezes é muito comum deparar-se com perfis verticais de C(z)

que apresentam um pico de máxima concentração, que se assemelham a uma curva gaussiana

(LEWIS et al., 1983). Perfis tais como o mostrado na Figura 3.4, estimado através

de medição contínua realizada por um sensor de fluorescência natural (“Profiling Natural

Fluorometer”-PNF), durante cruzeiro oceanográfico realizado na costa sudeste do Brasil

(SOUTO et al., 2005), no outono de 2003.

A presença na água de diferentes quantidades de fitoplâncton, ou de matéria orgânica dissolvida,

ou de material particulado inorgânico conferem características próprias ao meio,

resultando em perfis espectrais verticais em profundidade de coeficientes de absorção

a(z, λ) e de espalhamento b(z, λ), que podem ser interpretados como uma “assinatura”

dessas condições em um determinado momento 1 .

1 Infelizmente este raciocínio não pode ser estendido para o respectivo comportamento radiométrico do

75


0

−5

−10

Profundidade z (m)

−15

−20

−25

−30

−35

−40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

C (mg/m 3 )

FIGURA 3.4 - Perfil estimado de concentração de clorofila obtido em campo

por um sensor de fluorescência natural.

Dado que na equação íntegro-diferencial da ETR (Equação 2.24), a(z, λ) e b(z, λ) aparecem

indiretamente no formato de albedo de espalhamento simples ϖ 0 , os valores dos

mesmos estão acoplados e, por consequência, não podem ser estimados separadamente.

Entretanto, Mobley (1994) apresenta modelos bio-ópticos onde os coeficientes de absorção

e de espalhamento podem ser aproximados pelas Eqs. (3.22) e (3.23), desenvolvidas

respectivamente por Morel (1991) e Gordon e Morel (1983).

a(z, λ) = [ a w λ + 0.06 a c λ C 0.65 (z) ] [ 1 + 0.2 e −0.014(λ−440)] (3.22)

e

( ) 550

b(z, λ) = 0.30 C 0.62 (z), (3.23)

λ

onde a w λ é o coeficiente de absorção da água pura, enquanto ac λ é um coeficiente de absorção

adimensional específico de clorofila e C(z) é a concentração de clorofila, em mg m −3 .

meio, visto que, por ser um problema mal-posto, não é garantida a unicidade da solução. Ou seja, perfis

de a(z, λ) e de b(z, λ) diferentes desta “assinatura”, não necessariamente resultam em valores de radiância

muito diferentes.

76


Os valores de a w λ e ac λ são fornecidos para diferentes comprimentos de onda, conforme Tabela

3.2.

TABELA 3.2 - Coeficientes de absorção da água pura a w λ

e de absorção adimensional específico

de clorofila a c λ

, para dez comprimentos de onda.

FONTE: adaptada de Mobley (1994).

λ [nm] a w λ

a c λ

410 0.017 0.828

520 0.048 0.528

580 0.108 0.291

590 0.157 0.282

600 0.245 0.236

610 0.290 0.252

640 0.330 0.334

660 0.410 0.441

680 0.450 0.502

700 0.650 0.215

Portanto, o problema original de estimação dos coeficientes de absorção e de espalhamento,

converte-se na estimação do perfil vertical de concentração de clorofila. Em um

cenário onde o domínio é dividido em nove regiões (R = 9), tem-se então que estimar o

perfil discretizado em dez profundidades (N z = 10) profundidades:

C = [C(z 1 ) C(z 2 ) C(z 3 ) . . . C(z Nz )] T

= [C 1 C 2 C 3 . . . C Nz ] T

(3.24)

= [C 0 C 1 C 2 . . . C R ] T

Esses modelos bio-ópticos são válidos somente quando se tratam de águas naturais classificadas

como do Caso 1, que são aquelas onde a concentração de fitoplâncton é predominante

com relação aos demais constituintes, tais como partículas inorgânicas e matéria

orgânica dissolvida (MOREL; PRIEUR, 1977). Embora esta situação possa ser tipicamente

associada a águas de alto mar, normalmente muito claras (oligotróficas), pode ocorrer

também em águas muito turvas (eutróficas) (MOBLEY, 1994).

Por outro lado, águas do Caso 2, são entendidas como sendo aquelas onde a atenuação

da luz é dominada pela presença partículas inorgânicas ou de matéria orgânica dissolvida.

77


Neste trabalho os esforços foram no sentido de se resolver um problema de recuperação

de perfil vertical de concentração de clorofila em águas do Caso 1.

Baseado na premissa de haver um pico de máxima concentração de clorofila, Platt et al.

(1988) propuseram um modelo geral de representação de perfis de biomassa fotossinteticamente

ativa. Em águas naturais de alto mar, esta biomassa é representada predominantemente

pela presença de organismos que contém clorofila (plâncton). Portanto, neste

caso em particular, o modelo de perfil de biomassa expressa o perfil de concentração de

clorofila:

C(z) = C bg +

h

σ √ 2 π e− 1 2( z−zmax

σ ) 2 (3.25)

onde C bg é o valor mínimo de concentração, ou valor de “background”, z max é a profundidade

onde se localiza o máximo de concentração, σ fornece a largura da região de

pico de concentração, e h determina o total de biomassa acima do “background”. Estes

parâmetros devem ser determinados a partir de um ajuste de freqüentes medições feitas

em campo, os quais variam de acordo com a localização e época do ano. Adotou-se neste

trabalho os valores destes parâmetros que melhor representam a concentração de clorofila

no Mar Céltico, para o mês de maio (PLATT; SATHYENDRANATH, 1988)

C bg

h

σ

= 0.2 mg m −3

= 144.0 mg m −2

= 9.0 m

z max = 17.0 m,

(3.26)

donde se obtém a curva mostrada na Figura 3.5, já discretizada com dez profundidades

diferentes (N z = 10), para um domínio não-homogêneo contendo nove regiões (R = 9).

Para este perfil modelado, ao se utilizar os modelos biópticos dados pelas Eqs. (3.22) e

(3.23), para dez diferentes comprimento de onda, obtém-se então os gráficos dos valores

de coeficientes de abosorção e de espalhamento mostrados na Figura 3.6.

A recuperação dos valores discretos deste perfil vertical da concentração de clorofila, é

obtida através do uso das técnicas de resolução de problemas inversos descritas neste

capítulo. Duas diferentes formulações da função objetivo são empregadas. Na primeira,

considera-se que se tenham disponíveis dados experimentais de radiância em cada profundidade

τ r onde se queira estimar o valor de C r , com r = 0, 1, . . . , R. Neste caso, a

78


0

−5

−10

profundidade z (m)

−15

−20

−25

−30

−35

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8

C (mg/m 3 )

FIGURA 3.5 - Curva gaussiana que modela um perfil de concentração de clorofila.

a λ

(z) [m −1 ]

b λ

(z) [m −1 ]

0.7

1.4

0.6

1.2

0.5

1

0.4

0.8

0.3

0.6

0.2

0.4

0.1

0.2

0

700

660

610

580

λ [nm]

520

410

−40 −36 −31 −27 −22 −18 −13 −9 −4 0

z [m]

0

700

660

610

580

λ [nm]

520

410

−40 −36 −31 −27 −22 −18 −13 −9 −4 0

z [m]

( a ) ( b )

FIGURA 3.6 - Coeficientes de absorção (a) e de espalhamento (b) obtidos com os modelos bioópticos

apresentados nas Eqs. (3.22) e (3.23), para C mostrado na Figura 3.5 em

dez comprimentos de onda λ da Tabela 3.2.

79


função objetivo J(C) é expressa pela Equação (3.27)

J(C) =

N

∑ µ

i=1

R∑

[L exp (τ r , µ i ) − L C (τ r , µ i )] 2 + γ Γ(C), (3.27)

r=0

onde L C (τ r , µ i ), dada uma solução candidata C, é o valor da radiância obtido pela resolução

do problema direto de transferência radiativa, na profundidade τ r e direção polar

µ i , com i = 1, 2, ..., N µ . Foi empregada função de regularização Γ(C) de Tikhonov de 2 a

ordem (Equação 3.28), ponderada por um parâmetro de regularização γ, definida como:

Γ(C) =

∑R−2

(C r − 2C r+1 + C r+2 ) 2 (3.28)

r=0

Numa segunda formulação, no caso de ausência de informação de radiância em profundidade,

são utilizados dados experimentais de radiância multiespectral na superfície

L exp (τ 0 , −µ i , λ j ), para j = 1, 2, ..., N λ . Esta abordagem só se torna possível, graças ao

emprego dos modelos bio-ópticos fornecidos pelas Eqs. (3.22) e (3.23). De fato, uma vez

que o domínio dos comprimentos de onda λ é conhecido, resta somente como incógnita

o perfil de concentração de clorofila, representado pelos valores R + 1 discretos de C.

Neste caso, a função objetivo J(C) é então expressa por

J(C) =

N

∑ µ/2

i=1

∑N λ

j=1

[L exp (τ 0 , −µ i , λ j ) − L C (τ 0 , −µ i , λ j )] 2 + γ Γ(C). (3.29)

3.4 Método de otimização “Ant Colony Optimization” - ACO

Uma vez que o problema inverso de recuperação de propriedades óticas inerentes da água,

considerado neste trabalho, é não-linear, deve ser resolvido a partir de uma formulação

implícita, iterativamente, por meio de algum método de otimização.

Estes métodos são dividos basicamente em dois grupos: os determinísticos e os estocásticos.

Podem ser citados como exemplos mais conhecidos dos métodos determinísticos

o método de máxima descida, do gradiente conjugado, de Newton e de Levenberg-

Marquardt. Quanto aos estocáticos, situam-se nesta categoria, por exemplo, os algoritmos

genéticos, “Simulated Annealing” (SA) e “Ant Colony Optimization” (ACO).

Os métodos determinísticos têm uma taxa de convergência maior que os estocáticos, ou

80


seja, alcançam uma solução com menos iterações. No entanto, em boa parte das vezes,

dependendo da estimativa inicial x 0 , os métodos determinísticos tendem a convergir para

mínimos locais. Por sua vez, os métodos estocásticos são menos sensíveis ao chute inicial,

pois utilizam estratégias que tentam evitar ou superar esse problema, tendendo a levar a

solução a convergir para o mínimo global.

Todavia, para se alcançar um bom resultado, com um número não excessivo de iterações,

parâmetros específicos desses métodos estocásticos devem ser bem ajustados. E isso

demanda alguma experimentação, sendo feito muitas vezes empiricamente. Além disso,

tipicamente, parâmetros que se ajustam bem a um determinado problema, não necessariamente

garantem bom desempenho em outros

Neste trabalho, foi empregado o “Ant Colony Optimization” (ACO) (DORIGO et al., 1996),

um método estocático que emprega uma meta-heurística baseada no comportamento coletivo

de formigas, as quais tendem a escolher o melhor caminho entre o formigueiro e a

fonte de alimento. Cada formiga deposita durante a sua trajetória uma substância chamada

feromôneo. As formigas que vêm sucessivamente, se guiam pela atração que sentem por

esta substância. Um exemplo representativo deste comportamento é mostrado na Fig. 3.7.

O grupo de formigas se desloca do ponto A para o ponto E (a) quando, repentinamente,

um obstáculo é introduzido bloqueando o trajeto (b). Então, dois novos caminhos podem

ser escolhidos, para a esquerda do obstáculo (ponto H) ou para a direita (ponto C). Como

num primeiro instante, o número de formigas que escolhem os dois caminhos é o mesmo,

a concentração de feromôneo será igual no caminhos. No entanto, como o trajeto formato

pelos pontos BCD é mais curto que o formado pelos pontos BHD, a concentração de

feromôneo será maior no primeiro trajeto. Portanto, nos instantes seguintes, as formigas

tenderão a seguir por este caminho mais curto (c).

O método ACO foi desenvolvido baseado na heurística inspirada neste comportamento

das formigas Dorigo et al. (1996) para a resolução do problema do caixeiro viajante

(“Travelling Salesman Problem”- TSP), que constitui um problema clássico em otimização

combinatória, e consiste em se visitar todas as cidades de uma região, passando uma

única vez em cada uma até retornar à cidade de origem, percorrendo o itinerário mais

curto dentre todos os possíveis.

