Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

30 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIaleatório ter raízes complexas conjugadas. Vamos portanto substituir ahipótese (2.1.4) por uma hipótese muito mais fraca:Hipótese: Se duas raízes de f têm mesmo módulo, é por uma dasseguintes razões: elas são iguais, ou f é real e as raízes são conjugadas.Nesse caso, dizemos que f é livre de círculos.Essa é uma hipótese genérica e de probabilidade um. Se f não for livrede círculos, sempre podemos aplicar uma transformação conforme aleatóriae obter (com probabilidade 1) um polinômio livre de círculos. De agora emdiante, assumimos que f é livre de círculos.A cada etapa de iteração, representamos os coecientes da N-ésima iteradag(x) = G N f(x) em coordenadas logarítmicas renormalizadas:Ou ainda:g k = e 2N r i k (N) e √ −1α (N)i .r (N)k= 2 −N log |g k |α (N)i = arg g kIsso era feito implicitamente no início do século XX, utilizando papellogarítmico. A mudança de escala era feita, mas não escrita.Se valesse a hipótese (2.1.4), teríamos o seguinte fato: embora a seqüênciados (G N f(x)) N∈N seja divergente, a seqüência dos (r (N) ) N∈N convergepara um limite que nos fornece informação relevante.Esse é um exemplo de renormalização, técnica utilizada em autômatoscelulares e sistemas dinâmicos. (Renormalização em física pode ser umpouco diferente).Por outro lado, a dinâmica dos argumentos α (N)ké tipicamente caótica,no limite α (N)k≃ 2α (N−1)kmod 2π. É importante entender que esse fatoé trivial e absolutamente irrelevante. A informação guardada nos α (N) éperdida, e aqui entender sistemas dinâmicos caóticos não ajuda em nada.A convergência da seqüência (r (N) ) N∈N depende da hipótese (2.1.4). Oque acontece com polinômios livres de círculos é mais complicado. Essefenômeno foi descrito por Ostrowskii [4, 5], mas o fato de renormalizarmosos r (N) permite um entendimento melhor:Seja ˆr(N) a maior função convexa em [0, d] tal que ˆr (N) (k) ≤ r (N)k,k = 0, . . . , d.Se f é livre de círculos, então ˆr (N) é convergente (Figura 2.3). A velocidadede convergência pode ser estimada em função de R.k