Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

Notas em Matemática Aplicada 36EditoresCélia A. Zorzo BarcelosUniversidade Federal de Uberlândia - UFUUberlândia, MG, BrasilEliana X.L. de AndradeUniversidade Estadual Paulista - UNESPSão José do Rio Preto, SP, BrasilMaurílio BoaventuraUniversidade Estadual Paulista - UNESPSão José do Rio Preto, SP, BrasilA Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional - SB-MAC publica, desde as primeiras edições do evento, monograas dos cursosque são ministrados nos CNMAC.A partir do XXVI CNMAC, para a comemoração dos 25 anos da SB-MAC, foi criada a série Notas em Matemática Aplicada para publicaras monograas dos minicursos ministrados nos CNMAC.O livro correspondente a cada minicurso deve ser preparado em latex, asguras em eps e deve ter entre 60 e 100 páginas. O texto deve ser redigidode forma clara, acompanhado de uma excelente revisão bibliográca e deexercícios de vericação de aprendizagem ao nal de cada capítulo.Além do livro, cada responsável por minicurso deve preparar transparênciase outros materiais didáticos que julgar convenientes. Todo o materialserá colocado à disposiçao dos interessados no site da SBMAC.É objetivo da série publicar textos dos encontros regionais e de outroseventos patrocinados pela SBMAC.Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional2008

Notas em Matemática AplicadaTítulos publicados para o XXXI CNMAC - 200833 Introdução à Simulação Estocástica para Atuária e Finanças UsandoRHélio Côrtes Vieira e Alejandro C. Frery34 Modelos de Sustentabilidade nas Paisagens Amazônicas AlagáveisMaurício Vieira Kritz, Jaqueline Maria da Silva e Cláudia Mazza35 Uma Introdução à Dinâmica Estocástica de PopulaçõesLeonardo Paulo Maia36 Geometria de Algoritmos NuméricosGregorio Malajovich37 Equações Diferenciais, Teorema do Resíduo e as TransformadasIntegraisEdmundo Capelas de Oliveira e Jayme Vaz JúniorVeja outros títulos da série ao final deste livro.Arquivos no formato pdf disponíveis emhttp://www.sbmac.org.br/notas.php

GEOMETRIA DE ALGORITMOSNUMÉRICOSGregorio Malajovichgregorio@ufrj.brDepartamento de Matemática Aplicada,Instituto de Matemática,Universidade Federal do Rio de Janeiro.Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e ComputacionalSão Carlos - SP, Brasil2008

Conteúdo1 Condicionamento, e a Variedade Discriminante 91.1 O que não se ensina no curso de Álgebra Linear . . . . . . . . 91.2 Arredondamento e condicionamento . . . . . . . . . . . . . . 111.3 O polinômio pérdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Teoria geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Os problemas mal postos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 A decomposição em valores singulares . . . . . . . . . . . . . 211.7 Os problemas mal condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 A iteração de Gräe, Dandelin ou Lobachevskii 252.1 A iteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Papel logarítmico, renormalização e Geometria Algébrica Tropical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Perturbação ou Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 A procura na Web 373.1 Introdução à teoria dos grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 A Equação do Calor em grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 As Leis de Kirchho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Digrafos e o Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Busca na rede e a svd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 A compressão do som, o mp4 e a televisão digital 514.1 Sinais sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 A transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

64.3 A base de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4 O ouvido humano e a transformada de Wavelets. . . . . . . . 574.5 O padrão MP3 e os CODECs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 Compressão de imagem e de vídeo . . . . . . . . . . . . . . . 604.7 A televisão digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.8 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A Complementos de Álgebra Linear 65A.1 Bases e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65A.2 Bases ortogonais, matrizes ortonormais . . . . . . . . . . . . . 67A.3 Obtendo bases ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.4 Normas de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.5 Matrizes de Márkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

PrefácioEstas são as notas de um curso oferecido durante o Congresso Nacionalde Matemática Aplicada e Computacional, Belém do Pará, de 8 a 11 desetembro de 2008.Vou começar com uma armação polêmica. Matemática Computacionalnão é (nem pode ser) utilizar métodos computacionais para resolver ummodelo matemático.Meu argumento é que esse procedimento pode satisfazer engenheiros oufísicos, mas nunca satisfaz a curiosidade de um matemático. Não produzteoremas. Passa ao largo de problemas matemáticos interessantes.São objetos susceptíveis de estudo matemático não apenas o modelo,mas ainda os algoritmos, a classe de todos os algoritmos resolvendo o mesmoproblema, e ainda classes de modelos semelhantes (dependendo por exemplode um ou mais parâmetros).Isso difere do ponto de vista do engenheiro, para quem um algoritmo éuma regra de bolo. Funciona ou não funciona, se não funcionar, troca-se. Jápara um matemático, algoritmos têm que ser provados corretos. Armaçõessobre a velocidade do algoritmo, ou a complexidade de um problema, exigemprovas.Quando o algoritmo não funciona na prática, ou quando funciona melhordo que o previsto, isso precisa ser explicado. Essa explicação vem geralmenteem forma de teoremas.Provar teoremas sobre algoritmos (e algoritmos numéricos em particular)exige um ferramental matemático de ponta. Em alguns casos, esseferramental precisa ainda ser construído. Problemas de complexidade comoP ≠ NP se transformaram em desaos para a comunidade matemática emgeral.Matemáticos gostam de problemas difíceis. Quanto mais conexões comGregorio Malajovich, Geometria de Algoritmos Numéricos. Notas em MatemáticaAplicada 37 (XXXI CNMAC), SBMAC, São Carlos, 2008.Copyright c○ Gregorio Malajovich, 2008.7

8áreas de pesquisa atuais, maior a garantia de que os resultados atuais serãonão-triviais.Nas duas primeiras aulas, ilustraremos algumas conexões entre a análisede algoritmos numéricos e tópicos como geometria diferencial ou algébrica.Nas duas aulas seguintes, mostraremos como matemática de boa qualidadetem o poder de voltar, inuenciando a nossa vida cotidiana. Para isso,vou mostrar quais são os fundamentos matemáticos da procura na Internete da compressão de imagens e de som.O único pré-requisito para este curso é ter conhecimentos básicos deÁlgebra Linear, no nível de um curso de graduação. Alguns dos principaisconceitos e teoremas de Álgebra Linear necessários para a comprensão dotexto estão resumidos no Apêndice.Os exemplos numéricos estão escritos em linguagem de programação C,ou na linguagem do aplicativo Octave. Este aplicativo é software livre, logotodos os exemplos podem ser executados em um computador com GNU-Linux bem congurado. Quem dispuser da versão em PDF destas notaspode utilizar o mouse para copiar e executar os exemplos numéricos.Parte do material foi extraído do texto de Álgebra Linear do autor,em preparação (mas disponível eletronicamente), em www.labma.ufrj.br/~gregorio.Agradeço a um revisor anônimo e a Beatriz Malajovich por ajudarem adepurar este texto.A pesquisa do autor é apoiada pelo CNPq (Conselho Nacional de DesenvolvimentoCientíco e Tecnológico) e pela FAPERJ (Fundação CarlosChagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro).

Aula 1Condicionamento, e aVariedade Discriminante1.1 O que não se ensina no curso de ÁlgebraLinearNos cursos de Álgebra Linear, ensinamos a resolver sistemas de equaçõesans, ou seja, sistemas da formaAx = b , (1.1.1)onde A é uma matriz n × n, e b e x são vetores em R n . Essa equação temsolução x única se e somente se det(A) ≠ 0.Nos bons cursos de Álgebra Linear, ensina-se a resolver o sistema (1.1.1)por eliminação Gaussiana ou por fatoração PLU. Isso só vale para sistemascom matriz inversível (e as outras situações são tratadas caso a caso).Por exemplo, o sistema⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 0 1 b 1⎣0 1 0⎦ x = ⎣b 2⎦0 1 1 b 3admite uma reta de soluções se e somente se b 3 = b 1 + b 2 .Gregorio Malajovich, Geometria de Algoritmos Numéricos. Notas em MatemáticaAplicada 37 (XXXI CNMAC), SBMAC, São Carlos, 2008.Copyright c○ Gregorio Malajovich, 2008.9

10 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTETeoricamente, o sistema⎡⎣ ɛ 0 1⎤ ⎡0 1 ɛ⎦ x = ⎣ b ⎤1b 2⎦ (1.1.2)0 1 1 b 3tem sempre solução para ɛ ≠ 0.Vamos escolher b = [1, 0, 1] T e resolver este último sistema por eliminação:subtraindo a segunda linha da terceira, obtemos:⎡⎤ ⎡ ⎤ɛ 0 1⎣0 1 ɛ0 0 1 − ɛ⎦ x =⎣ 1 0⎦ .1Ou seja, x 3 = 1/(1 − ɛ), x 2 = −ɛx 3 e x 1 = (1 − x 3 )/ɛ = 1/(1 − ɛ). Nolimite,limɛ→0 x 1 = 1.Esses são resultados exatos e teóricos, obtidos simbolicamente. Ao refazero mesmo exemplo numericamente, ca evidente que a teoria não descrevede maneira adequada a realidade de um computador digital.Vamos utilizar diversos valores de ɛ:#include #include void resolve(float epsilon){float x[4] ;x[3] = 1.0 /(1.0-epsilon) ;x[2] = -epsilon * x[3] ;x[1] = (1.0 - x[3]) / epsilon ;printf("x = [% 15.12e % 15.12e % 15.12e]\n", x[1],x[2],x[3]) ;}main(){Podemos agora olhar para os resultados:

1.2. ARREDONDAMENTO E CONDICIONAMENTO 11resolve(pow(2.0, -21)) ;resolve(pow(2.0, -22)) ;resolve(pow(2.0, -23)) ;resolve(pow(2.0, -24)) ;resolve(pow(2.0, -25)) ;resolve(pow(2.0, -26)) ;}gregorio@momentum:~/cnmac$ ./arredondax = [-1.000000000000e+00 -4.768373855768e-07x = [-1.000000000000e+00 -2.384186359450e-07x = [-1.000000000000e+00 -1.192093037616e-07x = [-2.000000000000e+00 -5.960465188082e-08x = [ 0.000000000000e+00 -2.980232238770e-08x = [ 0.000000000000e+00 -1.490116119385e-081.000000476837e+00]1.000000238419e+00]1.000000119209e+00]1.000000119209e+00]1.000000000000e+00]1.000000000000e+00]Quando ɛ é sucientemente pequeno, o resultado obtido para x 1 é zero !Isso se deve à maneira como os números reais são representados. Computadorestrabalham com grandezas aproximadas, representadas como númerosde ponto utuante. O formato padrão em uso nos computadores modernos(guras 1.1 e 1.2) prevê 23 bits de mantissa.O modelo de aritmética utilizado hoje em todos os computadores é opadrão IEEE754/854 [4, Cap. 2.3]. Este modelo constitui uma deniçãoaxiomática rigorosa da aritmética digital, embora permita diferentes implementações.As regras ou axiomas do padrão permitem provar teoremas sobrealgoritmos numéricos.Por outro lado, x 1 = 0 está longe da solução do sistema (1.1.2). Paraentender as implicações de se utilizar aritmética IEEE, é preciso entendernão apenas o efeito do arredondamento no algoritmo, mas ainda o conceitode condicionamento, que é independente do algoritmo.1.2 Arredondamento e condicionamentoUm estudo cuidadoso do algoritmo de eliminação Gaussiana sob a aritméticade ponto utuante [2, Seção 2.4.2] mostra que, se o computador produziruma solução x para o problema Ax = b, então x é a solução exata paraum problema aproximado,(A + δA) x = b .Além disso, prova-se que ‖δA‖ F ≤ 3nɛ‖L‖ F ‖U‖ F , onde A = P LU é afatoração PLU de A e ‖ · ‖ F denota a norma de Frobenius (Ver Apêndice,seção A.4).Subtraindo a equação Ax = b, obtemos:

12 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTEFigura 1.1: Representação de números de ponto utuante em precisão simples(padrão IEEE 754). Números de ponto utuante em precisão dupla sãorepresentados de maneira análoga com 52 bits de mantissa, 11 de expoentee um de sinal.Formato Precisão simples Precisão dupla IEEE-854dupla estendidaLinguagem C oat double long doubleBits de mantissa 23 52 64Bits de expoente 8+1 11+1 15+1Menor representável > 1 1 + 2 −23 1 + 2 −52 1 + 2 −64Menor arredondado a 1: 1 + 2 −24 1 + 2 −53 1 + 2 −65Figura 1.2: Padrão IEEE 754. Dados tirados de /usr/include/ieee754.h

1.3. O POLINÔMIO PÉRFIDO 13δA x + A δx = 0 .Ou seja,δx = A −1 δAxe o erro relativo da solução aproximada pode ser estimado por:Isso implica:‖δx‖‖x + δx‖ ≤ ‖x‖‖A−1 ‖ 2 ‖δA‖ F‖x + δx‖ .‖δx‖‖x + δx‖ ≤ ‖δA‖ F ‖δx‖‖A−1 ‖ 2 ‖A‖ F‖A‖ F ‖x + δx‖ .Seja κ A = ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ F . Nesse caso, obtemos:‖δx‖‖x + δx‖ ≤ κ ‖δA‖ FA .‖A‖ FEm outras palavras: O processo numérico utilizado para computar xproduziu a solução exata de um problema aproximado. O erro relativo nasolução x pode ser estimado pelo produto do erro relativo no problema, vezeso número κ A .O número κ A não depende do algoritmo utilizado para resolver o sistemade equações. Ele é um invariante que depende apenas dos coecientesdo sistema. É chamado de número de condicionamento da matriz A, associadoao problema de resolver Ax = b.No exemplo numérico acima, κ A ≃ √ 2ɛ −1 .1.3 O polinômio pérdoO polinômio pérdo de grau d (também conhecido como polinômio de Pochammer)é denido por:Por exemplo,p d (x) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − d) .p 10(x) = x 10 − 55x 9 + 1320x 8 − 18150x 7 + 157773x 6 − 902055x 5 ++ 3416930x 4 − 8409500x 3 + 12753576x 2 − 10628640x 1 + 3628800.