No algoritmo ACO, cada formiga é associada a uma solução candidata. No problema

TSP, cada solução constitui um itinerário possível, sendo tipicamente a distância utili-

81


FIGURA 3.7 - Formigas contornando obstáculo na trilha, em busca de alimento.

FONTE: adaptada de Dorigo et al. (1996).

zada para avaliá-la. Inicialmente, cada caminho possível (itineário do TSP) recebe uma

concentração inicial T 0 de feromôneo. Sucessivas gerações de na formigas são criadas,

com o objetivo de escolher a melhor formiga de cada geração, que corresponde à solução

melhor avaliada. O caminho correspondente a essa melhor formiga recebe um incremento

especificado de feromôneo. Ao cabo de cada iteração/geração, as concentrações de feromôneo

de todos os caminhos são igualmente decrementadas pelo que corresponde a

uma taxa de evaporação ρ. O algoritmo pára, por exemplo, quando é atingido um número

fixo de iterações e assume-se a última solução como sendo a ótima.

Esta é uma descrição genérica do ACO usado. Há inúmeras variações possíveis. Ainda

considerando o TSP, este algoritmo será melhor descrito a seguir. Assume-se no TSP que

exista um único caminho possível entre cada par de cidades.

Em cada uma das n cidades cidades, a formiga tem um número n prox de opções de

próximas cidades, sendo descartadas as cidades já visitadas pela mesma. Obviamente,

n prox decresce a cada cidade visitada pela formiga. Define-se uma matriz de dimensão

n cidades × n cidades correspondente à concentração de feromôneo dos caminhos que ligam

cada par de cidades (ij), a qual é representada por T ij (t), onde t denota a iteração e

T ij (0) = T 0 .

A concentração T 0 é calculada conforme sugerido por Bonabeau et al. (1999), usando

uma avaliação do custo Q da solução obtida por meio de uma heurística gulosa (“greedy

heuristic”), no caso a heurística do vizinho mais próximo, a qual permite obter facilmente

82


uma solução possível, mas que dificilmente se aproximaria da solução ótima. Esta concentração

T 0 é definida como:

T 0 = 1/(n cidades · Q). (3.30)

Uma regra de decisão é adotada para que formiga que esteja numa cidade i escolha a

próxima cidade j, definindo um caminho (i, j) a ser percorrido. No ACO esta regra utiliza,

para cada formiga, uma matriz de probabilidades:


[T ij (t)] α [ν ij ] β

∑ ⎪⎨

l

P ij (t) =

{[T il(t)] α [ν il ] β }


se j ∈ N l ⎪⎬

(3.31)

⎪⎩

⎪⎭

0 caso contrário,

onde l ∈ N l , sendo N l o conjunto das cidades ainda não visitadas pela formiga. T ij é a

concentração de feromôneo e ν ij é a visibilidade/custo do caminho (i, j), que depende da

distância associada e pode incluir outros custos. Os expoentes α e β estabelecem, para

cada caminho possível, uma ponderação entre a influência da concentração de feromôneo

e da visibilidade.

Definida a matriz P ij (t) na iteração correspondente, cada formiga é então gerada por

um esquema de roleta inspirado num algoritmo ACO apresentado em (DORIGO; STüTZLE,

2004). Nesse esquema, um número aleatório r 0 ∈ (0, 1) é gerado e comparado com um

parâmetro q 0 ∈ (0, 1), definido pelo usuário e denominado aqui parâmetro de decisão.

Caso r 0 > q 0 , escolhe-se o caminho com maior probabilidade P ij (t). Caso contrário, será

escolhido o caminho (i, j selec cuja probabilidade cumulativa ultrapasse o valor de r 0 , ou

seja,

(

jselec


j=1

P ij

)

> r 0 (3.32)

Ao fim de cada iteração, todas as formigas são avaliadas, de forma a se escolher aquela

correspondente ao itinerário de menor custo total. Além disso, cada caminho sofre um

decaimento da concentração de feromôneo expressa pela taxa de evaporação ρ:

T ij (t + 1) = (1 − ρ)T ij (t). (3.33)

Denotando-se por {i, j} min o conjunto de caminhos associados ao itinerário da formiga

83


melhor avaliada, o incremento da concentração de feromôneo, adotado também com

sendo T 0 , desses caminhos é dado, para cada caminho do conjunto {i, j} min por:

T {ij}min (t + 1) = T {ij}min (t + 1) + T 0 (3.34)

O problema do caixeiro viajante pode ser representado por meio de um grafo, onde os nós

(vértices) representam as cidades, e os caminhos podem ser associados com as arestas que

interligam os nós.

O ACO tem se mostrado capaz de resolver diversos outros problemas discretos em otimização

combinatória, como o Problema de Atribuição Quadrática (“Quadratic Assignment

Problem” - QAP), empregado para otimizar a localização de indústrias, lojas ou torres de

telefonia celular. São casos onde se deseja um menor custo com logística de transporte,

ou atingir/servir a maior quantidade do público alvo (clientes ou potenciais clientes), com

o mínimo número de filiais ou torres, por exemplo.

Fazendo algumas adaptações na sua formulação, o método ACO também se aplica a problemas

de otimização contínua, tais como a resolução de problemas inversos através de

uma abordagem implícita.

Analogamente, no caso de um problema de otimização real, cada formiga é associada a

uma solução possível, sendo criadas na formigas a cada geração/iteração. Cada formiga

é composta por valores determinados das ns incógnitas, correspondentes a uma possível

solução. Num problema inverso, cada incógnita corresponde, tipicamente, a um parâmetro

a ser estimado.

Entretanto, o domínio contínuo de busca é igualmente discretizado para cada incógnita em

np valores possíveis. Poderia ser adotada, se necessário, uma discretização diferente para

cada incógnita. Neste escopo, a geração de cada formiga não implica na escolha de uma

sucessão de caminhos, mas sim na escolha de um conjunto de ns valores que compõem

a solução a ela associada. Assim, não é possível atribuir uma visibilidade/custo para a

escolha do valor de cada uma das ns incógnitas, sendo então atribuído o valor 0 para β na

Equação 3.31. Também não há mais um equivalente à lista de cidades já visitadas. Assim,

esta equação pode ser reescrita como abaixo:

P ij (t) =

∑ T ij(t)

np

l=1 T , para i = 1, 2, . . . , ns − 1 (3.35)

il(t)

84


O esquema de roleta é mantido, mas além da matriz T ij (t), comum a todas as formigas,

há agora necessidade de uma única matriz de probabilidades P ij (t), e não mais uma para

cada formiga como no caso do TSP. Consequentemente, essa matriz de probabilidades,

comum a todas as formigas, nada mais é que a matriz de feromônio T ij (t) normalizada,

de forma que a soma dos elementos de cada linha seja unitária. Outra peculiaridade no

problema de otimização real é que cada linha dessas matrizes está associada a uma incógnita,

enquanto cada coluna, a um valor discreto possível das incógnitas. Assim, ao fim de

cada iteração/geração, o aumento da concentração de feromônio correspondente à melhor

solução se dá, para cada linha i da matriz de feromônio, na coluna j min correspondente

ao valor discreto da incógnita i desta solução.

Particularmente, neste trabalho, se deseja encontrar um perfil de vertical discreto C, de

concentração de clorofila para, indiretamente, recuperar perfis de propriedades óticas inerentes.

O domínio na variável espacial z, anteriormente mostrado na Fig. 3.5, é discretizado em

nove regiões, devendo a concentração de clorofila ser estimada em dez diferentes profundidades

discretas: na superfície (z 0 ) e no fundo (z 9 ), e nas fronteiras entre as regiões

(z 1 , z 2 , z 3 , . . . , z 8 ). Em cada profundidade, os valores de busca de C, estão restritos a

C min < C r < C max , com r = 0, 1, . . . , 9.

A Fig. 3.8 mostra esquematicamente três formigas da implementação de ACO associada a

este problema inverso. Cada barra horizontal representa os possíveis valores discretos da

concentração numa determinada profundidade, limitados por C min e C max . Cada formiga é

composta por um conjunto de valores da concentração nessas dez profundidades. A título

de ilustração, denotou-se a formiga/solução melhor avaliada em negrito.

3.4.1 ACO com pré-seleção das soluções candidatas

Em quase todos resultados apresentados neste trabalho, foi utilizada uma versão do método

ACO que incorpora um esquema de regularização implícita (PRETO et al., 2004;

SOUTO et al., 2004b), que prescinde da regularização convencional, isto é, têm-se que

γ = 0. Uma vez que, de antemão, sabe-se que o perfil da solução deve ser suave, tal informação

é utilizada já na geração das soluções candidatas, por meio de uma seleção prévia

das formigas mais suaves, antes mesmo da avaliação pela função objetivo. O critério de

Tikhonov de 2 a ordem escolhido para selecionar as soluções em função de sua suavidade.

O esquema de pré-seleção gera uma quantidade na de formigas a cada iteração, cada uma

85


C min

C max

z 0

z 1

z

2

z 3

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

z

8

z

9

formiga 3 formiga 2 formiga 1

FIGURA 3.8 - Esquema mostrando três formigas procurando a solução de dez valores discretos.

FONTE: adaptada de Souto et al. (2005).

associada a uma possível solução. Destas, uma fração determinada, composta por na p

formigas é pré-selecionada pelo critério de suavidade. Introduz-se assim um novo parâmetro

(na p ) ao ACO. Para evitar uma espécie de elitismo, essa seleção foi implementada

de forma a escolher uma formiga a cada conjunto de na/na p formigas geradas. A título

de exemplo, caso sejam geradas 90 formigas a cada iteração e devam ser selecionadas 15

formigas, geram-se 6 formigas (90/15), das quais escolhe-se a mais suave.

Na Tabela 3.3 são mostrados os parâmetros de ACO usados para resolver o problema

inverso proposto. A implementação do método ACO segue o descrito nos algoritmos

3.3.4.1, 3.3.4.1 e 3.3.4.1.

86


TABELA 3.3 - Parâmetros do método ACO para resolução do problema inverso.

Parâmetro

mit

na

na p

ns

np

T 0

ρ

q 0

Significado

número máximo de gerações/iterações

número de formigas em cada geração

número de formigas pré-selecionadas em cada geração

quantidade de parâmetros do problema direto estimados

nível de discretização usado para mapear

o domínio contínuo do problema direto

concentração de feromôneo depositada

taxa de decaimento/evaporação

parâmetro de decisão

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Algoritmo 3.2: ACO com pré-seleção implementado neste trabalho

begin

lê parametros do ACO (mit, na, na p , ns, np, ρ, q 0 )

gera solução inicial - Q = J (C(0)), com C(0) = [1, 1, 1, . . . , 1] T

calcula concentraçao de feromôneo que é depositada - T 0 = 1/(ns · Q)

Inicializa matriz de feromôneo - T ij (0) = T 0

/* laço das iterações/gerações */

for t = 1 até mit do

gera na p formigas - Algoritmo 3.3.4.1

/* laço da avaliação das formigas */

for k = 1 até na p do

avalia custo J(C k ) (Equação 3.27 ou Equação 3.29)

end

seleciona melhor formiga C min , com custo J min = J(C min )

/* decrementa uniformemente concentração de feromônio

calcula T ij (t + 1) = (1 − ρ)T ij (t)

/* melhor formiga incrementa concentração de feromônio

14

15

16

17

calcula T ijmin (t + 1) = T ijmin (t + 1) + T 0

/* atualiza probabilidades pela normalização de T ij (t + 1)

calcula P ij (t + 1)

end

/* retorna melhor formiga da última iteração*/

return C opt = C min (mit)

end

87


Algoritmo 3.3: Esquema de pré-seleção para o ACO.

