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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)R582eRocha, Renata Sampaio.Estudo de métodos numéricos para solução de problemasde fenômenos de transporte em malhas não estruturadas/Renata Sampaio da Rocha. – São José dos Campos:INPE, 2008.95p. ; (INPE-14822-TDI/1262)1. Computational fluid dynamics. 2. Unstructured grids.3. Flow laminar. 4. Navier. 5. Stokes equation. 6. Finitevolume method. I. Título.CDU (681.3)Copyright c○ 2008 do MCT/INPE. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida,armazenada em um sistema de recuperação, ou transmitida sob qualquerforma ou por qualquer meio, eletrônico, mecánico, fotográfico, microfílmico, reprográficoou outros, sem a permissão escrita da Editora, com exceção de qualquermaterial fornecido especificamente no propósito de ser entrado e executado numsistema computacional, para o uso exclusivo do leitor da obra.Copyright c○ 2008 by MCT/INPE. No part of this publication may be reproduced,stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means, eletronic,mechanical, photocopying, microfilming, recording or otherwise, without writtenpermission from the Publisher, with the exception of any material supplied specificallyfor the purpose of being entered and executed on a computer system, forexclusive use of the reader of the work.


“A maravilhosa disposição e harmonia do universo só pode ter tido origem segundo oplano de um Ser que tudo sabe e tudo pode. Isto fica sendo a minha última e maiselevada descoberta”.ISAAC NEWTON


A meus pais,Rosalvo e Maria e ameu esposo Paulo Roberto.


AGRADECIMENTOSA Deus pela conquista dessa importante vitória.À minha família pelo apoio e incentivo na realização deste trabalho, em especial a meuesposo Paulo pela paciência e compreensão demonstradas nos difíceis momentos destajornada.Ao meu orientador Prof. Dr. Jeronimo dos Santos Travelho, pela paciência, peloconhecimento compartilhado, pela orientação e apoio na realização deste trabalho.À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES, peloauxílio financeiro de dois anos de bolsa de mestrado.Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais – INPE, pela oportunidade de estudos eutilização de suas instalações.Aos professores do INPE pelo conhecimento compartilhado.Aos membros da banca examinadora pelas valiosas sugestões para o aprimoramento dotrabalho.Aos meus amigos Adenilson, Alexandre, Andriana, Fabiana, Fabrício, Helcio, Joice,José, Leonardo, Leandro, Marcelo, Rodolfo, Serginho, Viviane, Wantuir e William,pelo carinho e apoio demonstrados durante o desenvolvimento deste trabalho.À professora Silvely pelo incentivo inicial em cursar o mestrado no INPE.A todas as pessoas que me ajudaram a vencer mais esta etapa da minha vida.


RESUMOO presente trabalho apresenta a especificação de uma biblioteca computacional que estásendo desenvolvida com a finalidade de auxiliar na busca de erros que surgem durante odesenvolvimento de um modelo numérico. A referida biblioteca mostra cromogramasdas variáveis sendo calculadas. Ela é capaz de atualizar os campos calculados em cadaiteração, o que é interessante para localização e identificação de possíveis fontes deinstabilidades. A especificação foi realizada ao mesmo tempo em que se fez ainvestigação de vários métodos numéricos para se determinar o mais adequado namodelagem do reator HFCVD utilizado no LAS/INPE. Simulações mostraram que umaalternativa viável para tratamento dos termos difusivos das equações do transporte é aAbordagem Baseada no Circuncentro, já para o acoplamento pressão-velocidade ométodo que obteve maior êxito foi o método PRIME. A utilização da biblioteca devisualização foi um fator determinante na solução de problemas que surgiram durante aimplementação dos métodos numéricos testados.


STUDY OF NUMERICAL METHODS FOR SOLUTION OF PROBLEMS OFTRANSPORT PHENOMENONS IN UNSTRUCTURED MESHABSTRACTThis work presents the specification of a computational library currently beingdeveloped in order to help find the errors that appear during the development of anumerical model. This library shows chromograms of the variable fields beingcalculated. It is capable to bring up to date the fields calculated in each iteration, thischaracteristic is interesting for localization and identification of possible sources ofinstabilities. The specification was carried through at the same time that several numericmethods were tested in order to find which were best suited for modeling the HFCVDreactor being currently utilized in the LAS/INPE. Simulations have shown thatcircumcenter based approach is a viable alternative for the transport equation diffusiveterms modeling and for the pressure-velocity coupling the PRIME method was the bestsuited. The use of the new visualization library was a determinative factor in thesolution of problems that had appeared during the implementation of the testednumerical methods.


LISTA DE FIGURASSUMÁRIOLISTA DE SIGLAS E ABREVIATURASLISTA DE SÍMBOLOS1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................231.1 Estrutura do Trabalho .............................................................................................282 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.........................................................................292.1 Emprego de Malhas Não Estruturadas com Discretização por Volumes Finitos...302.2 Equações Governantes............................................................................................332.2.1 Conservação da Massa e Equação da Continuidade.......................................342.2.2 Equação da Quantidade de Movimento........................................................352.2.3 Equação da Conservação da Energia ...........................................................363 MODELAGEM NUMÉRICA ...............................................................................393.1 Método dos Volumes Finitos..................................................................................403.1.1 Malhas Estruturadas ..................................................................................433.1.2 Malhas Não Estruturadas ...........................................................................443.2 Abordagem Baseada no Circuncentro (ABC) ........................................................463.3 Acoplamento Pressão-Velocidade..........................................................................493.3.1 Método de Chorin .....................................................................................503.3.2 Método SIMPLE.......................................................................................513.3.3 Método SIMPLER ....................................................................................543.3.4 Método PRIME.........................................................................................55Pág.4 VISUALIZAÇÃO GRÁFICA ...............................................................................574.1 Biblioteca RTVisual................................................................................................574.2 Pré – Processamento...............................................................................................614.3 Pós-Processamento .................................................................................................635 DISCRETIZAÇÃO E SOLUÇÃO – RESULTADOS.........................................675.1 Difusão de Calor.....................................................................................................675.1.1 Utilização do Teorema do Gradiente ...........................................................675.1.2 Abordagem Baseada no Circuncentro..........................................................725.2 Equação da Quantidade de Movimento..................................................................775.2.1 Cálculo da Pressão ....................................................................................815.2.2 Condições de Contorno para a Velocidade ...................................................82


5.2.3 Condições de Contorno para a Pressão ........................................................835.2.4 Escoamento entre Placas Planas Paralelas....................................................856 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES ....................................................91REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................93


LISTA DE FIGURAS3.1 - Volume de controle unidimensional.Fonte: Patankar (1980). .......................................................................................... 413.2 - Malha estruturada................................................................................................... 443.3 - Malha não estruturada gerada pelo easymesh. ....................................................... 463.4 - Reta que une dois circuncentros vizinhos.Fonte: Adaptado Fazenda (2002). .......................................................................... 473.5 - Elemento triangular usado na discretização.Fonte: Adaptado Fazenda (2002). .......................................................................... 483.6 - Malha deslocada para acoplamento pressão-velocidade.Fonte: Patankar (1980). .......................................................................................... 514.1 - Interface da biblioteca de visualização................................................................... 604.2 - Representação do arquivo de lados. ....................................................................... 624.3 - Representação das normais. ................................................................................... 634.4 - Interface do software gráfico.................................................................................. 655.1 - Volume de controle utilizado na integração.Fonte: Adaptado Frink (1994). ............................................................................... 685.2 - Volume de controle para os vértices do contorno.Fonte: Adaptado Frink (1994). ............................................................................... 695.3 - Esquema do reator de crescimento de diamantes HFCVD em três dimensões...... 715.4 - a) Distribuição de temperatura bidimensional do reator HFCVD. b) Região queenvolve o filamento e o substrato. c) Região do filamento. ................................... 725.5 - Volume de controle para cálculo da temperatura no circuncentro. Fonte: AdaptadoFazenda (2002). ...................................................................................................... 735.6 - Ajuste de curva para a condutividade térmica do hidrogênio. ............................... 745.7 - a) Distribuição de temperatura bidimensional do reator HFCVD. b) Região queenvolve o filamento e o substrato. c) Região do filamento. ................................... 765.8 - Isolinhas na região que envolve o filamento e o substrato..................................... 765.9 - Comparação entre o perfil de temperatura calculado pelo método ABC e osresultados experimentais. ....................................................................................... 775.10 - Volume de controle para o cálculo da pressão em P .......................................... 815.11 - Escoamento entre duas placas paralelas............................................................... 865.12 - Erro relativo na convergência da pressão............................................................. 875.13 - Divergente quadrático médio para equação da continuidade............................... 885.14 - Campo de pressão para Re= 100 com fronteira de entrada com perfil plano develocidades. ............................................................................................................ 895.15 - Componente u da velocidade para Re= 100 com fronteira de entrada com perfilplano de velocidades............................................................................................... 90


LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURASABCCFD- Abordagem Baseada no Circuncentro- Computational Fluid DynamicsDIMARE - Grupo de Pesquisa em Diamantes e Materiais RelacionadosEDP’sHFCVDLASPRIME- Equações Diferenciais Parciais- Hot Filament Chemical Vapour Deposition- Laboratório Associado de Sensores e Materiais- Pressure Implicit Momentum ExplicitRTVisual - Real Time VisualizerSIMPLE- Semi Implicit Linked EquationsSIMPLER - Semi Implicit Linked Equations Revised


LISTA DE SÍMBOLOSP- PressãoP’ - Correção para pressãoxitV(t)V V iuvnˆn mfg eteq q vq iQ - Vetor posição- Tempo- Volume material- Vetor velocidade- Vetor velocidade no circuncentro do triângulo i- Componente u do vetor velocidade- Componente v do vetor velocidade- Vetor unitário normal a uma superfície- Vetor normal- Massa- Forças de campo- Vetor aceleração da gravidade- Energia total- Energia interna- Vetor fluxo de calor- Vetor fluxo de calor no vértice de um triângulo- Vetor fluxo de calor no lado Lide um triângulo- Fonte de calor


TkkiSiSiABCVAVBVCΓCpρμνσ Φλ∇- Temperatura- Condutividade térmica- Condutividade térmica na face i- Lado do triângulo- Tamanho do lado Si- Vértice A do triângulo- Vértice B do triângulo- Vértice C do triângulo- Vizinho A do triângulo- Vizinho B do triângulo- Vizinho C do triângulo- Coeficiente de difusão- Calor específico a pressão constante- Densidade- Viscosidade dinâmica- Viscosidade cinemática- Tensor de tensões- Grandeza genérica a ser calculada- Fator de relaxação- Operador nabla


1 INTRODUÇÃOO objetivo deste trabalho é a especificação de uma biblioteca computacional devisualização para o desenvolvimento de modelos numéricos e testar vários métodos dediscretização das equações de conservação 1 para se determinar o mais adequado namodelagem de reatores tipo HFCVD. Em resumo, auxiliar na elaboração de ferramentascomputacionais de modelagem úteis ao desenvolvimento teórico empregado no projetoDiamantes e Materiais Relacionados (DIMARE)Vários problemas nas áreas da engenharia e da física são, em geral, modelados atravésde equações diferenciais. A solução de problemas desta natureza muitas vezes requer oemprego de técnicas numéricas que são, atualmente, uma realidade tanto no ambienteacadêmico quanto no industrial. Isto se deve, sobretudo, ao fato de que os métodosnuméricos praticamente não apresentam restrições, pois podem resolver problemas comdomínios e condições de contorno complicadas, além de fornecerem resultadosconfiáveis em um curto espaço de tempo. Um aspecto importante que tambémcontribuiu para a expansão dos métodos numéricos está relacionado com a diminuiçãodos custos de projetos. Atualmente já é possível substituir horas de experimentação emlaboratórios a custos altíssimos por simulações via modelagem numérica.Na modelagem numérica de problemas de mecânica dos fluidos e fenômenos detransporte computacional, grande parte dos pesquisadores tem concentrado seusesforços na procura de solução para os problemas que surgem devido as nãolinearidades dos termos convectivos das equações de Navier-Stokes, nos problemas doacoplamento entre as variáveis e nos fenômenos de multi-escala espacial e temporal. Na1 Essas equações representam o princípio de conservação de uma propriedade física tal como massa,movimento ou energia.23