14 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTEUma maneira de se encontrar a raízes de polinômios de grau baixo é produzira matriz companheira associada a eles. Se f(x) = x d + f d−1 x d−1 +· · · + f 1 x + f 0 , então a matriz companheira de f é⎡⎤0 1 0 · · · 0. .. . .. .C f =. .. . .. ⎢..⎥⎣0 1 ⎦−f 0 −f 1 · · · −f d−2 −f d−1A matriz companheira foi construída de maneira que f fosse o seu polinômiocaracterístico (a menos do sinal):det C f − λI = (−1) d f(λ).Assim, reduzimos o problema de resolver um polinômio de grau d aoutro problema, que é o de achar os autovalores de uma matriz d × d.Existe excelente software numérico para achar autovalores. Vamos aplicaressa idéia ao polinômio pérdo.p=poly(1:10)C=[ [zeros(9,1),eye(9)]; -p(11:-1:2)]x=eig(C)x =10.000009.000008.000007.000006.000005.000004.000003.000002.000001.00000A solução parece correta. Mas conhecemos a solução exata, e podemosconferir:x - [10:-1:1]¡ans =

1.3. O POLINÔMIO PÉRFIDO 154.3965e-11-2.1128e-104.4744e-10-5.4329e-104.0626e-10-1.8595e-104.9097e-11-6.6769e-124.0634e-13-1.5654e-14Mais uma vez, a solução parece correta. O fato do Octave usar aritméticade dupla precisão deveria no entanto levantar suspeitas. O erro relativo decada operação aritmética em precisão dupla é de no máximo 2 −53 ≃ 10 −16 .Não está claro se o resultado é acurado. O mesmo acontece se utilizamos ocomando roots.Vamos agora repetir o experimento, com grau 20.p=poly(1:20)C=[ [zeros(19,1),eye(19)]; -p(21:-1:2)]x=eig(C)x =19.999419.005617.976917.052415.909215.102113.916813.055311.975311.00929.99759.00057.99997.00006.00005.00004.00003.00002.00001.0000O seguinte experimento mostra que a diculdade em se resolver polinômiospérdos não é bug do software ou deciência do algoritmo:p=poly(1:10)p(11)=p(11)*1.0001C=[ [zeros(9,1),eye(9)]; -p(11:-1:2)]x=eig(C)x =9.9990

16 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTE9.00897.96247.08075.86735.13273.91933.03761.99111.0010Uma perturbação de 0.01% em um dos coecientes provocou uma perturbaçãode 2% nos valores das raízes.Para explicar o ocorrido, introduzimos o número de condicionamentode Wilkinson para polinômios: se ζ é um zero isolado de f, dene-se ocondicionamento porκ f (ζ) =‖f‖|f ′ (ζ)| .Se z for uma solução exata do polinômio f + δf, então podemos denirimplicitamente:(f + tδf)(z(t)) = 0com z(1) = z. Derivando em relação a t,e logo(δf)(z(t)) + (f + δf) ′ (ż(t)) = 0∥⎡⎤∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ 11z(t)‖ż(t)‖ ≤|(f + δf) ′ (z(t))| ‖δf‖ z(t) 2.⎢ ⎥⎣ . ⎦z(t) degf ∥Podemos concluir (com um pouco mais de trabalho) que o erro ‖δz‖ éno máximo da ordem deκ f (ζ) ‖δf‖ √degf max(1, |ζ|) degf .‖f‖

1.4. TEORIA GERAL 171.4 Teoria geralNúmeros de condicionamento foram estudados e denidos para os mais diversosproblemas, como por exemplo problemas de autovalores, solução desistemas de polinômios, mínimos quadrados, etc... (Ver [1,2]).A teoria geral de números de condicionamento utiliza conceitos de geometriadiferencial. Vamos introduzir abaixo alguns conceitos fundamentaisde Cálculo em Variedades, essenciais para o bom entendimento do que segue.Em primeiro lugar, uma função diferenciável é uma função derivável,com derivada contínua. Se for uma função vetorial, exigimos que todas asderivadas parciais em relação a todas as variáveis sejam diferenciáveis, erepresentamos a derivada pela matriz das derivadas parciais.Denição 1.1. SejaF : R n → R mx ↦→ F (x)uma função diferenciável, com n ≥ m. Um ponto crítico de F é um x ∈ R ntal que DF x tenha posto < m, ou seja, que as colunas de DF x não sejamindependentes, ou ainda que a aplicação linear DF x não seja sobrejetora.Um ponto regular é um x ∈ R n que não é crítico. Denimos ainda umvalor crítico de F como um y ∈ R m que seja imagem por F de um pontocrítico. Um y ∈ R m é dito valor regular se ele não é imagem de nenhumponto crítico.Denição 1.2. Uma subvariedade diferenciável d-dimensional M implícitaem R n é um conjunto da forma F −1 (0), ondeF : R n → R mx ↦→ F (x)é uma função diferenciável, e 0 é valor regular de F.Neste texto, uma variedade é sempre uma subvariedade diferenciável d-dimensional implícita de algum espaço linear. Por exemplo, o conjunto dasmatrizes n × n de determinante zero é uma variedade.Se M = F −1 (0) é uma variedade (no nosso sentido) e x um ponto deM, denimos o espaço tangente a M em x comoT x M = ker DF x .Existe uma parametrização de T x M em uma vizinhança de x ∈ M.Dessa maneira, podemos (localmente) introduzir sistemas de coordenadasem M. Se F : R n → R m , então T x M tem dimensão n − m e dizemos queM tem dimensão m − n.

18 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTESe M e N são variedades e Φ : M → N, então denimos DΦ x : T x →T Φ(x) como a melhor aproximação linear de Φ (se existir). Dessa maneira,podemos fazer cálculo em variedades.Uma denição diferente de variedade é utilizada em geometria algébrica.Um fechado de Zariski é o conjunto dos zeros de uma coleção de polinômios(reais, complexos, etc...). Uma variedade algébrica é um fechado de Zariski,que não se escreve como união trivial de fechados de Zariski. A variedadedas matrizes A tais que det A = 0, por exemplo, é uma variedade algébrica.Um problema numérico é denido por um espaço (ou variedade !) F deentrada (por exemplo, as matrizes n×n) e um espaço X de soluções (exemplo:autovalor λ ∈ C). Existe uma regra associando soluções às entradas.Essa regra não é nem pode ser uma função unívoca, pois certos problemas(por exemplo, o problema de autovalores) admitem várias soluções.No exemplo, um número complexo λ é autovalor de A se e somentese det(A − λI) = 0. Denimos portanto a seguinte variedade de F × C,chamada de variedade de incidência (Figura 1.3):V = {(A, λ) ∈ F × C : det(A − λI) = 0} (1.4.3)(A prova de que V é variedade é um exercício). π 1 : V → F e π 2 : V → Cdenotam as projeções canônicas.Dado (M, λ) ∈ V ⊂ F × X, podem acontecer duas situações:• (A, λ) é ponto crítico da projeção π 1 : V → F. Nesse caso, a entradaA é chamada de mal-posta, ou degenerada. Por denição, o númerode condicionamento µ(A, λ) em (A, λ) é innito.• (A, λ) é ponto regular da projeção V → F. Nesse caso (Teorema daFunção Implícita !) podemos estender λ como função (π 2 ◦ π1 −1 )de A,localmente, em uma certa vizinhança de A. O número de condicionamentoµ(A, λ) em (A, λ) é a norma da derivada da função implícita(π 2 ◦ π1 −1 ) em A.Em geral, o número de condicionamento é proporcional à norma daderivada da solução em função da entrada, podendo ser innito. Se forgrande, a entrada é dita mal condicionada. Se for innita, ela é degeneradaou mal posta. Se pudéssemos impunemente brincar com a precisão denossos computadores, o número de bits necessário para resolver um problemacom uma certa entrada seria proporcional ao logaritmo do condicionamentodesta.

1.4. TEORIA GERAL 19Variedade de incidênciaCPonto regularπ 2Pontos críticosπ 1Valores críticosFValor regularFigura 1.3: Formulação geral.

20 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTE1.5 Os problemas mal postosOs números de condicionamento medem a diculdade de resolver um problemapara determinada entrada. A esse título, constituem a noção centralem análise numérica, e números de condicionamento altos são a principalobstrução para algoritmos numéricos.Identicada a obstrução, cumpre entendê-la, para depois tomar as devidasprovidências (contornar? remover? explodir? conformar-se?).Na maioria dos problemas numéricos estudados em dimensão nita, oconjunto das entradas mal-postas tem estrutura de variedade algébrica.Essa variedade não é, em geral, diferenciável. Por exemplo, no caso doproblema de resolver sistemas lineares, as entradas mal-postas são precisamente:{A : det A = 0} .No caso de polinômios em uma variável, a classe das entradas mal postasé a variedade dos polinômios com uma raiz múltipla. Em função doscoecientes, isso equivale a escrever:⎡⎤f 0 f 1. f 1 .. . . ... . f 0 (d − 1)f d−1 ..det. . f 1 df d .. f1= 0 .. f d ... . .. .⎢⎣ . .. . ⎥... (d − 1)fd−1⎦f d df dA variedade das entradas mal postas é um objeto extremamente complicado,mas tem sempre codimensão ≥ 1 (i.e. dimensão N − 1 em um espaçode dimensão N).Podemos deduzir que• A probabilidade de uma entrada aleatória ser mal posta é zero.• A variedade das entradas mal postas não desconecta a variedade detodas as entradas... desde que se trate de variedades complexas.• Superfície e área de vizinhança tubular podem ser estimadas.

1.6. A DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES 211.6 A decomposição em valores singularesPrecisamos agora de alguns teoremas de Álgebra Linear. O principal delesé o teorema da decomposição em valores singulares, e vamos deduzi-lo doTeorema Espectral.Teorema 1.3 (T. Espectral para matrizes simétricas). Seja S uma matrizsimétrica real n × n. Então todos os autovalores de S são reais, e S admiteuma base ortonormal de autovetores.A prova foi deixada para os exercícios. Admitindo esse resultado, podemospassar ao Teorema seguinte.Seja A : R n → R m uma aplicação linear. Os espaços R n e R m sãomunidos do produto interno canônico.Vamos mostrar que existe uma base ortonormal (v 1 , . . . , v n ) de R n , euma base ortonormal (u 1 , . . . , u n ) de R m , tais que a matriz associada Arelativa a essas duas bases é diagonal.Uma matriz Σ de tamanho m × n é diagonal positiva se e somente separa todo i, Σ ii ≥ 0, e para i ≠ j, Σ ij = 0.Teorema 1.4. Seja A uma matriz real de tamanho m × n. Então existemU ∈ O(m), V ∈ O(n) e Σ diagonal positiva de tamanho m × n, tais queA = UΣV T .Demonstração: Para xar as idéias, vamos assumir que m ≥ n. (No casom < n, basta substituir A por A T ).A matriz A T A é real e simétrica. Pelo Teorema Espectral, ela admiteuma base ortonormal (v 1 , . . . , v n ) de autovetores. Denotamos por λ i osautovalores de A T A. Para todo i = 1, . . . , n, denimosσ i = ‖Av i ‖e assumimos que a base v i está ordenada de maneira que σ 1 ≥ σ 2 ≥ · · · ≥σ n . Seja r o posto de A, então σ 1 , . . . , σ r ≠ 0 e para todo i ∈ {1, 2, . . . , r},podemos deniru i = σ −1i Av i .Por construção, ‖u i ‖ = 1. (Note que isso implica que σi2 = λ i). Comopara todo i ≠ j, v i (A T A)v j = λ j vi T v j = 0, teremos que 〈u i , u j 〉 = 0 e osu i formam um conjunto ortonormal.Existe uma base (u 1 , . . . , u r , w r+1 , . . . , w m ) de R n . Aplicando Gram-Schmidt a essa base, obtemos um base ortonormal (u 1 , . . . , u m ). Como

