Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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16 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTE9.00897.96247.08075.86735.13273.91933.03761.99111.0010Uma perturbação de 0.01% em um dos coecientes provocou uma perturbaçãode 2% nos valores das raízes.Para explicar o ocorrido, introduzimos o número de condicionamentode Wilkinson para polinômios: se ζ é um zero isolado de f, dene-se ocondicionamento porκ f (ζ) =‖f‖|f ′ (ζ)| .Se z for uma solução exata do polinômio f + δf, então podemos denirimplicitamente:(f + tδf)(z(t)) = 0com z(1) = z. Derivando em relação a t,e logo(δf)(z(t)) + (f + δf) ′ (ż(t)) = 0∥⎡⎤∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ 11z(t)‖ż(t)‖ ≤|(f + δf) ′ (z(t))| ‖δf‖ z(t) 2.⎢ ⎥⎣ . ⎦z(t) degf ∥Podemos concluir (com um pouco mais de trabalho) que o erro ‖δz‖ éno máximo da ordem deκ f (ζ) ‖δf‖ √degf max(1, |ζ|) degf .‖f‖
1.4. TEORIA GERAL 171.4 Teoria geralNúmeros de condicionamento foram estudados e denidos para os mais diversosproblemas, como por exemplo problemas de autovalores, solução desistemas de polinômios, mínimos quadrados, etc... (Ver [1,2]).A teoria geral de números de condicionamento utiliza conceitos de geometriadiferencial. Vamos introduzir abaixo alguns conceitos fundamentaisde Cálculo em Variedades, essenciais para o bom entendimento do que segue.Em primeiro lugar, uma função diferenciável é uma função derivável,com derivada contínua. Se for uma função vetorial, exigimos que todas asderivadas parciais em relação a todas as variáveis sejam diferenciáveis, erepresentamos a derivada pela matriz das derivadas parciais.Denição 1.1. SejaF : R n → R mx ↦→ F (x)uma função diferenciável, com n ≥ m. Um ponto crítico de F é um x ∈ R ntal que DF x tenha posto < m, ou seja, que as colunas de DF x não sejamindependentes, ou ainda que a aplicação linear DF x não seja sobrejetora.Um ponto regular é um x ∈ R n que não é crítico. Denimos ainda umvalor crítico de F como um y ∈ R m que seja imagem por F de um pontocrítico. Um y ∈ R m é dito valor regular se ele não é imagem de nenhumponto crítico.Denição 1.2. Uma subvariedade diferenciável d-dimensional M implícitaem R n é um conjunto da forma F −1 (0), ondeF : R n → R mx ↦→ F (x)é uma função diferenciável, e 0 é valor regular de F.Neste texto, uma variedade é sempre uma subvariedade diferenciável d-dimensional implícita de algum espaço linear. Por exemplo, o conjunto dasmatrizes n × n de determinante zero é uma variedade.Se M = F −1 (0) é uma variedade (no nosso sentido) e x um ponto deM, denimos o espaço tangente a M em x comoT x M = ker DF x .Existe uma parametrização de T x M em uma vizinhança de x ∈ M.Dessa maneira, podemos (localmente) introduzir sistemas de coordenadasem M. Se F : R n → R m , então T x M tem dimensão n − m e dizemos queM tem dimensão m − n.
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