Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

66 APÊNDICE A. COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARO número d não depende da escolha da base (isto é um Teorema), e échamado de dimensão. Os números x 1 , . . . , x d são chamados de coordenadasde x.A denição de base para subespaços de C n é a mesma, mas as coordenadas(coecientes da combinação linear) são números complexos. Dessamaneira, C n tem dimensão (complexa) n.A base canônica de R n é (e 1 , . . . , e n ) onde⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤10001e 1 =, e 2 =, · · · , e n =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢0.⎥⎣0. ⎦⎣0. ⎦⎣0⎦001A base canônica de C n , também denotada por (e 1 , . . . , e n ), é denidada mesma maneira.Se x é um vetor real ou complexo, então denotamos por x k a sua k-ésimacoordenada na base canônica. Temos portanto, por denição: x = ∑ k x ke k .O produto interno canônico em R n é denido por:〈u, v〉 =n∑u i v i .k=1Já o produto interno canônico em C n é:〈u, v〉 =n∑ū i v i .k=1Em ambos casos, denimos ‖u‖ = √ 〈u, u〉 e dizemos que u e v sãoortogonais se e somente se 〈u, v〉 = 0. Se E é um subespaço vetorial de R nou C n , então E ⊥ é o espaço de todos os vetores perpendiculares a todos osvetores de E. Prova-se que (E ⊥ ) ⊥ ) = E.A seguir, vamos utilizar a letra K para enunciar denições e resultadosque valem para K = R ou K = C:Seja A : K n → K m uma transformação linear (que associamos a umamatriz m×n). A adjunta de A é a única transformação linear A ∗ : K m → K ntal que, para todos x, y:〈Ax, y〉 = 〈x, A ∗ y〉.Quando K = R, A ∗ é associada à transposta A T de A. Quando K = C, A ∗é associada à conjugada transposta A H = ĀT de A..