Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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56 AULA 4. A COMPRESSÃO DO SOM, O MP4 E A TELEVISÃO DIGITALTeremos então f(t) = ∑ k f k(t + T k/2). Se depois aplicamos a Transformadade Fourier Discreta em cada f k , obtemos a chamada transformadade Fourier discreta de curto prazo ou STDFT.Um procedimento de remasterização usual é calcular a STDFT e retiraras freqüências que aparecem em menor intensidade (exatamente comozemos no exemplo do sinal sonoro).Outra transformada usual é a transformada do cosseno, que pode substituira transformada discreta de Fourier (Ver exercício 4.4). Para um sinalde tamanho T, ela é denida por:T∑−1 ( ( πkF k = f t cos t + 1 ))T 2t=04.3 A base de HaarA transformada de Fourier não é a única maneira razoável de se representarum sinal. Uma das grandes desvantagens da transformada de Fourier éque ela representa mal transientes ou picos de um sinal. Isso quer dizerque um transiente, transformado pela transformada de Fourier, não podefacilmente ser comprimido.Mesmo quando se utiliza a transformada de Fourier de curto prazo, otamanho da janela é xo, e transientes com duração muito inferior a essetamanhos serão mal representados. A transformada de Haar é uma maneirarazoável de representar sinais com transientes.A função de Haar é denida por:H : R → R ⎧0 Se x < 0⎪⎨1 Se 0 ≤ x < 1/2x ↦→ H(x) =−1 Se 1/2 ≤ x < 1⎪⎩0 Se x > 1.A base de Haar que utilizaremos para representar funções em L 2 ([0, 1])será composta de dilações e translações de H. DenimosH m,n (t) = 2 −m/2 H(2 −m t − n)onde −m ∈ N e n = 0, . . . , 2 −m − 1. O fator multiplicativo 2 −m/2 garanteque o conjunto das H m,n seja ortonormal. Para geral o espaço L 2 ([0, 1])inteiro, denimos ainda H 0,0 (t) ≡ 1. Mostra-se que os H mn formam umabase ortonormal de L 2 ([0, 1])..
4.4. O OUVIDO HUMANO E A TRANSFORMADA DE WAVELETS. 57Figura 4.2: Cóclea e órgão de Corti. [4]A transformada de Haar ou transformada de Wavelets de uma funçãoreal f é denida por:T Haar f(m, n) =∫ 10H m,n (t)f(t) dt.No caso de uma mensagem discreta, é conveniente assumir que o númerode leituras é potência de dois. Por exemplo, se temos 8 leituras, a mensagemé um vetor de R 8 e a base de Haar é dada pelas colunas da matriz⎡H 3 =⎢⎣√ √2 2 14 4 20√ √2 2√4√42 2√42√424− √ 2140√24− √ 2140√24− √ 2120 − √ 24− 1 20 0√24− 1 20 0 − √ 2√220 0 020 0 020 0√220 020 020 0 − √ 2√2202040 − 1 20 0 0√24− √ 240 − 1 20 0 0 − √ 22As matrizes H n (ou matrizes de Haar assim construídas são ortogonais.4.4 O ouvido humano e a transformada de Wavelets.A cóclea é o órgão responsável pela audição humana. O sinal sonoro éamplicado mecanicamente no tímpano, e se propaga em meio líquido nointerior da cóclea (Ver gura 4.2).√22⎤.⎥⎦
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