Resolver os exercícios 9, 14, 11, 15, 16, 17, 18b) e 19 a) das ...

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Resolver os exercícios 9, 14, 11, 15, 16, 17, 18b) e 19 a) das ...

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis12º Ano de Matemática – ATema I – Probabilidades e CombinatóriaAula 2 do plano de trabalho nº 1Resolver os exercícios 9, 14, 11, 15, 16, 17, 18b) e 19 a) das páginas 17 a 21Começámos por definir as operações com conjuntos:A ∩ B = { x : x ∈ A ∧ x ∈B } e A ∪ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈B}e ainda falar de propriedades das operações estudadas: A ∩ B = B ∩ A – propriedade comutativa da intersecção A ∩ ( B ∩ C) = ( A ∩ B)∩ C – propriedade associativa da intersecção A ∩ E = A – E (espaço) é o elemento neutro da intersecção A ∩ A = A - propriedade da idempotência da intersecção A ∪ B = B ∪ A – propriedade comutativa da reunião A ∪ ( B ∪ C) = ( A ∪ B)∪ C – propriedade associativa da reunião A ∪ ∅ =A – ∅ é o elemento neutro da reunião A ∪ A = A - propriedade da idempotência da reunião A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) – propriedade distributiva da intersecção em relação àreunião. A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) – propriedade distributiva da reunião em relação àintersecção.Para aplicar estas definições resolvemos o exercício 9 da página 17Professora: Rosa Canelas 1Ano Lectivo 2011/2012


9. No lançamento de dois dados, somam-se as pintas das facesviradas para cima. Consideremos os acontecimentos:A: «a soma é múltipla de 4».B: «a soma é múltipla de 6»Para definir em extensão os acontecimentos A ∪ B e A ∩ Bvamos começar por construir uma tabela.+ 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12Em seguida vamos definir os acontecimentos A e B no espaçode resultados E = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 } .A = { 4,8,12 } e B = { }a. A ∪ B = { 4,6,8,12 }b. A ∩ B = { 12 }6,12 donde resulta queConsideremos que o espaço de resultados é o conjunto de todos os 36 pares representadosna tabela.Então A = {( 3,1 ),( 2,2 ),( 1,3 ),( 6,2 ),( 5,3 ),( 4,4 ),( 3,5 ),( 2,6 ),( 6,6 )}eB = {( 5,1 ),( 4,2 ),( 3,3 ),( 2,4 ),( 1,5 ),( 6,6 )}a. A ∪ B = {( 3,1 ),( 2,2 ),( 1,3 ),( 5,1 ),( 4,2 ),( 3,3 ),( 2,4 ),( 1,5 ),( 6,2 ),( 5,3 ),( 4,4 ),( 3,5 ),( 2,6 ),( 6,6 )}b. A B ( 6,6 )∩ = { }Em seguida definimos acontecimentos incompatíveis e acontecimentos contráriosDois acontecimentos são incompatíveis (ou disjuntos) senunca se verificam simultaneamente. A ∩ B = ∅ABDois acontecimentos são contrários quando se verifica sempre um, mas nunca se verificam osdois simultaneamente. O contrário do acontecimento A representa-se por A .AAProfessora: Rosa Canelas 2Ano Lectivo 2011/2012


Resolvemos então os exercícios 14 e 11 das páginas 19 e 18.14. Três pessoas lançam um dado. Consideremos o acontecimento A: «sai o mesmo número àstrês pessoas».Os resultados (2,5,6) e (3,4,4) pertencem a A porque não pertencem a A dado que:A = {( 1,1,1 ),( 2,2,2 ),( 3,3,3 ),( 4,4,4 ),( 5,5,5 ),( 6,6,6 )}11. Comentemos a afirmação: «Num espaço E, se A e B são acontecimentos incompatíveis então,a não realização de A implica a realização de B»Se os acontecimentos são incompatíveis pode não se verificar nenhum. Só se fossem contrários éque a não realização de A implicaria a realização de B.Voltando aos diagramas de Venn, vamos definir: A \ B = A ∩ B = { x : x ∈ A ∧ x ∉B} B \ A = B ∩ A = { x : x ∈B ∧ x ∉ A }Professora: Rosa Canelas 3Ano Lectivo 2011/2012


E ainda falar das Leis de De Morgan: A ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ BPassámos de seguida à resolução dos exercícios seguintes:15. No lançamento de um dado, consideremos os acontecimentos: A: «sair face par» e B: «sairface menor que 3»Para definirmos em extensão acontecimentos contrários vamos começar por representar emextensão o espaço de resultados E e os acontecimentos A e B.E = { 1,2,3,4,5,6 }, A = { 2,4,6 } e B = { }a. B = { 3,4,5,6 } .b. A ∪ B = { 1,2,4,6 } logo ∪ = { }1,2 . Então agora já podemos responder:A B 3,5 .c. A ∩ B = { 4,6 } logo ∩ = { }A B 1,2,3,5 .d. B \ A = { 1 } logo B \ A = { 2,3,4,5,6 }16. Num espaço E, consideremos dois acontecimentos A e B diferentes, nem impossíveis nemcertos. Queremos uma condição suficiente para:a. A \ B =AA \ B = { x : x ∈ A ∧ x ∉B}A e B serem disjuntos é uma condição suficiente para que A \ B =A não haja elementos de B para que A \ B = A .b. A \ B = ∅A estar contido em B é uma condição suficiente para quehaja elementos de A que não sejam elementos de B para queA pois basta que emA \ B = ∅ pois basta que nãoA \ B = ∅ .17. Num espaço E, consideremos dois acontecimentos A e B diferentes, nem impossíveis nemcertos. Queremos uma condição suficiente para:a. A ∩ B = AProfessora: Rosa Canelas 4Ano Lectivo 2011/2012


A ⊂ B é condição suficiente para que A ∩ B = A .b. A ∪ B = AB ⊂ A é condição suficiente para que A ∪ B = A .Nota: dada uma implicação p ⇒ q , q é uma condição necessária e p é uma condiçãosuficiente18. Justifiquemos que é verdadeira a afirmação:b. A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ CA ∩ B ∩ C = ( A ∩ B)∩ C por definição de operação iterada.A ∩ B ∪ C = ( A ∪ B)∪ C aplicando a lei de De Morgan A ∩ B = A ∪ B .( A ∪ B)∪ C = A ∪ B ∪ C por definição de operação iterada.19. Se A e B são acontecimentos incompatíveis de um espaço E, vamos provar que:a. A ∪ B = EA ∪ B = A ∩ B aplicando a lei de De Morgan A ∩ B = A ∪ B .A ∩ B = ∅porque os acontecimentos são incompatíveis.∅ = E porque o contrário de ∅ é E.Professora: Rosa Canelas 5Ano Lectivo 2011/2012

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