1

2

3

4

5

6

7

begin

for ii=1 até na p do

/* gera conjuntos de na/na p formigas */

for jj=1 até na/na p do

gera formiga C jj - Algoritmo 3.3.4.1

avalia suavidade de C jj (Tikhonov 2 a ordem)

end

8

9

10

11

end

escolhe formiga mais suave C ii

/* retorna conjunto de na p formigas pré-selecionadas */

return conjunto {C ii }

end

Algoritmo 3.4: Criação de uma nova formiga.

1

2

3

4

5

6

7

8

begin

/* gera nova formiga usando um esquema de roleta e com base na

matriz de probabilidades P ij do ACO (Equação 3.35) */

for i = 1 até ns do

gera número aleatório r 0 ∈ (0, 1)

/* esquema de roleta que usa parametro de decisão q 0 * /

if r 0 < q 0 then

escolhe x tal que P ix = max(P ij )

else

( ∑x

escolhe x tal que

j=1 P ij > r 0

)

9

end

10

11

atribui o valor discreto que corresponde a x, onde C i < C max

12

13

14

C i = (x/np) · C max

end

/* retorna nova formiga gerada */

return C

end

88


CAPÍTULO 4

RECONSTRUÇÕES EFETUADAS E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

A apresentação dos resultados de estimativas de concentração de clorofila, está organizada

em ordem crescente da complexidade do problema direto. Parte-se da suposição de que

quanto mais complexo o problema direto, maior a dificuldade em serem obtidas essas

estimativas. E o grau de complexidade está relacionado a fatores tais como existência ou

não de simetria azimutal dos dados de radiância, se a estimativa é feita a partir de dados

de radiância medidos dentro do corpo d’água, em diferentes profundidades ou somente

com a informação da radiância espectral coletada logo acima da superfície, e também o

nível de ruído dos dados.

Deste ponto de vista, considera-se o caso de menor complexidade aquele para os dados

de radiância com simetria azimutal (N F = 0), obtidos em várias profundidades, não

contendo qualquer tipo de ruído. Analogamente, dados ruidosos de radiância medidos

somente logo acima da superfície, em diferentes comprimentos de onda e sem simetria

azimutal (N F > 0), são tidos como os mais complexos e, portanto, os de maior dificuldade

em se obter uma boa estimativa de concentração de clorofila. Na Tabela 4.1, estes e

outros problemas tratados neste trabalho são classificados com numeração variando de i

a viii, em ordem crescente de complexidade.

TABELA 4.1 - Problemas apresentados em ordem crescente de complexidade.

problema dado de simetria ruido

radiância azimutal

i in situ sim não

ii in situ sim sim

iii in situ não não

iv in situ não sim

v externos sim não

vi externos sim sim

vii externos não não

viii externos não sim

Conforme já visto no Capítulo 3, a estimativa do perfil vertical em profundidade de concentração

de clorofila, é entendido como a resolução de um problema inverso, formulado

de modo a ser resolvido de maneira implícita, utilizando o método estocástico de “Ant

89


Colony Optimization” (ACO) para minimizar a função objetivo.

Como em todo método estocástico de otimização, a escolha dos parâmetros de ACO tem

influência decisiva nos resultados obtidos, bem como no tempo total de processamento.

Logo, para cada caso foi necessário um ajuste desses parâmetros, tais como a taxa de

decaimento do feromôneo ρ, o nível de discretização do domínio contínuo dos valores

que compõem a solução, dado por np, e o número de formigas na em cada geração.

Deve-se fazer um balanço dos prós e contras de determinada escolha.

Se por um lado, por exemplo, ao reduzir-se o número de formigas ganha-se tempo de

processamento, por outro lado o resultado obtido terá uma qualidade inferior. Uma taxa

de decaimento menor, resulta na necessidade de mais iterações para se convergir a uma

solução, mas com a vantagem da mesma ser, em geral, de melhor qualidade.

As possíveis combinações dentre os parâmetros são inúmeras, e a escolha dos mesmos

se dá, no mais das vezes, de forma empírica, ajustando-os conforme os resultados vão

se apresentando, para o tipo de problema que se resolve. Portanto, para os problemas

descritos na Tabela 4.1), foram empregados valores de parâmetros do ACO diferentes.

O desempenho computacional igualmente ganhou atenção especial, visto que a resolução

do problema inverso demanda uma quantidade de processamento elevada, o que pode

resultar em tempo de execução demasiadamente grande, na ordem de dias. Isto se deve

sobretudo pela natureza estocástica do método de ACO.

Mas deve-se ressaltar também que cada chamada feita para resolver-se a ETR na função

objetivo, a fim de se avaliar uma solução, pode levar alguns minutos, dependendo da

ordem de assimetria azimutal. Quanto maior a assimetria, maior o tempo para se resolver

a ETR, pois o número de equações independentes em que a mesma é decomposta, a serem

resolvidas, é diretamente proporcional.

A fim de se reduzir o tempo de processamento, versões paralelas tanto do código do método

de otimização (ACO), quanto do método de resolução do problema inverso (LTS N ),

foram implementadas ao longo da tese. Na primeira Seção deste Capítulo, é feita uma

introdução sobre processamento paralelo contendo seus principais conceitos e propriedades.

Logo a seguir, nas seções seguintes são apresentados os resultados alcançados para se

estimar perfil vertical concentração de clorofila. Eventuais medidas que tiveram de ser

90


tomadas a fim de se obter uma melhora no resultado, tanto do ponto de vista da qualidade

da solução, quanto do desempenho computacional, são igualmente abordadas.

4.1 Considerações sobre processamento paralelo

Uma tendência atual na tentativa de aumento no desempenho de processamento está no

uso das máquinas paralelas. Duas classes de arquiteturas paralelas são consideradas geralmente:

máquinas de memória compartilhada e de memória distribuída.

Na primeira classe, a máquina paralela tem vários processadores que um único espaço

de endereçamento da memória, havendo restrição quanto à escalabilidade (aumento do

número de processadores). São comumente denominadas multiprocessadores e, na atualidade,

são relativamente comuns microcomputadores biprocessadas disponíveis comercialmente

no mercado (“off-the-shelf”), bem como processadores “dual core”, que atingem

um desempenho próximo de um processador comum (“single core”) equivalente, mas

ocupando menos espaço e consumindo menos energia elétrica, além de dissipar menos

calor, o que se traduz também em menor consumo de energia elétrica dadas as menores

necessidades de ar condicionado.

Na segunda classe, a máquina paralela é constituída pela interconexão de máquinas independentes,

denominadas nós, cada um com um espaço de enderecamento de memória

independente, podendo ser multiprocessado ou não. Nestas enquadram-se os populares

“clusters”, compostos de microcomputadores “off-the-shelf”, e quase sempre executando

o sistema operacional Linux. Estas máquinas, às vezes denominadas multicomputadores,

podem incluir redes de interconexão de largura de banda modesta, como a de padrão Fast

Ethernet (100 Mbits/s) ou relativamente alta, como a Gigabit Ethernet (1 Gbit/s), ambas

com custos acessíveis, em função dos comutadores (“switches”) disponíveis no mercado

e do cabeamento par trançado de cobre. Há redes mais rápidas e significativamente mais

caras, como por exemplo a Infiniband, que pode chegar a quase 10 Gbit/s.

Ainda neste caso, pode-se ter as chamadas MPP’s (“Massive Parallel Processors”), compostas

de centenas ou milhares de nós interconectados por redes de altíssima velocidade,

como é o caso dos supercomputadores atuais. Nestes, os processadores são escalares,

sendo que as máquinas paralelas com processadores vetoriais parecem estar cada vez menos

em voga.

Nas máquinas paralelas de memória compartilhada, podem haver alta latência de acesso à

memória devido à contenção do acesso desta por parte dos processadores. As arquiteturas

91


iprocessadas mais modernas tentam contornar esse problema por meio de arquiteturas

NUMA (“non-uniform memory access”), nas quais cada processador tem uma parte da

memória comum “mais próxima”, emulando uma espécie de memória local, embora a

mesma seja visível pelo outro processador e vice-versa.

Nas máquinas paralelas de memória distribuída, considerando-se a execução de um programa

paralelo, dependencias de dados armazenados em espaços de endereçamento distintos

demandam comunicação entre os nós, por meio da rede de interconexão. Para tal,

recorre-se a bibliotecas de comunicação por troca de mensagens, sendo que uma destas,

a biblioteca MPI (Message Passing Interface) (MPIFORUM, 1994) contitui atualmente um

padrão de facto.

A biblioteca MPI foi projetada para suportar o paradigma de programação de paralelismo

de dados, no qual cada processador executa o mesmo subconjunto das instruções em

sub-domínios diferentes dos dados. Entretanto, o MPI suporta esquemas do tipo mestreescravo,

em que um único processador pode, por exemplo, recolher resultados parciais

dos demais e difundir resultados globais.

É importante que se busque maximizar o tempo de processamento em relação ao tempo de

comunicação demandado pela paralelização. Esse tempo pode-se referir à comunicação

via rede de interconexão de um “cluster” ou ao tempo de acesso à memória via barramentos

internos, no caso de uma máquina multiprocessada, o qual reflete a contenção pelo

acesso à memória.

Neste escopo, define-se granularidade, como sendo a razão entre processamento e comunicação,

desejando-se sempre uma granularidade dita grossa, que equivale à distribuição

de grandes tarefas independentes (sem dependêcias de dados) entre os processadores. Outro

ponto relevante no desempenho de um programa paralelo é a distribuição eficiente das

tarefas entre processadores, visando um bom balanceamento de carga entre os mesmos.

4.1.1 Métricas de avaliação de desempenho paralelo

O desempenho dos computadores existentes, paralelos ou não, é avaliado por “benchmarks”

específicos. Mas é importante poder se avaliar o desempenho obtido na execução

de um programa paralelo. Este pode ser obtido a partir de um algoritmo sequencial que é

paralelizado, ou mesmo desenvolvido de um algoritmo paralelo, diferente do sequencial.

Duas métricas são bastante comuns, o “speed up” e a eficiência.

92


O “speed-up” é definido como a razão entre os tempos de execução seqüencial e paralelo,

para um dado número de processadores p, conforme a Equação (4.1).

S(p) =

t seq

t par (p) , (4.1)

onde t seq = tempo sequencial, referente à execução em um único processador e t par (p)

= tempo paralelo, referente à execução com p processadores, idênticos ao da máquina

sequencial.

Considerando um código cuja fração r seja perfeitamente paralelizável, ou seja, o tempo

de processamento paralelo corresponde exatamente ao tempo de execução sequencial dividido

pelo número de processadores p, o que implica em tempos de comunicação desprezíveis,

pode-se expressar o speed-up por

S(p) =

t seq

(1 − r)t seq + rt seq

p

=

1

(1 − r) + r p

. (4.2)

No limite, para um número de processadores tendendo a infinito

p → ∞ tem-se S(p) → 1

1 − r , (4.3)

ou seja, o “speed up” é limitado superiormente por essa razão, a qual depende da fração

de código não paralelizável. Esta afirmativa constitui a Lei de Amdahl (PACHECO, 1996).

Observa-se, a partir da Equação 4.2, que programas que são intrinsicamente paralelos

(r ≈ 1), devido a praticamente não apresentarem dependências de dados, tem “speed

ups” iguais ou muito próximos de p, ditos lineares, pois a curva do “speed up” em função

do número de processadores é uma reta (S(2) = 2, S(4) = 4, etc.). Nesse caso, a curva

do tempo de processamento em função do número de processadores é dada por t par (p) =

t seq /p.

A eficiência E(p) é definida como a razão do “speed up” pelo número de processadores.

Para um speed-up linear, têm-se a eficiência ideal, igual a 1. Entretanto, este caso nem

sempre ocorre, visto que as penalidades de comunicação entre os processadores causam

eficiências menores que a ideal.

E(p) = S(p)

p . (4.4)

93


4.1.2 Estratégias de paralelização

Tanto o método ACO, quanto o método LTS N tiveram seus códigos sequenciais paralelizados

ao longo da tese. Em ambos casos foi possível encontrar uma estratégia de paralelização

trivial, ou seja, foi possível identificar tarefas independentes com granularidade

grossa e praticamente nenhuma dependência de dados entre processadores, e assim obter

“speed ups” próximos ao linear. Dado o limitado número de processadores disponível,

optou-se por paralelizar apenas o ACO e não o LTS N .