solução desses problemas, destacam-se o método das diferenças finitas e o método dosvolumes finitos. A vantagem principal do método dos volumes finitos, é que se realiza obalanço das quantidades que descrevem o fenômeno em cada um dos volumes finitosque constituem a discretização espacial, permitindo assim a utilização de qualquerforma geométrica fechada. Isto é muitas vezes difícil com o método das diferençasfinitas que necessitaria de formas geométricas que permitam o cálculo das componentesdos fluxos normais às paredes. Formas geométricas irregulares são até permitidas paradiferenças finitas, porém são penalizadas em termos de precisões de resultados. Acriação da malha estruturada em geometrias complexas também acrescenta custocomputacional adicional.Uma vez que o método dos volumes finitos é baseado no balanço das propriedades novolume de controle elementar garantindo a conservação das propriedades em nível devolume de controle, isto dá um significado físico a cada termo das equaçõesdiscretizadas, permitindo a fácil identificação e tratamento nas equações deconservação. Deste modo, o método dos volumes finitos impulsionou o tratamentonumérico de problemas de mecânica dos fluidos e transferência de calor. Através deadaptações ao longo do tempo, tornou-se robusto para o tratamento de domínios comconfigurações complexas, onde há necessidade do uso de malhas não estruturadas.Segundo Maliska (1995), a opção mais viável para resolver o sistema de equaçõesobtido a partir da discretização das equações de conservação é a solução segregada. Aforma segregada de solução sugere que cada equação diferencial, discretizada em umsistema de equações lineares, seja resolvida separadamente. Porém, neste tipo desolução o problema do acoplamento entre as variáveis se destaca, em mecânica dosfluidos, um dos acoplamentos principais é o da pressão-velocidade para escoamentosincompressíveis.Embora exista uma série de técnicas desenvolvidas com base na solução segregada eestas serem amplamente utilizadas, ainda não se tem soluções definitivas para tratar oacoplamento pressão-velocidade. Levando-se em conta que os esquemas para tratar o24


acoplamento são, em geral, apenas técnicas para criar uma equação para a pressão, nodesenvolvimento de um modelo numérico, sobretudo para tratar problemas queenvolvem escoamentos incompressíveis, é muito comum o surgimento deinstabilidades.As simulações numéricas fornecem uma série de dados que necessitam deinterpretação, uma maneira normalmente utilizada para se extrair informações dessesdados é apresentar de forma gráfica as várias propriedades do escoamento, como:campo de velocidade, pressão, temperatura, entre outras. A maioria dos softwares devisualização disponíveis utiliza apenas os resultados finais da simulação, portanto, nemsempre é fácil localizar a fonte onde surgem as instabilidades. Desta maneira, odesenvolvimento de um software gráfico capaz de atualizar os campos calculados emcada iteração se mostra bastante eficiente. A utilização deste software é interessante porque diminui o tempo de localização de erros e permite sua identificação com maisfacilidade.Neste trabalho é realizada a especificação de uma biblioteca computacional devisualização com estas características para possível utilização na modelagem do reatorHFCVD utilizado no Laboratório Associado de Sensores e Materiais (LAS) do InstitutoNacional de Pesquisas Especiais (INPE). Porém não é feita a modelagem desse reator,apenas inicia-se tal processo, através da busca de metodologias adequadas aodesenvolvimento do modelo. Várias metodologias foram verificadas para tratamentodos termos difusivos e do problema do acoplamento pressão-velocidade nas equaçõesde Navier-Stokes. Para o tratamento dos termos difusivos, inicialmente implementou-sea equação para o transporte difusivo de calor discretizada através do uso do teorema dogradiente. Os resultados obtidos inviabilizaram sua aplicação no modelo, uma vez queforam instáveis e longe dos resultados físicos esperados. Bons resultados foram obtidoscom a implementação da abordagem baseada no circuncentro. Para o acoplamentopressão-velocidade, testes iniciais com o esquema co-localizado nos circuncentros dostriângulos e posteriormente com arranjo deslocado, baseados no método SIMPLEproposto por Patankar e Spalding (1972) e no SIMPLER (Pantankar, 1980),25


apresentaram resultados insatisfatórios com soluções instáveis. A opção viávelencontrada foi utilizar um esquema baseado no método PRIME (Maliska, 1995) comarranjo deslocado.Em resumo, a metodologia que apresentou melhores resultados baseia-se na utilizaçãode um esquema com arranjo deslocado em domínios bidimensionais, discretizados commalhas triangulares não estruturadas. A velocidade foi armazenada no circuncentro doelemento triangular e a pressão nos vértices. Os termos difusivos foram discretizadosatravés do esquema denominado Abordagem Baseada no Circuncentro (ABC) atravésdo qual a variável é calculada no circuncentro do triângulo. Os termos convectivos, porsua vez, foram discretizados pelo esquema up-wind e o acoplamento pressão-velocidadefoi realizado com base no método PRIME.A motivação para o estudo do diamante e de processos relacionados vem do fato quesuas fortes ligações químicas fornecem uma estrutura com propriedades especiais como:elevada resistência mecânica, alta condutividade térmica e baixo coeficiente de atrito.Isto leva à aplicações em várias áreas tecnológicas, como por exemplo: protetor decélulas solares e superfícies sujeitas a bombardeamento de partículas, ferramenta decorte na indústria, dissipadores de calor e dispositivos eletrônicos (Lee et al, 1999).Devido à ampla possibilidade de aplicações, o grupo DIMARE do INPE - InstitutoNacional de Pesquisas Espaciais - vem pesquisando esse material. Vários estudos têmsido realizados com o intuito de investigar o crescimento e as aplicações dos filmes dediamante. De acordo com Siqueira (2005), a complexidade em simular numericamenteos fenômenos físico-químicos no reator HFCVD é devido às inúmeras possibilidades dereações químicas que envolvem o processo de crescimento, tanto nas reaçõeshomogêneas quanto nas reações heterogêneas e ainda, devido à incerteza e a dificuldadeem se obter alguns parâmetros cinéticos fundamentais para a simulação do processo.Goodwin e Gavillet (1990) fizeram uma simulação unidimensional de um reator decrescimento de diamantes, cujo objetivo era calcular os perfis de velocidade, de26


temperatura e de concentração de espécies. Levando-se em conta que efeitostridimensionais não foram considerados, uma vez que o modelo desenvolvido eraunidimensional, eles obtiveram bons resultados no cálculo das concentrações deespécies. A influência da difusão térmica sobre o perfil de hidrogênio atômico tambémfoi analisada e concluiu-se que é de apenas 10%. Mostrou-se também que arecombinação de hidrogênio atômico por meio das reações homogêneas, é muito lentapara explicar a diminuição na concentração de hidrogênio com o aumento daconcentração inicial de metano, observados experimentalmente, isto sugere que asreações heterogêneas são as principais responsáveis pela produção de hidrogênioatômico.O perfil de temperatura e de concentração de hidrogênio atômico em um reator HFCVDfoi obtido por Tankala e DebRoy (1992), com o intuito de entender o papel dohidrogênio atômico na transferência de calor durante o processo de crescimento defilmes de diamante. Seus resultados indicam que as recombinações heterogêneas deátomos de hidrogênio resultam em um significativo aquecimento do substrato,concluíram também que o processo de difusão do hidrogênio atômico é o fator maisimportante na determinação do perfil de concentração.Chen et al. (2003) desenvolveram um trabalho cujo objetivo era simularcomputacionalmente a reação na fase gasosa e a reação heterogênea em um reator ondeo gás era composto somente de hidrogênio. Através deste estudo, almejavam obter osperfis de temperatura e concentração de espécies na região que engloba o filamento e osubstrato, bem como identificar o principal mecanismo para a formação dos reagentes.Através dos resultados obtidos concluíram que a reação heterogênea é o fenômenoprincipal para a formação das espécies responsáveis pelo crescimento dos filmes dediamante. Porém, neste trabalho, não consideraram os efeitos cruzados, ou seja, adifusão de espécies devido ao gradiente de temperatura e a difusão de calor devido aogradiente de concentração de espécies.27


Já Siqueira (2005), em seu trabalho desenvolveu um modelo unidimensional em umamalha não uniforme, com o intuito de investigar a formação e o transporte das espéciesquímicas responsáveis pelo crescimento. Neste trabalho, foi implementada a equação dacontinuidade para obter o perfil de concentração de espécies químicas e a equação daenergia para obter o perfil de temperatura. Os efeitos cruzados foram considerados econcluiu-se que estes têm papel importante no estudo da formação e transporte dohidrogênio em um reator tipo HFCVD e não podem ser desconsiderados nassimulações.1.1 Estrutura do TrabalhoEsta dissertação de mestrado está organizada da seguinte maneira:No Capítulo dois é feita uma breve revisão bibliográfica apontando trabalhosinteressantes no contexto da dinâmica dos fluidos computacional. Mais especificamente,são enfatizados os trabalhos relevantes no desenvolvimento de métodos numéricos emmalhas não estruturadas com discretização por volumes finitos. Ainda no capítulo doisas equações que governam o escoamento de fluidos são descritas, a saber: equação dacontinuidade, equação da quantidade de movimento e equação da energia.Por sua vez, no Capítulo três são apontadas as características mais importantes damodelagem numérica. Algumas das técnicas mais utilizadas para discretização dasequações são descritas enfatizando-se o método dos volumes finitos e os principaisesquemas de solução para o acoplamento pressão-velocidade.Já no Capítulo quatro são descritos a especificação da biblioteca computacional devisualização, o pré-processamento e o software de pós-processamento, utilizados notrabalho.Na seqüência, o Capítulo cinco apresenta a discretização e solução das equaçõesgovernantes, bem como os resultados obtidos.28


Finalmente no Capítulo seis têm-se as conclusões obtidas através dessa dissertação etambém as sugestões para trabalhos futuros.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICADe acordo com Roache (1972), o primeiro trabalho a resolver numericamente equaçõesdiferenciais parciais diretamente aplicadas à dinâmica dos fluídos foi realizado porThom em 1933 utilizando uma discretização por diferenças finitas com espaçamentosespaciais mais refinados em áreas específicas do domínio. Nesta época já era possívelprever as possibilidades de solução de problemas em mecânica dos fluídos através dasolução numérica, entretanto, sua aplicação era inviável, pois não havia computadoresdigitais disponíveis.Na década de 50, foram desenvolvidos diversos métodos numéricos para tratamento deequações diferenciais parciais, como o método Alternating Direction Implicit (ADI) e ométodo “LeapFrog” de DuFort e Frankel, entre outros. Na década de 60 surgiram váriostrabalhos principalmente para solução de escoamentos viscosos e incompressíveis quepossibilitaram verificar, na prática, a potencialidade dos métodos numéricos. Harlow eWelch (1965) apresentaram o Marker-and-cell (MAC) desenvolvido para simular tantoescoamentos internos como externos em superfícies livres. Neste método foi introduzidaa utilização de arranjo deslocado. Conforme Fortuna (2000), esse método, por serversátil e de fácil implementação, se popularizou entre os pesquisadores e versõesmelhoradas foram desenvolvidas, sendo utilizadas até hoje. Na mesma década, em1967, Chorin apresentou o método da compressibilidade artificial, onde o escoamento étratado como compressível. A compressibilidade desaparece quando a solução é obtidaem regime permanente.Já na década de 70, conforme Venkatakrishnan (1995) surgiram outros métodos que setornaram populares, entre eles os esquemas FCT – Flux Corrected Transport – porBoris e Book e o esquema Total Variation Diminishing (TVD) de Harten, os quaisintroduzem fluxos anti-difusivos para prevenir o aparecimento de oscilações espúrias.29


Dentre os métodos mais eficientes especificamente para o acoplamento pressãovelocidadeem escoamentos incompressíveis, destacam-se o procedimento empregadono trabalho de Gresho e Sani (1987) que utiliza uma equação de Poisson para a pressão,a qual pode ser obtida, por exemplo, aplicando-se o operador divergente à equação daquantidade de movimento e também o conhecido Semi Implicit Linked Equations(SIMPLE) desenvolvido por Patankar e Spalding (1972), que se baseia em umadiscretização temporal semi-implícita e usa conceitos de malha com arranjo deslocado(staggered grid). A partir do método SIMPLE, vários outros esquemas foramdesenvolvidos com melhores propriedades numéricas, como o SIMPLE Revised(SIMPLER) (Patankar, 1980), Pressure Implicit Momentum Explicit (PRIME) (Maliska,, 1995) e SIMPLE Consistent (SIMPLEC) (Van Doormaal e Raithby, 1984).2.1 Emprego de Malhas Não Estruturadas com Discretização por VolumesFinitosConforme Maliska (1995), o uso de malhas não-estruturadas freqüentemente esteveassociado ao método dos elementos finitos, normalmente empregando malhastriangulares. Um dos trabalhos pioneiros utilizando volumes finitos em malhastriangulares é o de Winslow (1967).O trabalho de Jameson e Mavriplis (1986) foi um dos primeiros a apresentar resultadosda resolução de uma equação de Euler em uma malha bidimensional triangular regular,obtida a partir da subdivisão de uma malha de elementos quadrangulares.Frink et al. (1991), utilizando uma malha não estruturada tridimensional resolveram aequação de Euler em escoamentos compressíveis. Esta malha era composta detetraedros, o arranjo utilizado foi o co-localizado, onde todas as variáveis são calculadasno baricentro da célula. As equações foram discretizadas por meio do esquema fluxdifference-splitting.Posteriormente, em Frink (1994), foi alcançado um avanço nestemétodo, permitindo também sua aplicação em problemas viscosos. Neste trabalho, os30


