Proposta de um método de estimação de matrizes origem-destino ...

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Universidade Federal de GoiásInstituto de InformáticaIacer Coimbra Alves Cavalcanti CalixtoProposta de um método deestimação de matrizes origem-destinobaseado em programação linear fuzzypara redes viárias brasileirascongestionadas.ModeloGoiânia2011


Iacer Coimbra Alves Cavalcanti CalixtoProposta de um método deestimação de matrizes origem-destinobaseado em programação linear fuzzypara redes viárias brasileirascongestionadas.Dissertação apresentada ao Programa de Pós–Graduação do Instituto de Informática da UniversidadeFederal de Goiás, como requisito parcial para obtençãodo título de Mestre em Computação.Área de concentração: Visualização de Informaçõese Otimização Interativa.Orientador: Prof. Dr. Hugo Alexandre Dantas do NascimentoCo-Orientadores: Prof. Dr. Leslie Richard FouldsProf. Dr. Bryon Richard HallGoiânia2011


Iacer Coimbra Alves Cavalcanti CalixtoProposta de um método deestimação de matrizes origem-destinobaseado em programação linear fuzzypara redes viárias brasileirascongestionadas.Dissertação defendida no Programa de Pós–Graduação do Institutode Informática da Universidade Federal de Goiás como requisitoparcial para obtenção do título de Mestre em Computação, aprovadaem 14 de Julho de 2011, pela Banca Examinadora constituídapelos professores:Prof. Dr. Hugo Alexandre Dantas do NascimentoInstituto de Informática – UFGPresidente da BancaProf. Dr. Leslie Richard FouldsInstituto de Informática – UFGProf. Dr. Paulo Eduardo Maciel de AlmeidaDepartamento de Computação – CEFET-MGProf. Dr. Celso Gonçalves Camilo JuniorInstituto de Informática – UFGProf. Dr. Bryon Richard HallInstituto de Matemática e Estatística – UFG


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial dotrabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador(a).Iacer Coimbra Alves Cavalcanti CalixtoGraduou-se em Sistemas de Informação nas Faculdades Alves Faria(ALFA). Durante sua graduação, participou do projeto de pesquisa MO-DELA (Modelagem Colaborativa Assíncrona), na área de informática naeducação, em parceria com a Universidade Católica de Brasília (UCB).No mestrado participou do grupo de fundamentos de computação (FUN-COMP), conduzindo suas pesquisas no Laboratório de Visualização deInformações e Otimização Interativa (LAVIS), do Instituto de Informáticada UFG.


Oliveira.Dedico este trabalho a meu grande amigo Alexandre Antônio de Pina


AgradecimentosAgradeço sinceramente a todos os que me auxiliaram, direta ou indiretamente.A todos os colegas do mestrado, que sempre estiveram presentes e dispostosa esclarecer dúvidas e compartilhar conhecimentos, dentro e fora da universidade.Agradeço a meu orientador, professor Dr. Hugo Alexandre Dantas doNascimento, pela disponibilidade em ajudar sempre que necessário.Agradeço a meu co-orientador professor Dr. Bryon Richard Hall por forneceros dados de entrada sobre a Região A.Agradeço especialmente a meu co-orientador, professor Dr. Leslie RichardFoulds, pela enorme presteza, polidez e dedicação ao meu projeto. A sua consideraçãoe apoio foram uma surpresa que não será esquecida.Finalmente, agradeço a minha família e amigos pelo auxílio nessa jornada.


“We are still under the sway of the destructive and vain belief thatman is the pinnacle of creation, and not just part of it, and that,therefore, everything is permitted... We are incapable of understandingthat the only genuine backbone of our actions – if they are to be moral– is responsibility. Responsibility to something higher than my family,my country, my firm, my success. Responsibility to the order of Being,where all our actions are indelibly recorded and where, and only where,they will be properly judged.”Vaclav Havel,em um discurso perante o Congresso dos Estados Unidos da América.


ResumoCalixto, Iacer Coimbra Alves Cavalcanti. Proposta de um método deestimação de matrizes origem-destino baseado em programaçãolinear fuzzy para redes viárias brasileiras congestionadas.. Goiânia,2011. 143p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Informática, UniversidadeFederal de Goiás.O presente trabalho propõe um método de estimação de matrizes origem-destino(OD) para redes viárias urbanas congestionadas, de médio e grande porte, focandoespecificamente no caso brasileiro. Assume-se que os dados disponíveis para a estimaçãosejam contagens volumétricas de tráfego nos arcos, estimações de demandasentre pares OD, quantidades de partidas em alguns nós de origem e quantidades dechegadas em alguns nós de destino. Ainda, assume-se que todos estes dados disponíveissejam incompletos e imprecisos, o que quase sempre acontece na realidade.O método proposto consiste em um conjunto de programas lineares fuzzy e permiteencontrar um conjunto de matrizes OD que correspondam ao espectro que vai (i) damatriz OD correspondente a uma alocação de tráfego de equilíbrio do usuário commenor custo total até (ii) uma matriz OD que atenda aos dados de estimações deentrada. Para avaliação do método foram realizados dois testes sobre o mesmo. Umdeles consiste em um problema clássico da literatura e o outro é um estudo de casoreal baseado em uma região relativamente grande da cidade de Goiânia, no Brasil.Resultados interessantes e promissores foram alcançados com ambos os testes.Palavras–chaveEngenharia de Tráfego, Otimização Combinatória, Programação LinearFuzzy, Estimação de Matrizes Origem-Destino.


AbstractCalixto, Iacer Coimbra Alves Cavalcanti. An OD Matrix EstimationMethod Based on Fuzzy Linear Programming with focus onBrazilian Congested Networks. Goiânia, 2011. 143p. MSc. Dissertation.Instituto de Informática, Universidade Federal de Goiás.The present work proposes an OD matrix estimation method for congested, mediumto-largeurban traffic networks, focusing specifically on the Brazilian scenario. It isassumed that the input data consists of link counts, trip-table estimates, number ofdepartures from origins and number of arrivals at destinations. It is also assumedthat these input data are incomplete and imprecise, what is often the case in realcase studies. The proposed OD estimation method consists of a sequence of fuzzylinear programs and provides as its output a spectrum of OD matrices ranging from(i) the OD matrix with an user-equilibrium assignment with the least user-cost to(ii) the OD matrix that more closely satisfies the input data. The method has beentested on two numerical examples, one being a classic problem from the literatureand the other one a study case conducted on a traffic network that represents arelatively big region of the city of Goiania in Brazil. Favourable and interestingresults have being achieved in both cases.KeywordsTraffic Engineering, Combinatorial Optimization, Fuzzy Linear Programming,OD Matrix Estimation.