Especificamente com relação ao LTS N , um estudo preliminar abordou as estratégias possíveis

(SOUTO et al., 2003). O método, como foi visto na Equação 2.55, discretiza os ângulos

de direção polar e azimutal em N e (N F + 1) valores, respectivamente, para R regiões

homogêneas.

Uma primeira análise pode considerar a paralelização baseada na distribuição destas quantidades

entre os processadores:

• N ângulos polares

• N g + 1 ângulos azimutais

• R regiões

• uma combinação dos itens acima

Os ângulos polares são fortemente acoplados, como se observa na Equação (2.55), onde

têm-se que µ j ≠ µ i , nos somatórios, o que torna esta opção de paralelização inviável.

Por outro lado, os modos azimutais (m = 0, 1, 2, · · · , N F ) são totalmente independentes,

fazendo desta a opção adotada, onde modos diferentes podem ser atribuídos a processadores

diferentes com um mínimo custo de comunicação entre eles. Obviamente isso não é

possível nos casos de radiância com simetria azimutal (N F = 0). Na terceira opção, a condição

de continuidade entre regiões adjacentes (Equação 2.84), força que as regiões sejam

processadas em sequência, uma após a outra. A última opção seria também inviável, pois

uma combinação destas opções acabaria sofrendo as limitações descritas acima.

Com relação ao método de otimização ACO, a estratégia trivial é a paralelização da avaliação

das formigas de cada geração/iteração. Assim, o conjunto de formigas a ser avaliado

é distribuído equitativamente entre os processadores, considerando-se que o número de

formigas seja múltiplo do número de processadores. Cada processador resolve o LTS N

94


para cada formiga de seu subconjunto de formigas. Esta estratégia aplica-se ao laço correspondente

às linhas 8, 9 e 10 do algoritmo 3.2 3.4.1.

É interessante notar que, nos casos considerados o maior tempo de processamento é demandado

pela avaliação de cada solução candidata, ou seja, pelo LTS N . O esquema de

pré-seleção das formigas demanda um custo de processamento relativamente menor, pois

implica apenas na avaliação da norma-2 de Tikhonov e, além disso, não seria trivialmente

paralelizável, pois demandaria comunicação entre processadores.

Entretanto, a execução sequencial da pré-seleção afeta negativamente o "speed up"devido

à Lei de Amdahl. Conforme será discutido adiante, esta penalização é maior no caso com

simetria azimutal pois a fração de código sequencial (que inclui a pré-seleção) é maior

comparativamente ao caso sem simetria azimutal.

Apesar da opção de paralelizar o ACO, ou seja, distribuir a avaliação das formigas entre

processadores, testes comparativos realizados com N F = N g =173, discretização usada

em algumas reconstruções apresentadas, mostraram que o ganho de desempenho é equivalente

ao que seria obtido com a paralelização dos modos azimutais do LTS N .

Entretanto, conforme mencionado acima, seria possível, nos casos sem simetria azimutal,

distribuir a avaliação de formigas entre processadores, sendo que, para cada avaliação, os

modos azimutais do LTS N seriam distribuídos entre outros conjuntos de processadores.

Para isto, seria necessária uma MPP.

Os programas associados ao presente trabalho foram paralelizados pela inclusão de chamadas

a rotinas da biblioteca de comunicação MPI e executados em uma máquina paralela

de memória distribuída, um cluster de baixo custo, composto por 17 nós monoprocessados

interligados por uma rede padrão Fast Ethernet com um switch de 24 portas. Os processadores

são AMD 1,67 GHZ, de arquitetura IA32, escalares, e cada nó tem 1 GB de memória

principal. Pode-se afirmar que, apesar do cluster utilizado, a paralelização tornou viável

a execução dos casos de testes apresentados, possibilitando um ciclo de experimentação

numérica possível de ser realizado em poucas horas.

Caso contrário, seria ainda possível executar cada reconstrução independentemente num

nó monoprocessado diferente, mas isso demandaria dias para cada uma. Este esquema é

relativamente adequado para a execução de programas que demandam menor tempo de

processamento, não estão paralelizados (ou não podem ser paralelizados) e que diferem

entre si apenas por utilizarem dados de entrada diferentes. Assim, utiliza-se cada nó do

95


cluster como se fosse uma máquina sequencial independente.

4.2 Estimação com dados in situ

Esta é a primeria classe de problemas que foram resolvidos, onde os dados de radiância

são disponibilizados nas profundidades onde se quer recuperar a concentração de clorofila.

São apresentados resultados os perfis obtidos por meio de radiâncias com simetria e

sem simetria azimutal, sem e com ruído.

4.2.1 Radiância com simetria azimutal

Na suposição de ausência de ruído, este pode ser considerado como o problema de mais

fácil resolução. Isto se deve a pouca complexidade de formulação do mesmo e também a

alta quantidade de informação de boa qualidade disponível. Para estimar a concentração

de clorofila em dez profundidades, dispõem-se de valores de radiância em 20 direções

polares para cada profundidade, totalizando 200 medidas observacionais de radiância.

Portanto, é de se esperar que um bom resultado de estimativa seja alcançado.

Para este problema, foi fixando em 500 o número de iterações (mit) do método ACO,

sendo utilizadas em cada uma noventa formigas (na = 90). O intervalo de busca de valores

discretos de concentração de clorofila C, para cada uma das dez (ns =10) profundidades,

varia de 1 até 3000 (np =3000). Entre uma iteração e outra, a concentração de

feromôneo decai numa taxa de 0.03 (ρ =0.03).

Ao longo do processo iterativo, a regra de decisão para escolher cada componente C i

da solução C, com i = 1, 2, . . . , ns, se dá sempre por meio de uma comparação entre

a probabilidade cumulativa dos primeiros np valores discretos que mapeiam o domínio

contínuo, com um número aletório r 0 gerado. A outra alternativa, de escolha do valor

discreto de maior probabilidade dentre todos os np valores, foi desabilitada no método

ACO (q 0 = 0.0).

Para fornecer sequência de números aleatórios r 0 a serem usados a longo das iterações,

foi empregada uma rotina de geração de números aleatórios uniformemente distribuído da

biblioteca numérica LAPACK (ANDERSON et al., 1999), denominada dlaran. Esta rotina

permite apenas valor ímpar como semente. Os parâmetros do ACO e as cinco sementes

utilizadas para obter-se um resultado médio, são mostrados na Tabela 4.2

Antes de se avaliar a solução discreta C encontrada por cada formiga, dividem-se seus

96


componentes por 3000 e depois os multiplicam pelo valor máximo de restrição admitida,

que neste problema será C max = 10.0 mg/m 3 . Esta operação equivale simplesmente a

dividir por 300 os valores de C, mapeando-se o domínio contínuo da concentração de

clorofila para cada uma das 10 profundidades mostradas na Tabela 4.3.

Os cinco perfis (soluções) alcançados para cada semente são mostrados em linha tracejada

na Figura 4.1. O perfil em linha contínua mais grossa, representa a média das cinco

soluções alcançadas.

A partir deste resultado, evidencia-se pelo menos uma contradição e também uma constatação.

A contradição diz respeito a suposta facilidade em se obter um bom resultado,

pelo fato de não haver ruído nos dados de radiância, e por ser um problema com simetria

azimutal.

Já a constatação, refere-se a influência da semente escolhida no resultado alcançado. De

fato, corre-se o risco de o método apresentar um resultado totalmente inconsistente, tal

como o obtido com semente igual a 33, que fugiu ao padrão dos demais resultados quase

que por completo, onde se observam alguns valores alcançando o limite C max . Tampouco

seria prudente se contar com a sorte de sempre obter um resultado como o perfil alcançado

com a semente 81, o mais próximo da solução exata. Portanto, é aconselhável adotar como

resultado do método o perfil médio de diferentes sementes.

TABELA 4.2 - Parâmetros usados na meta-heurística ACO.

sementes ns np na mit ρ q 0

{17,33,55,81,99} 10 3000 90 500 0.03 0.0

TABELA 4.3 - Concentração de clorofila em dez profundidades.

z[m] C [ mg/m 3]

0 1.2722

-4 2.6122

-9 4.4526

-13 6.0747

-18 6.5593

-22 5.5941

-27 3.7853

-31 2.0673

-36 0.9621

-40 0.4437

97


0

−4

−9

EXATO

SOLUCAO MEDIA

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

FIGURA 4.1 - Estimativa do perfil vertical de concentração de clorofila, para o problema i da

Tabela 4.1. Foram usadas 90 formigas em 500 iterações, para cinco sementes

diferentes.

Excetuando-se o melhor perfil obtido, os restantes apresentaram resultados ruins a partir

do quinto valor discreto de profundidade. Este padrão de comportamento é devido aos

valores de radiância relativamente baixos que ocorrem a partir desta profundidade, quando

comparados com aqueles medidos mais próximos à superfície. Na Figura 4.2 estes valores

de radiância são desenhados em função da profundidade e da direção polar positiva (a) e

negativa (b). Percebe-se um forte decaimento na intensidade de radiação com o aumento

da profundidade.

Como consequência, em profundidades abaixo de um determinado nível, a função objetivo

dada pela Equação (3.27) retornará valores que terão praticamente nenhuma influência

no cálculo final da mesma. Por este motivo que a estimativa do perfil vertical nesta

faixa de profundidade apresenta resultado pouco confiável.

4.2.1.1 Fator de ponderação de radiância em profundidade

A fim de reduzir o efeito desta característica inerente ao fenômeno, foi aplicado um novo

fator ponderador W r da intensidade de radiação em diferentes profundidades (SOUTO et

al., 2004b), relativo aos medidos na superfície (τ = 0).

Este fator é inspirado no trabalho de Tao et al. (1994), no qual, partindo-se da observação

de que a radiância decai exponencialmente com a profundidade, um fator é dado por


e

Z r, com Zr = z r /l, sendo z r a profundidade geométrica para r = 0, 1, . . . , R, e l um

fator de escala que deve ser ajustado aos dados de radiância.

98


L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

0.4

0.25

0.3

0.2

0.2

0.15

0.1

0.1

0.05

0

−0.0823

−0.2446

−0.4003

−0.5451

−0.675

−0.7864

−0.8765

−0.9983

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

0.9983 0

0.8765

0.7864

0.675

0.5451

0.4003

0.2446

0.0823

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

( a ) ( b )

FIGURA 4.2 - Gráficos que ilustram o forte decaimento dos valores de radiância com a profundidade,

para as direções polares negativas (a) e positivas (b).

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

0.4

0.25

0.3

0.2

0.2

0.15

0.1

0.1

0.05

0

−0.0823

−0.2446

−0.4003

−0.5451

−0.675

−0.7864

−0.8765

−0.9983

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

0.9983 0

0.8765

0.7864

0.675

0.5451

0.4003

0.2446

0.0823

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

( a ) ( b )

FIGURA 4.3 - Radiâncias da Figura 4.2 ponderadas por um fator de profundidade.

O fator W r proposto é dado pela razão entre a média das radiâncias L r e a média das radiâncias

na superfície L 0 nas direções polares µ, em cada profundidade r. Esta conta

é feita separadamente para as direções negativas (u, de “upward”) e positivas (d, de

“downward”). Para as profundidades em r = 0, 2, ..., R − 1, onde são consideradas as

99


direções polares negativas (i = 1, . . . , N µ /2), o fator ponderador W r é definido como:

W u r+1 = ( L u 1/L u r

) 2

onde L u r =

[ ] N

1 ∑ µ/2

L exp (τ r , µ i ) (4.5)

N µ /2

i=1

enquanto que para profundidade em r = 1, 2, ..., R, onde as direções polares positivas

(i = N µ /2 + 1, . . . , N µ ) são consideradas, têm-se que

W d r =

(

L d 1/L d r) 2

onde L d r =

[ ] N

1 ∑ µ

L exp (τ r , µ i ) (4.6)

N µ /2

i=i h

com i h = 1 + N µ /2.