fluxos difusivos foram calculados nos vértices das células através do uso do teorema dogradiente, por meio de uma média ponderada foi possível obtê-los no baricentro.Venkatakrishnan e Mavriplis (1995) resolveram as equações de Navier-Stokes para ocaso bidimensional em malhas não estruturadas com variáveis armazenadas nosvértices. As integrais nas células são calculadas sobre as faces do volume de controleusando a regra do trapézio. O sistema de equações resultante é resolvido de formaimplícita em conjunto com um esquema “Multigrid”.Thomadakis and Leschziner (1996) também apresentam uma solução para escoamentosincompressíveis viscosos bidimensionais em uma malha não estruturada. O métodoutilizado é baseado no conceito da correção da pressão e implementado sobre umamalha deslocada onde a velocidade é armazenada nos vértices das células e a pressãoarmazenada no centro. Segundo os autores, o procedimento computacional pode serusado em células de qualquer forma, mas no trabalho foi aplicado somente em malhastriangulares e quadriláteras. A discretização da equação do movimento é efetuada sobreas células ao redor dos vértices da célula principal, enquanto que a equação paracorreção da pressão é aplicada no centróide desta célula e representa a conservação damassa.Já Davidson (1996), em seu trabalho empregando malhas não estruturadas com ométodo dos volumes finitos para escoamentos incompressíveis, usa a abordagemcentrada na célula com as variáveis co-localizadas. O acoplamento pressão-velocidade étratado usando o SIMPLEC. Mathur e Murthy (1997), implementam uma solução paraescoamento incompressível em malhas não estruturadas feitas de poliedros convexos earbitrários. O arranjo é co-localizado no centróide das células e o algoritmo de solução ésemelhante ao SIMPLE.Rida et al. (1997), apresentam um esquema deslocado para volumes de controle emmalhas não estruturadas triangulares. O método proposto é uma extensão do esquemadeslocado desenvolvido por Harlow e Welch (1965) para malhas cartesianas. A31


extensão deste esquema para malhas não estruturadas produz várias configuraçõespossíveis. Neste trabalho, os centróides, ao invés dos circuncentros dos triângulos, sãousados para definir as células, fornecendo flexibilidade quando adaptados a malha. Doisarranjos para a localização das variáveis são investigados. No primeiro a pressão éarmazenada no centróide do elemento enquanto as velocidades são armazenadas nospontos médios dos lados (side-centred). No segundo a pressão também é armazenadanos centróides dos elementos, já as velocidades são armazenadas nos vértices (vertexcentred).Para a equação da continuidade, ambas as configurações usam os próprioselementos triangulares como volume de controle, enquanto que para a equação domomento, o volume de controle é um polígono centrado no vértice. Ambos os esquemasapresentam resultados com precisão parecida, porém, o esquema side-centred convergemais rapidamente. O acoplamento pressão-velocidade é realizado combinando-se aequação da continuidade e a equação do momento. O procedimento para a solução dasequações discretizadas é baseada no método SIMPLER.Em contrapartida, Foy e Dawes (2000) apresentam um esquema, em volumes finitospara fluídos incompressíveis, baseado em uma malha não estruturada de tetraedros ondeas variáveis são co-localizadas nos vértices das células. A solução é obtida utilizando ométodo de correção da pressão, com um passo preditor explícito da equação domomento, seguido por um passo corretor através da solução de uma equação de Poissonpara satisfazer a equação da continuidade.De acordo com Perot (2000), recentemente tem sido desenvolvido um grande númerode esquemas em malhas não estruturadas com arranjo deslocado baseado no método deHarlow e Welch (1965). Estes métodos têm sido criados com o objetivo de reter osaspectos atrativos do tratamento da pressão e a conservação das propriedades noclássico método de Harlow e Welch. Neste trabalho, Perot analisa a conservação domomento e da energia cinética, em métodos com malhas não estruturadas e arranjodeslocado.32


Doescher (2002) apresenta um esquema para verificar a condição de compatibilidadeem malhas não estruturadas. A condição de compatibilidade relaciona o termo fonte daequação de Poisson com a condição de contorno de Neumann para a pressão. Nestetrabalho enfatiza a geometria fractal para representar formas complexas presentes nanatureza e analisa as alterações no escoamento de um fluido pela introdução de umdomínio fractal. Resolve as equações de Navier-Stokes em escoamento incompressívelutilizando uma malha mista, formada em parte por uma malha retangular estruturada eem parte por uma malha não estruturada.Zhang et al. (2002) apresentaram uma solução para as equações de Navier-Stokes naforma rotacional. Na discretização das equações usam malha não estruturada e arranjodeslocado para armazenar as variáveis. A pressão e outras grandezas escalares sãoarmazenadas no centro das células, enquanto o vetor velocidade é distribuído nas faces.Cada face armazena somente a componente normal da velocidade naquela face. Nestetrabalho procuram analisar a conservação das propriedades e a precisão em um esquematridimensional.Tsui e Pan (2006) desenvolveram um método com base na correção da pressão pararesolver escoamentos viscosos e incompressíveis. A malha utilizada é não estruturada eos volumes de controle tem topologia arbitrária. Para alcançar a robustez do métodotodas as variáveis são co-localizadas no centro das células. Na discretização porvolumes finitos utilizam o teorema da divergência de Gauss e as equações são utilizadasna forma vetorial, o que possibilita a aplicação do método tanto em problemasbidimensionais quanto tridimensionais.2.2 Equações GovernantesAs equações que modelam o escoamento de fluidos compressíveis e incompressíveis,turbulentos e laminares são baseadas nos princípios físicos de conservação da massa, daquantidade de movimento e da energia (Fortuna, 2000). Estas equações de conservação,também conhecidas como equações de transporte, serão descritas a seguir.33


Considere a função dependente do tempo e do espaço representada por ( x t)fi , . Estafunção pode ser escalar, vetorial ou tensorial. Integrando essa função sobre um volumede fluido que se move com o fluido tem-se:F() t = f ( x t)dV∫∫∫V ( t)i, (2.1)Conforme Aris (1962), o teorema do transporte de Reynolds diz que a derivada de F ( t)em relação ao tempo é dada por:ddt∫∫∫V ( t)f⎡∂f⎣ ∂t( xi, t) dV = ∫∫∫⎢+ ( ∇.fV ) dVV ( t) ⎤⎥ ⎦(2.2)Aplicando o teorema da divergência de Gauss tem-se:onde () tddt∂f∫∫∫ fi ∫∫∫ +∂tV ( t)( x , t) dV = dV fV.nˆdsV ( t)S é a superfície de () t∫∫S ( t)V e nˆ é o versor normal a S ( t)esta equação mostra que a taxa de variação da integral de ( x t)(2.3). Do ponto de vista físicofimaterial móvel V () t é igual a integral da taxa de variação de ( x t)fixo mais o fluxo resultante de ( x , t)sobre a superfície ( t )fiS ., dentro do volumefi, em um volume2.2.1 Conservação da Massa e Equação da ContinuidadeSeja ( x i, t)ρ a massa por unidade de volume de um fluido na posição xie no tempo t .A massa em um volume material V ( t)é dada por:m =∫∫∫V ( t)ρ ( x , t)dV(2.4)iSe V(t) é um volume material onde não há fontes nem sumidouros, o princípio deconservação da massa estabelece que a taxa de variação de massa nesse volume é zero(Aris, 1962). Logo:dmdtd= ∫∫∫ρ ( xi, t) dV = 0(2.5)dtV ( t)34


Fazendoρ = f na Equação 2.2 a Equação 2.5 torna-se:∫∫∫V ( t)⎡∂ρ⎢+⎣ ∂t⎥⎦⎤( ∇.ρV) dV = 0(2.6)O volume V () t é qualquer, assim o integrando deve ser zero e, portanto, para umescoamento compressível tem-se a equação da continuidade dada na Equação 2.7.∂ρ+∂t( ∇. ρV) = 0(2.7)Um fluido em que a densidade ρ é constante é chamado incompressível. Neste caso aEquação 2.7 se torna simplesmente:∇. V = 0(2.8)2.2.2 Equação da Quantidade de MovimentoA segunda lei de Newton aplicada a um fluido passando através de um volume decontrole fixo infinitesimal fornece a equação da quantidade de movimento expressa em2.9 (Anderson et al., 1984).∂∂t( ρV) + ∇. ρVV= ∇.σ + ρf(2.9)O primeiro termo do lado esquerdo desta equação representa a taxa de aumento dequantidade de movimento por unidade de volume no volume de controle. O segundotermo do lado esquerdo representa a taxa de quantidade de movimento devido àconvecção. O segundo termo no lado direito representa as forças de campo. Forças decampo atuam a distância e aplicam-se a massa total do fluido, são exemplos de forças decampo a gravitacional, a força eletromagnética, centrífuga e de Coriolis. A força decampo mais comum é a força gravitacional, neste caso, f é igual a aceleração da gravidade. Assim, ρ f = ρg. O termo ∇ . σ representa as forças de superfície. Essasforças são aplicadas por tensões externas sobre o elemento de fluido. Para um fluido35


newtoniano σ = −PI + τ , onde ( V V T ⎛ 2 ⎞ τ = μ ∇ + ∇ ) − ⎜ μ − κ ⎟( ∇.V )I , κ é viscosidade⎝ 3 ⎠volumétrica e I é a matriz identidade (Bird et al., 2004). Substituindo σ = −PI + τ na Equação 2.9, a equação para a quantidade de movimentopode ser escrita da seguinte maneira:∂∂t( ρV) + ∇ ρVV= −∇.PI + ∇.τ + ρg. (2.10)2.2.3 Equação da Conservação da EnergiaDe acordo com Kuo (1986), podemos escrever a lei de conservação de energia para umfluido dentro de um volume de controle da seguinte forma:∂ρet∂t + ∇. ρeV= −∇.q + Q+ ∇.σ.V + ρf. Vt(2.11)O primeiro termo do lado esquerdo é a taxa de variação de energia interna e cinética, osegundo é a taxa líquida de fluxo de energia interna e cinética por convecção. Oprimeiro termo do lado direito representa a taxa líquida de calor devido ao fluxo decalor q , o segundo a fonte de calor, o terceiro é a taxa de trabalho devido ao tensor detensões, já o quarto representa a taxa de trabalho devido às forças de campo.O lado esquerdo da Equação 2.11 pode ser escrito conforme é dado abaixo:∂e∂t∂ρ+ e + e ∇.∂tV + ⎛ ∂ρV.∇e= e + ∇.⎝ ∂t ⎞V +⎠ttρttρ ρt t ⎜ ρ ⎟ ρ ρVet(2.12)Desse modo, usando a Equação 2.12 juntamente com a equação da continuidade e fazendo ρ f = ρga Equação 2.11 fica:∂e∂t+. ∇∂et ρ + ρV. ∇et= −∇.q + Q+ ∇.σ.V + ρg.V(2.13)∂tA Equação 2.13 é chamada forma de Euler da equação da energia.Segundo Bird et al. (2004), a equação de balanço para a temperatura, em termos dofluxo de calor q e do tensor τ pode ser expressa na Equação 2.14.36


ρCPDTDt ⎛ ∂ ln ⎞= −∇.q + Qρ+ τ .∇V− ⎜1+⎟⎝ ∂ lnT⎠PDpDt(2.14)Nesta equação, se o termo da dissipação viscosa for omitido, uma vez que ele éimportante apenas em escoamentos com enormes gradientes de velocidade, se a lei deFourier para o fluxo q for utilizada e considerar-se um sistema a pressão constante esem geração de calor, a Equação 2.14 torna-se simplesmente:DTρ C P= ∇.k∇T(2.15)DtD ∂ Lembrando que o operador derivada total é = + V.∇ , a Equação 2.15 escrita naDt ∂tforma usual fica:⎛ ∂T ⎞ρ C P ⎜ + V.∇T⎟ = ∇.k∇T(2.16)⎝ ∂t⎠37


3 MODELAGEM NUMÉRICAO CFD (Computational Fluid Dynamics) é uma área da mecânica dos fluidos que usamétodos e algoritmos numéricos para resolver e analisar problemas envolvendoescoamento de fluidos, transferência de calor e fenômenos associados a reaçõesquímicas. Esta técnica tem se mostrado muito potente e eficaz na solução de uma sériede problemas, como por exemplo, processo de engenharia química que envolve misturae separação, aerodinâmica de carros e aviões, previsão do tempo na meteorologia, fluxosanguíneo através de veias e artérias na engenharia biomédica, entre outras (Versteeg eMalalasekera, 1995).Um código em CFD contém basicamente três elementos principais: Pré-processamento,algoritmo de técnicas de solução, pós-processamento. No pré-processamento sãotratadas todas as informações referentes à geometria do problema, como geração damalha, especificação das condições de contorno apropriadas, das células que coincidemcom o domínio de contorno e cálculo de grandezas que só dependem do domíniocomputacional.O algoritmo de solução constitui um conjunto de técnicas numéricas utilizadas nadiscretização das equações governantes do fenômeno. Existem vários métodos que sãofrequentemente utilizados. Neste trabalho apenas três serão descritos: Método dasdiferenças finitas, método dos elementos finitos e o método dos volumes finitos. Nométodo das diferenças finitas as derivadas das EDP’s são aproximadas por diferenças,as quais geralmente, podem ser obtidas utilizando-se de expansões em série de Taylorem torno dos pontos distribuídos no domínio. O método das diferenças finitas semprefoi utilizado pelos pesquisadores da área de escoamentos de fluidos, porém geralmentebaseado no sistema de coordenadas ortogonais, como o cartesiano, o cilíndrico e oesférico. O método dos elementos finitos é também usado há muito tempo. Ele é muitoaplicado, por exemplo, na área estrutural na solução de problemas de elasticidade. Nométodo dos elementos finitos são empregadas funções de interpolação e as equaçõesdiscretizadas são solucionadas através da minimização de um resíduo ponderado.39


