Estruturas de Sistemas Discretos Diagrama de Blocos Grafo de ...

¡ ¢£¢£ ¡©¤ ¦ ¢£¤§¦¨ ¢£©¤§ ¡ ¢£¢£¡©¤§¡ ¢£¢£ ¡©¤ ¦ ¢£¤§¦¨ ¢£©¤§ ¦Estruturas de Sistemas DiscretosLuís Caldas de OliveiraDiagrama de BlocosAs equações às diferenças podem ser representadas num diagrama de blocos comsímbolos para:1. Representações gráficas das equações às diferençassoma de duas sequências;2. Estruturas básicas de sistemas IIR3. Formas transpostas4. Estruturas básicas de sistemas FIR5. Estruturas em lattice6. Efeitos numéricos da precisão finitamultiplicação de uma sequência por uma constante;atraso unitário.Exemplo:¤ ¥x(n)a-1zby(n)Lu´ıs Caldas de Oliveira 2Grafo de FluxoA representação num grafo de fluxo é essencialmente igual à representação emblocos excepto na notação utilizada:o grafo é um conjunto de ramos que se interligam em nós;Sistemas IIR – Forma Directa I¤ ¥© ¤ ¥¢ ¨ ¢£©¤ ¨a cada nó está associada uma sequência;cada ramo corresponde a uma transformação linear do nó de entrada para o desaída.Exemplo:¤ ¥x(n)a-1zby(n)Lu´ıs Caldas de Oliveira 3x(n)zzz-1 -1-1-1bbbbb012N-1N aaaa12N-1Nzzz-1-1y(n)Lu´ıs Caldas de Oliveira 4

¡ ¢£¦¥ ¢¤ ©§ ¢§§§©£¡ ¢£¤§¢¦ ¢£¤£¡©¢§¨§ £ ¨©£££Sistemas IIR – Forma Directa IIx(n)aa12zz-1-1bbb012y(n)Sistemas IIR – Forma de Cascatax(n)z-1b01¥ ¤¨ z-1b02 z-1b0Ly(n)aaN-1zNNForma canónica: forma de realização do sistema com o número mínimo de atrasos-1bbN-1aa1121z-1bb11aa1221 22z-1bb12aa1L22 2Lz-1bb1L2LLu´ıs Caldas de Oliveira 5Lu´ıs Caldas de Oliveira 6Sistemas IIR – Forma ParalelaGrafo Não-Computável¤ ¥ C0 e01-1za11-1ze11x(n)a21 e02y(n)a12-1z-1ze12a22a1La2M-1z-1ze0Le1LQuando não é possível ordenar os nós de um grafo de forma a que as variáveisassociadas aos nós se possam calcular em sequência, diz-se que o grafo é nãocomputável.Exemplo:¤ ¥x(n)ay(n)Para um grafo ser computável, todas as realimentações têm de possuir pelomenos um atraso.O facto de um grafo não ser computável, não significa que a equação às diferençasnão tenha solução.Lu´ıs Caldas de Oliveira 7Lu´ıs Caldas de Oliveira 8

¡ ¢£¦¢¤¡¤¦¢£©¢¢£©¤¤¤Transformações de GrafosABABTransposição de Um GrafoInverter as direcções de todos os ramos mantendo as transmitânciasCACTrocar o nó de saída pelo de entradaAA1-ABTeorema da transposição:O grafo resultante da transposição tem a mesma função de transferência dografo originalBLu´ıs Caldas de Oliveira 9Lu´ıs Caldas de Oliveira 10Sistemas FIR – Forma Directa¤ ¥ ¨¤ ¥Sistemas FIR – Forma Directa Transposta¤ ¥¨ z -1 z -1 z -1x(n)x(n)h(M)h(M-1)h(M-2)h(1)y(n)h(0)z -1 z -1 z -1 y(n)h(0) h(1) h(2) h(M-1) h(M)Lu´ıs Caldas de Oliveira 11Lu´ıs Caldas de Oliveira 12

¢¥ ¤¥ ¤© © © £ ¤§ ¦ ¢£¨©¤©©£¤¢£§¥ ¤©¤e¤e¤e¤e ¢§ ¤§¦¢¥ ¤¥¡§ £ ¨£¢¤¦§¤¤©¤©¢£ ¡¥ ¤¢ ¦ ¤¢£¨§¤¤§¢¨¢£¤¦¢£ ¤§¢¨¨ ¡£¢¤¥Sistemas FIR – Forma em Cascatax(n) b 01b 02 b 0Py(n)z -1-1z -1zb 11b 12b 1Pz -1 -1-1zzb 21b 22b 2PLu´ıs Caldas de Oliveira 13FIR de Fase Linear do Tipo Ix(n)z -1 z -1 z -1z -1 z -1z -1h(0) h(1) h(2)h(M/2-1) h(M/2)y(n)Lu´ıs Caldas de Oliveira 15¢ ¢£¥ ¤ £¥ ¢£¥ ¤© §¢£ ¤§ ¢£ ©¤ §¢£© ¤ ¢£¤ ¢§¥ ¤¢¨£ ©¥ ¤©¢££¨¢¨£ ©¥ ¤¢££¨Sistemas FIR de Fase LinearouNo primeiro caso:em quetipo I:¢¨£ ©¥ ¤¢£¨par;tipo II:¢¨£ ©¥ ¤¢£¨ímpar;tipo III:¢¨£ ©¥ ¤©¢£¨par;tipo IV:¢¨£ ©¥ ¤©¢£¨ímpar;Lu´ıs Caldas de Oliveira 14Estrutura Lattice de Sistemas FIRe (n)0e (n)x(n)-ky(n)1 -k 2-k-kN1 -k 2f (n) z -1 f (n) z -1 f (n) z -10 1 2e (n)e (n)1 2Ncaso contrárioLu´ıs Caldas de Oliveira 16é uma função real.¢§¤