22 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTEtodo vetor ortogonal à imagem de A pertence ao núcleo de A T ,⎡⎤σ 1 0 0 · · · 00 σ 2 0 · · · 00 0 σ 3.A = U. . ..0 0 σ rV T .0 0 0⎢⎥⎣ . .. ⎦0 0 0Os σ i 's são chamados de valores singulares de A, e os u i 's e v i 's devetores singulares.Uma interpretação geométrica é a seguinte. Assuma que A é de tamanhom × n, com m ≥ n e posto n). SejaE = {Ax : ‖x‖ ≤ 1} .O conjunto E é o elipsóide de centro zero, e semieixos σ i u i .1.7 Os problemas mal condicionadosLembremos que o número de condicionamento de uma matriz A é dado porκ A = ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ F .Seja Σ = {A : det A = 0} a variedade das entradas mal postas.Teorema 1.5 (Eckart-Young).onde d(Σ, A) = min (A+δA)∈Σ ‖δA‖ F .1κ A =d(Σ, A)/‖A‖ FProva: Vamos utilizar a decomposição em valores singulares de A. PeloTeorema 1.4, toda matriz A se escreve como:A = UΣV

1.7. OS PROBLEMAS MAL CONDICIONADOS 23onde U e V são matrizes ortogonais, e Σ é uma matriz diagonal real nãonegativa.Seja⎡⎤σ 1 σ 2 Σ = ⎢⎣. ..⎥⎦σ ncom σ 1 ≥ σ 2 ≥ · · · σ n > 0. Então, podemos escrever explicitamente:e‖A‖ F =√ ∑σ2iκ A =√ ∑σ2i /σ n .A menor perturbação que torna A singular é:⎡⎤0. .. δ A = U ⎢⎥⎣ 0 ⎦ V T−σ nque tem norma σ n . Logo, d(A, Σ)/‖A‖ F = σ n /‖A‖ F = 1/κ A , q.e.d.Resultados análogos foram descobertos para problemas como o problemade autovalores, problema de mínimos quadrados, solução de polinômios, desistemas de polinômios.Esses resultados sugerem o seguinte paradigma: O número de condicionamentopode ser interpretado como o inverso da distância à variedade dasentradas mal postas.Como todo paradigma, deve ser tomado com um certo cuidado. No casode polinômios e sistemas de polinômios, a igualdade é um pouco mais sutil:o número de condicionamento µ(f, ζ) é a inversa da distância medida dentroda bra das entradas f com solução em ζ ([1, Cap.12]).No caso do problema de autovalores não-simétrico, a distância é menorou igual a 1/ √ c 2 − 1 ≃ 1/c, onde c é o número de condicionamento ([2,Teorema 4.6]).No entanto, o paradigma acima permite atacar a perguntas como a seguinte:qual é a probabilidade de uma matriz ter número de condição menordo que um certo ɛ −1 ? Para isso precisamos denir uma medida de probabilidadesobre as matrizes. Por exemplo, se as coordenadas são variáveis aleatóriasGaussianas, identicamente e independentemente distribuídas, AlanEdelman mostrou [3, Cor. 7.1] quelimn→∞ Prob[κ < ɛ−1 ] = e −2nɛ−2n2 ɛ 2 .

24 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTEPelo Teorema de Eckart-Young, estamos calculando o volume (probabilidadetotal) de uma vizinhança tubular de raio ɛ da variedade algébricadet A = 0.1.8 ExercíciosExercício 1.1. Explique os resultados obtidos pelo programa da página 10Exercício 1.2. Mostre que se S é uma matriz real simétrica, então seusautovalores e autovetores são reais.Exercício 1.3. Mostre que se u é autovalor de S, e se v ⊥ u, então Sv ⊥ u.Exercício 1.4. Prove o Teorema Espectral.Exercício 1.5. Mostre que a variedade algébrica {A : det(A) = 0}, onde Aé uma matriz n × n e n ≥ 2, não é uma variedade diferenciável implícita.Exercício 1.6. Mostre que toda matriz complexa quadrada A se escrevecomo A = QRQ ∗ , onde R é triangular superior e QQ ∗ = I.Exercício 1.7. Mostre que o conjunto V da equação (1.4.3) é uma variedade.Exercício 1.8. Ache uma expressão para o número de condicionamento doproblema de autovalores.Referências[1] Lenore Blum, Felipe Cucker, Michael Shub, and Steve Smale, Complexity and realcomputation, Springer-Verlag, New York, 1998.[2] James W. Demmel, Applied numerical linear algebra, Society for Industrial and AppliedMathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997.[3] Alan Edelman, Eigenvalues and condition numbers of random matrices, Ph.D. Thesis,Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA,1989.[4] Nicholas J. Higham, Accuracy and stability of numerical algorithms, 2nd ed., Societyfor Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2002.

Aula 2A iteração de Gräe,Dandelin ou LobachevskiiNa década de 1830, a Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmiopara o melhor método de se achar zeros de polinômios.O agraciado foi Karl Heinrich Gräe (1799-1873) cujo trabalho (publicadoem 1837) propõe elevar as raízes ao quadrado, por meio da iteraçãof(x) ↦→ ±f( √ x)f( √ −x). Após um pequeno número k de iterações, é possívelrecuperar as raízes 2 k -ésimas das raízes de f.O método já havia sido esboçado em 1826 por Germinal Pierre Dandelin(1794-1847) (Fig.2.1), matemático, engenheiro militar e futuro revolucioná-Gregorio Malajovich, Geometria de Algoritmos Numéricos. Notas em MatemáticaAplicada 37 (XXXI CNMAC), SBMAC, São Carlos, 2008.Copyright c○ Gregorio Malajovich, 2008.Figura 2.1: Germinal Dandelin (1794-1847) e Nicolai Ivánovich Lobachevskii(1792-1856).25

26 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIrio Belga. Esse método passou a ser conhecido no ocidente como métodode Dandelin-Gräe.Foi descoberto independentemente por Nicolai Ivánovich Lobachevskii(1792-1856) (Fig.2.1), hoje mais conhecido pela invenção da geometria nãoEuclidiana. O Tratado de Álgebra de Lobachevskii foi entregue ao censorem 1832, mas só foi publicado em 1834. Pesou contra ele o fato de estarem Kazan, longe dos centros intelectuais da Europa. Nos textos Soviéticos,falava-se do algoritmo de Lobachevskii.Cada um deles apresentou contribuições importantes para o método,que foi tornado mais rigoroso e eciente ao longo de dois séculos.Nesta aula, pretendo apresentar uma visão moderna da iteração deGräe-Dandelin-Lobachevskii. Quero mostrar que apesar de quase bicentenário,o algoritmo ilustra vários tipos de conexões de problemas numéricoscom áreas correntes da matemática.A principal referência para a versão moderna do algoritmo é o artigo [3],escrito em parceria com Jorge P. Zubelli. A referência histórica é [1].2.1 A iteraçãoSejaf(x) =d∑f j x j (2.1.1)j=0um polinômio de grau d, com coecientes reais ou complexos. Para simpli-car as contas, vamos assumir que f d = 1 (f é mônico).Do Teorema Fundamental da Álgebra, sabemos que f admite d raízescomplexas, contadas com multiplicidade. Sejam ζ 1 , . . . , ζ d essas raízes, eassumimos que estão ordenadas de modo que|ζ 1 | ≤ |ζ 2 | ≤ · · · ≤ |ζ d | .O polinômio f(x) também se escrevef(x) = (x − ζ 1 )(x − ζ 2 ) · · · (x − ζ d ) . (2.1.2)Igualando (2.1.1) a (2.1.2), deduzimos que os coecientes do polinômiof são (a menos de um sinal) as funções simétricas das raízes:f j = (−1) d−j σ d−j (ζ 1 , . . . , ζ d ) . (2.1.3)

2.1. A ITERAÇÃO 27comσ 0 (ζ 1 , . . . , ζ d ) = 1σ 1 (ζ 1 , . . . , ζ d ) = ζ 1 + ζ 2 + · · · + ζ dσ 2 (ζ 1 , . . . , ζ d ) = ζ 1 ζ 2 + ζ 1 ζ 3 + · · · + ζ d−1 ζ d.σ d (ζ 1 , . . . , ζ d ) = ζ 1 ζ 2 · · · ζ dA iteração de Gräe leva o polinômio f(x) no polinômio (Gf)(x) =(−1) d f( √ x)f( √ −x). Dados os coecientes de f(x), podemos calcular oscoecientes de (Gf)(x) pelo algoritmo da multiplicação ou convolução:(Gf) j =min(j,d−j)∑i=− min(j,d−j)(−1) j−i f j+i f j−i .Essa conta pode ser feita de maneira extremamente rápida utilizando atransformada rápida de Fourier.Por outro lado,Gf(x) = ( √ x − ζ 1 )( √ (x) + ζ 1 ) · · · ( √ x − ζ d )( √ (x) + ζ d )= ( √ x − ζ 2 1) · · · ( √ (x) + ζ 2 d)Vamos agora iterar esse processo. Escrevemos⎛g(x) = G N f(x) = ⎝(G}◦ G{{◦ · · · ◦ G})(f) ⎠ (x) .N vezesVamos denotar por g i os coecientes de g(x) = G N f(x). Comoteremos:g(x) = (x − ζ 2N1 )(x − ζ 2N2 ) · · · (x − ζ 2Nd ) ,⎞g d = 1g d−1 = −)(ζ 1 2N+ ζ2 2N+ · · · + ζd2Ng d−2 = ζ 2N1 ζ 2N2 + ζ 2N1 ζ 2N3 + · · · + ζ 2Nd−1ζ 2Nd.g 0 = (−1) d ζ 2N1 ζ 2N2 · · · ζ 2Nd

28 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIVamos introduzir agora uma hipótese simplicadora: assumimos temporariamenteque|ζ 1 | < |ζ 2 | < · · · < |ζ d | . (2.1.4)Seja R = min ζjζ j−1. Então R > 1. Temos agora:g d = 1g d−1 = −ζ 2Nd (1 + δ d−1 )g d−2 = ζ 2Nd−1ζ 2Nd (1 + δ d−2 ).g 1 = (−1) d−1 ζ 2N2 ζ 2N3 · · · ζ 2Nd (1 + δ 1 )g 0 = (−1) d ζ1 2Nζ2 2N· · · ζd2Nonde os δ j são pequenos (quando R é xo e k é grande): uma estimativaóbvia é( )d|δ j | < R −2N .jAté a primeira metade do século XX, era usual representar os g i em papellogarítmico (com a escala certa) e aproximar log |ζ i | 2N pelo coeciente dareta contendo (j, − log |g j |) e (j + 1, − log g j+1 ). Esse gráco era conhecidocomo diagrama de Newton (Fig 2.2).Sobraram dois problemas:1. Como lidar com raízes com o mesmo módulo ? Por exemplo, f 1 (x) =x 2 − 2x + 1 ?2. Como recuperar os argumentos ? Se f 2 (x) = x 2 − 1, então Gf 1 (x) =Gf 2 (x) = f 2 (x), e perdemos informação !A solução histórica era iterar f(x + ɛ) e f(x − ɛ), obtendo assim |ζ i − ɛ|e |ζ i + ɛ|.2.2 Papel logarítmico, renormalização e GeometriaAlgébrica TropicalVimos que não é natural assumir que as raízes de um polinômio têm módulodiferente. De fato, existe uma probabilidade positiva de um polinômio real

2.2. PAPEL LOGARÍTMICO, RENORMALIZAÇÃO E GEOMETRIA ALGÉBRICATROPICAL 29Figura 2.2: Diagrama de Newton, polinômio complexo aleatório de grau 20,após 11 iterações.

30 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIaleatório ter raízes complexas conjugadas. Vamos portanto substituir ahipótese (2.1.4) por uma hipótese muito mais fraca:Hipótese: Se duas raízes de f têm mesmo módulo, é por uma dasseguintes razões: elas são iguais, ou f é real e as raízes são conjugadas.Nesse caso, dizemos que f é livre de círculos.Essa é uma hipótese genérica e de probabilidade um. Se f não for livrede círculos, sempre podemos aplicar uma transformação conforme aleatóriae obter (com probabilidade 1) um polinômio livre de círculos. De agora emdiante, assumimos que f é livre de círculos.A cada etapa de iteração, representamos os coecientes da N-ésima iteradag(x) = G N f(x) em coordenadas logarítmicas renormalizadas:Ou ainda:g k = e 2N r i k (N) e √ −1α (N)i .r (N)k= 2 −N log |g k |α (N)i = arg g kIsso era feito implicitamente no início do século XX, utilizando papellogarítmico. A mudança de escala era feita, mas não escrita.Se valesse a hipótese (2.1.4), teríamos o seguinte fato: embora a seqüênciados (G N f(x)) N∈N seja divergente, a seqüência dos (r (N) ) N∈N convergepara um limite que nos fornece informação relevante.Esse é um exemplo de renormalização, técnica utilizada em autômatoscelulares e sistemas dinâmicos. (Renormalização em física pode ser umpouco diferente).Por outro lado, a dinâmica dos argumentos α (N)ké tipicamente caótica,no limite α (N)k≃ 2α (N−1)kmod 2π. É importante entender que esse fatoé trivial e absolutamente irrelevante. A informação guardada nos α (N) éperdida, e aqui entender sistemas dinâmicos caóticos não ajuda em nada.A convergência da seqüência (r (N) ) N∈N depende da hipótese (2.1.4). Oque acontece com polinômios livres de círculos é mais complicado. Essefenômeno foi descrito por Ostrowskii [4, 5], mas o fato de renormalizarmosos r (N) permite um entendimento melhor:Seja ˆr(N) a maior função convexa em [0, d] tal que ˆr (N) (k) ≤ r (N)k,k = 0, . . . , d.Se f é livre de círculos, então ˆr (N) é convergente (Figura 2.3). A velocidadede convergência pode ser estimada em função de R.k

2.2. PAPEL LOGARÍTMICO, RENORMALIZAÇÃO E GEOMETRIA ALGÉBRICATROPICAL 31Figura 2.3: Diagrama de Newton renormalizado, polinômio aleatório realde grau 10.