SumárioLista de Figuras 12Lista de Tabelas 131 Introdução 141.1 Objetivos 191.2 Organização da Dissertação 202 Revisão Bibliográfica 212.1 Planejamento de transportes e alocação de tráfego 212.1.1 Abordagem do tempo 222.1.2 Nível de detalhamento do modelo 23Modelos microscópicos 23Modelos macroscópicos 24Modelos mesoscópicos 242.1.3 Decidibilidade do método 242.1.4 Consideração dos fluxos na escolha de rota 25Alocação proporcional ou exógena 25Alocação de restrição de capacidade ou endógenas 252.2 Estimação de matrizes OD 262.2.1 Abordagem do tempo 28Estimação estática 28Estimação dinâmica 282.2.2 Determinismo do método 29Estimação determinística 29Estimação estocástica 292.2.3 Tamanho da malha viária 29Interseções 302.2.4 Tipo de técnica de modelagem utilizada 322.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 332.3.1 Abordagens de maximização da entropia ou minimização da informação 34Abordagens baseadas em modelos gravitacionais 352.3.2 Estimação baseada em Imagens de Satélite e Fotos Aéreas 352.3.3 Abordagens de equilíbrio 36Nguyen, 1977 [43] 39Sherali, Narayanan e Sivanandan, 2003 [50] 40Van Aerde, Rakha, Paramahamsan, 2003 [55] 412.4 Comentários Gerais 42


3 Estimação de Matrizes OD com Dados Incompletos e Imprecisos 443.1 Notação e conceitos importantes 453.2 Um modelo de programação linear clássica 504 FLIPSOD 524.1 Modelos de programação linear propostos 524.1.1 Modelo M ′ U e limitante superior z′ U 534.1.2 Modelo M L e limitante inferior z L 544.1.3 Funções de pertinência 564.1.4 Modelo M ′ F 574.1.5 Uma análise crítica do Modelo M ′ F 594.1.6 Um novo modelo 59Modelo M U e limitante superior z U 60Modelo M F 604.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 624.2.1 A - Etapa de Estimação de Custos nos Arcos 634.2.2 B - Etapa de Geração de Soluções 684.3 Comparação com outros trabalhos usando abordagem fuzzy 694.3.1 Liao e Wang e Sushama e Revati 694.3.2 Biletska et al. 704.3.3 Comentários Finais 715 Implementação 735.1 Introdução ao PETGyn 735.2 Descrição do sistema FLIPSOD SYS 755.2.1 Interações entre FLIPSOD SYS e PETGyn 755.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 77Método de pesquisa binária 845.4 Visualização das soluções 885.4.1 Visualização dos fluxos nos arcos 885.5 Regras de transformação 895.5.1 Regras de transformação do grafo G em G ′ 895.5.2 Regras de transformação de uma solução em G ′ para uma solução em G 916 Avaliação do Trabalho 946.1 Metodologia 946.2 The Corridor Network 986.2.1 Matrizes OD “alvo” e fluxos observados 986.2.2 Testes realizados 996.2.3 Resultados obtidos 100Testes T CN 1 , T CN 2 , T CN 4 , T CN 5 , T CN 7 e T CN 8 101Testes T CN 3 , T CN 6 e T CN 9 102Teste T CN 3 e T CN 6 103Teste T CN 9 1056.2.4 Uma breve discussão acerca da matriz OD “sem informação” (MSI) 1066.2.5 Comentários gerais 1076.3 Goiânia - Região A 1096.3.1 Resultados dos testes 111


6.3.2 Comentários gerais 1177 Conclusões 1207.1 Trabalhos Futuros 121Referências Bibliográficas 123A Introdução sobre lógica fuzzy e programação linear fuzzy 129A.1 Conjuntos fuzzy e Lógica fuzzy 129A.2 Tomada de decisão em um ambiente fuzzy 132A.3 Programação linear fuzzy 136B Notação 141


Lista de Figuras1.1 Um exemplo de malha viária com observações de tráfego. 161.2 Um exemplo de malha viária com observações de fluxo incompletas. 181.3 Um exemplo de malha viária com observações de fluxo imprecisas. 192.1 Um exemplo de interseção complexa 314.1 As duas etapas do método de estimação FLIPSOD 634.2 A etapa de estimação dos custos nos arcos 645.1 Exemplo de tela do PETGyn com um projeto aberto. 745.2 Diagrama de interação entre o FLIPSOD e o PETGyn 775.3 Extração de dados do PETGyn 785.4 Componente de computação do grafo G ′ do PETGyn 795.5 Definição de custos iniciais nos arcos 805.6 Componente de enumeração de caminhos e computação de custos nasrotas 815.7 Extração de custos nos arcos do PETGyn 835.8 Estimação das matrizes OD com o método FLIPSOD 845.9 Transformação de solução em G ′ para solução em G 875.10 Componente de visualização das soluções 875.11 Exemplo de visualização gerada para os fluxos nos arcos 895.12 Um exemplo de grafo G 905.13 Um exemplo de grafo G ′ 906.1 A rede viária The Corridor Network 986.2 Gráfico das soluções obtidas com a matriz alvo MPE e contagensvolumétricas em 100% dos arcos da malha viária 1036.3 Gráfico das soluções obtidas com a matriz alvo MPE e contagensvolumétricas em 50% dos arcos da malha viária 1056.4 A rede viária Região A 1096.5 Solução 1 (de maior λ) obtida para a configuração T R 1 1136.6 Solução 4 obtida para a configuração T R 1 115A.1 Exemplo de um número fuzzy triangulado 131


Lista de Tabelas1.1 Uma matriz OD que soluciona o problema ilustrado na Figura 1.1 161.2 Outra matriz OD que soluciona o problema ilustrado na Figura 1.1 176.1 Características da The Corridor Network 1006.2 Configurações de testes com The Corridor Network 1016.3 Tempo de execução dos testes realizados na rede viária The CorridorNetwork 1016.4 Matriz OD “correta” (MC) 1026.5 Matriz OD de equilíbrio alternativa (MEA) 1026.6 Matriz OD com pequenos erros (MPE) 1026.7 Matriz OD “sem informação” (MSI) 1066.8 Resultados do método SA proposto por Sherali et al. 1086.9 Resultados do método FLIPSOD aplicado para The Corridor Networkcom a matriz OD “alvo” MPE 1086.10 Configurações de testes executados sobre a Região A 1116.11 Tempo de execução dos testes realizados 1126.12 Resultados obtidos para as soluções 1 (de maior λ) dos testes realizados 1126.13 Soluções obtidas para o testes T R 1 1146.14 Soluções obtidas para o testes T R 2 1146.15 Soluções obtidas para o testes T R 3 1166.16 Soluções obtidas para o testes T R 4 1166.17 Soluções obtidas para o teste T R 5 1176.18 Matriz OD estimada para a Região A na configuração T R 1 (solução demaior λ) 119


IntroduçãoCAPÍTULO 1O Brasil tem experimentado forte crescimento econômico desde a estabilizaçãode sua moeda, associado a uma consistente expansão populacional. Segundo oIBGE [29], a população brasileira ultrapassou a marca de 190 milhões de pessoas eapresenta um aumento anual de 1,17%. Se tomarmos somente a região centro-oestecomo base, esse valor é ainda maior – 1,9% ao ano. De acordo com o MDS [41],entre 2003 e 2008, 19,4 milhões de brasileiros saíram da pobreza, o que significauma redução de 43% na proporção de pobres.O crescimento populacional e econômico implica em um aumento na demandapor produtos diversos tais como alimentos, vestuário e eletroeletrônicos.Ainda, há uma crescente demanda também por serviços como lazer e viagens. Todosesses produtos e serviços fazem uso de uma infra-estrutura logística que conecta oscentros de produção aos seus consumidores finais.Esse crescimento, no entanto, normalmente acontece de forma pouco organizadae pontual, o que tem piorado a qualidade dos sistemas de transportes eocasionado um forte impacto na qualidade de serviços de transportes disponibilizadosaos moradores de médias e grandes cidades. Isto faz com que a maioria dessesmoradores vislumbre o transporte individual como uma alternativa para o recenteproblema do trânsito – o que, por sua vez, agrava ainda mais a situação, colocandomais carros e motocicletas nas ruas, multiplicando os pontos de congestionamentose, consequentemente, aumentando a níveis indesejados o tempo necessário para arealização de viagens nas cidades.O transporte público urbano em geral possui baixa qualidade e eficiência, efaltam investimentos em infra-estrutura. Segundo a Fenabrave [22], a quantidade deautomóveis e veículos comerciais leves emplacados entre junho de 2010 e junho de2011 no Brasil aumentou 15,93%, sendo que no acumulado de 2011 foram emplacadosum total de 1.638.078 veículos. De acordo com a notícia publicada no jornal OPopular [46], a cidade de Goiânia, em Goiás, atingiu a marca de 1 milhão deveículos em circulação, totalizando uma média de 1,1 veículos por habitante. Apenasnos cinco primeiros meses deste ano, 33.398 veículos novos deixaram os pátios das


