Resolver os exercícios 9, 14, 11, 10 15, 16, 17, 18b), 19 a) e 22

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Resolver os exercícios 9, 14, 11, 10 15, 16, 17, 18b), 19 a) e 22

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – ATema I – Probabilidades e CombinatóriaAula 2 do plano de trabalho nº 1Resolver os exercícios 9, 14, 11, 10, 15, 16, 17, 18b), 19 a) e 22.Começámos por definir as operações com conjuntos:A ∩ B= { x:x∈A ∧x∈B } e A ∪ B= { x:x∈A∨ x∈B}e ainda falar de propriedades das operações estudadas:• A ∩ B = B ∩A – propriedade comutativa da intersecção• A ∩( B ∩ C) = ( A ∩B)∩C – propriedade associativa da intersecção• A ∩ E = A – E (espaço) é o elemento neutro da intersecção• A ∩ A = A - propriedade da idempotência da intersecção• A ∪ B = B ∪A – propriedade comutativa da reunião• A ∪( B ∪ C) = ( A ∪B)∪C – propriedade associativa da reunião• A∪∅=A– ∅ é o elemento neutro da reunião• A ∪ A = A - propriedade da idempotência da reunião• A ∩( B ∪ C) = ( A ∩B) ∪( A ∩C ) – propriedade distributiva da intersecção em relação àreunião.• A ∪( B ∩ C) = ( A ∪B) ∩( A ∪C ) – propriedade distributiva da reunião em relação àintersecção.Para aplicar estas definições resolvemos o exercício 9 da página 17Professora: Rosa Canelas 12008-2009


9. No lançamento de dois dados, somam-se as pintas das facesviradas para cima. Consideremos os acontecimentos:A: «a soma é múltipla de 4».B: «a soma é múltipla de 6»Para definir em extensão os acontecimentos A ∪ B e A ∩ Bvamos começar por construir uma tabela.Em seguida vamos definir os acontecimentos A e B no espaçode resultados E = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 } .+ 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12A = { 4,8,12 } e B = { }a. A ∪ B = { 4,6,8,12 }b. A ∩ B={ 12 }6,12 donde resulta queConsideremos que o espaço de resultados é o conjunto de todos os 36 pares representadosna tabela.Então A = {( 3,1 ),( 2,2 ),( 1,3 ),( 6,2 ),( 5,3 ),( 4, 4 ),( 3,5 ),( 2,6 ),( 6,6 )}eB = {( 5,1 ),( 4,2 ),( 3,3 ),( 2,4 ),( 1,5 ),( 6,6 )}a. A ∪ B ={ ( 3,1 ),( 2,2 ),( 1,3 ),( 5,1 ),( 4,2 ),( 3,3 ),( 2, 4 ),( 1,5 ),( 6,2 ),( 5,3 ),( 4, 4 ),( 3,5 ),( 2,6 ),( 6,6 )}b. A B ( 6,6 )∩ ={ }Em seguida definimos acontecimentos incompatíveis e acontecimentos contráriosDois acontecimentos são incompatíveis (ou disjuntos) senunca se verificam simultaneamente. A ∩ B =∅ABDois acontecimentos são contrários quando se verifica sempre um, mas nunca se verificam osdois simultaneamente. O contrário do acontecimento A representa-se por A .AAProfessora: Rosa Canelas 22008-2009


Resolvemos então os exercícios 14 e 11 das páginas 19 e 18.14. Três pessoas lançam um dado. Consideremos o acontecimento A: «sai o mesmo número àstrês pessoas».Os resultados (2,5,6) e (3,4,4) pertencem a A porque não pertencem a A dado que:A = {( 1,1,1 ),( 2,2,2 ),( 3,3,3 ),( 4, 4, 4 ),( 5,5,5 ),( 6,6,6 )}11. Comentemos a afirmação: «Num espaço E, se A e B são acontecimentos incompatíveis então,a não realização de A implica a realização de B»Se os acontecimentos são incompatíveis pode não se verificar nenhum. Só se fossem contrários éque a não realização de A implicaria a realização de B.Voltando aos diagramas de Venn, vamos definir:• A\B= A∩ B= { x:x∈A∧x∉B }• B\A= B∩ A= { x:x∈B∧x∉A}E ainda falar das Leis de De Morgan:Professora: Rosa Canelas 32008-2009