32 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIAté a invenção do computador digital, a iteração de Gräe-Dandelin-Lobachevskii e suas variantes eram o algoritmo escolhido para resolver polinômios.Isso mudou radicalmente com o advento do computador digital. Apósas primeiras experiências numéricas, cou claro que o expoente estouravarapidamente (Fig 1.1).Por exemplo, se começamos com coecientes da ordem de 2, em 10iterações apenas teremos coecientes da ordem de 2 21 0, que precisam de 2 1 0bits em representação inteira exata, e de em torno de 10 bits de expoenteem representação mantissa-potência de dois. Hoje utilizamos em torno de10 bits de expoente.Como apareceram algoritmos mais simples de implementar (ou implementadospor outras razões), o algoritmo cou esquecido.Utilizando a idéia de renormalização, não ocorre estouro do expoente,e a cada passo podemos fazer contas renormalizadas da maneira seguinte:Representação usual: Renormalização de ordem N:x = e 2N r+iα(r, α)y = e 2N s+iβ(s, β)x + y = e 2N t+iγ(t, γ) = (r, α) + k(s, β)xy = e 2N u+iδ(u, δ) = (r, α) + (s, β)Onde (assumindo r ≥ s:)t = 2 −N ∣log ∣e 2N r+iα + e 2N s+iβ∣∣= r log ∣1 + e 2N (s−r)+i(β−α)∣Note quee 2N (s−r)+i(β−α) =e i(β−α)1 + 2 N (r − s) + 1 2 22N (r − s) 2 + · · · .A soma renormalizada pode ser calculada de maneira estável. Quando2 N ≫ |r − s|, pode-se até aproximar (r, α) + k(s, β) pelo limite,⎧⎨ (r, α) Se r > s(r, α) + ∞(s, β) = (s, β) Se s < r .⎩(r, Indenido) Se r = sA primeira coordenada desse limite é conhecida hoje como soma tropicalde r e s.Denição 2.1. O semianel tropical é o anel R ∪ −∞ munido das operaçõesde soma tropical r + s = max(r, s) e produto tropical r × s = r + s.

2.3. PERTURBAÇÃO OU DERIVAÇÃO 33Existe também uma conexão com geometria simplética. Podemos relacionaro sistema de coordenadas renormalizado (r, α) ao espaço R × S 1munido da métrica induzida pelo pull-back da métrica de Fubini pela imersãode Veronesev : R × S 1 → P d(r, α) ↦→ c 0[1 : c1 e r+iα : · · · : c d e dr+diα]onde c i são constantes reais positivas. O fecho de R×S 1 é a variedade tóricaassociada aos polinômios a uma variável densos de grau d. O número desoluções é proporcional ao volume dessa variedade. Esse fato se generalizaa dimensão qualquer (Mais informações em [2]).2.3 Perturbação ou DerivaçãoComo mencionei acima, um dos métodos para se recuperar também o módulodas raízes era perturbativo: aplicar o algoritmo em f(x + ɛ) e emf(x − ɛ). Em análise numérica, esse tipo de algoritmos costumam ser umapéssima idéia por conta dos arredondamentos.É muito melhor utilizar cálculo diferencial. Algoritmos numéricos podemser derivados.Vamos considerar inicialmente uma curva de polinômios,f(x − ɛ) = (x − ζ 1 − ɛ) · · · (x − ζ d − ɛ) .Só iremos derivar o algoritmo uma vez e para ɛ ≃ 0. Por isso, escrevemos:onde podemos calcularf(x − ɛ) = f(x) + ɛ ˙ f(x) + O(ɛ 2 )˙ f(x) = −f ′ (x) .Agora podemos aproximar cada iteração por uma função am em ɛ:f(x) ↦→ Gf(x) = (−1) d f(x)f(−x)f(x) + ɛf(x) ˙(↦→ Gf(x) + ɛ (−1) d f(x) f(−x) ˙ + f(x)f(−x) ˙)A aplicação f +ɛf ˙ ↦→ Gf +ɛDG |f f˙é chamada em Cálculo em Variedadesde aplicação tangente.Iterando a aplicação tangente, obtemos uma linha de polinômios g(x)+ɛġ(x), de raízesZ j + ɛŻj = (ζ j + ɛ) 2N+ O(ɛ 2 ) = ζj2N(1 + 2 N ɛζ −1j ) + O(ɛ 2 ) .

34 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIAssim,e podemos recuperarŻ j = 2 N Z j ζ −1jζ j = 2 −N Żj .Z j(Ainda é necessário reescrever essa fórmula em termos de coordenadasrenormalizadas. Isso é feito no artigo [3]).2.4 ConclusõesUm dos principais objetivos desta aula era convencer a audiência de quealgoritmos numéricos são um objeto cujo estudo demanda ferramental matemáticoclássico:1. Cálculo Diferencial: algoritmos podem e devem ser diferenciados.2. Geometria Diferencial: algoritmos existem naturalmente em variedades.3. Geometria Simplética (dessa falei pouco).Uma outra lição importante: A Matemática do século XIX está cheia deresultados brilhantes, muitos dos quais fora de moda. Ao estudar problemascomputacionais, nunca se deve desprezar a sabedoria de quem era obrigadoa fazer as contas na mão.2.5 ExercíciosExercício 2.1. Dena uma variação da iterada de Gräe, que eleve ao cubocada solução de um polinômio f.Exercício 2.2. Mostre que com probabilidade um, todo polinômio é livrede círculos.Exercício 2.3. Uma reta tropical de equação a × r + b × s + c é oconjunto de (R ∪ −∞) 2 dos pontos (r, s) onde o máximo de a × r, b × se c é atingido pelo menos duas vezes. Caracterize todas as retas tropicais.Exercício 2.4. Mostre que duas retas tropicais têm sempre pelo menos umponto de intersecção.

2.5. EXERCÍCIOS 35Exercício 2.5. Seja f(x, y) = ∑ Sk=1 f kx α ky β k um polinômio em duas variáveis,f k ≠ 0. Seja V o conjunto dos zeros de f em C 2 . A ameba Aassociada a f é o conjunto A = {(− log |x|, − log |y|) : (x, y) ∈ V }. Mostreque lim 2 −k A está contido na curva tropical dos {(r, s) ∈ (R ∪ −∞) 2 taisquemax r α kké atingido pelo menos duas vezes.Referências× s β k[1] Alston S. Householder, Dandelin, Loba£evski¨, or Graee?, Amer. Math. Monthly 66(1959), 464466.[2] Gregorio Malajovich and J. Maurice Rojas, High probability analysis of the conditionnumber of sparse polynomial systems, Theoret. Comput. Sci. 315 (2004), no. 2-3,524555.[3] Gregorio Malajovich and Jorge P. Zubelli, Tangent Graee iteration, Numer. Math.89 (2001), no. 4, 749782.[4] Alexandre Ostrowski, Recherches sur la méthode de Graee et les zéros des polynomeset des séries de Laurent, Acta Math. 72 (1940), 99155 (French).[5] , Recherches sur la méthode de Graee et les zéros des polynomes et des sériesde Laurent. Chapitres III et IV, Acta Math. 72 (1940), 157257 (French).Esta lista não é completa. Uma bibliograa mais extensa pode ser encontradaem [3].

36 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKII

Aula 3A procura na Web3.1 Introdução à teoria dos grafosTalvez uma das aplicações mais importantes e menos entendidas da ÁlgebraLinear sejam os algoritmos de de busca na internet. Os conceitos fundamentaissão o Teorema Espectral (Teorema 1.3) e a decomposição SVD(Teorema 1.4).Denição 3.1. Um grafo simples é um par G = (V, E) onde V é um conjuntonito (seus elementos são chamados de vértice e E é um conjunto de paresnão ordenados de vértices diferentes (chamados de arestas ).Um caminho é uma lista nita de vértices, tais que cada dois vérticesconsecutivos formam uma aresta. Também podemos representar um caminhopela lista de arestas correspondentes. Um ciclo é um caminho onde oúltimo vértice é idêntico ao primeiro vértice.Exemplo 3.2. A internet (Fig. 3.1) pode ser modelada por um conjunto(gigantesco mas nito) de computadores (vértices), cada um conectado aum número pequeno de outros computadores. Cada ligação é uma aresta.Um modelo mais realista associaria também a cada aresta, a sua velocidadeou largura de banda.Exemplo 3.3. A malha rodoviária nacional também pode ser descrita comoum conjunto de vértices (localidades), e as arestas correspondem às estradasdiretas entre essas localidades.Gregorio Malajovich, Geometria de Algoritmos Numéricos. Notas em MatemáticaAplicada 37 (XXXI CNMAC), SBMAC, São Carlos, 2008.Copyright c○ Gregorio Malajovich, 2008.37

38 AULA 3. A PROCURA NA WEBFigura 3.1: Mapa parcial da internet. Imagem publicada por Matt Britt,http.wikimidia.org, sob o título Internet map 1024.jpg. Copyright c○ CreativeCommons Attribution 2.5 License.

3.2. A EQUAÇÃO DO CALOR EM GRAFOS 39Exemplo 3.4. Matemáticos costumam escrever artigos em parceria. O grafode colaboração é o grafo cujos vértices correspondem a cada Matemáticocom artigos publicados, e as arestas à existência de uma colaboração publicadaentre eles. A distância de colaboração entre dois Matemáticos éa distância entre eles no grafo, e pode ser calculada 1 . O número de Erdösde um Matemático é a distância de colaboração entre ele e Paul Erdös(1913-1996), que foi aparentemente o mais colaborador e prolíco dentre osgrandes matemáticos do século passado. O grau de um vértice é o númerode arestas contendo esse vértice. No grafo de colaboração, Paul Erdös temgrau 507.Propriedades métricas e de conexidade de grafos são extremamente importantes.Em uma rede de comunicações, é importante que existam múltiploscaminhos entre dois pontos mas também é crucial que a distância entredois pontos quaisquer seja pequena.Isso é uma característica importante de redes de comunicações ou deredes sociais, conhecida como propriedade do mundo pequeno.A internet tem essa propriedade (vocês podem listar o caminho entreo seu computador e outro computador qualquer usando o comandotraceroute. Uma distância de 30 é incomum. Entre Matemáticos, a distânciade colaboração costuma ser bem menor (4 é razoável).Uma maneira de estudar grafos é introduzir a matriz de adjacência.Denição 3.5. A matriz de Adjacência A G associada a um grafo simplesG = (V, E) é a matriz de tamanho #V × #V denida por(A G ) a,b ={1 Se {a, b} ∈ E0 Em todos os outros casos.3.2 A Equação do Calor em grafosPara se estudar as propriedades de conexidade de grafos do mundo real (emgeral com milhares ou milhões de vértices, talvez bilhões) é necessário recorrera invariantes estatísticos. Por exemplo, é possível estudar caminhosaleatórios em grafos. Como veremos a seguir, isso está relacionado com aequação do calor.Seja G um grafo simples. A matriz Laplaciana associada a G é denidapor:∆ G = A G − D G1 Ver em: ams.impa.br

40 AULA 3. A PROCURA NA WEBonde a matriz D G é diagonal, e (D G ) vv = ∑ w A vw é o grau do vértice v(número de arestas incidentes). A transmissão do calor entre dois compartimentosé proporcional à diferença de temperatura. A equação diferencialdo calor em uma barra de metal pode ser obtida discretizando o espaço e otempo e passando ao limite: ∂u(x,t)∂t= ∂2 u(x,t)∂x. Em uma placa ou barra de2metal, a equação é ∂u(x,t)∂t= ∆ x u(x, t).A equação do calor em grafos é˙u(t) = ∆ H u(t) .Essa equação modela um processo de difusão em grafos. Se H for conexo,lim t→∞ u(t) existe, e é constante entre vértices conectados por caminhos.Quanto mais rápida (em geral) a convergência, mais bem-conexo é o grafo.Podemos também considerar o análogo discreto:u(t + 1) = I + ɛ∆ H u(t) .Note que para ɛ < 1/(max(D G ) vv ), a matriz I + ɛ∆ H é uma matrizde Márkov! De fato é uma matriz duplamente estocástica, e a distribuiçãoestacionária é u ∗ v = 1.A matriz ∆ H é simétrica, e pode portanto ser diagonalizada. Seus autovaloressão portanto números reais. Como I + ɛ∆ H é estocástica, os autovaloresde ∆ H são menores ou iguais a zero. Sendo H conexo, o autovalorzero terá multiplicidade 1.Denição 3.6. O espectro de um grafo H é a lista 0 = λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ #Vdos autovalores de ∆ H .Pelo Teorema Espectral, a matriz ∆ H admite uma base ortonormal deautovetores. Isso permite estimar a velocidade de convergência de u(t) por:‖u(t) − u ∗ ‖ ≤ e λ2t ‖u(0)‖ .Quanto mais negativo for λ 2 , mais robusta e eciente é uma rede de comunicações.3.3 As Leis de KirchhoAs Leis de Kirchho (Fig.3.2) permitem resolver circuitos elétricos comresistências conectadas de maneira arbitrária. Para isso, precisamos representarcircuitos elétricos de alguma maneira. Poderíamos utilizar um grafo,mas precisamos ainda de mais informação:

3.3. AS LEIS DE KIRCHHOFF 41Figura 3.2: Leis de Kirchho e de Ohm.1. Precisamos convencionar uma orientação para cada aresta.2. Além disso, precisamos conhecer cada uma das resistências.Um grafo simples onde se especica uma orientação para cada aresta échamado de grafo orientado . Agora, o conjunto de arestas é um subconjuntoE ⊂ V × V. onde, se (v, w) ∈ E, (w, v) ∉ E. Em particular, não existe arestada forma (v, v).Denição 3.7. A matriz de Incidência I G associada a G é a matriz detamanho #E × #V, onde⎧⎨ 1 Se b = c(I G ) (a,b),c = −1 Se c = a⎩0 Em todos os outros casos.Seja G portanto o grafo orientado de uma malha elétrica, onde a cadaaresta (a, b) associamos uma resistência R (a,b) . Seja R ∈ R #E × R ∈ R #Ea matriz diagonal das resistências, i ∈ R #E o vetor da corrente em cadaaresta e q ∈ R #V o vetor de potencial elétrico.Assumimos que o circuito está em equilíbrio.Lei de Kirchho para a corrente: A corrente elétrica entrando emum vértice é igual à corrente saindo.Do ponto de vista matricial,I T G i = 0 .Lei de Kirchho para a voltagem A soma de diferenças de potencialentre arestas correspondendo a um ciclo fechado é zero.O vetor das diferenças de potencial é u = I G q ∈ R #E .Os caminhos fechados pertencem todos ao núcleo de I T G . O que a SegundaLei arma é que u é ortogonal ao núcleo de I T G . Isso segue do Teoremado Posto.Agora aplicamos a Lei de Ohm: u = iR.

42 AULA 3. A PROCURA NA WEBNo nosso caso, temos a igualdade matricial u = Ri. Podemos resolver ocircuito:I T G R −1 I G q = 0 .A dimensão do espaço das soluções é dim ker I G , que é o número decomponentes conexos do grafo. Isso é razoável se o nosso circuito está noequilíbrio.Agora suponhamos que prescrevemos entrada ou saída de corrente emalguns dos vértices. Teremos agora:I T G R −1 I G q = j ,onde j corresponde ao intercâmbio de corrente. A matriz IG T R−1 I G é simétricae pode ser assimilada a um Laplaciano. A Lei de Ohm diz que aderivada da carga em um vértice é igual à soma das diferenças de potencial,ponderadas pela condutância (inversa da resistência). Nesse sentido, aequação acima corresponde também a um processo de difusão. A maneiracorreta de se denir a matriz de adjacência para um circuito de resistênciasé como a matriz das condutâncias:{ R−1(A G ) a,b =a,bSe (a, b) ou (b, a) ∈ E0 Em todos os outros casos.Nesse caso, denimos o grau de a como a soma das condutâncias dasarestas incidindo em a. Recuperamos portanto que:I T G R −1 I G = A G − D G = ∆ G .3.4 Digrafos e o GoogleDenição 3.8. Um digrafo simples ou directed simple graph) G é um par(V, E) onde V é um conjunto nito (seus elementos são chamados de vértices) e E ⊆ V × V. Os elementos de E são chamados de arestas . Arestas de umvértice nele mesmo são permitidas.Exemplo 3.9. A World Wide Web é modelada por um conjunto de páginas(associadas a um endereço http ou uniform ressource locator ) (vértices) eum conjunto de ligações orientadas (links) entre os vértices.Exemplo 3.10. O cérebro humano é composto de mais de 100 bilhões deneurônios. Cada neurônio é uma célula com dois prolongamentos (áxil edendrítico). Cada um desses prolongamentos se ramica em possivelmente

3.4. DIGRAFOS E O GOOGLE 43Figura 3.3: Domínio ctício de Web.milhares ou dezenas de milhares de extremidades. Potencial elétrico nocentro da célula (soma) é transmitido ao prolongamento áxil. Isso afeta oterminal dendrítico de outros neurônios em contato (sinapse), transmitindoassim a informação. A transmissão é unidirecional. Neurônios podem serativadores ou inibidores. De qualquer maneira, podemos modelar o uxo deinformação por um digrafo, onde os neurônios são os vértices e as sinapsessão as arestas. Um neurônio pode ter mil ou dez mil arestas.O invariante natural de um digrafo é a matriz de transferência, versãoorientada da matriz de adjacência:{1 Se (b, a) ∈ E(T G ) a,b =0 Em todos os outros casos.Essa matriz não é simétrica.Vamos supor que um programa rastejador (que vamos chamar de bot)percorre um grafo orientado G = (V, E) escolhendo, a cada vértice, umaaresta aleatória. Para xar as idéias, vamos considerar apenas o domínioda Figura 3.3. O bot se desloca de maneira aleatória, escolhendo arestas aoacaso.Quatro domínios disputam a atenção do bot, e todos têm uma bot trap: uma vez que o bot entrou em uma página, ele não consegue mais sair dosub-domínio.Se o bot chega em um vértice sem saída, ele pula para um vértice aleatório.Ainda, poderia car preso em um ciclo.

44 AULA 3. A PROCURA NA WEBUma solução possível é a seguinte: a cada passo, o bot tem uma probabilidadeδ de pular para uma página escolhida de maneira totalmentealeatória.Larry Page, Sergey Brin e coautores[3] , então estudantes em Stanford,modelaram a relevância de uma página como o tempo médio que um dessesbots caria nessa página. Obviamente é impossível simular isso com umtrilhão de bots. Mas o algoritmo que Page desenvolveu, em conjunto comSerguei Brin, permite estimar esse tempo de maneira conveniente.Para isso, ele modelou o passeio aleatório do bot por um processo deMárkov. Dado um vetor de probabilidade p t (que mede a probabilidade dobot se encontrar em cada página, no tempo t), pode-se escrever o vetor p t+1como p t+1 = Mp t , onde:⎡ ⎤M = δ ⎢ ⎥N⎣1. ⎦ [ 1 . . . 1 ] + (1 − δ)T D −1 ,1N é o número de vértices e D é a matriz diagonal contendo o número dearestas saindo de cada vértice.A Matriz M é uma matriz de Márkov, e portanto (p t ) converge para umestado estacionário p ∗ . O índice de relevância da página v é p ∗ v.Os algoritmos que Page e Brin utilizaram se mostraram muito maisecientes do que os disponíveis para a concorrência (que funcionava comoas páginas amarelas, cobrando dos anunciantes). Google , o sistema de buscadeles, ganhou imediatamente o favor dos usuários da internet.Vamos digitar a matriz de transferência do domínio ctício da Fig. 3.3:T = zeros( 15, 15) ;T( 1, 2) = 1; T( 2, 4) = 1; T( 3, 4) = 1; T( 2, 3) = 1; T( 1, 5) = 1;T( 5, 1) = 1; T( 5, 6) = 1; T( 6, 8) = 1; T( 8, 7) = 1; T( 6, 7) = 1;T( 5, 7) = 1; T( 5, 9) = 1; T( 9, 5) = 1; T( 1, 9) = 1; T( 9, 1) = 1;T( 9,10) = 1; T(10,11) = 1; T( 9,12) = 1; T( 1,12) = 1; T(15,12) = 1;T(12,15) = 1; T(14,15) = 1; T(15,14) = 1; T(13,14) = 1; T(14,13) = 1;T(12,13) = 1; T(13,12) = 1; T(12,14) = 1; T(14,12) = 1; T(15,13) = 1;T(13,15) = 1;T = T'Agora produzimos a matriz M, e iteramos.delta = 0.15 ;D = sum(T) ;

3.4. DIGRAFOS E O GOOGLE 45for j=1:15if (D(j) == 0) T(:,j) = ones(15,1) ;end ;end ;D = sum(T) ;M = delta * ones(15,1) * ones(1,15) / 15 + ((1-delta) * T * diag(D.^(-1))) ;p = ones(15,1)/15 ;for k=1:100p = M * p ;end ;p'eps = norm(p - M*p)Obtemos:octave:58> p'ans =Columns 1 through 8:0.033144 0.026101 0.030151 0.055779 0.033144 0.026101 0.062822 0.030151Columns 9 through 15:0.033144 0.026101 0.041244 0.158762 0.147785 0.147785 0.147785octave:59> eps = norm(p - M*p)eps = 2.2153e-16Note que Egoísta.org foi quem apresentou os melhores índices de relevância! O domínio Egoísta.org montou uma fazenda de links , que aumentao número de arestas apontando para cada uma das suas páginas.Uma maneira de evitar essas manipulações é escolher a priori um númeropequeno de páginas conáveis e só permitir o salto para essas páginas.Outra é utilizar mais matemática.O algoritmo atualmente utilizado pelo Google não é público. O autordestas linhas está convencido de que se trata de uma variante do algoritmosabaixo.

46 AULA 3. A PROCURA NA WEB3.5 Busca na rede e a svdA matriz de transferência T foi denida assim: T vu = 1 se existe umaaresta orientada (u, v), senão T vu = 0. Jon M. Kleinberg [2] observou oseguinte: (T T T ) u1u 2conta o número de vezes que u 1 e u 2 apontam paraa mesma página. Isso mede quanto u 1 e u 2 concordam enquanto fontes dereferências.Vamos supor que um engenho de busca atribui peso a u para a página uenquanto fonte de referência. Quão bom é o vetor de pesos a? Do pontode vista da página u 1 , uma boa medida é (T T T a) u1 . Uma medida de quãoconsensual é o vetor a é a norma ‖T T T a‖. Kleinberg sugere utilizar oautovetor principal de T T T, que maximiza ‖T T T a‖, como peso para aspáginas enquanto fonte de referência.Já (T T T ) v2v 1conta o número de referências que apontam simultaneamentepara v 1 e v 2 . Kleinberg também propões utilizar o autovetor principalb de T T T como peso para as páginas enquanto conteúdo. (Ver exercício 3.3para vericar que podemos escolher b de tal maneira que b u ≥ 0).Esse algoritmo pode ser interpretado em termos da decomposição emvalores singulares (Teorema 1.4). Os vetores a e b podem ser escolhidosde tal maneira que ‖a‖ = ‖b‖ = 1. Nesse caso, eles são o vetor singularprincipal à direita (resp. vetor singular principal à esquerda) de T, e sãorelacionados porσ 1 b = T aonde σ 1 = ‖T ‖ 2 é o valor singular principal.Os índices de Kleinberg são manipuláveis. Uma página pode obter umalto índice de relevância enquanto fonte apontando para toda a internet.Para evitar esse tipo de manipulação, podemos substituir a matriz detransferência T pela matriz estocástica M.Vamos voltar ao nosso exemplo.calcular os vetores singulares é:Uma maneira pouco eciente de seoctave:28> [u,sigma,v]=svd(M)octave:29> p=u(:,1); q=v(:,1); p=p/sum(p); q=q/sum(q) ; [p,q]ans =0.040813 0.0413610.027973 0.0726570.050063 0.1027290.137383 0.0540220.036762 0.0604260.032024 0.093969

3.5. BUSCA NA REDE E A SVD 470.190207 0.0540220.059120 0.1391130.040813 0.0413610.027973 0.0514220.062892 0.0540220.087595 0.0554860.068793 0.0598030.068793 0.0598030.068793 0.059803Note que a fazenda de links da Egoísta.com perdeu a liderança nasbuscas !O algoritmo mais eciente para se achar autovetores principais (ou vetoressingulares principais) é a iteração: Escolher p 1 ao acaso, depois iterarp i+1 =(M T M)p i‖(M T M)p i ‖ .A velocidade de convergência é estimada facilmente utilizando o fato de queM T M é simétrica, e portanto (Teorema 1.3) admite uma base ortonormalde autovetores.Seja q o autovetor principal de M T M. Vamos escrever:p i = x i q + r i ,com r i ⊥ q. Então, a velocidade de convergência pode ser estimada por:‖r i+1 ‖x i + 1 ≤ λ 2λ 1‖r i ‖x ionde λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . são os autovalores de M T M (e λ j = σ 2 j ).A indústria de engenhos de busca na internet é altamente competitiva,e precisa se atualizar constantemente para combater Web spam , práticasdesonestas para obter (e vender) mais visibilidade. O combate ao Webspam pode exigir intervenção humana acoplada aos algoritmos [1] , ou reprogramaçãodos programas rastejadores que podem ser instruídos a nãofreqüentar certos domínios.A maioria dos algoritmos são segredos industriais ou foram patenteados2 .Este capítulo foi escrito com base na informação disponível publicamente,mas omiti aspectos computacionais importantes.2 Algoritmos são objetos matemáticos e portanto não são patenteáveis. No entanto,o departamento de patentes de alguns países aceita objetos matemáticos como parte deum processo industrial.

