Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

24 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTEPelo Teorema de Eckart-Young, estamos calculando o volume (probabilidadetotal) de uma vizinhança tubular de raio ɛ da variedade algébricadet A = 0.1.8 ExercíciosExercício 1.1. Explique os resultados obtidos pelo programa da página 10Exercício 1.2. Mostre que se S é uma matriz real simétrica, então seusautovalores e autovetores são reais.Exercício 1.3. Mostre que se u é autovalor de S, e se v ⊥ u, então Sv ⊥ u.Exercício 1.4. Prove o Teorema Espectral.Exercício 1.5. Mostre que a variedade algébrica {A : det(A) = 0}, onde Aé uma matriz n × n e n ≥ 2, não é uma variedade diferenciável implícita.Exercício 1.6. Mostre que toda matriz complexa quadrada A se escrevecomo A = QRQ ∗ , onde R é triangular superior e QQ ∗ = I.Exercício 1.7. Mostre que o conjunto V da equação (1.4.3) é uma variedade.Exercício 1.8. Ache uma expressão para o número de condicionamento doproblema de autovalores.Referências[1] Lenore Blum, Felipe Cucker, Michael Shub, and Steve Smale, Complexity and realcomputation, Springer-Verlag, New York, 1998.[2] James W. Demmel, Applied numerical linear algebra, Society for Industrial and AppliedMathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997.[3] Alan Edelman, Eigenvalues and condition numbers of random matrices, Ph.D. Thesis,Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA,1989.[4] Nicholas J. Higham, Accuracy and stability of numerical algorithms, 2nd ed., Societyfor Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2002.