Conforme Maliska (1995), o método dos elementos finitos pode ser aplicado emvolumes elementares, sendo denominado método dos elementos finitos baseado novolume de controle, conhecido na literatura internacional como CVFEM – ControlVolume Finite Element Method, que tem por objetivo obter as equações aproximadasem volumes elementares usando-se funções de suavização e interpolação dentro dovolume como elementos finitos.Geralmente nos problemas onde a convecção é dominante tanto o método das diferençasfinitas quanto o método dos elementos finitos quando usados produzem instabilidades.Estes e outros problemas parecidos motivaram pesquisas para o aprimoramento dométodo dos volumes finitos que será descrito com maiores detalhes na seção 3.1, pois éo método que foi utilizado neste trabalho. Ainda, referente às técnicas de solução, estásendo desenvolvido uma biblioteca de visualização capaz de atualizar os camposcalculados em cada iteração, para auxiliar na identificação de erros e instabilidades quesurgem no desenvolvimento do modelo. Esta biblioteca será descrita no capítulo 4.Finalmente tem-se o pós-processamento que é utilizado na visualização e tratamentodos dados obtidos através dos cálculos numéricos. Na literatura podem ser encontradosdiversos softwares que, de um modo geral, incluem a visualização da malhacomputacional, distribuição vetorial, gráficos de contorno, gráficos sobre superfícies 2De 3D e visualizações de linhas de fluxo e de trajetórias das partículas. O pósprocessamentoutilizado neste trabalho foi desenvolvido pelo nosso grupo e serádescrito na seção 4.3.3.1 Método dos Volumes FinitosO método dos volumes finitos foi originalmente desenvolvido como uma formulaçãoespecial em diferenças finitas, no qual as equações aproximadas são obtidas através debalanços de conservação de massa, energia e quantidade de movimento no volumeelementar (Versteeg e Malalasekera, 1995). No método dos volumes finitos o domíniode cálculo é dividido em volumes de controle que não se sobrepõem, onde cada um40


desses volumes tem dentro de si um ponto nodal. O algoritmo numérico consiste dosseguintes passos:• Integração das equações governantes na forma conservativa sobre todos osvolumes de controle do domínio computacional.• Transformação da equação integral em um sistema de equações algébricas,aproximando, por diferenças finitas, os termos da equação que representamprocessos tais como convecção e difusão.• Solução das equações algébricas por um método numérico.O primeiro passo, integração das equações no volume de controle, distingue o métododos volumes finitos de todas as outras técnicas em CFD. Esta integração representa aconservação da propriedade no volume de controle, relacionando assim, o algoritmonumérico com a conservação dos princípios físicos (Patankar, 1980).A título de ilustração vamos discretizar, por volumes finitos, a equação para conduçãode calor unidimensional no caso estacionário. Essa equação é dada por:ddx⎛⎜k⎝dTdx⎞⎟ + S = 0⎠onde k é a condutividade térmica, T é a temperatura e S é o termo fonte.(3.1)A Equação 3.1 será discretizada no volume de controle mostrado na Figura 3.1. Estamosinteressados no cálculo da temperatura no ponto P , os pontos W e E são os vizinhosde P . As linhas pontilhadas na figura representam as faces do volume de controledenominadas w e e .Figura 3.1 - Volume de controle unidimensional.Fonte: Patankar (1980).41


O primeiro passo é integrar a Equação 3.1 sobre o volume de controle:e∫wddx⎛⎜k⎝dTdxe⎞⎟ + ∫ = 0⎠dx Sdxw(3.2)A resolução desta integral, utilizando uma interpolação linear para o termo fonte, resultaem:⎛ kdT ⎞⎜ ⎟⎝ dx ⎠e⎛ kdT ⎞− ⎜ ⎟⎝ dx ⎠w+ SΔx= 0(3.3)dTUtilizando uma aproximação em diferenças finitas para as derivadas a Equação 3.3dxtorna-se:ke( TE− TP)( δx)e− kw( TP− TW)( δx)w+ SΔx= 0(3.4)onde S é um valor médio para o termo fonte, kee kwsão as condutividades térmicas naface e e na face w respectivamente.Conforme Patankar (1980) é útil expressar a Equação 3.4 da seguinte forma:A T= A T + A T B(3.5)P P E E W W+Os coeficientes dessa equação são dados abaixo:AAEWke= (3.6)( δx) ekw= (3.7)( δx) wA = A + A(3.8)PEWB = SΔx(3.9)De um modo geral, a forma final da equação integrada, isto é, a equação deaproximação algébrica que estabelece a relação do valor de uma determinada grandezaΦ em um ponto P com os valores dos seus vizinhos, pode ser expressa em uma forma42


generalizada para cada um dos volumes de controle do domínio, conforme Equação3.10. O sistema obtido pode, então, ser resolvido através de um método numérico.A Φ = ∑ A Φ B(3.10)P Pnb nb+nbem que nb é o número de vizinhos de P e∑A = .PA nbnbTendo em vista as considerações anteriormente citadas, é evidente que no uso demétodos numéricos para resolver equações diferenciais parciais (EDP’s), a região dodomínio não é tratada como contínua, mas sim como um conjunto finito de pontos, ondeas variáveis são calculadas. A idéia então, é dividir a região em estudo em um conjuntode pontos ou células, esse conjunto de pontos é denominado malha. Existem dois tiposde malhas que freqüentemente são utilizadas no desenvolvimento de um modelonumérico, a malha estruturada e a malha não estruturada.3.1.1 Malhas EstruturadasBasicamente a principal característica da malha estruturada é que cada volume internotem sempre o mesmo número de vizinhos e a numeração destes tem uma seqüêncianatural. A discretização em malhas estruturadas apresenta uma série de vantagens para aimplementação, uma vez que a regra de ordenação dos elementos simplifica as rotinas ede acordo com Maliska (1995), a matriz resultante tem diagonais fixas, o que possibilitaa aplicação de diversos métodos encontrados na literatura para matrizes com bandasfixas. Entretanto, quando o domínio trata de uma geometria complexa, a discretizaçãoem malhas estruturadas torna-se custosa em termos de tempo computacional, pois émuito difícil acompanhar os contornos desse tipo de geometria utilizando malhasestruturadas. Na Figura 3.2 observa-se um exemplo de malha estruturada.43


Figura 3.2 - Malha estruturada.3.1.2 Malhas Não EstruturadasAs malhas não estruturadas surgiram devido à necessidade de modelar domínios egeometrias complexas, tarefa difícil de conseguir com malhas estruturadas. Ao contráriodas malhas estruturadas, nas malhas não estruturadas não existe uma lei de formaçãopara numeração dos volumes elementares e o número de vizinhos pode variar devolume para volume, apresentando assim, uma versatilidade e adaptatividade ageometrias e contornos complexos. Porém, este aspecto também caracteriza uma desuas desvantagens que é a dificuldade em estabelecer uma regra de ordenação. Como onúmero de vizinhos de cada elemento é variável, obtém-se uma matriz com bandavariável, o que exige flexibilidade dos métodos de solução do sistema. Normalmente,em malhas bidimensionais, a discretização consiste em um conjunto de triângulos e parao caso tridimensional, de tetraedros. A precisão de uma solução em CFD estáfortemente relacionada com o número de células da malha, em geral uma malha commaior número de células fornece uma solução mais precisa. Tanto a precisão quanto otempo e custo computacional são dependentes do refinamento da malha. Malhas ótimassão freqüentemente não uniformes, isto é, malhas mais refinadas em regiões queocorrem grande variação da grandeza e grosseiras onde essa variação é relativamentepequena.A maioria dos métodos numéricos para malhas não estruturadas pertence a duas classesde métodos: centrado na célula (cell-centered), onde as variáveis são calculadas nocentro das células e célula-vértice (cell-vertex), onde as variáveis são calculadas nos44


vértices da célula. Nos métodos célula-vértice os volumes de controle são polígonosconstruídos em volta dos vértices dos elementos e geralmente são criados de duasformas distintas, uma utilizando o método das medianas e a outra a partir datriangulação de Delaunay, dando origem aos diagramas de Voronoi que para o caso demalhas triangulares, as células são formadas unindo-se os circuncentros das células quecompartilham um vértice.Neste trabalho a malha não estruturada foi gerada através do software de domíniopúblico easymesh (Niceno, 1997). O easymesh é um software específico para geração demalhas não estruturadas triangulares em um domínio bidimensional. Sua utilização é defácil entendimento, ele pode ser aplicado em diversos tipos de contorno e permite orefinamento local da região de interesse. Ao gerar a malha o easymesh fornece trêsarquivos de saída com as seguintes extensões:• . n arquivo de vértices;• . e arquivo de triângulos;• . s arquivo de lados.No entanto, as informações fornecidas nesses arquivos não foram suficientes para odesenvolvimento do modelo numérico deste trabalho, sendo assim foi necessáriodesenvolver um pré-processamento para calcular uma série de propriedades adicionais.O pré-processamento desenvolvido para o nosso modelo, será descrito na seção 4.2.Um exemplo de malha não estruturada gerada pelo easymesh pode ser visualizado naFigura 3.3 .45


Figura 3.3 - Malha não estruturada gerada pelo easymesh.3.2 Abordagem Baseada no Circuncentro (ABC)Conforme Fazenda (2002), a abordagem baseada no circuncentro pode ser aplicadatanto na discretização de domínios bidimensionais quanto em domínios tridimensionais,ela consiste na utilização do circuncentro ou circunsfera, respectivamente, como o localonde as variáveis são calculadas. O circuncentro de um triângulo é o ponto deintersecção de suas mediatrizes e como a mediatriz do lado de um triângulo é uma retaperpendicular ao lado no seu ponto médio, dois triângulos que têm um lado em comumtêm seus circuncentros sobre a mediatriz daquele lado, isto é, a linha que une oscircuncentros de duas células vizinhas é perpendicular à parede da célula como estáilustrado na Figura 3.4 .46


Figura 3.4 - Reta que une dois circuncentros vizinhos.Fonte: Adaptado Fazenda (2002).Essa abordagem para malhas não estruturadas, segundo Fazenda (2002), apresenta umaconvergência de 2ª ordem para problemas difusivos não lineares, além de suaimplementação ser consideravelmente simples.Para ilustrar a técnica ABC, faremos sua aplicação na equação para o transportedifusivo de uma grandeza genérica Φ . Considerando o caso estacionário e sem termofonte essa equação é dada por:( Γ∇Φ) 0∇ . =(3.11)onde Γ é o coeficiente de difusão.Para discretizar a Equação 3.11 pelo método dos volumes finitos basta integrá-la novolume de controle:∫∫∫V∇ .( Γ∇Φ)dV(3.12)Utilizando o teorema de Gauss, fica:∂Φ.( ΓiSi(3.13)∂n∫∫∫ ∇ Γ∇Φ)dV = ∫∫ ( Γ∇Φ ) ⋅ ndS ˆ = ∑=VSi a, b , c ˆiLembrando que a reta que une os circuncentros de dois triângulos vizinhos éperpendicular ao lado comum, a aproximação para a derivada direcional no cálculo dosfluxos difusivos, dado na Equação 3.13 resulta:47


∂ Φ ~ =∂nˆiΦI− ΦDistPP−I(3.14)Para uma malha triangular, conforme mostra a Figura 3.5 , cada volume de controle terátrês vizinhos, denominadosP .VA , VB e VC , sendo o triângulo central identificado porFigura 3.5 - Elemento triangular usado na discretização.Fonte: Adaptado Fazenda (2002).Logo, para o triângulo P com ladosSa , Sb,e Sc , tem-se para o termo difusivo aequação discretizada dada por:ΦVA− ΦPΦVB− ΦPΦVC− ΦPSaΓsa+ SbΓsb+ ScΓsc= 0(3.15)DistDistDistP−VAP−VBRearranjando os termos, a Equação 3.15 torna-se:P−VConde,A Φ = A Φ + A Φ + A Φ(3.16)ppaVAbVBcVCAaS ΓDista sa= (3.17)P−VAASΓb sbb= (3.18)DistP−VB48