15concessionárias nessa cidade.O Arizona Department of Transportation [3] coloca como objetivo da engenhariade tráfego o “planejamento, desenho geométrico e operações de tráfego(...) buscando segurança, eficiência e movimentação conveniente de pessoas e mercadorias”.Várias médias e grandes cidades brasileiras já veem na engenharia, noplanejamento e monitoramento das condições do tráfego com o auxílio de ferramentascomputacionais, uma ferramenta importante na solução de seus problemas detransportes.Uma informação essencial para grande parte dos sistemas de simulação econtrole de tráfego são as demandas existentes por viagens na rede viária analisada.Esta demanda é dada tipicamente através de uma matriz, chamada matriz origemdestino(OD). Nesta matriz, o valor armazenado em uma célula (linha i, coluna j) éa demanda de fluxo estimada de uma zona i para uma zona j para um determinadoperíodo de tempo estudado. Na matriz OD, então, estão definidos todos os fluxosexistentes entre cada uma das zonas de interesse definidas na rede viária estudada.O processo de, dada uma matriz OD, realizar o carregamento da malhaviária com tráfego de veículos a partir das demandas descritas nesta matriz OD échamado de alocação de tráfego. No processo de alocação de tráfego, então, parte-sedas demandas por viagens existentes – de cada uma das zonas da rede viária paratodas as outras zonas – e obtém-se o tráfego final de veículos nesta rede viária, ouo fluxo de veículos em cada uma das ruas e avenidas descritas na rede viária.Na literatura, grande parte dos métodos de estimação propostos – principalmenteos mais antigos – utilizam a abordagem de alocação proporcional, assumindoque a proporção dos veículos que viajam entre um determinado par OD passando poruma determinada rua ou avenida é constante. Isto significa, na prática, que efeitosde congestionamentos podem ser ignorados ou não serão diretamente consideradospelo método de alocação. Estes métodos são aplicados principalmente para o casode malhas viárias esparsas, como por exemplo malhas rodoviárias, nas quais efeitosde congestionamentos normalmente podem ser desconsiderados sem que isto afete aqualidade da estimação.Métodos de alocação de equilíbrio procuram satisfazer o primeiro princípiode Wardrop ou o princípio do equilíbrio de Wardrop [56], que diz que um sistemaencontra-se em equilíbrio quando nenhum usuário da rede viária consegue diminuirseu custo individual de viagem 1 mudando sua rota. Atualmente, acredita-se que métodosde alocação baseados em técnicas de equilíbrio reproduzam mais fielmente as1 O custo de uma viagem, noção extraída da economia [6], normalmente é dado pelo tempogasto para a realização da viagem, mas poderia incluir outras variáveis tais como o consumo totalde combustível gasto com a realização da viagem.


16características do tráfego urbano congestionado que métodos baseados em alocaçãoproporcional [61, 60, 54, 2, 57, 59, 51, 50].O processo de estimação de matrizes OD baseado em contagens de tráfegoparte do princípio de que existam contagens de fluxo observadas em ruas e/ouavenidas para um determinado período de tempo de interesse. A partir dessascontagens procura-se estimar a matriz OD que, uma vez alocada à rede viária,reproduza os fluxos observados anteriormente.Este problema poderá possuir múltiplas soluções viáveis, ou seja, normalmentehaverá um conjunto de matrizes OD distintas que reproduzirão as contagensvolumétricas nas ruas e/ou avenidas.Na Figura 1.1, vemos um exemplo de malha viária com contagens volumétricasde tráfego. Para ilustrarmos o problema, cada aresta desse grafo representa umarua ou avenida, e o valor de f retrata o tráfego observado durante um período detempo desejado. Essa malha viária possui múltiplas matrizes OD que reproduzirãoas contagens volumétricas observadas.Figura 1.1: Um exemplo de malha viária com observações detráfego.Na Tabela 1.1 e na Tabela 1.2 ilustramos duas matrizes OD distintas que,uma vez alocadas na malha viária ilustrada na Figura 1.1, reproduzirão exatamenteos fluxos descritos na mesma.Tabela 1.1: Uma matriz OD que soluciona o problema ilustradona Figura 1.1O/D A B C DA 0 75 0 0B 0 0 0 0C 0 5 0 100D 0 0 0 0


17Tabela 1.2: Outra matriz OD que soluciona o problema ilustradona Figura 1.1O/D A B C DA 0 75 0 0B 0 0 0 0C 0 5 0 100D 0 0 0 0Dentre as várias possíveis matrizes OD viáveis existentes para um problema,deve-se então haver uma forma de selecionar aquela mais “desejável”. Uma das formasmais utilizadas para solucionar o problema de selecionar uma solução dentre as váriassoluções existentes é através da utilização de uma matriz OD semente, de forma quea matriz OD final estimada seja o mais próxima possível da matriz OD sementesegundo algum critério predefinido [55, 2, 57].Nos últimos anos, principalmente a partir da década de 70, vários métodosde estimação de matrizes OD baseados em contagens volumétricas de tráfego têmsido desenvolvidos. Isto ocorre pelo fato de métodos considerados tradicionais deobtenção de matrizes OD – como por exemplo entrevistas e pesquisas com motoristasem campo e técnicas de observação direta do tráfego – terem se mostrado altamentedispendiosos em termos de trabalho humano necessário e/ou do custo de interromperos usuários na malha viária para entrevistas [2, 57].Algumas vezes, no entanto, não existem soluções que sejam ao mesmotempo de equilíbrio do usuário e atendam a todas as restrições (contagens detráfego) existentes. Isto acontece quando há um conjunto de contagens volumétricasobservadas que “forçam” os usuários da rede viária a utilizarem caminhos, noprocesso de estimação da matriz OD, que não seriam utilizados caso as mesmascontagens volumétricas não existissem. Isto significa que estes usuários poderiamdiminuir seu tempo de viagem ao adotar uma rota distinta, o que obviamente violao princípio de equilíbrio de Wardrop.Vários autores vem trabalhando com o problema da estimação de matrizesOD para estes casos, ou seja, os casos onde não há uma solução que seja ao mesmotempo de equilíbrio de usuário e também atenda às contagens volumétricas de tráfegointegralmente [38, 50, 61, 60]. Estes métodos propõem soluções que visam estimaruma matriz OD considerada mais adequada, sendo que esta pode ser consideradaa matriz OD mais próxima de uma solução de equilíbrio do usuário ou a matrizOD que mais fielmente atenda às medições de tráfego observadas. Dessa forma,como não se sabe de antemão necessariamente qual é a solução mais adequada paratodos os casos, acredita-se que a obtenção de um conjunto de soluções seja umasaída interessante, já que permite ao usuário do sistema definir qual a solução mais