48 AULA 3. A PROCURA NA WEB3.6 ConclusõesFigura 3.4: Ponte de resistências.Alguns problemas em grafos grandes podem ser modelados utilizando idéiasde processos de difusão, que levam a uma matemática similar à da equaçãodo calor. A partir desse momento, os modelos podem ser resolvidosutilizando idéias de Álgebra Linear.Uma das idéias principais é utilizar, sempre que possível, bases ortonormais.No exemplo acima, só precisamos calcular um dos vetores da baseortonormal (o autovetor principal).Transformações ortogonais (ou seja, matrizes cujas colunas são ortonormais)têm número de condicionamento 1. Isso implica que mudanças decoordenadas ortonormais são numericamente estáveis, e que os autovetoresde M T M, no nosso exemplo, não vão ser muito afetados por mudançaspequenas na matriz M ou por erros de arredondamento.Trabalhar com matrizes grandes é difícil por outra razão, além de eventualinstabilidade numérica: as matrizes não entram na memória de umúnico computador. É preciso Matrizes do tamanho da World Wide Webexigem algoritmos distribuídos computacionalmente ecientes, que explorama estrutura do grafo.3.7 ExercíciosExercício 3.1. A gura 3.4 mostra uma ponte de resistências. Assuma queo valor de cada resistência é de 1Ω. Sabemos que passa uma corrente de 1Aentre os pontos a e b. Qual é a diferença de tensão ?

3.7. EXERCÍCIOS 49Exercício 3.2. O grafo perfeito K d de ordem d é o grafo com d vértices,conectados todos com todos. Quais são os autovalores de ∆ Kd ?Exercício 3.3. Seja T a matriz de transferência de um grafo orientado, eassuma que de todo vértice sai ao menos uma aresta. Mostre que o autovetorprincipal de T T T pode ser escolhido com coordenadas positivas.Dica: mostre que o ortante positivo é mapeado nele mesmo pela iteraçãox ↦→ T T T x.Exercício 3.4. Considere agora o grafo com d vértices 1 a d, onde j e j + 1estão conectados e d está conectado a 1. Calcule numericamente os autovaloresde seu Laplaciano.Exercício 3.5. Considere a seguinte variante para o modelo de Kleinman:substitua a matriz T, não pela matriz estocástica M mas pela matriz ˜Mobtida normalizando as colunas da matriz estocástica. Dessa maneira, interpretea recorrência p i+1 = ˜M T ˜Mpi como a versão discreta do processocontinuo∂∂t p(t) = ( ˜M T ˜M − I)p(t) .Mostre que essa variante daria peso igual para cada uma das páginas.Dica: interprete esse processo como a equação do calor em um certo grafo.Referências[1] Zoltán Gyöngi, Hector Garcia-Molina, and Jan Pedersen, Combating Web Spam withTrustRank, Proceedings of the International Conference on Very Large Data Bases30, 576. http://www.vldb.org/conf/2004/RS15P3.PDF.[2] Jon Michael Kleinberg, US Patent 6112202: Method and system for identifying authoritativeinformation resources in an environment with content-based links betweeninformation resources., 1997, 2000.[3] Lawrence Page, Sergey Brin, Rajeev Motwani, and Terry Winograd, The PageRankcitation ranking: Bringing order to the Web, Preprint, Stanford University, 1999.http://dbpubs.stanford.edu:8090/pub/1999-66.

50 AULA 3. A PROCURA NA WEB

Aula 4A compressão do som, omp4 e a televisão digital4.1 Sinais sonorosO som que ouvimos corresponde a variações de pressão nos nossos tímpanos,que são capturadas e transformadas em um sinal nervoso no nosso ouvidointerno.Podemos capturar um sinal sonoro com um microfone, e o sinal elétricoanalógico pode ser gravado, transmitido, reproduzido e retransformado emsinal sonoro.Hoje em dia preferimos armazenar som sob forma digital. Para isso,o sinal elétrico produzido por um microfone pode ser digitalizado por umconversor analógico-digital. O circuito de áudio dos computadores modernostem um conversor embutido.Se o computador estiver rodando GNU-linux ou similar, existe um dispositivode áudio /dev/dsp que funciona como um arquivo (pode ser lidoe escrito) e permite capturar o sinal do microfone. Mas vamos fazer o experimentono Octave:f = record (1) ;plot(f) ;playaudio(f)Gregorio Malajovich, Geometria de Algoritmos Numéricos. Notas em MatemáticaAplicada 37 (XXXI CNMAC), SBMAC, São Carlos, 2008.Copyright c○ Gregorio Malajovich, 2008.51

52 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITAL(a)(b)(c)(d)Figura 4.1: Sinal sonoro (a) original, (b) transformada de Fourier, (c) transformadade Fourier comprimida, (d) comprimido.O primeiro comando captura o sinal do microfone durante 1 segundo, osegundo mostra o gráco do sinal (Figura 4.1a) e o terceiro toca o sinal devolta. O sinal foi armazenado em um vetor de R 8000 (São 8000 leituras dosinal por segundo). O gráco está desenhado na gura 4.1a.Para gravar música em qualidade de CD, precisamos de 44,100 leituraspor segundo, vezes dois canais. Para armazenar uma hora de música,precisaríamos armazenar um vetor de R 318×106 . Guardando dois bytes porcoordenada, precisaremos de aproximadamente 600 MB, que é o tamanhodos atuais CDs.Um método de compressão possível (utilizado em redes de telefonia) éaplicar uma escala logarítmica à intensidade do sinal, e armazenar utilizandomenos bits (por exemplo, 8). Por exemplo, de x é um sinal sonoro, acodicação de x pela chamada µ − law ou u − law é denida por:y i = sinal(|x ()i|)ln(1 + µ) ln |x i |1 + µmax(|x j |)onde µ = 255.Esse método é (apenas) razoável para comunicações telefônicas.

4.2. A TRANSFORMADA DE FOURIER 534.2 A transformada de FourierVamos denotar por L 2 ([0, 1]) o espaço de todas as funções a valores complexos,denidas para t ∈ [0, 1], integráveis e com quadrado integrável. Setemos um sinal (função real) f denido no intervalo de tempo [0, 1], podemosconsiderar ele como um elemento de L 2 ([0, 1]). O produto interno deduas funções f e g em L 2 ([0, 1]) é〈f, g〉 =∫ 10¯f(t)g(t) dt.Note que esse produto está bem denido em L 2 ([0, 1]).A transformada de Fourier de f é denida por:ˆf(s) =∫ 1para s ∈ Z. Uma denição equivalente é0f(t)e −2πist dtˆf(s) = 〈t ↦→ e −2πist , t ↦→ f(t)〉 .A transformada de Fourier pode ser interpretada como uma aplicaçãolinear de L 2 ([0, 1]) no espaço l 2 (Z), que é o espaço de todas as biseqüências( ˆf s ) s∈Z a valores complexos com norma Euclidiana ‖ ˆf‖ =√ ∑s∈Z | ˆf s | 2nita. Esse espaço admite o produto interno〈 ˆf s , ĝ s 〉 = ∑ s∈Zfĝ¯ˆ s s .Prova-se ainda que vale a seguinte fórmula de reconstrução:f(t) = ∑ s∈Ze 2πits ˆf(s) .Nesse sentido, diz-se que o conjunto das funções t ↦→ e 2πits é uma basedo espaço L 2 ([0, 1]).Observação 4.1. A denição usual de combinação linear, nos textos de Álgebra,costuma ser a da combinação linear nita. Em análise de Fourier ouprocessamento de sinais, assume-se que uma combinação linear é qualquersoma ou integral, com norma Euclidiana dos coecientes (ou integral dovalor absoluto do módulo da função-coeciente) limitada.

54 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITALNote também quee que, para s 1 ≠ s 2 inteiros,‖t ↦→ e 2πits ‖ 2 =〈t ↦→ e 2πits1 , t ↦→ e 2πits2 〉 =∫ 10∫ 101 dt = 1e 2πit(s2−s1) dt = 0.Assim, (t ↦→ e 2πits ) s∈Z é uma base ortonormal do espaço L 2 ([0, 1]).Observação 4.2. Uma maneira clássica de resolver a equação do calor e aequação da onde é escrever o operador f(x) ↦→ ∂2∂ 2 f(x) nessa base ortonormal.Obtemos oxoperadorˆf s ↦→ −4π 2 s 2 ˆfs .Note que esse operador tem norma innita, e que ele é innitamente malcondicionado. (Em geral, a derivação é mal condicionada e por isso algoritmosde diferenciação numérica são sempre problemáticos).Vamos utilizar a base de Fourier como primeira aproximação para processamentode sinais. O comando fft do Octave aproxima a transformadade Fourier. Se temos um vetor f de R N ou C N , o comando produz um vetorˆf = F(f) de C N ondeF : C N → C Nf ↦→ ˆf = F(f) onde ˆf j = ∑ N−1k=0 f ke −2πijk/N .A transformação F é conhecida como transformada de Fourier discreta , ouDFT.Se o vetor f é discretização de um sinal de duração T, a j-ésima coordenadade ˆf j corresponde à freqüência min(j,N−j)T. (Ver exercício 4.6).O comando ifft calcula a transformada discreta inversa de Fourier F −1 .Podemos gerar a nota Lá a 440 Hz fazendo:y=zeros(8000,1);% 1s corresponde a 8000 leituras.y(440-1)=1e+6;playaudio(real(ifft(y))) ;(Compare com o sinal telefônico). Do ponto de vista matemático, essatransformada corresponde a uma projeção ortogonal do sinal original.Agora vamos utilizar isso para comprimir o sinal de voz que havíamosgravado. O ouvido humano consegue perceber freqüências entre 20Hz e

4.2. A TRANSFORMADA DE FOURIER 5520kHz. Se gravamos uma mensagem de 1 segundo com 8000 leituras, entãoperdemos totalmente as freqüências mais altas (Acima de 4kHz). Isso éperceptível na qualidade do sinal, mas não prejudica a sua compreensão.Vamos olhar para o espectro das freqüências do sinal:Ff = fft(f) ;plot(abs(Ff)) ;Vemos na gura 4.1b que o sinal parece concentrado em umas poucasfreqüências.As seguintes linhas mostram um processo rudimentar de compressão.Vamos primeiro ordenar as coordenadas de ˆf = Ff por valor absoluto decrescente.O índice I armazena a ordem das coordenadas. Vamos depoismedir quanto do sinal está concentrado nas 25% das freqüências com maioramplitude.[ES,I]=sort(abs(Ff),'descend');plot(ES) ;norm(ES(1:2000))/norm(ES)ans = 0.95853Vemos que, se zeramos as 75% das freqüências restantes, perdemos menosde 5% do sinal. Vamos fazer isso:Ff(I(2001:8000))=zeros(6000,1);plot(abs(Ff))g=real(ifft(Ff));plot(g)playaudio (g)(Veja a gura 4.1cd). O sinal comprimido g é quase indistinguível dooriginal f. Ao armazenar apenas um quarto das amplitudes, podemos obteruma compressão signicativa. Ao executar o programa acima, vocês estãoouvindo o efeito de uma projeção ortogonal.Aplicando esse procedimento a pequenos intervalos de sinais mais longos,é possível também equalizar, eliminar freqüências indesejadas ou remasterizargravações antigas.Uma maneira de cortar um sinal f(t) em pedaços de tamanho T ésubstituir, para cada k, a função f(t) por⎧⎨ 0 Se τ < T k/2f k (τ) = f(t)sen 2 ( π⎩T(τ − T k/2)) Se T k/2 ≤ τ ≤ T (k/2 + 1)0 Se τ > T (k/2 + 1).

56 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITALTeremos então f(t) = ∑ k f k(t + T k/2). Se depois aplicamos a Transformadade Fourier Discreta em cada f k , obtemos a chamada transformadade Fourier discreta de curto prazo ou STDFT.Um procedimento de remasterização usual é calcular a STDFT e retiraras freqüências que aparecem em menor intensidade (exatamente comozemos no exemplo do sinal sonoro).Outra transformada usual é a transformada do cosseno, que pode substituira transformada discreta de Fourier (Ver exercício 4.4). Para um sinalde tamanho T, ela é denida por:T∑−1 ( ( πkF k = f t cos t + 1 ))T 2t=04.3 A base de HaarA transformada de Fourier não é a única maneira razoável de se representarum sinal. Uma das grandes desvantagens da transformada de Fourier éque ela representa mal transientes ou picos de um sinal. Isso quer dizerque um transiente, transformado pela transformada de Fourier, não podefacilmente ser comprimido.Mesmo quando se utiliza a transformada de Fourier de curto prazo, otamanho da janela é xo, e transientes com duração muito inferior a essetamanhos serão mal representados. A transformada de Haar é uma maneirarazoável de representar sinais com transientes.A função de Haar é denida por:H : R → R ⎧0 Se x < 0⎪⎨1 Se 0 ≤ x < 1/2x ↦→ H(x) =−1 Se 1/2 ≤ x < 1⎪⎩0 Se x > 1.A base de Haar que utilizaremos para representar funções em L 2 ([0, 1])será composta de dilações e translações de H. DenimosH m,n (t) = 2 −m/2 H(2 −m t − n)onde −m ∈ N e n = 0, . . . , 2 −m − 1. O fator multiplicativo 2 −m/2 garanteque o conjunto das H m,n seja ortonormal. Para geral o espaço L 2 ([0, 1])inteiro, denimos ainda H 0,0 (t) ≡ 1. Mostra-se que os H mn formam umabase ortonormal de L 2 ([0, 1])..