AcS ΓDistc sc= (3.19)P−VCA = A + A + A(3.20)pabc3.3 Acoplamento Pressão-VelocidadeO acoplamento entre pressão e velocidade é responsável pela maioria dos esforços parasolução de problemas em escoamentos de fluidos. A forma de acoplamento varia, pois oescoamento pode ser compressível ou incompressível. Nas situações de escoamentocompressível, a massa específica ρ do fluido constitui mais uma incógnita do problema,pois pode variar no tempo e no espaço, com a pressão. Neste caso, além das equaçõesde conservação da massa e da quantidade de movimento, mais uma equação énecessária para o fechamento do sistema. Normalmente, uma equação de estado do tipo( ρ T )P = P , é a equação evolutiva para a pressão, enquanto a equação da continuidade épara a massa específica. Dessa forma, calcula-se o campo de densidades usando aequação da conservação da massa, a temperatura usando a equação da energia e com osvalores obtidos para ρ e T , calcula-se a pressão, através da equação de estado.No caso de escoamentos incompressíveis, em que a massa específica não varia com apressão, a equação de estado não pode mais ser empregada, pois, a pressão não é umagrandeza termodinâmica. Nesse caso, a pressão deve ser um parâmetro de ajuste dasequações. Assim, a grande dificuldade consiste em encontrar um procedimentoadequado que permita calcular um campo de pressão P , que quando inserido naequação da quantidade de movimento, dê origem a um campo de velocidades quesatisfaça o princípio de conservação da massa.Alguns dos principais esquemas desenvolvidos para tratar o acoplamento entre apressão e a velocidade em escoamentos incompressíveis serão descritos a seguir.49


3.3.1 Método de ChorinChorin desenvolveu dois métodos para tratar o problema do acoplamento emescoamentos incompressíveis. O primeiro método desenvolvido foi baseado no uso dacompressibilidade artificial, através do qual o escoamento é tratado como compressível,efeito que desaparece quando a solução em regime permanente é atingida. Por sua vez,o segundo método de Chorin consiste em obter aproximações iniciais para V e Patravés de sucessivas correções iterativas em cada intervalo de tempo. Dado o campo de* * *velocidades no instante de tempo t , seja V = ( u ,v ) a solução da equação domovimento desprezando o termo referente a pressão. O valor de V = ( u,v)no instante*t + Δt pode ser relacionado ao valor inicial V através das seguintes equações:* ∂Pρ u = ρu− Δt(3.21)∂x* ∂Pρ v = ρv− Δt(3.22)∂yLembrando que a pressão não é conhecida e que esta deve ser determinada de modo queo princípio de conservação da massa seja satisfeito, Chorin propôs o seguinte esquemaiterativo:Pn+1= Pn− λD(3.23)onde D é a aproximação numérica da equação de conservação da massa , λ é um fatorde relaxação e n é o nível iterativo dentro do intervalo de tempo. O algoritmo seguindoestá metodologia é sintetizado abaixo:1. Obter u * e*v2. Corrigir u e v usando as Equações (3.21) e (3.22)3. Calcular P através da Equação (3.23)50


4. Repetir os passos 2 e 3 até obter a convergência para a velocidade e pressão,dentro da precisão desejada.5. Repetir o processo para o novo intervalo de tempo.Algoritmo 3.1 – Método de Chorin - Adaptado de Maliska (1995)3.3.2 Método SIMPLEO método Semi Implicit Linked Equations ou SIMPLE (Patankar e Spalding, 1972) éum dos métodos mais populares de acoplamento pressão-velocidade e se baseia numprocedimento cíclico de estimativa e correção, para resolver as equações do movimento.Inicialmente estima-se um campo de pressão*P e obtêm-se através das equações de* *conservação da quantidade de movimento um campo de u e v que, inicialmente, nãosatisfazem a equação de continuidade. A fim de encontrar o campo correto develocidades estabelecem-se expressões de correção para as velocidades u * efunção de gradientes de correção de pressãofor mais necessária, estes gradientes denula também. Para avançar*v em'P . Quando esta correção de pressão não'P serão nulos e a correção sobre u * e*v será'P utiliza-se à equação da continuidade, onde as equações'de correção são introduzidas gerando uma equação de Poisson para P .Para facilitar a compreensão o método será aplicado em uma malha estruturadabidimensional, conforme Figura 3.6.Figura 3.6 - Malha deslocada para acoplamento pressão-velocidadeFonte: Adaptado Patankar (1980).51


A equação do momento integrada nesta malha fica:( P − P ) ΔyBAe ue= ∑ Anbunb+p E+(3.24)nb( P − P ) ΔyBAw uw= ∑ Anbunb+W P+(3.25)nb( P − P ) ΔxBAn vn= ∑ Anbvnb+p N+(3.26)nb( P − P ) ΔxBAs vs= ∑ Anbvnb+S P+(3.27)nbA equação da continuidade é dada por:( u − u ) Δy+ ( v − v ) Δx= 0e wn s(3.28)Ao se calcular os campos de velocidade a partir de um campo de pressãocampo de pressão verdadeiro se obtêm campos de velocidade*u e*P diferente do*v , sendo assim,* *( P − P ) ΔyB**Ae ue= ∑ Anbunb+P E+nb* *( P − P ) ΔyB**Aw uw= ∑ Anbunb+W P+nb* *( P − P ) ΔxB**An vn= ∑ Anbvnb+N P+nb(3.29)(3.30)(3.31)* *( P − P ) ΔxB**As vs= ∑ Anbvnb+S P+nb(3.32)Subtraindo 3.29 á 3.32 de 3.24 á 3.27 respectivamente e fazendo as simplificaçõespropostas por Patankar (1980) tem-se:uu'e'w==' '( P − P )PE' '( P − P )WPΔyAeΔyAw(3.33)(3.34)52


v'n=' '( P − P )PNΔxAn(3.35)v's=' '( P − P )SPΔxAs(3.36)Substituindo as Equações (3.33) à (3.36) na equação da continuidade discretizada dadapela Equação 3.28 e lembrando quepara'P da forma:u +* '= u u ev +* '= v v , obtém-se uma equaçãoA P' = ∑ A P' B(3.37)p Pnb nb+nbA partir da Equação 3.37 é possível obter o valor de P ' , e desta forma corrigir asvelocidades usando as Equações 3.33 - 3.36 , obtendo-se um campo de velocidades quesatisfaz a equação da continuidade. O novo campo de pressão deve ser calculadoutilizando a Equação 3.38.Pα* '= P + P(3.38)onde α é um parâmetro de sub-relaxação usado para garantir a convergência. Destemodo o método SIMPLE poderá ser descrito pelo algoritmo 3.2:1. Estimar os campos de velocidade e pressão.2. Resolver as equações do movimento, usando3. Resolver a Equação 3.37 e obter'P .*P e obter4. Corrigir a velocidade usando as Equações 3.33 - 3.36.5. Calcular P através da Equação 3.38.*u e v * .*6. Fazer P = P e voltar ao passo 2 até obter convergência.Algoritmo 3.2 – Método SIMPLE - Adaptado de Patankar (1980)53


3.3.3 Método SIMPLERComo o cálculo da pressão através da equação 3.38 não é um procedimento robusto, enormalmente exige severos coeficientes de sub-relaxação para alcançar a convergência,Patankar (1980) apresenta através do SIMPLER (SIMPLE - Revisado) uma novamaneira de calcular o campo de pressão em cada iteração. Neste método utiliza aspróprias equações de conservação do movimento para encontrar o campo de pressão. Aequação do movimento já aproximada para os volumes é escrita então, da seguinteforma:onde VˆP ∇PVP= Vˆ P−(3.39)AP∑ AnbVnb+ Bnb=APSubstituindo a Equação 3.39 na equação da continuidade obtemos uma equação para Pidêntica a Equação 3.37 como mostra a Equação 3.40. Essa nova pressão é utilizadapara o próximo ciclo iterativo.APPP= ∑ A P − ∇. Vˆ(3.40)nbnbnbO método SIMPLER pode ser descrito no algoritmo 3.3.1. Estimar os campos de velocidade e pressão;2. Repetir os itens de 2 a 4 do método SIMPLE;3. Calcular Vˆ P ;4. Calcular P através da Equação 3.40;*5. Fazer P = P e voltar ao passo 2 até obter convergência.Algoritmo 3.3 – Método SIMPLER - Adaptado de Maliska (1995)54


3.3.4 Método PRIMENo método PRIME a idéia principal é realizar o cálculo da velocidade e da pressão aomesmo tempo, isto é, a pressão encontrada por meio da Equação 3.40 é utilizadatambém para corrigir as velocidades através da Equação 3.39 . Neste caso não énecessário encontrar P ' .O algoritmo 3.4 descreve os passos utilizados no método PRIME.1. Estimar os campos de velocidade e pressão;2. Calcular as velocidades Vˆ Pem todas as interfaces;3. Calcular P através de da Equação 3.40 ;4. Corrigir as velocidades usando a Equação 3.39 ;*5. Fazer P = P e voltar ao passo 2 até obter convergência;Algoritmo 3.4 – Método PRIME - Adaptado de Maliska (1995)Conforme Maliska (1995), os métodos acima citados apresentam vantagens edesvantagens, no método SIMPLE não há necessidade da solução de um sistema linearpara determinar a pressão, porém possui uma série de limitações, sobretudo, em relaçãoa velocidade de convergência que é bem pequena. No método SIMPLER duas equações'de Poisson são resolvidas, uma para P e outra para P , entretanto a convergência ébem mais rápida. Finalmente no método PRIME não existe a necessidade de resolversistemas de equações para obter as velocidades, elas são avançadas durante o cicloiterativo de uma maneira similar ao método de Jacobi. Porém, como a solução dasequações do movimento é realizada com um método iterativo, a convergência é maislenta.55


4 VISUALIZAÇÃO GRÁFICANeste capítulo serão descritos a biblioteca computacional de visualização que está emdesenvolvimento, o pré-processamento e o software de pós-processamento que foidesenvolvido e utilizado neste trabalho.4.1 Biblioteca RTVisualA biblioteca de visualização RTVisual está sendo desenvolvida com o intuito de auxiliarna localização e identificação de erros e instabilidades que surgem durante odesenvolvimento de um modelo numérico devido a implementação errada das equaçõesdiscretizadas ou mesmo devido ao esquema numérico utilizado. Esta biblioteca pode serutilizada para visualização de um campo escalar ou vetorial bidimensional. No casotridimensional, pode se construir um corte do domínio e visualizá-lo. A visualização vetorialseria alguma forma de projeção ou mais geral duas formas lineares do vetor tridimensional.Abaixo seguem as especificações desta biblioteca.• Constrói malhas com diferentes formas: malha triangular, malha formada pelospolígonos de Voronoi e a malha estruturada retangular;• Cria várias páginas para visualização de diferentes grandezas, exemplo:componente u da velocidade, componente v da velocidade, pressão, etc.;• Em cada página pode ser visualizada mais de uma malha, exemplo: na páginade visualização do campo de pressão é desenhada a malha triangular original e amalha formada pelos polígonos de Voronoi;• A representação dos valores que a variável assume em cada ponto e em cadaiteração é feita através de um cromograma;• Através do botão Stop, permite o usuário interromper a exibição em tempo realdos campos calculados. Este procedimento não finaliza o processo iterativo docódigo fonte do usuário. A exibição dos campos poderá ser retomada a qualquermomento clicando-se em Resume;57


• Para localizar uma determinada célula, digita-se o respectivo índice na caixaIndex e clica-se em Find. A célula procurada será destacada na malha e o valorda variável correspondente será informado na caixa value;• Ao clicar em uma célula no interior da malha é fornecido na caixa index oíndice da célula e na caixa value o respectivo valor da grandeza;• Possui uma escala de cores representativa para a grandeza calculada. Nestaescala tem-se uma barra de rolagem que permite alterar a correspondência entrea cor e o valor da grandeza. Isso permite que o usuário possa visualizarpequenas variações na grandeza perto de um de seus limites. A escala de coresmostra também o valor máximo e mínimo da grandeza naquela iteração.• Através da função Save Still localizada no menu Image é possível salvar aimagem final em formato JPEG, GIF ou BMP.• Através da função save sequence no menu Image o usuário tem a opção desalvar uma seqüência de imagens de acordo com o número de iterações por eledefinido. Isso permite, por exemplo, que o usuário faça um filme ou um GIFanimado para apresentação;• Possui ferramenta de zoom muito útil para visualização de regiões refinadas damalha;• Possui uma caixa de diálogo para exibição de mensagens enviadas pelo usuário.• Ao se clicar no botão exit encerram-se todas as tarefas e a janela de visualizaçãoserá fechada.A biblioteca é constituída de funções básicas e funções derivadas. Cada uma destasfunções, sua utilização e finalidade são descritas a seguir:1. void InitiateRTV (void): Inicializa as variáveis iniciais da biblioteca.58