18adequada para seu caso específico.O método proposto pelo presente trabalho visa solucionar este problemae permitir estimar um conjunto de matrizes OD – e não somente uma matriz– que correspondam ao espectro que vai (i) de uma matriz OD que atenda aomáximo os dados de estimações de entrada até (i) uma matriz resultante de umaalocação de tráfego de equilíbrio do usuário com custo mínimo. Além destas duassoluções “extremas”, já que ambas delimitam o espaço das soluções possíveis paraum problema, gera-se também várias soluções intermediárias que formam o espectrodas soluções possíveis para o problema sob análise.Ademais, o método foi pensado para situações nas quais as contagensvolumétricas são incompletas e imprecisas. Contagens volumétricas são consideradasincompletas quando não estão disponíveis para todas as ruas e avenidas constituíntesda rede viária, mas para apenas um subconjunto das mesmas, como ilustrado naFigura 1.2.Figura 1.2: Um exemplo de malha viária com observações defluxo incompletas.Ainda, são consideradas imprecisas quando o seu valor final não é sabido comcerteza, tendo-se apenas uma estimação do mesmo. Assume-se que estas estimaçõesde contagens volumétricas possam variar dentro de um intervalo, acima e abaixodo “centro” da estimação – o valor considerado como mais provável –, que tambémdevem ser parte dos dados de entrada. Na Figura 1.3 temos um exemplo de malhaviária com observações de tráfego imprecisas.Consideramos que são também dados de entrada possíveis o volume deveículos que sai de uma zona no período de tempo estudado, bem como qual é ointervalo máximo de oscilação possível para este volume. Também são dados deentrada possíveis o volume de veículos que chega a uma zona no período de tempoestudado, sendo este volume também definido dentro de um intervalo.


1.1 Objetivos 19Figura 1.3: Um exemplo de malha viária com observações defluxo imprecisas.Pelo fato de possuirmos dados de entrada que são originalmente imprecisose incompletos, decidiu-se utilizar um método baseado em programação linear fuzzy,já que permite a modelagem da imprecisão dos dados de entrada e, ainda, a extraçãode soluções computacionalmente eficientes baseadas nos mesmos.É importante ressaltar que resultados parciais obtidos com este trabalhoserão publicados nos anais do Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO)deste ano. À época da submissão de artigos para o simpósio acima citado, o métodoFLIPSOD ainda estava no início de seu processo de desenvolvimento, tendo atéentão testes comparativos realizados apenas para um problema da literatura 2 .Desde a submissão do artigo, no entanto, foram realizadas algumas modificaçõesno modelo matemático proposto – e obviamente no sistema computacionalcorrespondente –, o que permitiu a obtenção de melhores resultados. Além dessasmudanças, foram realizados novos importantes testes com o método sobre uma malhaviária representativa de uma região da cidade de Goiânia–GO, no Brasil, quepermitiram a obtenção de bons resultados para a realidade do tráfego brasileiro deuma cidade de médio porte.Todas as eventuais mudanças ocorridas com o método desde a sua concepçãoaté o seu estágio atual, assim como todos os testes realizados com o mesmo, serãodiscutidos neste trabalho.1.1 ObjetivosOs objetivos específicos deste trabalho são:2 Este problema é conhecido como The Corridor Network e os resultados obtidos serão discutidosexaustivamente no decorrer neste trabalho.


1.2 Organização da Dissertação 20• apresentar uma revisão bibliográfica dos métodos de estimação estática dematrizes OD, lógica e teoria dos conjuntos fuzzy e programação linear fuzzy;• descrever um novo método para estimação estática de matrizes OD baseadoem programação linear de abordagem fuzzy que permita estimar um conjuntode matrizes OD a partir de dados imprecisos e incompletos e que gere umespectro de soluções quando for o caso;• apresentar uma implementação deste método e testes do mesmo, com exemplosnuméricos incluíndo um problema clássico da literatura e um estudo de casoreal de uma região da cidade de Goiânia–GO, no Brasil;1.2 Organização da DissertaçãoO restante deste trabalho está organizado nos seguintes capítulos:• O Capítulo 2 fornece uma revisão bibliográfica dos métodos de estimação dematrizes OD;• O Capítulo 3 descreve o problema de estimação estática de matrizes OD apartir de dados incompletos e imprecisos.• O Capítulo 4 descreve o método de estimação proposto, suas características eformulação matemática.• O Capítulo 5 descreve detalhes da implementação do método na forma de umsistema computacional.• O Capítulo 6 discute os resultados obtidos com a avaliação do métodoimplementado para dois problemas distintos.• O Capítulo 7, por fim, apresenta as conclusões obtidas e também quais osprojetos futuros vislumbrados a partir do presente trabalho.


Revisão BibliográficaCAPÍTULO 2Este capítulo discute conceitos e técnicas diversos de interesse utilizadosno decorrer desta dissertação, dentre os quais alocação de tráfego, estimação dematrizes origem-destino e programação linear fuzzy.2.1 Planejamento de transportes e alocação de tráfegoA metodologia de planejamento de transportes chamada convencional,conhecida como Modelo Quatro Etapas (do inglês, Four Step Model — FSM), alémde propor a divisão da malha viária em zonas, estrutura o processo de transporteem quatro fases:(i) geração de viagens, na qual define-se a quantidade de viagens produzidas eatraídas por cada zona;(ii) distribuição de viagens, na qual define-se o fluxo de viagens produzido em cadazona i e atraído a cada zona j;(iii) divisão modal, em que define-se o percentual de viagens entre as zonas quedeverá ser realizado através de cada modo ou meio de transporte, dentre ostipos disponíveis; e(iv) alocação de tráfego, na qual tem-se os fluxos já definidos entre as zonas (etapasi e ii) e para cada modo existente (etapa iii), e deve-se definir quais as rotas oucaminhos nos quais alocar os fluxos entre cada par de zonas i e j – de acordocom a malha viária existente.McNally [40] ressalta que atualmente o FSM pode ser melhor representadoem duas etapas somente, em vez das quatro etapas já citadas. As duas etapas seriam:(i) avaliação, calibração e validação de características do usuário e de uso do solo,de forma a produzir uma estimação da demanda por viagens não equilibrada (uma


2.1 Planejamento de transportes e alocação de tráfego 22matriz origem-destino preliminar); e (ii) atribuição da demanda gerada no passoanterior à rede viária, em um processo que visa equilibrar o fluxo na malha viáriae representar com a maior fidelidade possível o comportamento do tráfego na rede.Este processo, apontado por McNally, alterna então as duas etapas, iterativamente,de modo que o fluxo final alocado na malha viária seja o mais realista possível.Como existe uma forte interdependência entre os processos de estimaçãode matrizes OD e de sua alocação, iremos primeiramente discutir alguns aspectosintrodutórios importantes, relacionados à alocação de matrizes OD, para em seguidatratarmos do tema da estimação.A alocação de tráfego é uma parte essencial dos sistemas de simulação emodelagem de tráfego [61, 38, 55]. Existem diversas abordagens propostas para aalocação de uma matriz OD em uma malha viária. Pode-se classificar as soluçõespropostas para o problema da alocação de matrizes OD, na literatura, segundo váriosaspectos, tais como:• o tratamento do tempo na alocação (estáticos ou dinâmicos);• o nível de detalhamento do modelo adotado (microscópico, macroscópico oumesoscópico);• a decidibilidade dos processos internos da simulação (determinístico ou estocástico);e• a consideração ou não dos fluxos nas vias na probabilidade da escolha de umarota (exógenos ou endógenos);A seguir, estas categorias e suas principais características serão analisadas.2.1.1 Abordagem do tempoUma importante distinção em relação ao tipo de estudo realizado dizrespeito ao tratamento da dimensão do tempo empregado na análise.Os métodos de alocação estática visam alocar uma matriz OD em uma redeviária. Estes métodos normalmente assumem que a rede viária não possui tráfegopré-existente. A matriz OD a ser alocada representa uma demanda existente paraum período de tempo definido e único.Os métodos de alocação dinâmica (do inglês Dynamic Traffic Assignment,DTA) são novos comparativamente aos métodos estáticos e visam modelar asmudanças no tráfego que ocorrem com o passar do tempo. Dessa forma, devempermitir que o tráfego seja simulado progressivamente no decorrer do tempo, e assimpossa representar as mudanças ocorridas com a movimentação dos veículos na malhaviária.