¢¤¤ ¢¥ ¢ ¢ ¢¢ ¤©¤¢©¤¢¥ £ ©¤¢ ¡ §§§© ¡ £ © §§ §¤¢¥¤¢ £ ¥¥£¥¨¡£¢¡ £ ¦¥¢ ©©¦¥©© ©¤© £©©¦©¦©Recursão¤ ¥ ¢¡¤ ¥(1)Relação entre ParâmetrosConversão: repetir parae (n)i-1f (n)i-1z -1-k-k iie (n)if (n)iConversão ¡: repetir para ¥¨¡ ¦¥ ¤© ¤ ¥ ¤ ¢(2)Lu´ıs Caldas de Oliveira 17Lu´ıs Caldas de Oliveira 18Lattice Só com Pólos ¤ ¥ ¢¢¤© ¥Efeitos da Precisão Numérica FinitaAs principais causas de degradação do desempenho dos filtros digitais são:x(n)raízes dek Ne (n)zk-k22e (n)N 1 0k-k11e (n)f (n)y(n)-1 -1-1f (n) z f (n) z2 10é condição necessária e suficiente para que todos as¤se localizem no interior do círculo unitárioa quantificação dos sinais de entrada e de saída;a quantificação dos coeficientes;erros de arredondamento nas operações aritméticas;saturação (overflow).Lu´ıs Caldas de Oliveira 19Lu´ıs Caldas de Oliveira 20

© §©§§ ¤©§¥§ ©£©¥¥ £ ©£©¥¥ £ ©£©¥ £é o bit de sinal: ¨¡¡¥¦¢ © ¤¡¡£¦¥¦£¦¥¡¦¤¥© ¨¨¨§se ¤¨£§ §§£¨ §§¥§£§§£¥§¥£§§£ ¥§£§¥§£ ¥§ § §¥¥£ ¨§ ¨§¦¤¤bits do qual se pode truncar osRepresentação de Números InteirosNúmeros Reais de Vírgula Fixasinal + valor absoluto: o bit de maior peso indica o sinal e os restantes o valorabsoluto do número (;¦ ¨complemento para 1: os números negativos são representados negando todos osbits do valor absoluto do número (;¨secomplemento para 2: os números negativos são representados negando todos osbits do valor absoluto do número e somando 1 (;Parte fraccionária de ¦:Lu´ıs Caldas de Oliveira 21Lu´ıs Caldas de Oliveira 22OverflowSe o valor de ¦excederexiste overflow.Quantificação do overflow:truncatura: os bits de peso superior são ignorados e a quantificação pode ter umerro muito elevado ()Realização de Algoritmos em Vírgula FixaConsiderar que todas as variáveis e todos os coeficientes são fraccionários (representados com ¤bits.)saturação:(em caso de ¦exceder o máximo, é quantificado com o valor máximo)multiplicação : o resultado usasignificativos.bits menosPropriedade da aritmética de complemento para 2:soma: o resultado ocupasignificativos podem surgir erros de overflow.¤bits. Se se utilizarem apenas os¤bits menosSe se somar vários números em complemento para 2 cuja soma não ultrapasseo valor máximo de quantificação, então o resultado da acumulaçãodestes números estará correcta mesmo que as somas intermédias produzamoverflow.Lu´ıs Caldas de Oliveira 23Lu´ıs Caldas de Oliveira 24

¤¥¢©¡¥¦¤¤¥¥§ ¨¥££§¨ ¨ § ¤¥© ¤¢¢Quantificação dos Coeficientes em Sistemas IIRRepresentação em Vírgula Flutuante¤ ¥¤¢¤¤¢¥¤ © ¨ £©¤¡¥ ¡£§ ¤¦ ¨Considerando apenas os pólos:mantissa ( ©): parte fraccionária do número normalmente representada em complementopara 2 (). ¨expoente (¡): factor de escala da mantissa também representado em complementopara 2 ( ).Se os coeficientes forem quantificados (¤ ¥ ¥ ¢©) os pólos são deslocados: ¥¤ £ © ¦Lu´ıs Caldas de Oliveira 25Lu´ıs Caldas de Oliveira 26Sensibilidade dos Pólos à Quantificação dos CoeficientesSensibilidade de um Sistema IIR de 2 ā Ordem¥ ¦ ¢ ©x(n)-1zy(n)Se os pólos (ou zeros) estiverem muito próximos pequenos erros nos coeficientesdo denominador (ou do numerador) produzem grandes deslocamentosna localizações dos pólos (zeros) das realizações nas formas directas2r cosθ-1zRealizações em Cascata e Paralelo:-r 2As realizações que utilizam combinações de sistemas de segunda ordemtorna a localização de cada par de pólos complexos conjugados independentedos restantes.Lu´ıs Caldas de Oliveira 27Lu´ıs Caldas de Oliveira 28

Realização Alternativa de um Sistema IIR de 2 ā Ordemx(n)r cosθz -1-r sen θr cosθr senθy(n)-1zLu´ıs Caldas de Oliveira 29