2. bool CreateRTVWindow (char*): Cria a janela de visualização. O parâmetropedido é um string alfanumérico que será o título da janela. As diversas páginasque serão visualizadas devem ser definidas antes da criação da janela.3. bool CreateRTVPage (char*, int, int*): Cria cada página de visualização. Oprimeiro parâmetro é o título da aba da página, por exemplo, “Pressão”. Osegundo é o número de malhas que serão visualizadas. O último parâmetro é ovetor de índices das malhas que serão visualizadas. Por exemplo, se foremcriadas quatro malhas e se for utilizar a primeira e a terceira o vetor será [0 2].4. bool CreateRTVMesh (int, double*, double*, int, int*, int** ): Cria cada malhaque será visualizada. O primeiro parâmetro é o número de pontos da malha. Osdois parâmetros seguintes são os “vetores” de coordenadas x e y dos pontos damalha. O quarto parâmetro é o número de polígonos da malha e o quinto um“vetor” com o número de lados de cada polígono. Por exemplo, se a malha forde polígonos de Voronoi, cada “componente desse vetor” será o número delados do polígono. Se a malha for retangular todas as “componentes do vetor”serão iguais a quatro. O último parâmetro é um “vetor de vetores” com osíndices dos pontos que compõem o polígono. Essa função é de utilizaçãorelativamente complexa e por isso estão sendo criadas funções derivadas delaque permitem a criação de malhas mais facilmente. Atualmente a única funçãoderivada implementada é a função bool CreateRTVMeshTrg (int, double *,double *, int, int *, int *, int *).5. bool CreateRTVMeshTrg (int, double *, double *, int, int *, int *, int *): Essafunção cria uma malha triangular. O primeiro parâmetro é o número de vértices.O segundo e terceiro parâmetros são “vetores” das coordenadas x e y dessesvértices. O quarto parâmetro é o número de triângulos da malha. Os três últimosparâmetros são os “vetores” contendo os índices dos vértices A, B e C dostriângulos da malha.6. bool PaintRTVVarField (int, double*): Mostra em cada página o novo campocalculado. O primeiro parâmetro é o índice da página. O segundo é um “vetor”59


com os valores calculados, por exemplo, os valores da componente u do vetorvelocidade calculado nos circuncentros dos triângulos.7. bool SendRTVMessage (Char*): Essa função permite o envio de mensagenspara a tela de visualização. Por exemplo, em um processo iterativo para ocálculo da velocidade, o programa pode parar por ter atingido o númeromáximo de iterações, sem ter alcançado convergência, se isto ocorrer o usuáriopoderá enviar para a tela a mensagem “Erro! O campo de velocidade nãoconvergiu!”.8. void CloseRTV (void): Essa função libera a memória alocada pela biblioteca emsua inicialização.A interface da janela de visualização, com o desenho de uma malha triangular e umperfil desenvolvido de velocidade pode ser vista na Figura 4.1.Figura 4.1 - Interface da biblioteca de visualização.60


Um detalhe importante é que a biblioteca RTVisual, para seu funcionamento, definenovas variáveis, funções, etc. Todos os nomes dessas funções, variáveis se iniciam coma sigla RTV para evitar conflito com os nomes das variáveis no programa principal.Portanto, ao se utilizar essa biblioteca deve-se evitar utilizar nomes que começam comessa sigla.As funções derivadas da função CreateRTVMesh, já implementadas estarão disponíveisno arquivo de ajuda para servir de roteiro para a criação de novas funções adequadas aoutras situações.4.2 Pré – ProcessamentoO desenvolvimento do programa de pré-processamento é importante porque evitaesforço computacional desnecessário no cálculo de grandezas que são constantes e sódependem da geometria da malha.No pré-processamento aqui desenvolvido, inicialmente faz-se uma reordenação doselementos. Os triângulos que tem um lado sobre o contorno foram reordenados de formaque este lado seja o lado sa deste triângulo. Já os triângulos que tem apenas um vérticesobre o contorno foram reordenados de forma que este vértice seja o vértice A dotriângulo. Além da reordenação dos elementos também foi gerado dois novos arquivoscuja extensão é . v e . t , com informações adicionais sobre os vértices e sobre ostriângulos respectivamente. O formato de todos os arquivos que constituem os dados deentrada do nosso modelo é dado a seguir.Formato do arquivo de vértices, extensão . n :< número total de vértices >< nº. vértice: > < x > < y > < tipo >Formato do arquivo de triângulos, extensão . e :< número total de triângulos > < A > < B > < Sa > < Sb > < Sc > < x c> < y c> 61


No arquivo de triângulos com extensão . e A , B e C são os vértices que formam otriângulo, VA , VB e VC são os triângulos vizinhos ao triângulo P , Sa , Sb e Sc são oslados dos triângulos e x ceycsão as coordenadas do circuncentro do triângulo. Porúltimo, o tipo identifica qual o tipo do triângulo, isto é, se ele é um triângulo interno ouse está sobre o contorno.Formato do arquivo de lados, extensão . s : onde c e d são os pontos inicial e final do lado, ea e eb são os elementos a esquerda ea direita do lado, conforme figura 4.2. Se ea ou eb for − 1, isso significa que o lado estásobre o contorno.Figura 4.2 - Representação do arquivo de lados.Formato do arquivo de vértices, extensão . v : < x n> < y n>Neste arquivo, x neynsão as coordenadas da normal resultante da soma das normaisn 1e n 2indicadas na Figura 4.3. Os triângulos e os vértices vizinhos de um determinadovértice foram ordenados no sentido anti-horário. Para alcançar este objetivo a utilizaçãoda biblioteca RTVisual foi de fundamental importância, pois permitiu a verificação dosdados.62


Figura 4.3 - Representação das normais.Arquivo de triângulos, extensão .: t < x a> < y a> < x b> < y b> < x c> < y c> < α a> < α b> < α c> < ra > < rb > < rc >No arquivo de triângulos com extensão . t xa, ya,xb,ybe x c,ycrepresentam ascoordenadas das normais opostas aos vértices A , B e C respectivamente,α aé adistância do circuncentro do triângulo ao ponto médio do lado Sa , αba distância docircuncentro do triângulo ao ponto médio do lado Sb emédio do lado Sc . Finalmente,rSα ca distância até o pontoii= representa a razão entre o tamanho do ladoDistP−ViSi pela distância do circuncentro do triângulo P ao circuncentro do triângulo vizinhoVi .4.3 Pós-ProcessamentoA visualização da malha e tratamento dos dados foi feita através do software gráficodesenvolvido em nosso grupo. Este software apresenta as seguintes características:• Constrói a malha, a partir da leitura dos arquivos originais do easymesh ou dosnovos arquivos obtidos através do pré-processamento;63


• Lê valores calculados pelo programa para variáveis como componente u ou vda velocidade, pressão, temperatura, etc. e representa esses valores através deum cromograma.• Possui uma escala de cores com as mesmas características da escala de cores dabiblioteca RTVisual.• Ao clicar em um determinado triângulo no interior da malha fornece, na caixa dediálogo localizada no canto esquerdo inferior da interface, o valor da grandeza eo índice do triângulo.• Para localizar um determinado triângulo, digita-se o respectivo índice na caixaíndice e clica-se no ícone achar. O triângulo procurado será destacado na malha.• Possui ferramenta de zoom, muito útil na visualização de regiões refinadas namalha;• Exporta a imagem em formato JPEG, GIF ou BMP para possíveis análisesfuturas.A interface deste software e a distribuição de temperatura em torno do filamento quentedo reator podem ser observadas na Figura 4.4.64


Figura 4.4 - Interface do software gráfico.65


5 DISCRETIZAÇÃO E SOLUÇÃO – RESULTADOSNeste capítulo as equações utilizadas no modelo serão discretizadas e será apresentado oalgoritmo de solução de cada uma delas. A primeira equação a ser tratada é a equaçãopara o cálculo da transferência de calor. Em seguida trataremos a equação da quantidadede movimento e o acoplamento pressão-velocidade.5.1 Difusão de CalorA equação para o cálculo da transferência de calor pode ser obtida a partir da equaçãoda energia dada em 2.14 .Vamos supor a pressão constante, somente o transportedifusivo de calor e sem fontes. Sendo assim a Equação 2.14 fica:∂Tρ C P=∇.( k∇T)(5.1)∂tA Equação 5.1 foi discretizada de duas maneiras, a primeira com a aplicação do teoremado gradiente e o cálculo da temperatura nos baricentros dos triângulos. A segundamaneira, através da Abordagem Baseada no Circuncentro (ABC), com o cálculo datemperatura nos circuncentros. Essas discretizações serão descritas a seguir.5.1.1 Utilização do Teorema do GradienteDiscretizando a Equação 5.1 em volumes finitos para o caso bidimensional tem-se:∫∫Aρ CP∂TdA =∂t∫∫A∇.(k∇T) dA⇒ρCPTn+1−TΔtnA =∫Sk∇T. ndS ˆ⇒ρT− Tn+ 1 n33n+1Cp A = −∑k∇Ti⋅ nˆiLi⇒ T = − ∑k∇Ti⋅ nˆiLi+Δti=1ρCPAi=1Fazendo:− k∇T i= q segue que:iΔtTnΔt3n+1T = ∑qi⋅ nˆiLi+ρCPA i=1Tn(5.2)Note que na Equação 5.2 o fluxo de calor q ié calculado em cada um dos três ladosLide cada elemento triangular. De acordo com Frink (1994) esse fluxo pode ser tomado67


simplesmente como a média dos valores de q nos vértices que compõem tal lado.Ainda de acordo com Frink (1994), uma sugestão para o cálculo de q nos vértices é ouso do teorema do gradiente definido de forma geral pela Equação 5.3.1∇φn=V∫Ω ∂ΩφndS(5.3)Nesta equação o termo Ω é o volume do domínio. No caso bidimensional para ogradiente de temperatura temos:1∇T=Acondução em um determinado vértice tem a seguinte forma:∫TndL. Desse modo o fluxo de calor porqv= −k1A'Tn v∑i=1T nˆ'iiL 'i(5.4)Na Equação 5.4 n vé o numero de triângulos vizinhos que compartilham o vértice emestudo. O volume de integração é definido, conforme a Figura 5.1 , como umsubconjunto de triângulos onde o ladodos triângulos originais,compartilham o vértice e ˆn ' é o versor normal ao ladoL ' é paralelo ao lado L e passa pelo baricentroA' Té a soma das áreas dos triângulos reduzidos queL ' .Figura 5.1 - Volume de controle utilizado na integração.Fonte: Adaptado Frink (1994).Por semelhança de triângulos temos que:68


2L'= L(5.5)32H '= H(5.6)3Portanto:2H ' L'⎛ 2 ⎞ HL 4A'= = ⎜ ⎟ = A(5.7)2 ⎝ 3 ⎠ 2 9A'Tnv nvnv4 4 4= ∑ A'= ∑ A = ∑ A = AT(5.8)9 9 9i=1i=1i=1onde A é a área de um triângulo qualquer e A Té a soma da área A de todos ostriângulos que compartilham um determinado vértice.Substituindo 5.5 e 5.8 em 5.4 tem-se:qv= −k321Anv∑T i=1T nˆLPara o cálculo do fluxo q viii(5.9)nos vértices do contorno definiu-se um novo volume deintegração conforme Figura 5.2 e aplicou-se o teorema do gradiente para esse novovolume, os valores das temperaturas nos nós 1 e 2 são os valores corretos dados pelacondição de contorno do problema.Figura 5.2 - Volume de controle para os vértices do contorno.Fonte: Adaptado Frink (1994).O algoritmo de solução seguindo esta abordagem é apresentado no algoritmo 5.1:69


1. Leitura dos dados de entrada referentes à geometria;2. Definição das condições iniciais e de contorno do problema;3. Cálculo do fluxo de calor nos vértices;4. Cálculo do divergente do fluxo de calor no elemento triangular;5. Cálculo da temperatura;6. Verificar a convergência. Caso o critério não tenha sido atingido voltarao passo três, caso contrário escrever o arquivo de saída.Algoritmo 5.1: Uso do teorema do gradienteAplicando este algoritmo de solução para uma malha com a geometria do reator,conforme a Figura 5.3, e usando a condição de contorno deste problema, que étemperatura na parede do reator 330K, temperatura no substrato 1000K e temperaturano filamento 2500K, obteve-se o perfil de temperatura apresentado na Figura 5.4 .70


A. Diâmetro do reator: 5.7 cm interior e 6.1 cmexterior.B. Diâmetro do tubo de entrada de gases: 0.18cm interior e 0.31 cm exterior.C. Altura do reator: ∼ 21 cm.D. Altura do tubo de entrada de gases: ∼ 9.7 cm.E. Altura entre filamento e tubo de entrada degases: ∼ 3.6 cm.F. Altura entre o porta substrato e filamento:entre 0.5 cm e 0.7 cm, sendo o mais usado 0.7 cm.G. Espessura do porta substrato: 0.2 cm.H. Largura do porta substrato: 4.7 cm.I. Altura entre o porta substrato e fundo doreator: ∼ 7 cm.J. Diâmetro do cano de saída de gás: 0.48 cminterior e 0.63 cm externo.K. Diâmetro do filamento: entre 60 μm e 300μm, sendo o mais usado: 250 μm com um fioespiralado de 3 cm temos 6 espirais de 0.3 cmde diâmetro cada.L. Profundidade do porta substrato: 1 cm.Figura 5.3 - a) Esquema do reator de crescimento de diamantes HFCVD em três dimensões.71


