Transformações das Tensões - Chasqueweb.ufrgs.br

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)60Ou seja:−( σ −σ) tan 2θ+ 2τ= 0xyxyOu ainda que:tan 2θp=τxy( σ −σ)x2yEste resultado mostra que, para que se obtenha um máximo ou um mínimo naexpressão para σ x’ , um ângulo θ igual a θ p (que pode ser obtido resolvendo-se a expressão)deverá ser usado na rotação do sistema de coordenadas (transformação). Para se obter osvalores dos máximos e mínimos, a expressão acima é substituída na expressão para σ x’ . Noentanto, a expressão acima fornece apenas a tangente de θ, sendo que o seno e o cossenode θ é que são necessários. A expressões do seno e do cosseno de θ associadas à expressãoacima podem ser facilmente obtidas se interpretarmos esta expressão como no esquemaabaixo. Isto é, a expressão dá a inclinação da tangente ao ângulo 2θ p num sistema τ-σ,onde o seno ou o cosseno podem ser dados como a seguir:-(σ x - σ y )22θ p2τ xyτ-τ xy2θ p1σ x - σ y2σsin 2θcos2θp1p1==τxy⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠x2⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2σ −σy2+ τ+ τ2xy2xyou por:sin 2θp2=−τxy⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xycos2θp2=σx−σy−2⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xysendo que ambos os ângulos, θ p1 e θ p2 , caracterizam a mesma declividade no sistemaacima, estando defasados de 180º, ou seja, 2θ p2 = 2θ p1 + 180º. Substituindo-se,primeiramente, as expressões referentes a θ p1 na equação que dá σ x’ , tem-se:σx+ σyσ1=2σx−σyσx−σy+2 21⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xy+ τxyτxy⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xy