Ao aplicar-se então W r sobre os valores de radiância mostrados na Figura 4.2, são obtidos

os gráficos da Figura 4.3, para as direções negativas (a) e positivas (b).

Nota-se que agora as radiâncias nas profundidades mais altas têm a mesma ordem de

magnitude daquelas observadas mais próximo à superfície, e a função objetivo dada pela

Equação (3.27), pode ser reescrita como

J(C) =

N

∑ µ/2

i=1

N

∑ µ

∑R−1

Wr+1 u [L exp (τ r , µ i ) − L C (τ r , µ i )] 2 +

r=0

R


i=i h r=1

W d r [L exp (τ r , µ i ) − L C (τ r , µ i )] 2 + γ Γ(C)

(4.7)

Ressalta-se que os valores da solução candidata L C (τ r , µ i ), dada pelo modelo direto na

Equação (4.7), são também corrigidos pelo fator ponderador. Logo, os valores de concentração

de clorofila correspondentes a estes níveis podem ser estimados com uma correção

muito superior àquela apresentada na Figura 4.1, conforme se observa através do resultado

alcançado, presente na Figura 4.4a. Mesmo quando se considera o perfil obtido de

cada semente em separado (Figura 4.4b), o resultado é bastante satisfatório.

4.2.1.2 Regularização intrínseca

Além da exatidão da solução, outro aspecto que deve ser levado em conta na resolução

do problema inverso ao se empregar abordagem implícita, diz respeito ao tempo de processamento,

sobretudo quando se utilizam métodos estocáticos para minimizar a função

100


0

−4

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

−9

−9

−13

−13

z (m)

−18

−22

z (m)

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( a ) ( b )

FIGURA 4.4 - Nova estimativa do perfil vertical de concentração de clorofila (a), com relação à

apresentada na Figura 4.1, usando o fator ponderador W r . Mesmo os perfis obtidos

por cada semente (b) são bem próximos da solução exata.

objetivo. Os resultados para cada semente mostrados na Figura 4.4, foram atingidos depois

de aproximadamente 70 minutos de execução em um computador serial, usando os

valores dos parâmetros de ACO apresentados na Tabela 4.2.

Neste contexto, são possíveis de serem utilizadas duas abordagens, independentes entre

si, para obter uma redução no tempo de processamento. Uma consiste na aplicação do

algoritmo ACO modificado (Algoritmo 3.3.4.1), visto na Seção 3.4.1, onde somente as

na p formigas/soluções pré-selecionadas através de um critério de suavidade, são avaliadas

pela função objetivo.

Dado então que se queira avaliar somente 15 das 90 formigas do exemplo descrito, os

parâmetros para este caso são fornecidos pela Tabela 4.4. Somente com o uso desta préseleção,

o tempo de processamento reduziu-se para em torno de 12 minutos e meio, cerca

de 5.6 vezes mais rápido portanto. E o resultado alcançado pelo método permaneceu sendo

de boa qualidade, conforme se verifica nos gráficos da Figura 4.5.

TABELA 4.4 - Parâmetros usados na meta-heurística ACO, com pré-seleção.

sementes ns np na na p mit ρ q 0

{17,33,55,81,99} 10 3000 90 15 500 0.03 0.0

101


0

−4

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

−9

−9

−13

−13

z (m)

−18

−22

z (m)

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( a ) ( b )

FIGURA 4.5 - Resultados médio de cinco sementes (a) e de cada uma individualmente (b), obtidos

usando ACO com pré-regularização, onde somente 15 formigas são avaliadas.

Compatíveis com os alcançados pelo ACO original mostrados na Figura 4.4, onde

90 formigas são avaliadas.

Para enfatizar o ganho de qualidade que a pré-regularização agrega ao ACO, faz-se também

a comparação com resultados alcançados pelo ACO original usando na =15 formigas,

mesmo número de formigas pré-selecionadas. Neste problema inverso sem ruído nos

dados, o método ACO conseguiu recuperar os perfis de clorofila (Figura 4.6), mas não

com a mesma qualidade atingida pelo ACO com pré-regularização (Figura 4.5).

4.2.1.3 Resultados de desempenho paralelo

Os tempos de execução sequencial, e paralelo usando 2, 4 e 8 processadores, bem como

a respectiva curva de ganho de desempenho (“speed up”), se encontram na Figura 4.7. As

linhas tracejadas correspondem ao “speed up” linear. Observa-se uma queda de eficiência

com o aumento de p. Conforme comentado na Seção 4.1.2, essa queda se deve à etapa

de pré-seleção, a qual é executada sequencialmente. Posteriormente, será mostrado o desempenho

no caso sem simetria azimutal e será osbervada uma queda comparativamente

menor, uma vez que a pré-seleção sequencial representará uma fração menor do tempo

total de execução.

A seguir é apresentado o restante dos resultados obtidos para os mesmos casos, com

dados contendo 5% de ruído (Figura 4.8), 10% de ruído (Figura 4.9) e 20% de ruído

(Figura 4.10). Mesmo com estes altos níveis de ruído, a abordagem utilizada empregando

102


0

−4

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

−9

−9

−13

−13

z (m)

−18

−22

z (m)

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( a ) ( b )

FIGURA 4.6 - Resultados médio de cinco sementes (a) e de cada uma individualmente (b), obtidos

usando ACO original com 15 formigas. A qualidade dos resultados alcançados

fica aquém daqueles obtidos com 15 formigas pré-selecionas, mostrados na Figura

4.5.

741

Tempo (s)

Tempo Ideal (s)

8

Speed up

Speed up linear

413

3.9

245

188

3

1.8

0

1 2 4 8

p − numero de processadores

1

1 2 4 8

p − numero de processadores

( a ) ( b )

FIGURA 4.7 - Tempos de execução em segundos (a) e curva de “speed up” (b) do método ACO

com pré-seleção, usando os parâmetros da Tabela 4.4. As curvas em linha tracejada

indicam, em ambos os gráficos, tempos e “speed ups” ideais.

pré-regularização no ACO (na = 90, na p = 15), alcançou resultados ainda satisfatórios e

superiores aos demais casos, sobretudo com relação a na = 15.

103


0

−4

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

−9

−9

−13

−13

z (m)

−18

−22

z (m)

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( a ) ( b )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( c ) ( d )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( e ) ( f )

FIGURA 4.8 - Perfis de concentração de clorofila recuperados a partir de dados de radiância em

profundidade com 5% de ruído. A primeira coluna contém as soluções médias,

enquanto que na segunda coluna estão as soluções obtidas para cada semente,

com o seguintes parâmetros do ACO:

( a ) e ( b ): na=90

( c ) e ( d ): na=90, na p =15

( e ) e ( f ): na=15.

104


0

−4

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

−9

−9

−13

−13

z (m)

−18

−22

z (m)

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( a ) ( b )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( c ) ( d )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( e ) ( f )

FIGURA 4.9 - Perfis de concentração de clorofila recuperados a partir de dados de radiância em

profundidade com 10% de ruído. A primeira coluna contém as soluções médias,

enquanto que na segunda coluna estão as soluções obtidas para cada semente,

com o seguintes parâmetros do ACO:

( a ) e ( b ): na=90

( c ) e ( d ): na=90, na p =15

( e ) e ( f ): na=15.

105


0

−4

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

−9

−9

−13

−13

z (m)

−18

−22

z (m)

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( a ) ( b )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( c ) ( d )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( e ) ( f )

FIGURA 4.10 - Perfis de concentração de clorofila recuperados a partir de dados de radiância em

profundidade com 20% de ruído. A primeira coluna contém as soluções médias,

enquanto que na segunda coluna estão as soluções obtidas para cada semente,

com o seguintes parâmetros do ACO:

( a ) e ( b ): na=90

( c ) e ( d ): na=90, na p =15

( e ) e ( f ): na=15.

106


4.2.2 Radiância sem simetria azimutal

No problema Ótica Hidrológia estudado neste trabalho, a função de fase de espalhamento

é aproximada pela expansão de polinônios de Legendre contendo (N g + 1) = 174 termos.

Afora o fato de a resolução do problema direto pelo método LTS N tornar-se mais de 700

vezes mais lento, a recuperação dos perfis é feita de maneira idêntica ao caso em que há

simetria azimutal.

Os valores de radiância também devem de ser compensados de acordo com a profundidade

em que são obtidos, utilizando o fator W r (Equação 4.5 e Equação 4.6), como é mostrado

na Figura 4.11 e na Figura 4.12, para 10 direções polares postivas e 10 negativas.

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

0.2

20

0.15

15

0.1

10

0.05

0

−0.0823

−0.2446

−0.4003

−0.5451

−0.675

−0.7864

−0.8765

−0.9983

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

0.9983 0 5

0.8765

0.7864

0.675

0.5451

0.4003

0.2446

0.0823

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

( a ) ( b )

FIGURA 4.11 - Gráficos que ilustram o forte decaimento dos valores de radiância com a profundidade,

para as direções polares negativas (a) e positivas (b).

Nos resultados obtidos foi somente utilizado o ACO com pré-regularização. A única adaptação

que teve que ser feita nos parâmetros do ACO mostrados na Tabela 4.4, foi no número

de iterações, que passou de mit = 500 para mit = 400 (Tabela 4.5). Constatou-se

que até pouco antes de 400 iterações o método já convergia para a solução final, mesmo

para dados de radiância contendo alto nível de ruído.

TABELA 4.5 - Parâmetros usados no ACO, com pré-seleção.

sementes ns np na na p mit ρ q 0

{17,33,55,81,99} 10 3000 90 15 400 0.03 0.0

107


L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

0.2

20

0.15

15

0.1

10

0.05

0

−0.0823

−0.2446

−0.4003

−0.5451

−0.675

−0.7864

−0.8765

−0.9983

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

0.9983 0 5

0.8765

0.7864

0.675

0.5451

0.4003

0.2446

0.0823

µ

−4

0

−13−9

−22−18

−31−27

−40

−36

z(m)

( a ) ( b )

FIGURA 4.12 - Gráficos que ilustram o forte decaimento dos valores de radiância com a profundidade,

para as direções polares negativas (a) e positivas (b).

Tal como aconteceu para N g = 0, a recuperação dos perfis (Figura 4.13) pode ser tida

como bastante satisfatória, principalmente quando se considerar que o nível máximo de

ruído foi de 20%.

4.2.2.1 Resultados de desempenho paralelo

A título de ilustração, os tempos mostrados na Figura 4.14, para as execuções sequencial

e paralelas com 2, 4, e 8 processadores, referem-se apenas às quatro primeiras iterações

do método ACO. A execução sequencial demandaria cerca de 44 horas, optando-se assim

por executar apenas essas poucas iterações (todas as iterações demandam praticamente o

mesmo tempo).

Neste caso, o desempenho pararelo com N g = 173 foi melhor do que no caso com simetria

azimutal, conforme era previsto, uma vez que a fração sequencial que inclui a pré-seleção

é comparativamente menor. Entretanto, o tempo total de execução é significativamente

maior, dada a assiemtria azimutal.

108


0

−4

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

−9

−9

−13

−13

z (m)

−18

−22

z (m)

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( a ) ( b )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

0

−4

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( c ) ( d )

EXATO

SOLUCAO MEDIA

0

−4

EXATO

SOLUCOES OBTIDAS

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z (m)

−9

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C (mg/m 3 )

( c ) ( d )

FIGURA 4.13 - Perfis de concentração de clorofila recuperados pelo método ACO com préregularização

(na = 90, na p = 15). A primeira coluna contém as soluções médias,

enquanto que na segunda coluna estão as soluções obtidas para cada semente,

para os seguintes dados de radiância:

( a ) e ( b ): sem ruído

( c ) e ( d ): 5% de ruído

( e ) e ( f ): 20% de ruído.

109


1597

Tempo (s)

Tempo Ideal (s)

8

7

Speed up

Speed up linear

900

3.5

453

227

1.8

0

1 2 4 8

p − numero de processadores

1

1 2 4 8

p − numero de processadores

( a ) ( b )

FIGURA 4.14 - Tempos de execução em segundos (a) e curva de “speed up” (b) do método ACO

com pré-seleção, usando os parâmetros da Tabela 4.5, referentes a 4 iterações.