2.1 Planejamento de transportes e alocação de tráfego 23As unidades de tempo utilizadas normalmente são pequenas, da ordemde segundos. Normalmente os métodos DTA são utilizados para simulação detráfego em tempo real ou próximo disso, por isso a necessidade da simulação dotráfego para períodos curtos. Estes métodos requerem tanto dados históricos (sobrecaracterísticas dos usuários e de uso do solo) quanto dados em tempo-real paraestimar e prever as condições do tráfego [4].2.1.2 Nível de detalhamento do modeloModelos microscópicosOs modelos microscópicos simulam em detalhes os componentes do sistema:os veículos, os motoristas, as vias constituintes da rede viária, os semáforos, etc. Elessimulam, também em um alto nível de detalhamento, as interações existentes entreestes componentes. São modelados os comportamentos individuais de cada veículoe as acões e reações dos motoristas aos eventos no trânsito no momento em que elesacontecem. Cada motorista toma a decisão de aumentar sua velocidade, mudar defaixa ou diminuir sua velocidade de acordo com a configuração do trânsito no qualele se encontra. Devido ao alto nível de detalhamento adotado nestes modelos, elesexigem grande esforço computacional e uma grande quantidade de dados para suacalibração [37].Segundo Burghout [13], os modelos que representam o comportamento dosmotoristas podem ser normalmente divididos em um modelo de padrão de aceleraçãoe frenagem (do inglês, car-following), um modelo de mudança de faixa (do inglês,lane-change) e um modelo de escolha de rota (do inglês, route-choice). O modelo decar-following descreve os padrões de interação do motorista, através de aceleraçãoe frenagem de seu veículo, com o motorista à sua frente e também com limites develocidade da via, curvas, etc. O modelo de lane-change descreve o processo dedecisão que leva à mudança ou não de faixa, baseado nas preferências do usuário etambém nas características do tráfego e da via (por exemplo, o tamanho do espaçoexistente para mover-se para a faixa adjacente). O modelo de escolha de rota definequal a estratégia adotada por cada motorista para, dada uma origem e um destinopara o qual se deseja ir, escolher sua rota. Ele pode ou não levar em consideraçãotambém possíveis mudanças de rota durante o percurso por razões viariadas (comoum acidente que impede o tráfego em uma via pela qual se desejaria passar).Estes modelos são adequados a análises detalhadas do comportamento dotráfego e seu uso é aconselhado quando as interações individuais entre os veículose/ou o comportamento dos motoristas possuem papel importante no resultado dasimulação.


2.1 Planejamento de transportes e alocação de tráfego 24Modelos macroscópicosOs modelos macroscópicos descrevem tanto as entidades componentes dosistema quanto suas interações em um baixo nível de detalhes ou alto nível deagregação. Araújo et al. [5] descrevem um modelo macroscópico como constituídopor relações analíticas entre velocidade, densidade e fluxo. Ressaltam ainda queestes modelos permitem a previsão de fluxos para fins de planejamento estratégicode transportes e também para algumas avaliações de gerenciamento de tráfego.Os modelos macroscópicos são normalmente utilizados para a simulaçãode redes esparsas ou para redes nas quais os efeitos de congestionamentos não sãoimportantes na descrição do fluxo. Segundo Burghout [13], frequentemente são utilizadasanalogias com fenômenos físicos para a escolha das funções matemáticas quesimulam o fluxo de tráfego, tais como a descrição do fluxo a partir do comportamentode fluidos.Modelos mesoscópicosOs modelos mesoscópicos em geral simulam os componentes do sistemaem um nível igual ou um pouco menor de detalhes, relativamente aos modelosmicroscópicos. Ainda, também em relação a modelagens microscópicas, diminuisebastante o nível de detalhamento das interações entre os componentes. Osmodelos mesoscópicos possuem características mistas, de ambos os modelos microe macroscópicos. A ideia é aproveitar as potencialidades dos modelos micro emacroscópicos e minorar os defeitos apresentados por cada um. Deve-se possuirum bom nível de detalhamento, o que é uma grande qualidade dos modelosmicroscópicos, no entanto sendo computacionalmente eficientes, como no caso dosmodelos macroscópicos.Segundo Burghout [13], os usos mais adequados para modelos mesoscópicosocorrem quando o alto nível de detalhamento da simulação microscópica é desejadomas impraticável por conta do tamanho da rede viária que deseja-se modelar, oupor conta do custo do levantamento dos dados necessários à simulação microscópica.Estes modelos são adequados, ainda, à realização de análises mais abrangentes,nas quais é interessante abordar tanto aspectos operacionais quanto gerenciais nasimulação.2.1.3 Decidibilidade do métodoMétodos de alocação determinísticos são aqueles cujo funcionamento nãoenvolve medida de aleatoriedade na alocação da matriz OD, ou seja, dada umaconfiguração de entrada específica – uma rede viária específica e uma matriz OD


2.1 Planejamento de transportes e alocação de tráfego 25que demanda esta rede viária –, o método de alocação sempre resultará em umamesma configuração de saída – o fluxo de veículos na rede viária.Já os métodos de alocação estocásticos fazem uso de variados graus deindeterminação no processo de obtenção de uma configuração de saída – ou seja, dosfluxos de veículos na rede viária. Em outras palavras, em dois processos diferentesde alocação de uma matriz OD específica em uma dada malha viária, pode-se obterdiferentes resultados. Estes métodos visam simular principalmente as característicasparticulares dos motoristas, que possuem preferências e percepções variáveis e nemsempre passíveis de modelagem determinística.2.1.4 Consideração dos fluxos na escolha de rotaAlocação proporcional ou exógenaAs soluções de alocação proporcional consideram que o volume de fluxoindepende do volume do tráfego pré-existente alocado. Em outras palavras, nãolevam em consideração o fluxo pré-existente nos arcos na escolha de uma rota paraalocação. São ditas exógenas porque não simulam situações de congestionamento,nas quais a influência dos fluxos existentes em um arco é característica essencial naprobabilidade de sua adoção ou não por outro usuário da rede viária [28, 57, 49, 53].Um exemplo típico de solução proporcional é o método tudo ou nada, queprevê a alocação dos fluxos demandados sempre na rota que possui o caminho mínimo,ou seja, o caminho de menor custo. Como o custo do caminho mínimo baseia-senos custos dos arcos que o compõem, que são fixos, uma solução proporcional nãoleva em consideração a saturação dos arcos na escolha da rota.Os métodos de alocação proporcional, por conta dessa característica, sãomais utilizados para simulação de tráfego em situações nas quais os efeitos decongestionamentos possam ser descartados sem que isto afete a qualidade dasimulação, como por exemplo em redes interurbanas.Os métodos endógenos, discutidos a seguir, permitem a modelagem dosefeitos de congestionamentos e são, portanto, mais adequados para a simulação deredes urbanas congestionadas.Alocação de restrição de capacidade ou endógenasAs soluções de alocação de restrição de capacidade ou endógenas possuema probabilidade da adoção de uma rota dependente dos volumes de fluxo nosarcos constituintes desta rota. Técnicas para alocação de tráfego levando em contacongestionamentos são particularmente relevantes em áeras urbanas e redes viáriasoperando próximas de sua capacidade [57].