16. Num espaço E, consideremos dois acontecimentos A e B diferentes, nem impossíveis nemcertos. Queremos uma condição suficiente para:a. A \B=AA \B={ x:x∈A∧x∉B}A e B serem disjuntos é uma condição suficiente para que A \ B =A não haja elementos de B para que A \B=A.b. A\B =∅A pois basta que emA estar contido em B é uma condição suficiente para que A \ B =∅ pois basta que nãohaja elementos de A que não sejam elementos de B para que A\B =∅.17. Num espaço E, consideremos dois acontecimentos A e B diferentes, nem impossíveis nemcertos. Queremos uma condição suficiente para:a. A ∩ B=AA ⊂ B é condição suficiente para que A ∩ B=A.b. A ∪ B=AB⊂A é condição suficiente para que A ∪ B=A.Nota: dada uma implicação p ⇒ q , q é uma condição necessária e p é uma condiçãosuficiente18. Justifiquemos que é verdadeira a afirmação:b. A∩B∩ C= A∪B∪CA ∩B∩ C= ( A∩B)∩C por definição de operação iterada.A ∩B ∪ C = ( A ∪B)∪C aplicando a lei de De Morgan A ∩ B= A∪B.( A ∪B)∪ C= A∪B∪C por definição de operação iterada.19. Se A e B são acontecimentos incompatíveis de um espaço E, vamos provar que:a. A ∪ B=EA ∪ B = A ∩B aplicando a lei de De Morgan A ∩ B= A∪B.A∩ B =∅porque os acontecimentos são incompatíveis.∅=E porque o contrário de ∅ é E.22. Para atravessar o rio é possível usar qualquer uma das três pontesA, B e C.Comecemos por elaborar um diagrama em árvore que permitavisualizar todas as possibilidades de ir de uma margem à outra eregressar.Professora: Rosa Canelas 52008-2009


it very convenient, in agreement with Vice-President SUTTER, to use thisCertificate on a massive scale.President BECKER replies that the UIB International Professional Certificateis not for this purpose, its aim is to become a document that certifies theskills and knowledge of a baker who wants to work abroad.Returning to the issue of the Commission members, President BECKER saysthat he would like to increase the number of members in order to strengthenand extend the Commission, without excluding anybody at this time. Heproposes Spain, France and CIPAN as additional members.Treasurer WAGENER makes a comment that Holland probably participatedlittle in recent meetings because their Bakery Federation faced internalproblems. These seem to be solved now, as Holland has returned to theCEBP.Vice-President Roberto NÚÑEZ says, on behalf of CIPAN, that it is difficult forSouth American countries to travel to all meetings, but he commits toparticipate through email.Vice-President Kaspar SUTTER is very happy and appreciates the willingnessof the three countries.President BECKER explains that the goal for the Commissions is have 2 or 3meetings every year, whenever possible in combination with another event.The Presidium will officially propose the new composition of the Commissionto the Congress in Venice.Finally, Vice-President SUTTER asks Mr Henri WAGENER from Luxembourgto speak about his country’s recent success in an international competition.Mr WAGENER explains that the national team of Luxembourg won theEuropean Cup of Artisan Bakery, which took place in March 2011 in Nantes(France), followed by Italy ranked second, and France ranked third. He says itis a great honour for Luxembourg and fills him with pride personally to seethat his country cares about vocational training.President BECKER offers his congratulations to Henri WAGENER and theteam of Luxembourg for their success.He then thanks Vice-Presidente SUTTER for the work of his Commission andwishes him good luck with his future activities.Resolution: The Presidium agrees unanimously to propose to the Congress theaddition of the following members to the Commission “VocationalTraining”: Spain, France and CIPAN.6

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