4.4. O OUVIDO HUMANO E A TRANSFORMADA DE WAVELETS. 57Figura 4.2: Cóclea e órgão de Corti. [4]A transformada de Haar ou transformada de Wavelets de uma funçãoreal f é denida por:T Haar f(m, n) =∫ 10H m,n (t)f(t) dt.No caso de uma mensagem discreta, é conveniente assumir que o númerode leituras é potência de dois. Por exemplo, se temos 8 leituras, a mensagemé um vetor de R 8 e a base de Haar é dada pelas colunas da matriz⎡H 3 =⎢⎣√ √2 2 14 4 20√ √2 2√4√42 2√42√424− √ 2140√24− √ 2140√24− √ 2120 − √ 24− 1 20 0√24− 1 20 0 − √ 2√220 0 020 0 020 0√220 020 020 0 − √ 2√2202040 − 1 20 0 0√24− √ 240 − 1 20 0 0 − √ 22As matrizes H n (ou matrizes de Haar assim construídas são ortogonais.4.4 O ouvido humano e a transformada de Wavelets.A cóclea é o órgão responsável pela audição humana. O sinal sonoro éamplicado mecanicamente no tímpano, e se propaga em meio líquido nointerior da cóclea (Ver gura 4.2).√22⎤.⎥⎦

58 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITALFigura 4.3: Acima: função de Haar e sua transformada de Fourier. Embaixo:função chapéu Mexicano e detalhe da sua transformada de FourierO órgão de Corti, dentro da cóclea, está recoberto de células ciliares, quefazem a transição para o nervo auditivo. Há dois tipos de células ciliares.As curtas, ou estereocílios, ao se deslocar por força do sinal sonoro,abrem canais iônicos pelos quais estimulam (ou desestimulam) os terminaisdo nervo auditivo. Por conta desse mecanismo, o sinal nervoso gerado porcada estereocílio é localizado no tempo.As células ciliares longas ou quinecílios entram em ressonância com osinal sonoro, amplicando-o. A freqüência de vibração dos quinecílios é afetadapor sinais nervosos. Assim, o ouvido sintoniza as principais freqüênciasrecebidas em determinado momento.Cada seção da cóclea corresponde a uma certa faixa de freqüências.Dessa forma, a cóclea já decompõe o sinal em freqüências, e os quinecíliosfazem a sintonia na.As bases de Wavelets tentam imitar o processo acima. A compressãopor transformada de Wavelets trunca exatamente a parte do sinal sonoro

4.5. O PADRÃO MP3 E OS CODECS 59que nós não ouvimos.Um exemplo de Wavelets é gerada pela função do chapéu Mexicano,ψ(x) = 2√ 33 π−1/4 (1 − x 2 )e −x2 /2 .(Ver gura 4.3). A base de Wavelets é gerada da mesma maneira do quea base de Haar:ψ m,n (t) = 2 −m/2 ψ(2 −m t − n) .Existe hoje uma quantidade absurda de bases de Wavelets disponíveis.Em processamento de sinais, utiliza-se inclusive pacotes de Wavelets, quesão conjuntos geradores do espaço das funções (os vetores da base nãoprecisam ser linearmente independentes).4.5 O padrão MP3 e os CODECsO padrão MP3 ou MPEG-1 Audio Layer 3 está baseado em um modelopsicoacústico. Vimos na seção anterior que os quinecílios no órgão de Cortisintonizam as principais freqüências do sinal sonoro.Se o ouvido está sintonizado em uma certa gama de freqüências (porexemplo, as utilizadas em uma composição musical), sinais relativamentefracos em freqüências vizinhas não encontram ressonância, pois os quinecílioscorrespondentes estão nas freqüências principais. Por isso, deixamos deperceber essa parte do sinal.A compressão MP3 utiliza esse fato. O sinal é primeiro dividido empequenos intervalos de tempo, cada um correspondendo a 1152 leituras paracada canal de áudio.A primeira etapa da codicação é feita pelo chamado ltro de quadraturapolifase . O som em cada intervalo é dividido por freqüências em 32 bandas.Simultaneamente, o som sofre uma transformada de Fourier discreta eé analisado pelo modelo psicoacústico. Esse modelo permite eliminar asfreqüências não audíveis (escondidas por sinais de maior intensidade emfreqüências na mesma banda) e realçar sinais que exigem maior resoluçãono domínio do tempo.Mais uma transformada de Fourier (de fato, transformada do cosseno) éaplicada a cada uma das 32 bandas, dividindo cada banda em 18 freqüências.Os parâmetros dessa última transformada são fornecidos pelo modelopsicoacústico.Depois disso, o sinal é discretizado (ainda sob controle do modelo psicoacústico)e os valores discretos são comprimidos pelo código de Human(Ver exercícios 4.74.9).

60 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITALOs detalhes da codicação são extremamente complicados, e não sãodenidos pelo padrão MP3. O que o padrão dene é a decodicação.Mais detalhes podem ser encontrados em [2]. Em particular, sugiro oartigo de Rassol Raissi, The theory behind MP3, Dezembro de 2002.Existe uma quantidade enorme de padrões de áudio e vídeo disponíveis.Como é impossível escrever um programa capaz de ler todos os padrõesexistentes, os codicadores/decodicadores (os codec infames) podem serdistribuídos a parte. Por exemplo, MP3 e Vorbis são padrões denidos porcodec.O padrão MP3 é hoje um padrão industrial dominante. Tem a desvantagemde ser protegido por patentes.O padrão Vorbis tem a vantagem de ser software livre. O algoritmo éaparentemente mais simples, e inclui uma transformada discreta do cossenoe a codicação em separado do piso e do resíduo. O piso é uma funçãolinear por partes que aproxima o espectro do sinal em um dado intervalo detempo. O resíduo é a diferença entre o espectro e o piso. Resíduo e espectrosão depois truncados e armazenados via código de Human (Ex. 4.74.9).4.6 Compressão de imagem e de vídeoA compressão de imagens e de vídeos é potencialmente muito mais complicadado que a compressão de áudio.Por exemplo, a compressão no padrão JPEG segue os seguintes passos:em primeiro lugar, as cores são codicadas em um sistema conhecido comoYCbCr (usado por exemplo no padrão PAL-M de televisão). O olho humanoé mais sensível ao brilho Y do que à cor (representada por Cr e Cb). Assim,a cor é truncada. A partir deste momento, cada sinal (Y, Cr e Cb) é tratadoseparadamente.Cada um dos canais Y, Cr e Cb é dividido em blocos de 8 × 8 píxeis.Cada bloco é então objeto de uma transformada discreta do cosseno bidimensional.O resultado é uma descrição de cada bloco por 8 × 8 bifreqüências.Nossos olhos são mais sensíveis às baixas do que às altas freqüências. Porisso, a precisão utilizada para as baixas freqüências é muito maior do que adas altas freqüências, que são truncadas.Depois disso, o sinal é discretizado e codicado com código de Human.

4.7. A TELEVISÃO DIGITAL. 614.7 A televisão digital.O padrão MP4 (aliás MPEG-4 Parte 14) é na verdade um meta-padrão, comvários codec de áudio e vídeo disponíveis. Por exemplo, o H.264 (tambémconhecido como MPEG-4 Parte 10, ou ainda AVC) é o codec mais popularpara a compressão de vídeo, e aparentemente será o padrão de alta resoluçãoutilizado pela TV digital Brasileira[1].No padrão H.264, cada quadro de vídeo (imagem) é dividida em blocos(4 × 4, 8 × 8 ou 16 × 16 pixeis). O algoritmo básico de codicação é aaplicação de uma transformada discreta do cosseno bidimensional (mesmaestratégia do que no JPEG), e os resultados são truncados.Para se obter uma compressão signicativamente melhor do que a doJPEG, o padrão H.264 permite codicar cada bloco nos modos intra e inter.No modo intra, cada bloco comprimido é comparado com outros blocosjá codicados. Apenas a diferença precisa ser armazenada.No modo inter, o bloco é armazenado como combinação de blocos dequadros já armazenados. Um vetor de deslocamento pode ser utilizadopara comprimir objetos em movimento[3].4.8 ConclusõesAssim, vemos que uma das peças fundamentais em processamento de sinaisé a aplicação de transformações ortogonais ao espaço de sinais. Transformaçõesortogonais preservam o produto interno do espaço de sinais (é umgrupo de transformações que preserva a geometria desse espaço). Elas nãoamplicam ruídos no sinal.Existem algoritmos extremamente rápidos para calcular as transformaçõesmais usuais (t e assemelhadas, e transformada de Wavelets) em temporeal. Esses algoritmos funcionam como uma decomposição da transformadaem transformadas mais simples.Se escolhemos a base certa, podemos obter uma boa compressão (ou umaboa ltragem) do sinal por meio de uma projeção ortogonal (que tambémnão amplica ruídos).Aqui descrevemos alguma peças fundamentais. Mas a escolha da basedepende de uma boa modelagem do processo acústico ou visual, que é nãolinear.4.9 ExercíciosExercício 4.1. Escreva a matriz de F.

62 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITALExercício 4.2. Mostre que1 √NF é unitária.Exercício 4.3. Mostre que F 2 = −NI.Exercício 4.4. Mostre que a transformada discreta do cosseno do sinal f éproporcional à transformada discreta de Fourier do sinalg = [0 f 1 0 f 2 0 · · · f T 0 f T 0 · · · f 2 0 f 1 0] .Exercício 4.5. Dado um sinal f de 2 m leituras, mostre que a sua transformadade Haar pode ser calculada em tempo O(n). Dica: em uma primeirapassagem, separe as altas freqüências T Haar f(−m, n) das baixas freqüências,representadas por um vetor de R 2m−1 . Continue recursivamente.Exercício 4.6. No topo da Figura 4.3, explique por quê aparecem freqüênciasacima de 500, e por que motivo essa transformada de Fourier parecesimétrica.Exercício 4.7. Uma árvore binária é um grafo sem ciclos, com um vérticeprivilegiado chamado de raiz, e tal que todo vértice tem grau 1 (e nesse casoé chamado de folha) ou grau 3.• Desenhe todas as árvores binárias com 4 folhas• Seja p ∈ R n um vetor de probabilidade: p i ≥ 0 e ∑ p i = 0. Mostreque existe uma árvore binária contendo folhas numeradas 1 a n, etal que o comprimento do caminho entre a raiz e a i-ésima folha sejamenor ou igual do que − log 2 p i .Exercício 4.8. Nas hipóteses do exercício anterior, mostre como associara todo caminho de comprimento c (saindo da raiz e chegando em umafolha i) uma seqüência binária única s(i) de c(i) dígitos, e com a seguintepropriedade:Se x é uma variável aleatória discreta assumindo o valor i com probabilidadep i , mostre que E(c(x)) ≤ − ∑ p i log 2 p i . O número da direita échamado de entropia do vetor de probabilidade p.Exercício 4.9. Mostre como codicar um sinal discreto aleatório x ∈ {1, . . . ,n} N como uma seqüência binária, tal que se p i = Prob[x = i], então o valoresperado do tamanho da seqüência codicada é menor ou igual do que aentropia de p, vezes o comprimento N da mensagem original. (Assuma ovetor p conhecido do codicador e do decodicador). O código construídoacima é o código de Human utilizado para compressão de mensagensdiscretas.

4.9. EXERCÍCIOS 63Referências[1] Brasil, Ministério das Comunicações, Sistema Brasileiro de Televisão Digital, Especi-cação técnica de referência. http://sbtvd.cpqd.com.br/.[2] Gabriel Bouvigne, MP3'TECH (página internet). http://www.mp3-tech.org.[3] Iain Richardson, Vcodex (página internet). http://www.vcodex.com.[4] Wikemedia Commons, Gray923.png. digitalização da Gray's Anatomy of the HumanBody, domínio público. (1918).