2.2 Estimação de matrizes OD 26Métodos de alocação de equilíbrio procuram satisfazer o primeiro princípiode Wardrop. Em outras palavras, procura-se minimizar o tempo individual dasviagens dos usuários da rede viária. Esta situação é conhecida como o equilíbrio dousuário. O equilíbrio do usuário é largamente utilizado como uma boa aproximaçãopara modelagem de tráfego urbano em redes viárias congestionadas [43, 23, 24, 51,50, 61].Existe ainda um segundo tipo de equilíbrio, conhecido como equilíbrio do sistema,ocasião em que o tráfego deve obedecer ao segundo princípio de Wardrop [56].O sistema encontra-se neste equilíbrio quando nenhum usuário consegue mudar suarota sem ocasionar um aumento no tempo de viagens global na rede viária. Emoutras palavras, mesmo que algum usuário consiga diminuir seu tempo individualde viagem o impacto que isto acarretará nas viagens de outros usuários fará comque a soma dos tempos de viagem de todos os usuários da rede aumente.Os modelos de equilíbrio do sistema são utilizados quando se deseja compararuma situação atual com condições ótimas de tráfego, analisando por exemploquais as possíveis reduções em emissão de gases poluentes ou em consumo de combustívelpor uma frota de ônibus [31].O processo de alocação de equilíbrio de uma matriz OD em uma malha viáriaé dependente do volume de tráfego pré-existente nesta malha viária. A adoção ounão de uma rota específica leva em conta, além de características das vias e dosusuários, a quantidade de fluxo que já foi alocado nesta rota. Como na alocação deequilíbrio acredita-se que o comportamento dos usuários siga o primeiro ou o segundoprincípio de Wardrop – no equilíbrio do usuário e do sistema, respectivamente –,quanto maior o fluxo alocado em uma rota em uma dada iteração, maior será oseu custo correspondente na iteração seguinte. Métodos de alocação de equilíbrioirão assim iterativamente recalcular os custos das rotas de acordo com o volume detráfego pré-existente, de forma que, no final, os custos das rotas da solução tenhamse estabilizado. 12.2 Estimação de matrizes ODAgora que classificamos as técnicas de alocação de tráfego, podemos tratarsobre os métodos de estimação de matrizes OD. Estes métodos, discutidos a seguir,normalmente fazem uso de alguma técnica de alocação em seus processos internos,sendo comum estarem fortemente vinculados às estratégias de alocação adotadas.1 Deste ponto em diante, quando nos referirmos ao princípio de Wardrop ou ao equilíbrio deWardrop, estaremos nos referindo ao primeiro princípio de Wardrop e ao equilíbrio do usuário, anão ser que seja explicitamente apontado o contrário.


2.2 Estimação de matrizes OD 27Abrahamsson [2] apresenta uma revisão bibliográfica dos métodos de estimaçãoestática de matrizes OD, discutindo suas características, pontos fracos efortes. Seu trabalho traz informações sobre vários métodos importantes, além depropor uma taxonomia para classificação dos métodos de estimação estática. Peetae Ziliaskopoulos [48] fazem uma revisão bibliográfica dos métodos de alocação dinâmica,tratando também de alguns trabalhos na área de estimação dinâmica dematrizes OD.Inicialmente, é importante ressaltar que a granularidade adotada para arepresentação da zona pode ser maior ou menor, dependendo do interesse do estudorealizado e da precisão necessária. Não existe um procedimento determinísticopara escolha do tamanho e configuração ótimos de zonas para a modelagem deuma dada rede viária. Contudo, quanto mais detalhado o estudo que se desejarealizar, menor deve ser o tamanho das zonas, já que sistemas de modelagem esimulação de transportes que fazem uso de matrizes OD para uma rede viáriatratam essencialmente dos fluxos interzonais. Na prática, assume-se que os fluxoscuja origem e destino ocorram dentro de uma mesma zona, em um mesmo período,possam ser seguramente descartados sem que isto afete a qualidade da simulação. Aescolha do tamanho das zonas e, consequentemente, do nível de detalhes no qual sedeseja representar os fluxos interzonais, é chamado nível de agregação do modelo.Para a utilização dos métodos de alocação do tráfego deve-se, portanto,ter à disposição uma ou mais matrizes OD para a região que se deseja estudar oualguma forma de estimá-las. Métodos convencionais de obtenção da matriz OD –chamados métodos tradicionais – como pesquisas e entrevistas com motoristas emcampo, técnicas de observação direta e car-following tendem a tornar-se altamentedispendiosos em termos do trabalho humano necessário e/ou do custo de interromperos usuários da malha viária para entrevistas [2, 57].Abordagens visando a simplificação deste processo, baseadas em contagensvolumétricas de fluxos nas vias, vêm sendo desenvolvidas e testadas [43, 57, 23, 24,61, 51, 60, 50, 55, 59], já que a obtenção dessas contagens é mais barata e geralmenteencontra-se disponível na grande maioria das médias e grandes cidades. Esta formaalternativa de estimação de matrizes OD é chamada de estimação sintética.Diz-se que uma malha viária possui continuidade de fluxo caso todos osfluxos que entram em um determinado arco da malha também saiam do mesmo. Acontinuidade volumétrica pode não acontecer caso medições de fluxo sejam feitaspara períodos ou dias distintos. Nesse caso, é possível que dois arcos conectadosem sequência através de uma interseção possuam fluxos incompatíveis por conta demedições realizadas em intervalos distintos.Vários autores propõem soluções especificamente para a etapa de alocação


2.2 Estimação de matrizes OD 28ou para a etapa de estimação, dependendo do foco do trabalho em questão. Ambasas fases podem ser independentes ou não, de acordo com a estratégia adotada.Os métodos chamados de equilíbrio, discutidos mais à frente, são um exemplo deabordagem na qual as fases de estimação e alocação estão fortemente interligadas esão dependentes uma da outra.Nas subseções seguintes, iremos fornecer informações sobre os vários métodose abordagens existentes para a obtenção das matrizes OD que baseam-seem contagens volumétricas nos arcos da malha viária. Para tal, iremos discutir especificamentecritérios importantes adotados pelos métodos. Esses critérios são aabordagem do tempo adotada, o determinismo ou não do método, o tamanho damalha viária proposta e o tipo de técnica de modelagem utilizada.2.2.1 Abordagem do tempoEstimação estáticaUma característica importante na estimação da matriz OD diz respeitoao tratamento da dimensão temporal empregado na análise. Os métodos estáticosjá vêm sendo estudados há várias décadas e são conceitualmente mais simples,já que não levam em conta as possíveis influências da passagem do tempo nomodelo estudado. Estes métodos visam uma análise offline da rede viária, através doemprego de simulações sobre dados provenientes de um único período de observação.A estimação estática da matriz OD, quando faz uso de algum método dealocação em seus processos internos, geralmente emprega a alocação estática.Estimação dinâmicaOs métodos de estimação dinâmica são novos comparativamente aos métodosestáticos e objetivam o estudo do comportamento do tráfego em tempo real e, emseguida, a otimização deste tráfego segundo parâmetros definidos. Por isso, demandammaior poder computacional e devem fornecer análises rápidas, que permitam oajustamento de parâmetros da rede viária em tempo real.Segundo Peeta e Ziliaskopoulos [48], a estimação em tempo real de matrizesOD dinâmicas tem atraído bastante atenção dos pesquisadores, e podem ou nãoutilizar métodos de alocação dinâmica em seu processo de estimação.