Temperatura [K](b)(a)(c)Figura 5.4 - a) Distribuição de temperatura bidimensional do reator HFCVD. b) Região queenvolve o filamento e o substrato. c) Região do filamento.A partir dos resultados obtidos através do uso do teorema do gradiente, pode-seobservar que este teorema quando usado no cálculo da distribuição de temperatura emum reator do tipo HFCVD apresentou instabilidade. Note que na região próxima aofilamento, os resultados são inconsistentes fisicamente. Assim, esse método mostrou-seinviável para o cálculo dos termos difusivos, sendo necessário a implementação deoutro método.5.1.2 Abordagem Baseada no CircuncentroConsiderando o caso estacionário a equação de transporte difusivo de calor dada pelaEquação 5.1 pode ser escrita da seguinte maneira:( ∇T) 0∇. k =(5.10)Para discretizar a Equação 5.10 pelo método dos volumes finitos via (ABC) vamosprimeiro integrá-la no volume de controle:72


∫∫A∇ .( k∇T) dA(5.11)Utilizando o teorema de Gauss, fica:∂T.( kiSi(5.12)n∫∫ ∇ k∇T) dA = ∫ ( k∇T) ⋅ ndS ˆ = ∑= ∂ASi a, b,c ˆiConforme Equação 3.14 , a aproximação para a derivada direcional na Equação 5.12fica:∂ T ~ =∂nˆiTI−TDistPP−I(5.13)Logo, para o triângulo P mostrado na Figura 5.5 a Equação 5.12 tem a formadiscretizada dada em 5.14.TVA−TPTVB−TPTVC−TPSaksa+ Sbksb+ Scksc= 0(5.14)Dist Dist DistP−VAP−VBP−VCFigura 5.5 - Volume de controle para cálculo da temperatura no circuncentro.Fonte: Adaptado Fazenda (2002).Rearranjando os termos, a Equação 5.14 pode ser escrita de forma compacta dada naEquação 5.15 abaixo.onde,A T = A T + A T + A T(5.15)ppaVAbVBcVC73


AaS kDista sa= (5.16)P−VAAbS kDistb sb= (5.17)P−VBAcS kDistc sc= (5.18)P−VCA = A + A + A(5.19)pabcNesta simulação, foi considerada uma mistura gasosa composta de 99% de hidrogênio e1% de metano. O valor da condutividade térmica k varia com a temperatura, como aespécie predominante é o hidrogênio foi feito então, um ajuste polinomial dos valoresda condutividade térmica k em função da temperatura a partir de dados tabeladosencontrados em Incropera e DeWitt (2002). A função de interpolação é dada naEquação 5.20 e a curva de ajuste pode ser vista na Figura 5.6.−113−72−4k ( T ) = −1.5151e* T + 1.0792e* T + 2.1274e* T + 0.14295 (5.20)Figura 5.6 - Ajuste de curva para a condutividade térmica do hidrogênio.74


A partir da Equação 5.15, nota-se que é necessário calcular a condutividade térmica nasfaces do triângulo. Uma vez que o valor da temperatura é conhecido apenas noscircuncentros, foi feito uma interpolação através da média ponderada pela distância docircuncentro a parede para encontrar a condutividade na face, conforme mostra aEquação 5.21.k = α k + ( 1−α) k(5.21)iipiIonde o sub-índice I refere-se a posição do circuncentro da célula vizinha I( I = VA, VB ou VC ), o sub-índice i refere-se ao ponto médio da face i , situada entreDistI −ias células I e P e αi= .DistP−IO algoritmo de solução do sistema de equações obtido pela técnica ABC é sintetizadono algoritmo 5.2:1. Leitura dos dados de entrada;2. Definição das condições iniciais e de contorno do problema;3. Cálculo dos coeficientes;4. Solução do sistema de equações;5. Verificar a convergência. Caso o critério não tenha sido atingido voltarao passo três, caso contrário escrever o arquivo de saída.Algoritmo 5.2: Abordagem Baseada no CircuncentroAplicando este algoritmo de solução para uma malha com a geometria do reator eusando as mesmas condições de contorno utilizadas com o teorema do gradiente,obteve-se o perfil de temperatura apresentado na Figura 5.7 .75


Temperatura [K](b)(c)(a)Figura 5.7 - a) Distribuição de temperatura bidimensional do reator HFCVD. b) Região queenvolve o filamento e o substrato. c) Região do filamento.Figura 5.8 - Isolinhas na região que envolve o filamento e o substrato.76


Figura 5.9 - Comparação entre o perfil de temperatura calculado pelo método ABC e osresultados experimentais.Pelos resultados mostrados nas Figuras 5.7, 5.8 e, sobretudo, na Figura 5.9 observa-seque a utilização do esquema ABC foi satisfatória quando comparada aos resultadosobtidos experimentalmente, assim esse esquema foi também o escolhido para tratar ostermos difusivos da equação da quantidade de movimento.5.2 Equação da Quantidade de MovimentoNesta seção será discretizada a equação da quantidade de movimento pelo método dosvolumes finitos, o acoplamento pressão-velocidade é realizado através do métodoPressure Implicit Momentum Explicit (PRIME). Usou-se arranjo deslocado para ocálculo das grandezas, a velocidade foi calculada nos circuncentros de cada triângulo e apressão nos vértices.Considerado um escoamento Newtoniano, incompressível, estacionário e desprezandoos efeitos gravitacionais o termo difusivo encontrado na Equação 2.10 torna-sesimplesmente τ = μ∇V . A equação da quantidade de movimento reescrita com essasconsiderações fica: ρ ∇. VV= −∇.PI +μ∇.∇V(5.22)12377


Chamando de 1 o termo referente ao transporte convectivo, 2 o termo devido aogradiente de pressão e 3 o termo difusivo, vamos discretizar por volumes finitos cadaum desses termos separadamente.Integrando a Equação 5.22 para todo o domínio e usando o teorema de Gauss, para otermo denominado 1 tem-se: ρ ∇.VVdA ρ V ( V.nˆ)dS(5.23)∫∫ =A∫SPara um volume de controle da forma de um elemento triangular, conforme Figura 5.5 ,a integral dada na Equação 5.23 pode ser aproximada por: ρ S(5.24)∫ V ( V.ˆn) ds = Vi( Vi.ˆ ni)]=∑[Si a,b,ciDe acordo com Fortuna (2000), as propriedades do escoamento em um ponto qualquerdependem fortemente das propriedades que são transportadas para esse ponto. Istosugere que os esquemas de discretização dos termos convectivos devem levar em contaa direção local do escoamento. Um esquema numérico que segue essa abordagem é oesquema UpWind de 1ª ordem, o qual define, de um modo geral, o cálculo de umavariável Φ na célula central conforme a direção do escoamento nas faces. No nossocaso a variável Φ é a velocidade. Uma vez que estamos calculando a velocidade noscircuncentros dos triângulos, para calcular V inas faces fez-se uso de uma médiaponderada pela distância dos circuncentros a parede, como também foi feito para ocálculo da condutividade térmica na parede. Assim, substituindo k ipor Vina Equação5.21 tem-se:Vi = α V + ( 1−α ) V(5.25)ipiIApós calcular V ina face, verifica se o fluido está entrando ou saindo do volume deV . ˆ .controle, através do produto escalar da velocidade pela normal unitária externa ( )Se o valor desse produto escalar for positivo, significa que o fluido está saindo, deve-se,então, usar os valores a montante da face para o cálculo, isto é, o valor de V no pontoP . Caso contrário usa-se o valor da célula vizinha, conforme se verifica abaixo:78in i


V . nˆV . nˆ> 0⇒ V = V V = VCaso (i i)i P< 0⇒Caso (i i)i IPara Equação 5.24, isto pode ser escrito de forma mais compacta usando a funçãomax( a , b), conforme mostra a Equação 5.26. ρ (5.26)∑ [ Vi( Vi.ˆni)] Si= ρ ∑{ max[ ( Vi.ˆni),0] VP− max[ − ( Vi.ˆni),0]Vi} S ii=a,b,ci=a,b,cExpandindo a somatória em função dos triângulos vizinhos tem-se:ρSρSρSabc{ max[ ( Va.ˆna),0] VP− max[ − ( Va.ˆna),0]VVA} { ( Vb.ˆnb),0] VP−− ( Vb.ˆnb),0]VVB} { max[ ( V .ˆ n ),0] V − max[ − ( V .ˆ n ),0]V }ccPNa seqüência devemos, então, integrar o termo referente ao gradiente de pressão.ccVC++(5.27 )∫∫ ∫ ∑∇ . PIdA = PI.ˆndS = PnˆS(5.28)iA S i=a,b,ciiExpandindo a somatória em função das faces do elemento triangular e observando quenˆiSi= nicom n isendo a normal oposta ao vértice i temos:∑i ii= a,b,c Pnˆ S = P n + P n + P n(5.29)iaabbccComo a pressão está sendo calculada nos vértices, para encontrá-la na face basta tomara média aritmética dos valores dos vértices que compõem aquela face. Desse modo aEquação 5.29 torna-se:∑PnˆSi ii=a,b,cObserve queni= 0.5[ P ( n + n ) + P ( n + n ) + P ( n + n )]Ab+ nc= −na, nanc= −nbtermo referente ao gradiente de pressão fica:bcBacCab(5.30 ) + e na+ nb= −nc, então a aproximação para o∑PnˆSi ii=a,b,ci= −0.5[ P n + P n + P n ]AaBbCc(5.31)Para o termo referente ao transporte difusivo, o termo 3, integrando-o no volume decontrole tem-se:79


∂V∂Vμ ∇. ∇V= μ∫∫∇.∇VdA= ∫∇V.ˆndS = μ∫dS = μ ∑ Si(5.32)∂nˆnASSi= a,b,c ∂iComo foi mostrado na Equação 3.14, a derivada direcional de 5.32 fica: ∂VVI−VP=∂nˆDistP−IExpandindo a somatória para os três triângulos vizinhos temos:(5.33) ⎡V−−− ⎤VAVPVVBVPVVCVPμ ⎢ Sa+ Sb+ Sc⎥(5.34)⎣ DistP−VADistP−VBDistP−VC⎦Substituindo as Equações 5.27, 5.31 e 5.34 na Equação 5.22 e agrupando os valores noponto P e nos respectivos vizinhos VA, VB e VC tem-se a equação para um volume decontrole elementar, conforme mostra a Equação 5.35. Aplicando essa equação em todosos volumes de controle da malha temos um sistema de equações que foi resolvido pelométodo iterativo de Gauss-Seidel. APV VP= AaVVA+ AbVVB+ AcVVC+ BV(5.35)Fazendo a simplificação nˆS = n , os coeficientes da Equação 5.35 são dados por:APViii ⎛max[ ( Va.na),0] + ⎞⎛ S⎞ ⎜aSbSc= μ ⎜ + +⎟ + ρ⎜max[ ( Vb.nb),0]+⎝ P−VAP−VBDistP−VC⎠⎜[( ) ] ⎟ ⎟⎟⎟ (5.36)Dist Dist ⎝maxVc.nc,0 ⎠AAAabc===S( max[ − ( V . n ),0])aμ + ρa a(5.37)distp−VAS( max[ − ( V . n ),0])bμ + ρb b(5.38)distp−VBS( max[ − ( V . n ),0])cμ + ρc c(5.39)distp−VCBV = 0 . 5(5.40)[ P n + P n + P n ]AaBbCc80


5.2.1 Cálculo da PressãoPara o cálculo da pressão nos vértices dos triângulos deve-se inicialmente construir umpolígono de Voronoi em torno de cada vértice. Esse polígono é construído unindo-se oscircuncentros das células triangulares que compartilham o vértice, conforme Figura5.10.Figura 5.10 - Volume de controle para o cálculo da pressão em P .Da Equação 5.35 para um elemento triangular tem-se:APVVA V1P= ∑ nb nb+nb 2[ P n + P n + P n ]Aa∑ AnbVnbnbSeguindo o método PRIME e fazendo VˆP= a Equação 5.41 torna-se:ABbPVCc(5.41)VP = Vˆ 1P+ [ PAna+ PBnb+ PCnc](5.42)2APVAplicando a equação da conservação da massa no polígono de Voronoi da Figura 5.10tem-se: ⎛ V1+ V⎜⎝ 22⎞ ⎟.n⎠1 ⎛ V2+ V+⎜⎝ 23⎞ ⎟.n⎠2 ⎛ V3+ V+⎜⎝ 24⎞ ⎟.n⎠3 ⎛ V4+ V+⎜⎝ 25⎞ ⎟.n⎠4 ⎛ V5+ V1+⎜⎝ 2⎞ ⎟.n⎠5= 0(5.43)Rearranjando os termos fica:81


onde, N1 . V1+ N2.V2+ N3.V3+ N4.V4+ N5.V5= 0(5.44) ⎛ n1+ n⎜⎝ 25⎞ ⎟ = N⎠1 ⎛ n1+ n⎜⎝ 22⎞ ⎟ = N⎠2 ⎛ n2+ n3⎜⎝ 2⎞ ⎟ = N⎠3 ⎛ n3+ n⎜⎝ 24⎞ ⎟ = N⎠4 ⎛ n4+ n⎜⎝ 25⎞ ⎟ = N⎠5(5.45 )Substituindo a Equação 5.42 na Equação 5.44 obtém-se para a pressão P em umdeterminado vértice uma equação semelhante a Equação 5.46:Aonde: nij.NAi=AjViPPPPnv= ∑ AiPi− BPi=1 nij+1. N+Aj+1Vi+1(5.46 ), onde n ijé a normal oposta ao vértice i no triângulo j ,BP = ∇. Vˆ , nv é o número de vértices vizinhos ao vértice P , Pié a pressão no vértice ienv∑A PP= − A i.i=15.2.2 Condições de Contorno para a VelocidadeA primeira condição de contorno a ser considerada é a de 1º tipo ou de Dirichlet para avelocidade na fronteira de entrada e nas paredes sólidas. Inicialmente definiu-se que aface Sa de cada triângulo que tem um lado no contorno será posicionada sobre estecontorno. Sendo assim, será conhecido então nas paredes sólidas e na fronteira deentrada o valor de V a. Nas paredes será utilizado o princípio de aderência, ou seja,V = 0 .aA Equação 5.22 discretizada aplicando-se a condição de contorno de 1º tipo tem amesma forma da Equação 5.35, porém, neste caso os coeficientesdiferentes e são dados nas Equações 5.47 - 5.49:Aa,APVe BV sãoA = 0(5.47)a82