As curvas em linha tracejada indicam, em ambos os gráficos, tempos e “speed

ups” ideais.

4.3 Estimação com dados externos multiespectrais

O resultados apresentados até então atestam a eficiência do método, quando da disponibilidade

dos valores de radiância nas respectivas profundidades onde se deseja estimar a

concentração de clorofila. No entanto, as dificuldades aumentam consideravelmente na

situação onde se tem apenas as radiâncias na superfície, ressaltando-se a importância em

se obter dados multiespectrais neste nível. Foram gerados valores de radiância com o modelo

direto para dez comprimentos de ondas no intervalo de 410 nm e 700 nm, mostrados

na Figura 4.15.

A variação em função do comprimento de onda é dada através do uso dos modelos bioópticos

para os coeficientes de absorção e de espalhamento, respectivamente descritos nas

Eqs. (3.22) e (3.23). No caso específico do primeiro, deve-se entrar com os coeficientes de

absorção da água pura (a w λ ) e de absorção da clorofila (ac λ ), cujos valores são conhecidos

e estipulados para cada um dos dez comprimentos de onda utilizados, conforme mostrado

anteriormente na Tabela 3.2.

4.3.1 Radiância com simetria azimutal

Para realizar a recuperação do perfil de concentração de clorofila a partir desses dados

de radiância, os valores dos parâmetros do ACO utilizados estão na Tabela 4.6. Devido a

110


L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

700 0

660

610580

520

λ [nm]

410

−0.0823

−0.4003

−0.675

−0.9983

µ

FIGURA 4.15 - Radiâncias com simetria azimutal na superfície, considerando-se o dominío não

homogêneo, para dez comprimentos de onda e dez direções polares negativas.

maior complexidade deste tipo problema, alguns destes parâmetros tiveram de ser ajustados

novamente, além do aumentar o número de sementes utilizadas para 10. Quatro vezes

mais formigas foram utilizadas (na = 360), sendo o critério de suavidade ainda mais rigoroso

pois, se antes uma em cada 6 formigas eram escolhidas, agora com na p = 12, será

escolhida uma em cada 30 (na/na p ).

TABELA 4.6 - Parâmetros usados na meta-heurística ACO, para resolver o problema inverso multiespectral

em ótica hidrológica, a partir de dados de radiância com simetria azimutal.

sementes ns np na na p mit ρ q 0

{3,15,21,31,45, 10 3000 360 12 500 0.03 0.0

63,77,81,95,99}

O resultado médio das dez sementes é visualisado na Figura 4.16a, onde somente nas duas

primeiras profundidades o valor da concentração de clorofila foi bem recuperado. Nas

demais, a fraca estimativa pode ser justificada devido a pouca influência que a informação

proveniente destas profundidades, exerce sobre os valores de radiância obtidos acima do

corpo d’água.

Se nos problemas apresentados nas Seções 4.2.1 e 4.2.2, foi possível se ponderar o decai-

111


0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

−13

−13

z [m]

−18

−22

z [m]

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( a ) ( b )

FIGURA 4.16 - Solução média geral de dez sementes (a), e solução médias das cinco sementes

que recuperaram perfis com pico de máximo na curva (b).

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

−13

−13

z [m]

−18

−22

z [m]

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( a ) ( b )

FIGURA 4.17 - Primeiro refinamento da solução mostrada na Figura 4.16b, onde os cinco primeiros

valores foram congelados (a). Segundo refinamento, congelando-se a solução

até a sétima profundidade (b).

mento da radiância com a profundidade utilizando-se um fator de correção, neste caso não

há maneira de se aplicar uma abordagem similar, visto que há dados disponíveis somente

acima da superfície.

Das soluções obtidas com dez sementes, em cinco delas foram recuperados perfis se-

112


melhantes a da solução exata, com um pico de máximo na curva entre 13 e 18 metros

de profundidade. Em contraponto, para as outras cinco sementes as curvas das soluções

encontradas possuem uma depressão na mesma faixa de profundidade.

4.3.1.1 Pós-processamento da solução

Sabe-se de antemão que, grande partes das vezes em águas naturais do Caso 1, o perfil

vertical de concentração de clorofila tem concavidade negativa (côncava), semelhante ao

mostrado na Figura 3.4 da Seção 3.3. Admitindo-se esta hipótese neste problema, adotouse

a estratégia de se descartar as sementes cuja solução tivesse perfil oposto, ou seja,

que tem concavidade positiva (convexa). Este critério significa a impor que se escolham

os perfis com derivada 2 a negativa, ou de forma equivalente, impor que seja negativo o

operador de diferença finita de segunda ordem:

∆ 2 C z = ∆ (∆C z ) = C z+2 − 2C z+1 + C z , (4.8)

onde C z são os valores discretos da concentração de clorofila.

Na Tabela 4.7 são mostrados os valores dos cinco perfis com maior concavidade negativa,

a partir da 2 a profundidade, enquanto que na Tabela 4.8 aparecem os perfis restantes,

que são descartados no cálculo do perfil médio, obtendo-se o resultado visualizado na Figura

4.16b, onde a recuperação até a quinta profundidade mostra-se bastante satisfatória.

TABELA 4.7 - Valores numéricos dos cinco perfis mais côncavos, a partir da 2 a profundidade.

Sementes

15 3 77 21 31

z[m] C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z

0 1.273 1.273 1.280 1.273 1.270

-4 2.550 2.513 2.217 2.610 2.860

-9 5.350 -1.433 6.030 -2.610 5.033 -1.272 4.597 -0.601 3.947 0.183

-13 6.717 -1.351 6.937 -1.394 6.577 -1.448 5.983 -0.506 5.217 -0.650

-18 6.733 -0.412 6.450 -0.510 6.673 -0.729 6.863 -0.860 5.837 -0.427

-22 6.337 -0.391 5.453 0.147 6.040 -0.070 6.883 -0.406 6.030 -0.246

-27 5.550 -0.023 4.603 0.360 5.337 0.546 6.497 -0.291 5.977 -0.061

-31 4.740 -0.033 4.113 0.240 5.180 0.260 5.820 -0.106 5.863 -0.189

-36 3.897 -0.094 3.863 0.107 5.283 -0.089 5.037 0.063 5.560 -0.027

-40 2.960 3.720 5.297


4.317 5.230

∆ 2 C z

-3.737 -3.660 -2.802 -2.707 -1.417

113


O passo seguinte, consiste em aplicar novamente o método ACO, congelando-se a solução

até o quinto valor, fazendo a busca somente da sexta profundidade em diante. Utilizam-se

os mesmos parâmetros dados na Tabela 4.6, onde na pré-seleção são avaliadas as soluções

completas, não somente do sexto ao décimo valor.

Este é um modo de refinamento da solução. As variações no valor da função objetivo, a

partir das mudanças da concentração de clorofila nestas profundidades, eram irrelevantes.

Mas, uma vez que os cinco primeiros valores de C permanecem fixos, agora toda variação

da função objetivo é determinada pelas últimas cinco profundidades.

Na Figura 4.17a é mostrado o resultado deste refinamento. Enquanto uma boa recuperação

foi alcançada somente até a sétima profundidade, nas restantes as concentrações foram

mal estimadas.

Numa terceira etapa, foi realizado novo refinamento nos mesmos moldes, fixando-se a

solução até o sétimo valor, fazendo variar a solução do oitavo ao décimo. Finalmente, a

solução desejada é obtida, conforme se vê na Figura 4.17b.

4.3.1.2 Solução com precisão degradada

Com base nos resultados da Figura 4.16a, uma outra hipótese foi levantada e testada, a fim

de aceitar ou não as soluções das sementes que obtiveram perfis similares ao da solução

exata.

TABELA 4.8 - Valores numéricos dos cinco perfis mais convexos, a partir da 2 a profundidade.

Sementes

45 81 99 95 63

z[m] C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z C z ∆ 2 C z

0 1.267 1.273 1.267 1.270 1.263

-4 2.953 2.607 2.910 2.737 3.160

-9 2.580 0.506 2.273 0.981 2.233 0.984 2.173 -0.009 1.900 0.573

-13 2.713 0.794 2.920 0.283 2.540 0.640 1.600 0.800 1.213 1.537

-18 3.640 -0.264 3.850 0.110 3.487 0.229 1.827 0.846 2.063 0.520

-22 4.303 -0.009 4.890 -0.190 4.663 -0.439 2.900 0.290 3.433 0.074

-27 4.957 -0.631 5.740 -0.473 5.400 -0.174 4.263 -0.143 4.877 -0.594

-31 4.980 -0.366 6.117 -0.294 5.963 -0.296 5.483 0.067 5.727 -0.150

-36 4.637 -0.244 6.200 0.084 6.230 -0.054 6.770 0.040 6.427 0.090

-40 4.050 6.367 6.443


8.097 7.217

∆ 2 C z

-0.214 0.501 0.890 1.891 2.050

114


0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

FIGURA 4.18 - Soluções encontradas para recuperação do perfil constante (C = 4.0 mg/m 3 ).

Obtidas com o ACO usando os parâmetros da Tabela 4.6, sem ruído nos dados

de radiância.

Esta hipótese sugere que, em ambos os casos (perfis com concavidade negativa e positiva),

os valores de concentração de clorofila encontrados a partir da terceira profundidade,

retratam predominantemente a restrição de suavidade pelo critério de Tikhonov de

2 a ordem, imposta pela pré-seleção incluída no método ACO. Portanto, estas soluções

encontradas não representariam de fato, uma recuperação consistente do perfil desejado.

O teste da hipótese consistiu em mostrar que, se ela fosse verdadeira, para um perfil de

concentração constante (C = 4.0 mg/m 3 ), os dois tipos de soluções também teriam de ser

recuperados, uma vez que o nível de informação referente a concentração de clorofila seria

inclusive menor que no perfil anterior. E tal comportamento foi realmente constatado,

como se vê pelas soluções mostradas na Figura 4.18.

Confirmada a hipótese, é provável que não sejam consistentes as soluções das sementes

que poderiam ser atribuídas a uma melhor recuperação do perfil exato.

Uma alternativa testada visando obter-se um resultado mais robusto, implicou na redução

do nível de discretização dos valores da solução C. De acordo com a Tabela 4.3, mostrada

na Seção 4.2.1, o método ACO está buscando valores com precisão numérica até quatro

casas decimais, mas usando um nível de discretização menor.

Foi reduzida então a precisão de concentração de clorofila para apenas uma casa decimal,

115


TABELA 4.9 - Concentração de clorofila em dez profundidades.

z[m] C [ mg/m 3]

0 1.3

-4 2.6

-9 4.5

-13 6.1

-18 6.6

-22 5.6

-27 3.8

-31 2.1

-36 1.0

-40 0.4

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

FIGURA 4.19 - Recuperação do perfil dado pelos valores de C da Tabela 4.9, onde se obteve resultado

superior ao mostrado na Figura 4.16, ao se reduzir a precisão da solução

procurada.

gerando-se novamente dados de radiância com os valores de C dados na Tabela 4.9. Mantendo

o mesmo nível de discretização do domínio, com esta medida a solução encontrada

pelo ACO foi substancialmente superior, como se vê na Figura 4.19

Esta medida reduz o efeito da falta de informação das profundidades maiores, e ajuda a

restringir as opções de busca, dificultando que soluções suaves mas diferentes do perfil

desejado sejam escolhidas.

Nos próximos resultados apresentados, os parâmetros utilizados são dados na Tabela 4.10.

Foi reduzida a discretização do domínio (np = 300), o número de formigas (na = 300),

116


e também o critério de suavidade é um pouco menos restritivo (na/na p = 25).

Considerando-se os casos de ausência de ruído, e ruídos de 1%, 2% e de 5% nos dados

espectrais, foram alcançados os respectivos resultados nas Figuras 4.20a-d. No caso de

dados sem ruído, os valores da concentração de clorofila até a quarta profundidade tem

uma recuperação muito boa, para qualquer uma das dez sementes.

