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1 A figura abaixo é uma representação plana <strong>de</strong> certo apartamento, feita na escala 1: 200, ou seja, 1 cmna representação plana correspon<strong>de</strong> a 200 cm na reali<strong>da</strong><strong>de</strong>.Vão ser colocados ro<strong>da</strong>pé e carpete no salão. Ca<strong>da</strong> metro <strong>de</strong> ro<strong>da</strong>pé custa R$ 14,00. O preço docarpete é <strong>de</strong> R$ 20,00 o metro quadrado. Quanto vai ser gasto no total? O resultado que vai serobtido é aproximado, <strong>de</strong>vido à presença <strong>de</strong>, pelo menos, uma porta.Resolução1 200 1 200= → a = 700 cm = 7m; = → b = 400 cm = 4 m;3,5 a2 bperímetro = 2 (7 + 4) = 22; 14 x 22 = 308; área = 7 x 4 = 28; 20 x 28 = 560; 308 + 560 = 868No total, o gasto vai ser <strong>de</strong> R$ 868,00.1
4 O idioma <strong>da</strong> Álgebra é a equação. Para resolver um problema que envolva números ou relações entrequanti<strong>da</strong><strong>de</strong>s, é conveniente traduzir o problema <strong>da</strong> sua linguagem para a linguagem <strong>da</strong> Álgebra.Resolva estes dois antigos problemas.A Quatro irmãos têm 45 moe<strong>da</strong>s <strong>de</strong> ouro. Se a quantia do primeiro aumenta em duas moe<strong>da</strong>s, aquantia do segundo diminui duas moe<strong>da</strong>s, a do terceiro dobra e a do quarto se reduz à meta<strong>de</strong>,todos ficam com a mesma quantia <strong>de</strong> dinheiro. Quantas moe<strong>da</strong>s tem ca<strong>da</strong> um?B Dois amigos <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>m, caminhando em linha reta, encontrar-se em algum ponto do caminhoentre as suas casas. Um dos amigos diz ao outro:“Como sou mais velho, caminho a cerca <strong>de</strong> 3 km por hora; você é muito mais novo e,provavelmente, <strong>de</strong>ve caminhar a cerca <strong>de</strong> 4 km por hora. Então, saia <strong>de</strong> casa 6 minutos <strong>de</strong>poisque eu sair e nos encontraremos bem na meta<strong>de</strong> <strong>da</strong> distância entre nossas casas.”Qual a distância entre as duas casas?ResoluçãoA x + y + z + t = 45x + 2 = y – 2 = 2z = 0,5 tOs quatro irmãos têm 8, 12, 5 e 20 moe<strong>da</strong>s <strong>de</strong> ouro.B⎛ 1 ⎞3⎜t + ⎟ = 4t⎝ 10 ⎠3t+ 0,3 = 4tt = 0,3hora= 18 min utos4.0,3=1,2A distância entre as casas dos dois amigos é 2(1,2) = 2,4 km.4
37 A figura mostra o gráfico <strong>da</strong> função f ( x ) = 1+x − 2x.ResoluçãoA Determine as soluções que não são números reais <strong>da</strong> equação f ( x ) = 0.B Resolva a inequação: f ( x ) ≥ 1.2A f ( x ) = ( x −1).(−2x− 2x−1)−1+i −1−i2x2 + 2x+ 1 = 0 → x ; x =2 2− 22B x ≤ ou 0 ≤ x ≤227
8 O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. Qualsuperfície tem maior área: a branca ou a hachura<strong>da</strong>?Resolução⎛ l l ⎞⎜ . ⎟ 2• superfície branca → Área = 4 2 2 l⎜ ⎟ =2 2⎜⎟⎝ ⎠⎛ l• superfície hachura<strong>da</strong> → Área = ⎜⎝As duas superfícies têm áreas iguais22⎞⎟⎠22l=28
Atenção:No enunciado original, ao invés <strong>de</strong> “... volume 5175 cm 3 ”, está escrito “... volume 5175cm 2 ”.O próprio candi<strong>da</strong>to <strong>de</strong>ve ter percebido, corrigido o erro e resolvido sem dificul<strong>da</strong><strong>de</strong>s a questão.No entanto, qualquer observação <strong>de</strong>le será analisa<strong>da</strong> pela banca <strong>de</strong> correção.9 Em uma lata cilíndrica fecha<strong>da</strong> <strong>de</strong> volume 5175 cm 3 , cabem exatamente três bolas <strong>de</strong> tênis.A Calcule o volume <strong>da</strong> lata não ocupado pelas bolas.B Qual é a razão entre o volume <strong>da</strong>s três bolas e o volume <strong>da</strong> lata?ResoluçãoAπ r2. 6r= 5175 → r4 5175 ⎞= 3.⎜⎛ π . ⎟⎝ 3 6π⎠V3 bolas=35175=6π3450O volume não ocupado pelas bolas é igual a 5175 – 3450 = 1725 cm 3 .⎛ 4 3 ⎞3⎜π r ⎟3 2B razão =⎝ ⎠= .2π r . 6r39
10A Consi<strong>de</strong>re os números complexos z1= 1+i;z2= 2(1 + i ) , em que i é o número complexo talque i 2 = −1.Represente, no plano cartesiano, o triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexosz + z , z − z e z . Calcule a sua área.1 2 2 1 1z2B A razão <strong>de</strong> semelhança entre um novo triângulo, semelhante ao triângulo original, e o triângulooriginal, é igual a 3. Qual é a área <strong>de</strong>sse novo triângulo?ResoluçãoA⎛ 3.1 ( 1+3 ) 2 ( 1+4 ) 1⎞Área = 3 . 4 − ⎜ + + ⎟ = 4⎝ 2 2 2 ⎠área 2B = 3 → área = 364Fim <strong>da</strong> <strong>Prova</strong> <strong>de</strong> Matemática Aplica<strong>da</strong>10