2.2 Estimação de matrizes OD 292.2.2 Determinismo do métodoEstimação determinísticaUm processo de estimação determinístico é aquele cujo funcionamento nãoenvolve probabilidades na estimação da matriz OD a partir do fluxo de tráfego,ou seja, dada uma configuração de entrada específica – uma rede viária específica efluxos parciais ou completos em seus arcos –, o modelo de simulação sempre resultaráem uma mesma configuração de saída.Estimação estocásticaA estimação estocástica faz uso de variados graus de indeterminação noprocesso de obtenção de uma configuração de saída, ou seja, para uma configuraçãode entrada específica pode-se obter diferentes resultados.Como exemplo, Bertoncini e Kawamoto [9] propõem uma abordagem estocásticabaseada na teoria da utilidade para a estimação de matrizes OD. Supõe-seque o único custo que afeta a função utilidade do viajante é o tempo de viagem. Osautores trabalham com a hipótese de que usuários, ao escolherem seus caminhos,não avaliam a utilidade de cada arco isoladamente, mas sim a utilidade da rota comoum todo. As utilidades são traduzidas em termos da probabilidade de escolher cadauma das rotas alternativas para a realização das viagens entre uma origem e umdestino, e, portanto, conhece-se a probabilidade de escolher cada arco da rede paraessas viagens.A função utilidade utilizada pelos autores é composta por uma parceladeterminística e outra não-determinística (ou estocástica) associada à variabilidadeda percepção da utilidade. No caso, a probabilidade atribuída a cada rota serácalculada através de um modelo Logit de distribuição estatística.2.2.3 Tamanho da malha viáriaAs soluções propostas para o problema de estimação e alocação de tráfegomuitas vezes não limitam necessariamente o tamanho máximo da malha viária emconsideração. No entanto, determinadas soluções podem funcionar melhor para redesque possuam certas características, ou ainda foram testadas somente com malhasviáras segundo certas condições.As soluções analisadas dividem a malha viária em dois tipos possíveis emrelação ao seu tamanho:• interseções;• malhas maiores que uma interseção.


2.2 Estimação de matrizes OD 30Pelo fato da definição de uma malha como pequena ou grande ser arbitráriae depender do contexto de referência, decidiu-se, neste trabalho, não estabelecercategorias diferentes para uma malha pequena e outra grande. Ainda, pelo fato deexistir uma distinção bem definida entre uma interseção e uma malha viária (maiorque uma interseção), e também vários trabalhos [35, 17, 44] que propõem métodosespecificamente para malhas viárias complexas ou para interseções somente, decidiusedividir os métodos nestas duas categorias e discutir os casos específicos.Grande parte dos métodos de estimação estática propostos são pensadospara malhas viárias tanto pequenas como grandes. Mais adiante ilustraremos algunsdesses métodos. Ao contrário, grande parte dos métodos propostos para estimaçãodinâmica são pensados para uma interseção, e não uma malha viária complexa.InterseçõesAs malhas viárias do tipo interseção são, na verdade, modelagens que levamem conta uma interseção ou cruzamento somente, que normalmente é um cruzamentoentre duas vias. As interseções podem ser simples ou complexas, dependendo dascaracterísticas desejadas. Normalmente as estimações de fluxo para interseções sãoadotadas em métodos de estimação dinâmica que, por funcionarem em tempo real(ou próximo disso), precisam gerar estimações rapidamente com dados limitados.As soluções propostas para estes casos são, em geral, soluções para aestimação da matriz OD de uma interseção com n regiões de entrada e m regiões desaída. Cada uma destas regiões é vinculada a um dos arcos incidentes e dissidentesa essa interseção. Finalmente, existem demandas das regiões de entrada para asregiões de saída. Em geral, assume-se que se possui contagens de tráfego para umdeterminado período no tempo – o último tempo de semáforo, por exemplo –, edeseja-se estimar quais serão os fluxos para o período de tempo seguinte – o próximotempo do semáforo.Li e Moor [35] ressaltam que o problema da estimação de uma matrizOD para uma interseção é equivalente à resolução de um problema de otimizaçãocom restrições de igualdade e desigualdade. Cremer e Keller [17] propõem quatrométodos, todos dinâmicos, para estimação da matriz OD para uma interseçãocomplexa. Os métodos propostos realizam a estimação para um período T levandoem conta possíveis erros nas contagens volumétricas do tempo de semáforo T − 1anterior. Os métodos procuram, cada um à sua maneira, utilizar os resultados dofluxo conhecido e ao mesmo tempo reduzir o efeito do ruído aleatório (medidade erro) sobre a qualidade da estimação. Nihan e Davis [44] propõem tambémum método para estimação da matriz OD de interseções. Estes autores descrevemmétodos que visam a minimização dos erros nas estimações utilizando técnicas de


2.2 Estimação de matrizes OD 31maximização da vizinhança e maximização da expectativa (do inglês, expectationmaximization) [19].Um exemplo de interseção simples é o cruzamento entre duas vias de mãoúnica, nas quais os motoristas têm a opção de seguir em frente ou virar à direita.A Figura 2.1, usada por Nihan e Davis [45], ilustra um esquema de uma interseçãocomplexa, na qual duas vias de mão dupla se cruzam e conversões são permitidas àdireita e à esquerda.Figura 2.1: Um exemplo de interseção complexa [45]Normalmente, dois fatores restringem o tamanho máximo da malha viária:• por um lado, a falta de dados suficientes que permitam a modelagem de umarede mais complexa. Uma rede complexa, consequentemente, tenderá a possuirrelações não lineares de difícil modelagem, tornando necessárias informaçõesadicionais além dos fluxos demandados e originados para cada nó.• por outro lado, há necessidade de rapidez na estimação. Estimações de redesmaiores, com mais nós e mais arcos, podem tornar-se computacionalmentecustosas, principalmente se deseja-se modelar os efeitos de congestionamentona malha viária. Para métodos de estimação em tempo real, por exemplo, énecessário escolher uma rede viária limitada para que a estimação possa serrápida e ainda assim manter sua qualidade.


2.2 Estimação de matrizes OD 322.2.4 Tipo de técnica de modelagem utilizadaSegundo Abrahamsson [2], categoriza-se os métodos de estimação de matrizesOD em:• soluções baseadas em maximização da entropia ou minimização da informação;• soluções baseadas em inferência estatística;• soluções baseadas em gradiente.Segundo o mesmo autor, a sua proposta de categorização dos métodos existentes naliteratura não é a única relevante, havendo outras propostas feitas outros autores.De acordo com Willumsen [57] e Tamin e Willumsen [53], as soluções podem serdivididas em soluções:• baseadas em modelos gravitacionais;• baseadas em maximização da entropia ou minimização da informação;• baseadas em técnicas de equilíbrio do usuário; ou ainda• de inferência estatística.Já segundo O’Neill apud Sherali et al. [50], pode-se generalizar os métodospara estimação da matriz OD em dois grandes grupos:• técnicas de calibração de parâmetros e• métodos de estimação direta.As técnicas de calibração de parâmetros utilizam métodos de regressão linear ounão-linear para a construção de modelos de demanda e assumem uma distribuiçãode fluxos gravitacional para realizar a estimação da matriz OD. No entanto, há anecessidade de dados sobre as zonas para a calibração de parâmetros dos modelos dedemanda, o que torna estes métodos pouco apropriados para aplicação prática. Sobreos métodos de estimação direta da matriz, não há parâmetros a serem estimados.Estes métodos baseiam-se unicamente em contagens volumétricas de fluxo e/ouinformações anteriores, tais como uma matriz OD antiga desatualizada.Ainda, segundo Sherali et al. [50], há dois tipos de abordagem disponíveispara os métodos de estimação direta da matriz:• métodos de estimação estatística e métodos matemáticos de programaçãolinear (que podem basear-se em maximização da entropia, minimização dainformação); e• técnicas baseadas no equilíbrio da rede.Os métodos de estimação estatística realizam as previsões futuras baseandoseem dados OD históricos através de técnicas de inferência Bayesiana [39, 28, 26]