TABELA 4.10 - Parâmetros usados na meta-heurística ACO, para resolver o problema inverso

multiespectral em ótica hidrológica, a partir de dados de radiância com simetria

azimutal.

sementes ns np na na p mit ρ q 0

{3,15,21,31,45, 10 300 300 12 400 0.03 0.0

63,77,81,95,99}

Da quinta profundidade em diante, as soluções das diferentes sementes se tornam cada vez

mais discrepantes umas das outras, como conseqüência da crescente perda de informação

conforme a profundidade em que se estima a concentraçao de clorofila.

Ao se acrescentar ruído gaussiano de 1% nos dados, observa-se uma sensível perda de

exatidão nas primeiras profundidades, exceto na superfície. Esta degradação do resultado

a partir da segunda profundidade vai se agravando com o incremento do ruído, até que a

solução média encontrada com 5% de ruído, fique toda comprometida.

A partir da solução encontrada com 2% de ruído, se visualizam novamente sementes que

obtiveram curvas com concavidade oposta a da solução exata. Este fato vai ao encontro

do efeito observado anteriormente, com os resultados mostrados na Figura 4.16a. Com o

acréscimo de ruído, se reduz o nível de informação, e começam a ser obtidas soluções que

são devidas preferencialmente à suavidade imposta na otimização.

Com o propósito de se testar esta hipótese com a precisão atual, foram obtidas soluções

novamente para encontrar C = 4.0 mg/m 3 em todo domínio de z. Na Figura 4.21a é

mostrada a recuperação alcançada sem ruído, onde não se verifica uma predominância

em todas as sementes de obter resultados fortemente relacionados à suavidade, até pelo

menos a quinta profundidade.

Para dados contaminados com ruído de 1% (Na Figura 4.21b), fica claro que o resultado

alcançado é totalmente devido á suavidade requerida. Mas, diferentemente do estudo feito

anteriormente, nesta precisão adotada, todas as curvas suaves têm perfil com concavidade

117


0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

−13

−13

z [m]

−18

−22

z [m]

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

0

−4

−9

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( a ) ( b )

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( c ) ( d )

FIGURA 4.20 - Resultados obtidos com o ACO usando os parâmetros da Tabela 4.10.

(a) dados sem ruído; (b) com ruído de 1%;

(c) com ruído de 2%; (d) com ruído de 5%.

oposta ao da solução exata. Portanto, são perfis fortemente tendenciosos.

Ao se alterar o critério de suavidade para Tikhonov de 1 a ordem, a média das sementes

se ajustam melhor quando não se tem ruído, enquanto que na presença de ruído de 1%

nota-se predominantemente o efeito da regularização.

Portanto, a hipótese é confirmada e as sementes nas Figuras 4.20b-d, que apresentam soluções

com perfis contendo um pico de máximo, podem ser consideradas como conseqüência

de informação relativa aos valores da solução procurada, naquelas profundidades.

118


0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

−13

−13

z [m]

−18

−22

z [m]

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( a ) ( b )

FIGURA 4.21 - Soluções encontradas para se recuperar perfil constante (C = 4.0 mg/m 3 ), aplicando

pré-regularização com critério de Tikhonov de 2 a ordem, a partir de dados

de radiância:

(a) sem ruído; (b) com ruído 1%.

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

−13

−13

z [m]

−18

−22

z [m]

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( a ) ( b )

FIGURA 4.22 - Soluções encontradas para se recuperar perfil constante (C = 4.0 mg/m 3 ), aplicando

pré-regularização com critério de Tikhonov de 1 a ordem, a partir de dados

de radiância:

(a) sem ruído; (b) com ruído 1%.

Foram então descartados os resultados das sementes cujo perfis não contém um pico, que

são três no caso de ruído 2% e cinco quando se tem ruído 5%. Os resultados médios

obtidos são mostrados na Figuras 4.23a-b, respectivamente. Visualiza-se uma melhora

nos perfis, embora a persistente subestimação da segunda profundidade comprometa o

119


0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

−13

−13

z [m]

−18

−22

z [m]

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( a ) ( b )

FIGURA 4.23 - Perfis médios recuperados para dados com ruído de 2% decartando as três piores

sementes (a), e com ruído de 5% descartando as cinco piores (b).

resultado geral.

Outra abordagem estudada, consistiu em tentar fazer a recuperação de C, com a precisão

mais baixa (10 −1 ), a partir das radiâncias geradas com precisão maior (10 −4 ). O

perfil recuperado mostrado na Figura 4.24, é semelhante ao encontrada com ruído gaussiano

de 1% (Figura 4.20b), com radiâncias geradas a partir de C com menor precisão.

O histograma na Figura 4.25 mostra a distribuição da diferença quadrática entra

as radiâncias geradas com as duas precisões. Este erro tem distribuição com média

0.0077 W · m −2 · sr −1 · nm −1 e desvio padrão 0.0032 W · m −2 · sr −1 · nm −1 .

A precisão utilizada não permitiu que se obtivesse com os dados de radiância originais,

uma recuperação tão boa quanto a alcançada na Figura 4.20. No entanto, uma recuperação

razoável foi atingida.

Embora resultados com outras precisões não sejam apresentados neste trabalho, este resultado

sugere que, analogamente ao critério da discrepância de Morozov, o qual estabelece

um resíduo máximo para escolha de um parâmetro de regularização γ, é possível que deva

se recorrer a alguma métrica que corresponda a uma precisão, onde se obtenha a melhor

recuperação para um determinado conjunto de dados.

120


0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

FIGURA 4.24 - Solução utilizando precisão mais baixa na busca (10 −1 ), a partir radiâncias geradas

com C com precisão da Tabela 4.3 (10 −4 ).

30

25

20

15

10

5

0

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013

diferenca precisao em C : 10 −4 × 10 −1

FIGURA 4.25 - Histograma do erro quadrático entre radiâncias multiespectrais geradas com C,

contendo precisão (10 −4 ) e precisão (10 −1 ).

4.3.2 Radiância sem simetria azimutal

Este pode ser considerado como o problema de maior nível de complexidade. Ao longo

deste trabalho os resultados foram sendo apresentados em ordem crescente de dificuldade,

e formam uma espécie de um grande preâmbulo pois, sem os conhecimentos adquiridos

para solucionar os problemas anteriores, teria sido ainda mais difícil de se resolver este

121


problema.

Foram gerados valores de radiância para o problema em Ótica Hidrológica, onde a função

de fase é aproximada por uma expansão por poliômios de Legendre com N g + 1 = 174

termos, usando o modelo direto LTS N para dez comprimentos de ondas no intervalo de

410 nm e 700 nm, mostrados na Figura 4.26.

L [W m −2 sr −1 nm −1 ]

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

700 0

660

610580

520

λ [nm]

410

−0.0823

−0.4003

−0.675

−0.9983

µ

FIGURA 4.26 - Radiâncias sem simetria azimutal (N g =173) na superfície, considerando-se o

dominío não homogêneo, para dez comprimentos de onda e dez direções polares

negativas.

Os parâmetros do ACO foram também ajustados para este problema. As principais alterações

se referem a taxa de decaimento ρ e ao número de iterações mit a que método

foi limitado. Estes dois parâmetros têm relação um com o outro, visto que quanto maior

for ρ, mais rapidamente o ACO encontra uma solução. Foram escolhidos os valores de

parâmetros dados na tabela 4.11, visando alcançar uma solução em um tempo não demasiadamente

grande.

No problema com simetria azimutal visto na Seção 4.3.1, as inversões para cada semente

duraram cerca de 11 minutos depois de 400 iterações, rodando em uma máquina paralela

usando oito processadores. Para se obter o resultado médio de dez sementes, o tempo de

processamento chega próximo de duas horas.

122


Por sua vez, usando também oito processadores na mesma máquina paralela, no problema

sem simetria azimutal visto nesta Seção, cada semente gasta em torno de 4 horas e meia

para finalizar a inversão após 30 iterações. Portanto, para se ter um perfil médio de dez

sementes neste caso,

A diferença com relação ao caso sem simetria azimutal com radiâncias in situ, apresentado

na Seção 4.2.2, reside no fato de que antes, todos os dez valores de C podiam ser

estimados ao longo das iterações.

Nesta situação, ao se tentar encontrar um melhor ajuste dos parâmetros, foi verificado que

valores altos da taxa de decaimento (tipicamente ρ = 0.20 e ρ = 0.30), não resultavam

em boas soluções. Só se teve certeza de se obter uma resposta aceitável, ao se usar um

baixo valor (ρ = 0.03) e, consequentemente, maior número de iterações.

TABELA 4.11 - Parâmetros usados na meta-heurística ACO, para resolver o problema inverso

multiespectral em ótica hidrológica, a partir de dados de radiância sem simetria

azimutal.

sementes ns np na na p mit ρ q 0

{3,15,21,31,45, 10 3000 450 15 30 0.30 0.0

63,77,81,95,99}

Aqui neste problema, no entanto, de acordo com os resultados obtidos na Seção 4.3.1,

sabe-se que uma boa recuperação geralmente, só é possível de ser obtida até a quinta profundidade,

já que abaixo não se tem informação disponível em quantidade suficiente boa.

Além disso, mesmo que a recuperação não fosse a ideal na média, poderia ser melhorada

ao se descartar as sementes cujos perfis violassem a premissa de curvatura negativa da

solução.

Desde modo, foram obtidos os perfis a partir de dados multiespectrais de radiância sem

ruído (Figuras 4.27a-b), e com ruído de 1% (Figuras 4.27c-d) e de 2% (Figuras 4.27ed),

para as dez sementes mostradas na Tabela 4.11. Pelo fato de serem usadas menos

iterações, os resultados das sementes se mostraram bem menos regulares.

Ao lado de cada um desses resultados (Figuras 4.27b-d-f), é mostrada a solução média

das cinco sementes que obtiveram os maiores valores na quinta profundidade. Para dados

sem ruído, pôde ser obtida uma boa estimativa, enquanto que para dados com ruído de

1% houve uma queda na qualidade da solução. Mas o resultado médio com 2% de ruído

voltou novamente a apresentar uma boa recuperação.

123


0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

−13

−13

z [m]

−18

−22

z [m]

−18

−22

−27

−27

−31

−31

−36

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

0

−4

−9

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( a ) ( b )

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

0

−4

−9

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( c ) ( d )

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

0

−4

−9

EXATO

MEDIA

RECUPERADOS

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

z [m]

−13

−18

−22

−27

−31

−36

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

−40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C [mg/m 3 ]

( e ) ( f )

FIGURA 4.27 - Perfis obtidos com dados sem ruído (a-b), e dados corrompidos com 1% (c-d)

e 2% (e-f) de ruído. A primeira coluna (a-c-e) mostra as soluções médias com

dez sementes, equanto que na segunda (b-d-f) estão os resultados das cinco

sementes com maiores valores na quinta profundidade.

124


CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente estudo foi voltado mais detidamente para técnicas de estimação/reconstrução

de propriedades óticas em águas do Caso-1, onde tais propriedades podem ser descritas

como função da concentração de clorofila. Várias análises e desenvolvimentos foram

realizados. Abaixo são sumarizadas as principais contribuições do trabalho:

a) Para estimação com dados in situ, foi proposto e implementado um novo fator

de ponderação W u,d (Eqs. (4.5) e (4.6)) – Seção 4.2.1.1;

b) Aplicação da otimização por colônia de formigas (ACO);

c) Uso de pré-seleção (regularização intrínseca), baseado na suavidade das soluções

candidatas (formigas), quantificada pela norma de Tikhovov-2;

d) Aplicação de modelo bio-óticos para reconstrução multi-espectral da concentração

de clorofila.