64 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITAL

Apêndice AComplementos de ÁlgebraLinearAqui listamos, por conveniência, alguns resultados importantes de ÁlgebraLinear, mencionados no corpo do texto. A prova desses resultados pode serachada em qualquer bom livro de Álgebra Linear.A.1 Bases e ortogonalidadeSeja E um subespaço de R n . Uma base de E é uma lista ordenada de vetores(u 1 , . . . , u n ) tal que:1. Qualquer vetor x de R n se escreve como combinação linear:onde x 1 , . . . , x d ∈ R.2. Qualquer combinação linearx = x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x d u dx = x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x d u d ,onde x 1 , . . . , x d ∈ R, é um elemento de E.Gregorio Malajovich, Geometria de Algoritmos Numéricos. Notas em MatemáticaAplicada 37 (XXXI CNMAC), SBMAC, São Carlos, 2008.Copyright c○ Gregorio Malajovich, 2008.65

66 APÊNDICE A. COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARO número d não depende da escolha da base (isto é um Teorema), e échamado de dimensão. Os números x 1 , . . . , x d são chamados de coordenadasde x.A denição de base para subespaços de C n é a mesma, mas as coordenadas(coecientes da combinação linear) são números complexos. Dessamaneira, C n tem dimensão (complexa) n.A base canônica de R n é (e 1 , . . . , e n ) onde⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤10001e 1 =, e 2 =, · · · , e n =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢0.⎥⎣0. ⎦⎣0. ⎦⎣0⎦001A base canônica de C n , também denotada por (e 1 , . . . , e n ), é denidada mesma maneira.Se x é um vetor real ou complexo, então denotamos por x k a sua k-ésimacoordenada na base canônica. Temos portanto, por denição: x = ∑ k x ke k .O produto interno canônico em R n é denido por:〈u, v〉 =n∑u i v i .k=1Já o produto interno canônico em C n é:〈u, v〉 =n∑ū i v i .k=1Em ambos casos, denimos ‖u‖ = √ 〈u, u〉 e dizemos que u e v sãoortogonais se e somente se 〈u, v〉 = 0. Se E é um subespaço vetorial de R nou C n , então E ⊥ é o espaço de todos os vetores perpendiculares a todos osvetores de E. Prova-se que (E ⊥ ) ⊥ ) = E.A seguir, vamos utilizar a letra K para enunciar denições e resultadosque valem para K = R ou K = C:Seja A : K n → K m uma transformação linear (que associamos a umamatriz m×n). A adjunta de A é a única transformação linear A ∗ : K m → K ntal que, para todos x, y:〈Ax, y〉 = 〈x, A ∗ y〉.Quando K = R, A ∗ é associada à transposta A T de A. Quando K = C, A ∗é associada à conjugada transposta A H = ĀT de A..

A.2. BASES ORTOGONAIS, MATRIZES ORTONORMAIS 67eDenimos o núcleo e a imagem de A porker(A) = {x ∈ K n : Ax = 0} ⊆ ℸ nim(A) = {Ax : x ∈ K n } ⊆ ℸ m .Teorema A.1 (do posto). Seja A : ℸ n → ℸ m uma transformação linear.Então1.ker(A) = im(A ∗ ) ⊥ ,2.ker(A ∗ ) = im(A) ⊥ , e3.dim im(A) = dim im(A ∗ ) = n − dim(ker(A)) = m − dim(ker A ∗ ) .O número dim im(A) é chamado de posto de A.A.2 Bases ortogonais, matrizes ortonormaisUma base (u 1 , . . . , u d ) de um subespaço E é dita ortonormal se e somentese{1 Se i = j〈u i , u j 〉 =0 Se i ≠ j.Uma matriz real Q é dita ortogonal quando as suas colunas formam umabase ortonormal de im(Q). Isso é equivalente a:Q T Q = I.No caso de matrizes complexas, utilizamos uma palavra diferente (amatriz é dita unitária) para a mesma denição. Uma matriz complexa Q éunitária se e somente seQ ∗ Q = I.O produto de duas matrizes ortogonais n × n é uma matriz ortogonaln × n. O conjunto das matrizes n × n, munido da operação de produtosatisfaz aos axiomas de grupo (ver qualquer texto de álgebra). Esse grupoé denotado por O(n) (grupo ortogonal de ordem n).O mesmo vale para matrizes unitárias n × n, e o grupo (denotado porU(n) é chamado de grupo unitário de ordem n.

68 APÊNDICE A. COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARAlém da estrutura de grupo, O(n) e U(n) são variedades diferenciáveis.Objetos combinando essas duas propriedades são chamados de grupos deLie. Do ponto de vista geométrico, O(n) e U(n) são as transformaçõeslineares que preservam ângulos e distâncias.A.3 Obtendo bases ortonormaisSeja u 1 , . . . , u d base de E ⊆ K n . O processo de Gram-Schmidt permiteproduzir uma base ortonormal de E a partir dos u ′ i s.No primeiro passo, fazemos v 1 =u1. ‖u 1‖Indutivamente, fazemosw i = u i − ∑v j 〈v j , u i 〉1≤j

A.5. MATRIZES DE MÁRKOV 69Agora podemos explicar a popularidade das matrizes ortogonais em análisenumérica. Se A é uma matriz (real, complexa) n×n, e queremos calcularAx, mas conhecemos x com precisão relativa δ, então vamos conhecer Axcom precisão relativa‖A‖ 2 ‖x‖δ‖Ax‖≤ ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ 2 .Se A ∈ O(n), então teremos ‖A‖ 2 = ‖A −1 ‖ 2 = 1. Multiplicar por A ébenigno em relação ao erro acumulado.A.5 Matrizes de MárkovAs matrizes de Márkov ou matrizes estocásticas modelam um sistema comn estados, e probabilidades M ij de passar de um estado i a um estado j.Denição A.2. Uma Matriz de Márkov ou Matriz Estocástica é uma matrizquadrada M de tamanho n × n, com M ij ≥ 0 e, para toda coluna j,∑i M ij = 1. Ela é positiva se e somente se M ij > 0 para todos i e j.Observação A.3. Em parte da literatura, matrizes de Márkov são denidascomo matrizes com coordenadas não-negativas e onde a soma das coordenadasde cada linha é 1. Assim, estamos transpondo a denição, para podertrabalhar com um vetor coluna de probabilidades.O principal resultado sobre matrizes de Márkov garante (sob certas circunstâncias)a existência de um estado estacionário, que representa a probabilidadedo sistema se encontrar em cada estado após tempo innito.Teorema A.4 (Perron-Frobenius, caso Markoviano). Seja M uma matriz deMárkov. Então,1. Se λ é autovalor de M, então |λ| ≤ 12. 1 é autovalor de M.3. Todo autovalor λ de M diferente de 1 verica |λ| < 1.4. Existe um autovetor à direita, associado ao autovalor 1, cujas coordenadassão todas não-negativas.5. Se M for positiva, então o espaço dos auto-espaços com autovalorassociado 1 tem dimensão 1.

70 APÊNDICE A. COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARA.6 ExercíciosExercício A.1. Mostre que um subespaço vetorial complexo de C n de dimensãod pode ser interpretado como um subespaço vetorial 2d-dimensionalreal de R 2n , mas que a recíproca não é verdadeira.Exercício A.2. Prove o Teorema de Perron-FrobeniusReferências[1] Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley Cambridge Press,2003,2005. 3rd edition.[2] Gregorio Malajovich, Álgebra Linear, 2007. Em preparação. http://www.labma.ufrj.br/~gregorio/.

Índicealgoritmode Page e Brin, 44para achar autovetor principal,47aritméticaIEEE(g), 12base, 53de Haar, 56de Wavelets, 58ortonormal, 21, 54bottrap, 43cóclea, 57codec, 60códigode Human, 62Dandelin, Germinal Pierre, 26distância de colaboração, 39entropia, 62equaçãodo calor, 40estadoestacionário, 44fatoraçãoPLU, 9fazenda de links, 45ltrode quadratura, 59funçãode Haar, 56geometriasimplética, 33tropical, 34Google, 44Gräe, Karl Heinrich, 25grafo, 37aresta, 37de um digrafo, 42caminho em, 37ciclo em, 37de colaboração, 39digrafo simples, 42espectro de, 40orientado, 41perfeito, 49vértice, 37de um digrafo, 42grau de um, 39, 40H.264, 61JPEG, 60leide Kirchhopara a corrente, 41para a voltagem, 41de Ohm, 41Lobachevskii, Nicolai Ivánovich, 2671

72 ÍNDICEmatrizcompanheira, 14de adjacência, 39de Haar, 57de Márkov, 40, 44, 69positiva, 69estocástica, 69incidência, 41Laplaciana, 39modelopara passeio na Web, 44psicoacústico, 59MP3, 59MP4, 61MPEG, 59, 61número de Erdös, 39normade Frobenius, 11, 68númerode condicionamento, 16Octave, 15, 51, 54órgão de Corti, 59PageRank, 44polinômiopérdo, 13pontocrítico, 17regular, 17processode Gram e Schmidt, 21programarastejador, 43, 47renormalização, 30semianel tropical, 32teoremada decomposição em valores singulares,21, 46de Eckart e Young, 22de Perron-Frobenius, 69espectral, 21transformadade Fourier, 53discreta, 54, 59de Fourier discretade curto prazo, 56do cosseno, 56, 59rápida de Fourier, 54url ou uniform ressource locator, 42valorcrítico, 17regular, 17variedadealgébrica, 18diferenciável implícita, 17Web spam, 47World Wide Web, 42

Notas em Matemática AplicadaArquivos em pdf disponíveis em http://www.sbmac.org.br/notas.php1. Restauração de Imagens com Aplicações em Biologia e EngenhariaGeraldo Cidade, Antônio Silva Neto e Nilson Costa Roberty2. Fundamentos, Potencialidades e Aplicações de Algoritmos EvolutivosLeandro dos Santos Coelho3. Modelos Matemáticos e Métodos Numéricos em Águas SubterrâneasEdson Wendlander4. Métodos Numéricos para Equações Diferenciais ParciaisMaria Cristina de Castro Cunha e Maria Amélia Novais Schleicher5. Modelagem em BiomatemáticaJoyce da Silva Bevilacqua, Marat Rakov e Cláudia de LelloCourtouke Guedes6. Métodos de Otimização Randômica: algoritmos genéticos e simulatedannealingSezimária F. Pereira Saramago7. Matemática Aplicada à Fisiologia e EpidemiologiaH.M. Yang, R. Sampaio e A. Sri Ranga8. Uma Introdução à Computação QuânticaRenato Portugal, Carlile Campos Lavor, Luiz Mariano Carvalhoe Nelson Maculan9. Aplicações de Análise Fatorial de Correspondências para Análise deDadosHomero Chaib Filho73

7410. Modelos Matemáticos baseados em autômatos celulares para GeoprocessamentoMarilton Sanchotene de Aguiar, Fábia Amorim da Costa,Graçaliz Pereira Dimuro e Antônio Carlos da Rocha Costa11. Computabilidade: os limites da ComputaçãoRegivan H. N. Santiago e Benjamín R. C. Bedregal12. Modelagem Multiescala em Materiais e EstruturasFernando Rochinha e Alexandre Madureira13. Modelagem em Biomatemática (Coraci Malta ed.)1 - Modelagem matemática do comportamento elétrico de neurôniose algumas aplicaçõesReynaldo D. Pinto2 - Redes complexas e aplicações nas CiênciasJosé Carlos M. Mombach3 - Possíveis níveis de complexidade na modelagem de sistemas biológicosHenrique L. Lenzi, Waldemiro de Souza Romanha e MarceloPelajo- Machado14. A lógica na construção dos argumentosAngela Cruz e José Eduardo de Almeida Moura15. Modelagem Matemática e Simulação Numérica em Dinâmica dos FluidosValdemir G. Ferreira, Hélio A. Navarro, Magda K. Kaibara16. Introdução ao Tratamento da Informação nos Ensinos Fundamental eMédioMarcilia Andrade Campos, Paulo Figueiredo Lima17. Teoria dos Conjuntos Fuzzy com AplicaçõesRosana Sueli da Motta Jafelice, Laércio Carvalho de Barros,Rodney Carlos Bassanezi18. Introdução à Construção de Modelos de Otimização Linear e InteiraSocorro Rangel

7519. Observar e Pensar, antes de ModelarFlavio Shigeo Yamamoto, Sérgio Alves, Edson P. Marques Filho,Amauri P. de Oliveira20. Frações Contínuas: Propriedades e AplicaçõesEliana Xavier Linhares de Andrade, Cleonice Fátima Bracciali21. Uma Introdução à Teoria de CódigosCarlile Campos Lavor, Marcelo Muniz Silva Alves, RogérioMonteiro de Siqueira, Sueli Irene Rodrigues Costa22. Análise e Processamento de SinaisRubens Sampaio, Edson Cataldo, Alexandre de Souza Brandão23. Introdução aos Métodos Discretos de Análise Numérica de EDO eEDPDavid Soares Pinto Júnior24. Representações Computacionais de GrafosLílian Markenzon, Oswaldo Vernet25. Ondas Oceânicas de SuperfícieLeandro Farina26. Técnicas de Modelagem de Processos Epidêmicos e EvolucionáriosDomingos Alves, Henrique Fabrício Gagliardi27. Introdução à teoria espectral de grafos com aplicaçõesNair Maria Maia de Abreu, Renata Raposo Del-Vecchio, CybeleTavares Maia Vinagre e Dragan Stevanovi¢28. Modelagem e convexidadeEduardo Cursi e Rubens Sampaio29. Modelagem matemática em nanças quantitativas em tempo discretoMax Oliveira de Souza e Jorge Zubelli30. Programação não linear em dois níveis: aplicação em Engenharia MecânicaAna Friedlander e Eduardo Fancello

7631. Funções simétricas e aplicações em CombinatóriaJosé Plinio de Oliveira Santos e Robson da Silva32. Semigrupos aplicados a sistemas dissipativos em EDPCarlos Raposo da Cunha