APVBV ⎛max[ ( Va.na),0] + ⎞⎛ S⎞ ⎜aSbSc= μ ⎜ + +⎟ + ρ⎜max[ ( Vb.nb),0] +⎝ P−SaP−VBDistP−VC⎠⎜[( ) ] ⎟ ⎟⎟⎟ (5.48)Dist Dist ⎝maxVc.nc,0 ⎠ μ = 0 .5[ PAna+ PBnb+ PCnc] + max[ − ( Va.na),0] Va+ SaVa(5.49)Distp−SaPara a fronteira de saída vamos utilizar a condição de 2º tipo ou de Neumann, isto é,vamos considerar nula a derivada da velocidade na saída. Isto pode ser representado naEquação 5.50.∂V = 0(5.50)∂nSaPela Equação 5.50 temos que o valor do vetor velocidade na face Sa do triângulo docontorno será aproximado pelo próprio valor em P pois:∂V∂nSa Va−V=DistPP−Sa = 0 ⇒ V = V(5.51)aPAplicando essa condição de contorno na equação da quantidade de movimento,novamente ela pode ser escrita da forma da Equação 5.35, onde os coeficientes A beAcnão se alteram e os coeficientesAa,APVe BV ficam na forma:A = 0(5.52)aAPVBV ⎛max[ ( Va.na),0] + ⎞⎛ S⎞ ⎜bSc= μ ⎜ +⎟ + ρ⎜max[ ( Vb.nb),0] +⎝ P−VBP−VC⎠⎜[( ) ] ⎟ ⎟⎟⎟ (5.53)Dist Dist ⎝maxVc.nc,0 ⎠ = 0.5−(5.54) [ P An a+ P Bn b+ P Cn c] + max[ ( V a. n a),0] V a5.2.3 Condições de Contorno para a PressãoInicialmente supõe-se um escoamento paralelo em uma região próxima à parede.83


Vamos chamar de x a coordenada paralela a parede e de y a perpendicular. Nesse caso∂ua componente v da velocidade é nula e a equação da continuidade fica: = 0 . A∂xequação de Navier-Stokes pode ser escrita da seguinte forma:⎛ ⎞2 222∂u ∂u1 ∂P⎜ ∂ u ∂ u ⎟ 1 ∂ P ∂u + v = − + ν ⎜ + ⇒ =2 2 ⎟ ν2∂x0 ∂yρ ∂x⎜∂x ∂y⎟ ρ ∂x∂y0⎝ 0 ⎠2∂u= 0∂x(5.55)A situação muda quando existe a componente v da velocidade. Esse é o caso mais gerale para tratá-lo vamos utilizar a solução de Hiemenz para um escoamento colidindo comuma parede. Nesse escoamento supõe-se que:( y)'u = xf(5.56)( y)v = − f(5.57)2[ x F( y)]1 2P0− P = ρ a +(5.58)2onde a é uma constante. De acordo com Schlichting (1979) u na vizinhança da paredevaria linearmente com y e, portanto, aplicando a equação da continuidade, v variaquadraticamente com y . Assim,2v = −Ay .A solução do problema de Hiemenz bidimensional é obtida fazendo as mudanças devariável: η = y a e f = φ( η) aν. Assim, perto da parede tem-se:ν322d fa3 21,2326⇒ = 2A= 1,2326 ⇒ a = 1,3808 A ν2122d φ= (5.59)2dηdyνPortanto conhecendo a velocidade próxima à parede pode-se obter a constante a. Aderivada segunda da pressão então fica:2∂ P= −ρa2∂x2Em resumo, as condições de contorno utilizadas para a pressão foram:(5.60)84


Pentrada= 0 ; Psaida= Panaliticae para a parede utilizou-se a2∂ P= −ρa2∂xO algoritmo de solução para a equação da quantidade de movimento é sintetizado noalgoritmo 5.3.1. Leitura dos dados de entrada;2. Definição das condições iniciais e de contorno do problema;3. Cálculo dos coeficientes para a velocidade;4. Solução do sistema de equações obtido através de 5.36, pelo método de Gauss;5. Cálculo dos coeficientes para a pressão;6. Solução do sistema de equações obtido através de 5.47, pelo método de Gauss;7. Verificar a convergência. Caso o critério de parada não seja satisfeito, voltarao passo 3.Algoritmo 5.3: Acoplamento pressão-velocidade5.2.4 Escoamento entre Placas Planas Paralelas2.O escoamento utilizado como caso teste no desenvolvimento do modelo numérico foi oescoamento entre placas planas paralelas, também conhecido como “Flow Poiseuille” .Neste tipo de escoamento, as partículas de fluido se deslocam na direção x que éparalela as placas. A componente v do vetor velocidade é zero. O valor médio dacomponente u do vetor velocidade é igual ade água a 20°C e com Re = 100 .0.0001 m/ s considerando um escoamentoA solução analítica para a velocidade é dada conforme Equação 5.61.∂P1u(y)=∂x2μ2( y − Hy)(5.61)85


Já a pressão é caracterizada por um decaimento linear que depende do gradiente depressão do problema. Nesse caso o gradiente de pressão analítico é dado por∂PKg= − 0.00000122∂xm s2.A Figura 5.11 mostra um domínio bidimensional para o escoamento de Poiseuille, bemcomo, o perfil de velocidade parabólico que o caracteriza.Figura 5.11 - Escoamento entre duas placas paralelas.As condições de contorno para a velocidade aplicadas nesta simulação seguem o que foidiscutido na seção 5.2.2. Assim, na fronteira de entrada utilizou-se uma condição decontorno do tipo Dirichlet na qual foi fornecido um perfil plano para o valor davelocidade na face do triângulo, isto é, V a= ( u,0). Nas paredes sólidas, seguindo oV = 0,0 . Já na saída utilizou-se uma condição deprincípio de aderência, tem-se: ( )acontorno do tipo Neumann, ou seja, a derivada de V em relação a direção da normalexterna a fronteira de saída será nula, conforme Equação 5.50. As condições iniciaispara o cálculo são: perfil plano de velocidade para todo o domínio, isto é,V inicial= (u,0) e para a pressão P = 0 em todos os vértices do domínio, exceto nainicialfronteira de saída. As condições de contorno para a pressão foram as discutidas na seção5.2.3, isto é, Pentrada= 0 ; Psaida= Panaliticae para a parede2∂ p2∂x= −ρa2.Como critério de parada no método iterativo de Gauss, utilizado na solução dos sistemasde equações algébricas obtidos para a velocidade e para pressão, foi utilizado o resíduomédio quadrático relativo, conforme Equação 5.62.86


NT∑i=1⎛⎜Φ⎝i⎡− ⎢⎣∑nbAnbNTDΦnb⎤⎞+ B⎥⎟⎦⎠2< ε1(5.62)Na Equação 5.62, quando Φ representa a velocidade, NT é o número total de triângulos e D = V max−V. Para o caso em que Φ representa a pressão, NT é omin1 2número total de vértices que foi calculado a pressão e D = Pmáx− Pmin+ ρ V . Como2critério de parada na rotina principal do programa, utilizou-se a variação relativa médiada pressão entre duas iterações consecutivas, conforme se verifica em 5.63.NT∑i=1( P − P )atualNTDanterior2< ε2(5.63)Na Figura 5.12 pode ser observado essa variação em relação ao número de iteraçõespara R = 100.eFigura 5.12 - Erro relativo na convergência da pressão.A satisfação da equação da continuidade pode ser observada na Figura 5.13 através docálculo do divergente quadrático médio para o vetor velocidade.87


Figura 5.13 - Divergente quadrático médio para equação da continuidade.Na Figura 5.14 pode-se observar o campo de pressão calculado para R = 100, com ascondições de contorno especificadas acima e com fronteira de entrada com perfil planode velocidades. A solução analítica prevê que o campo de pressão decresça linearmentecomo uma função do comprimento na direção do escoamento.e88


Figura 5.14 - Campo de pressão para R = 100 com fronteira de entrada com perfil plano develocidades.eNa Figura 5.15 é possível visualizar a componente u do vetor velocidade após ter obtidoconvergência para um escoamento com R = 100 e com fronteira de entrada com perfileplano de velocidades. Também é possível observar o desenvolvimento da camada limiteno comprimento de entrada até obter o escoamento plenamente desenvolvido com umperfil parabólico de velocidade, onde a velocidade máxima que éH , isto é, na linha central do domínio.23u2localiza-se em89


Figura 5.15 - Componente u da velocidade para R = 100 com fronteira de entrada com perfilplano de velocidades.e90


6 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕESNo âmbito desta dissertação de mestrado foram testados vários métodos objetivandoencontrar o mais adequado para a modelagem do reator HFCVD utilizado noLAS/INPE.A aplicação do teorema do gradiente no cálculo do transporte difusivo de calorapresentou instabilidades numéricas. Isto indica que esta metodologia pode não serapropriada a aplicações em que existam grandes gradientes de temperatura ou emmalhas como a utilizada neste trabalho.Posteriormente, implementou-se o mesmo caso através da Abordagem Baseada noCircuncentro. Valendo-se desta técnica, os resultados obtidos foram plenamentesatisfatórios conforme se observa nas Figuras 5.7 , 5.8 e 5.9 . Desta maneira, esseesquema mostrou-se eficiente para calcular os termos difusivos presentes nas equaçõesdo transporte.Definido o esquema para tratamento dos termos difusivos, partiu-se para a solução doacoplamento pressão-velocidade. Vários métodos foram implementados utilizando-secomo caso teste o escoamento entre placas planas. O método SIMPLE (Patankar,1980), com as variáveis co-localizadas no circuncentro dos triângulos, foi o primeirométodo a ser implementado por sua simplicidade. Porém, nesta abordagem não foipossível obter dominância na diagonal, o que inviabilizou a solução do sistema deequações. Para evitar este problema, optou-se então pela disposição deslocada dasvariáveis. Desta maneira, a convergência foi alcançada, porém os resultados nãoconcordaram com os obtidos pela solução analítica. Resultados semelhantes foramobtidos com a implementação de uma metodologia baseada no SIMPLER (Patankar,1980). Finalmente com o método PRIME (Maliska, 1995) foi possível alcançarresultados satisfatórios, conforme se verifica nas Figuras 5.14 e 5.15.Juntamente com a implementação dos referidos métodos, ocorreu a especificação edesenvolvimento da biblioteca computacional RTVisual. Esta foi concebida conforme asdificuldades enfrentadas nas implementações realizadas. De imediato, na elaboração do91


pré-processamento seu auxílio foi necessário na geração das malhas e identificação dostriângulos e vértices vizinhos.Na identificação e localização de instabilidades numéricas apresentadas pelos esquemasimplementados a utilização da biblioteca foi de fundamental importância. No métodoPRIME, por exemplo, foi possível identificar que a origem destas instabilidades estavaligada às condições de contorno e não ao método em si. Isto possibilitou a busca dealternativas para as condições de contorno utilizadas. Como a biblioteca atualiza oscampos calculados em cada iteração, essa característica permite visualizar ocomportamento numérico do escoamento iterativamente e através da análise físicacompreender se o método está ou não representando os fenômenos físicos envolvidos.Como trabalhos futuros propõe-se a continuidade do desenvolvimento da bibliotecaRTVisual, viabilizando-a para utilização em outros sistemas operacionais como linux,por exemplo, bem como, em outras linguagens de programação. Também, como jámencionado anteriormente, a idéia é utilizar o modelo numérico implementado paraestudar bidimensionalmente os fenômenos físico-químicos que ocorrem dentro de umreator do tipo HFVCD, durante o processo de crescimento de filmes de diamante.92


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