A preocupação em realizar uma avaliação do desempenho de códigos de solução da ETR

em ambientes de computação paralela, está ligada ao uso de computação intensiva que

pode ser demandada com o emprego de metodologia implícita de inversão. Em geral, a

função objetivo a ser otimizada tem múltiplos mínimos locais. A estratégia recomendada

para evitar tais soluções pseudo-ótimas é a aplicação de métodos estocásticos de busca,

ao invés de métodos determísticos. Entretanto, métodos estocásticos tem uma taxa de

convergência muito mais lenta. Assim, duas estratégias podem ser pensadas para melhorar

o desempenho do método de inversão: (i) aplicar técnicas de processamento paralelo, (ii)

utilizar uma estratégia híbrida, combinando método estocásticos com outro determísticos

– pode-se ainda combinar as estratégias (i) e (ii). A aplicação de métodos híbridos será

comentada adiante.

A título de exemplo, neste trabalho empregou-se um número fixo de iterações no método

ACO. Em alguns casos foram utilizadas até 500 iterações, gerando-se 90 formigas em

cada uma. Isto significa que foram feitas chamadas da função objetivo para se avaliar 90

soluções diferentes, sendo escolhida a de menor custo daquela iteração. Ao final deste

procedimento iterativo, a função objetivo foi então chamada 45000 vezes.

125


Para o caso com simetria azimutal (N F = 0), há somente uma equação a ser resolvida, e o

tempo para se resolver a ETR gira em torno de 0,1 s. Portanto, o tempo total de execução

é cerca de 4500 s, ou uma 1 hora e 15 minutos. Considerando que não exista simetria

azimutal, a solução da ETR para um caso com N F = N g = 173, demanda em torno de

75 s, ou seja, 750 vezes mais. Com isso, o problema inverso estará resolvido ao final de

aproximadamente 39 dias!

Fica evidente a real necessidade de se reduzir o tempo de execução, principalmente

quando não há simetria azimutal. Neste caso, verificou-se o impacto da redução no

número de equações resolvidas na precisão dos dados de radiância, redução obtida

desprezando-se os modos azimutais de mais alta ordem. Isto é exemplificado na Tabela

5.1, a qual é comentada a seguir.

Nessa tabela são mostrados os valores da diferença entre as radiâncias obtidas para ϕ = 0

para duas expansões de Fourier (Equação (2.47)), com N F = 173 e N F = 48, ou seja,

L 173 (τ, µ, ϕ)| ϕ=0

=

L 48 (τ, µ, ϕ)| ϕ=0

=

∆L 0 % =

N F

∑=173

m=0


N F =48

m=0

L m ((τ, µ) cos m(ϕ 0 − ϕ) (5.1)

L m ((τ, µ) cos m(ϕ 0 − ϕ) (5.2)

(

1 − L )

48

× 100 . (5.3)

L 173

Os números da Tabela 5.1 foram gerados para um problema-iii da Tabela 4.1, descrito

com detalhes na Seção 4.4.2, no qual N z = 10, N µ = 173, N g = 173 e N F = 173 ou 48.

A maior diferença percentual entre L 0 173 e L 0 48 é de 0.25%, ocorrendo para µ = 0.7864 e

τ = 0.10, sendo que a maioria das demais é praticamente nula. Por outro lado, o tempo

de execução da ETR foi reduzido de forma dramática, de 75 s para 28 s, o que implica

que o tempo para resolver o problema inverso correspondente com 500 iterações de 90

formigas seria é reduzido de 39 dias para 15 dias (menos da metade!).

Entretanto, 15 dias ainda constituem um tempo demasiadamente longo. Assim, decidiu-se

pela paralelização usando a biblioteca MPI para execução numa máquina paralela de memória

distribuída, um cluster de baixo custo com 17 nós monoprocessados. Conforme foi

exposto, na Seção4.1.2, foi possível paralelizar eficientemente o método LTS N , no caso

sem simetria azimutal, no qual os modos azimutais são distribuídos entre os processadores.

Alternativamente, foi também possível paralelizar a avaliação das soluções candidatas

126


TABELA 5.1 - Diferença percental entre os valores de radiância sem simetria azimutal obtidos

considerando-se as equações correspondentes a todos os N g =173 modos azimutais

ou somente as 48 primeiras.

τ/ζ

µ

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.80 1.00

-0.9983 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.9830 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.9426 5.07e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.8765 -4.30e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.7864 3.52e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.6750 5.56e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.5451 4.27e-04 2.77e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.4003 4.81e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.2446 2.41e-04 1.36e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

-0.0823 2.01e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.0823 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.2446 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.4003 -2.44e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.5451 -1.15e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.6750 -7.34e-03 -2.93e-03 -4.91e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.7864 -2.49e-01 -1.05e-01 -1.21e-02 -3.61e-04 0.00e+00 0.00e+00

0.8765 1.01e-02 2.78e-03 3.31e-04 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.9426 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.9830 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00

0.9983 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 0.00+00

no ACO. Essa última estratégia foi adotada pois havia casos com simetria azimutal na qual

a primeira opção de paralelização não seria possível.

Tanto na paralelização do método LTS N quanto na do ACO, obtém-se um balanceamento

de carga praticamente ideal, dada a distribuição das tarefas entre processadores, que é

inerentemente equitativa (modos azimutais ou avaliações da função objetivo).

Voltando-se ao exemplo considerado que demanda 45000 avaliações da ETR sem simetria

azimutal e aproximadamente 15 dias, a obtenção de um bom “speed up” considerandose

o uso de 15 nós desse cluster, reduziria o tempo para 1 dia. Entretanto, o esquema

de pré-seleção apresentado no final do capítulo 3, onde apenas as soluções mais suaves,

segundo a norma de Tikhonov de 2 a ordem, são avaliadas, reduz ainda mais o tempo de

processamento. Selecionando-se 1/6 das soluções (ou 15 das 90 soluções geradas a cada

iteração), o tempo considerado cairia de 24 h para apenas 4 h. Ou seja, para esse problema

127


inverso particular, com a estratégia proposta, conseguiu-se uma redução de 39 dias para

algumas horas!

Conforme discutido no capítulo de resultados, a execução sequencial do esquema de préseleção

penaliza o desempenho paralelo, segundo a Lei de Amdahl. Este efeito foi mais

acentuado no caso com simetria azimutal, na qual a fração de tempo correspondente ao

tempo de execução da pré-seleção é comparativamente maior do que no caso sem simetria

azimutal. As eficiências paralelas foram da ordem de 50% e 90%, respectivamente, para

os casos com simetria e sem simetria azimutal, considerando-se 8 processadores.

Contudo o caso sem simetria azimutal é crítico em termos de tempo de execução (ao

contrário do caso com simetria). Assim, o bom desempenho paralelo obtido no caso sem

simetria foi fundamental para viabilizar as reconstruções efetuadas. E, a penalização do

desempenho paralelo devido à pré-seleção sequencial é muito relativa, uma vez que há

uma redução implícita do processamento necessário devido ao consequente menor número

de avaliações da função objetivo.

A metodologia implícita com dados in situ, com o fator e ponderação W u,d (ver Seção

4.2.1.1), apresentou boas soluções inversas. Uma dificuldade maior é realizar a inversão

a partir de dados externos ao corpo d’água. A técnica multi-espectral foi a estratégia

adotada. Todavia, a inversão em profundidades abaixo do máximo da concentração

de clorofila tornou-se difícil. As metodologias investigadas para melhorar os resultados

desta inversão foram as seguintes:

(a) Descartar perfis que, ao invés de apresentarem um crescimento da concentração de

clorofila a partir da superfície até um valor máximo – para então decair, decaem

a partir da superfície;

(b) Uma estratégia de 2 passos: obtem-se uma primeira estimativa do perfil de concentração

de clorofila e, então, congela-se o perfil obtido da superfície até o máximo

de concentração e aplica-se novamente o algorítmo de inversão a partir do máximo

até a fronteira inferior da camada d’água.

(c) Degradar a precisão da concentração de clorofila a ser estimada (degradou-se da precisão

e 10 −4 para 10 −1 ).

Os dois primeiros esquemas descritos acima, estão baseados em conhecimento empírico,

conforme exposto na literatura da área de Oceanografia. Os melhores resultados foram

128


obtidos com o primeiro e o terceiro esquema combinados.

A estimação multi-espectral é ainda um desafio e pode-se propor como trabalho futuro,

dentro da metodologia apresentada, o uso de um critério de parada. Assim, em vez de

permitir que o método ACO seja executado até o número máximo de iterações, esse critério

de parada poderia evitar a convergência para soluções governadas predominantemente

pela pré-regularizão imposta, como foi observado na Figura 4.16 e na Figura 4.18. A título

de sugestão, poderia-se testar um critério de parada baseado na discrepância de Morozov

para dados com ruído.

Outro ponto que carece de mais investigação, diz respeito a precisão utilizada na solução.

Importante ressaltar que os melhores resultados forma obtidos utilizando uma precisão

mais baixa da concentração de clorofila a ser utilizada nos modelos bio-ópticos e na ETR

para a geração dos dados sintéticos de radiância. Outra proposta de trabalho futuro seria

verificar, gerando-se dados sintéticos a partir de um perfil de concentração de clorofila

com precisão correspondente à real, investigar qual a menor discretização (np) que resulta

numa solução ainda próxima da exata numa analogia ao critério da discrepância de

Morozov.

Adicionalmente, poderia se investigar o efeito de outro critério de suavidade, em substituição

à norma de Tikhonov, como por exemplo o operador de regularização de máxima

entropia de segunda ordem.

Com o propósito de compensar a falta de informação em profundidade, este problema

ainda requer um estudo detalhado de análise da sensibilidade dos valores de radiância em

profundidade em função do comprimento de onda da radiação. Um estudo neste sentido

contribuiria para uma melhoria da informação proveniente de profundidades maiores.

Com relação aos resultados apresentados na Seção 4.3.2, referentes à reconstrução multiespectral

com a radiação emergente da água, acredita-se que haveria uma sensível melhora

se fosse utilizado um maior número de iterações no ACO.

A alternativa de adoção de um método híbrido de otimização é algo a mais que poderia

ser tentado. De fato, já existe um trabalho que combina a técnica ACO com o método

de Levenberg-Marquardt (SOUTO et al., 2005), num problema de estimação de parâmetros

em transferência radiativa. Essa técnica híbrida gerou bons resultados, mas não se pode

garantir que produzirá boas inversões no caso específico da estimação multi-espectral aqui

tratada.

129


Uma modificação no algorítmo ACO sugerida muito recentemente, é o uso de uma formulação

fuzzy para o feromônio, na qual este é depositado não apenas para os elementos

da matriz de feromônio correspondentes à melhor solução de cada geração, mas também

para os elementos próximos na mesma linha da matriz (BECCENERI; SANDRI, 2006). A

aplicação dessa modificação no contexto de inversão multi-espectral em ótica hidrológica

apresentou bons resultados preliminares (CARVALHO, 2006)

Uma outra técnica recentemente utilizada em problemas inversos, que também mereceria

ser investigada, é o uso de redes neurais artificiais. Vários autores têm relatado excelentes

resulados com o uso desta técnica (SHIGUEMORI et al., 2006b; SHIGUEMORI et al., 2006a;

HARTER; CAMPOSVELHO, 2005; SHIGUEMORI et al., 2004)

Para validação do método, dados reais devem ser empregados. O autor da tese participou

de um cruzeiro científico para a obtenção de dados com um radiômetro hiperespectral

de 252 canais (SOUTO et al., 2005), onde foram colhidas amostras de água em diferentes

profundidades e a concentração de clorofila foi posteriormente estimada por análise

fluorimétrica.

Infelizmente, o conjunto de dados obtidos nessa ocasião foi muito pobre para se realizar

uma validação efetiva do método proposto nesta tese. A metodologia de obtenção de

dados de campo usada foi aquela descrita por Souto et al. (2005).

Além de dados de campo, experimentos em laboratórios também poderiam ser realizados.

Esta discussão já foi iniciada com pesquisadores da Divisão de Observação da Terra

(OBT) do INPE, onde pretende-se realizar um experimento junto ao Laboratório de Radiometria

da OBT/INPE.

A título de exemplo, um procedimento para reconstrução de perfis verticais de temperatura

e de umidade atmosféricos utilizando dados radiométricos reais, obtidos de satélite,

foi anteriormente proposto (CARVALHO, 1998; RAMOS et al., 1999).

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