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 33ou minimização quadrática [15, 7, 20] (do inglês, least squares). Os métodos deprogramação matemática buscam estimar a matriz OD mais provável baseando-seem uma medida obtida através da maximização da entropia ou minimização dainformação [64, 57, 18, 59] da matriz OD estimada em relação à observada.Como já ressaltado, abordagens de equilíbrio visam realizar a alocação deuma matriz OD de forma a respeitar a primeira lei de Wardrop, i.e. levando emconta efeitos de congestionamentos na malha viária. A estimação de matrizes ODbaseada em técnicas de equilíbrio procura encontrar uma matriz OD que, uma vezalocada à rede viária, gere fluxos que respeitem à primeira lei de Wardrop (i.e. sejamfluxos compatíveis com o equilíbrio do usuário) e também as contagens de tráfegoobservadas nos arcos.Vários autores propuseram métodos para a solução de estimação de matrizesOD baseadas em equilíbrio, tais como Nguyen [43], Turnquist e Gur [54], Fisk [23,24], Yang [61, 60] e Sherali [51, 50]. Mais adiante discutiremos alguns desses métodos.2.3 Especificação do Problema de Estimação Estáticade Matrizes ODAbrahamsson [2] especifica o problema da estimação estática de tráfegosegundo algumas definições que serão utilizadas nesta seção. A malha viária representativada região estudada deve ser dividida em zonas, que podem ser maioresou menores de acordo com a granularidade desejada. A malha é modelada comoum grafo direcionado no qual cada nó representa cada uma das zonas nas quaisdemandas são produzidas e/ou atraídas, e cada arco é uma via conectando doisnós. Assume-se um subconjunto dos nós nos quais são produzidas demandas para arede viária (origens de viagens) e outro para os quais são atraídas demandas para arede viária (destinos de viagens). Um mesmo nó pode ser uma origem, um destino,ambos ou não gerar nem atrair viagens. Ainda, temos o conjunto de pares de nósorigem-destino que constituem as entradas da matriz OD que se deseja estimar.Para cada par de nós origem-destino há um conjunto de caminhos que osconectam. Estes caminhos possuem um custo de travessia que normalmente podeser assumido como o tempo gasto para percorrê-lo. Uma forma de sabermos o custode travessia de um caminho é através do custo de travessia de cada um dos arcosque o constitui. O custo do caminho pode ser obtido somando-se os custos de seusarcos constituintes.Há um conjunto de arcos na malha viária para os quais se possui contagensvolumétricas observadas. Normalmente esses arcos representam uma parte dos arcos


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 34da malha, sendo que há um conjunto de arcos para os quais não se possui essainformação.O problema de estimação estática pode ser então definido, genericamente,como o problema de se encontrar uma matriz OD que, uma vez alocada à rede viáriamodelada, reproduza os fluxos disponíveis naqueles arcos que possuam contagens detráfego observadas. Normalmente, este é um problema indeterminado, já que paraa grande maioria das redes viárias estudadas o número de arcos com contagensvolumétricas disponíveis será menor que o número de entradas na matriz que sedeseja estimar. Isto significa que pode haver mais de uma matriz OD que satisfaçaas restrições impostas pelas contagens volumétricas.Havendo, assim, mais de uma solução possível para o problema de estimação,deve-se adotar medidas para escolher uma solução dentre as várias possíveis. Emseguida, discutiremos algumas abordagens que visam guiar a escolha de uma soluçãona estimação estática de matrizes OD.2.3.1 Abordagens de maximização da entropia ou minimizaçãoda informaçãoAs abordagens de maximização da entropia ou minimização da informaçãosão similares e baseiam-se na comparação entre uma matriz OD estimada e umamatriz OD “alvo”, podendo ser esta última uma matriz OD obtida anteriormente. Aabordagem consiste em minimizar a diferença existente entre a matriz OD estimadae a matriz “alvo”, adicionando o mínimo de informação possível à matriz estimadano processo, de forma a atender às restrições relativas às contagens volumétricasexistentes para os arcos.O método proposto por Willumsen [57] considera as contagens volumétricasexistentes como livres de indeterminações e por isso restringe as possíveis soluçõesencontradas àquelas que reproduzam essas contagens exatamente.O problema é formulado para que (i) o conjunto de fluxos observados nosarcos e o conjunto de fluxos estimados sejam idênticos e que (ii) todas as demandasexistentes entre pares OD sejam não-negativas.Segundo os autores, pode-se utilizar métodos lagrangeanos para alcançaruma solução formal para este problema. O autor ressalta que este modelo é um casode problema multi-proporcional (do inglês, multi-proportional problem) que pode sersolucionado através de um algoritmo descrito por Van Zuylen e Willumsen [64].


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 35Abordagens baseadas em modelos gravitacionaisAs abordagens que utilizam modelos gravitacionais – um tipo de abordagemde maximização da entropia – assumem que o comportamento dos padrões de viagenspelos usuários pode ser corretamente modelado por três fatores distintos: geraçãode viagens, atração de viagens e custo ou impedância das viagens. Regiões da malhaviária – tipicamente seus nós – geram e atraem viagens, e o custo ou impedância deuma viagem é normalmente dado pela distância entre os dois nós, ou seja, quantomais distante umde origem é de umde destino, maior será o custo da viagementre eles.Nessa proposta, assume-se saber o poder de geração e atração de cada zona –por exemplo, através de inferência com uso de dados sobre sua população e emprego– e também o custo de viagem entre quaisquer dois nós – calculado através de umamedida de distância entre ambos.Dado que exista um conjunto de arcos para os quais tem-se medições defluxo, deve-se aplicar um método que permita minimizar uma medida de distânciaentre os fluxos estimados e os fluxos medidos nos arcos. Willumsen [57] ressalta quecaso a medida de distância adotada seja quadrática, pode-se utilizar algoritmos deregressão linear conhecidos para a resolução do problema.Xie et al. [59] ressaltam que o modelo proposto por Willumsen [57] não levaem consideração o efeito de congestionamentos na rede viária, já que assume umaproporção constante das viagens entre dois nós que utilizam um arco específico. Xieet al. [59] ainda apontam que outra limitação do modelo proposto por Willumsen [57]é o fato de não levar em consideração possíveis erros nas medições de tráfego nosarcos.Xie et al. [59] revisitam a abordagem de maximização da entropia e propõemum método para estimação de uma matriz OD para uma subrede viária – ou parte deuma rede viária. Os autores ressaltam que o principal objetivo de seu trabalho é queuma matriz OD obtida após eventuais alterações feitas na subrede seja consistentecom a matriz OD que seria gerada ao realizar-se uma estimação para a rede viáriacompleta. Desta forma, realizar a estimação somente na subrede viária permitiriaaos planejadores de tráfego obter respostas rápidas para perguntas relativamentecomplexas, em modelos computacionalmente viáveis para os casos de cidades reais.2.3.2 Estimação baseada em Imagens de Satélite e FotosAéreasUma das formas de se estimar a demanda por uma rede de transportes éatravés da análise de imagens de satélite e fotos aéreas disponíveis para a região


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 36estudada. A principal vantagem destes métodos em relação a técnicas comuns jáexistentes é a grande flexibilidade em relação ao nível de agregação das regiões,já que baseia-se no píxel como a menor forma disponível para representação dainformação.Bártoli et al. [14] propõem uma metodologia de modelagem espacial rasterpara distribuição de viagens urbanas. A questão da demanda por transportes e dosdeslocamentos da população possui variáveis que influem neste processo e, dentreas principais, destacam-se o tipo de uso do solo, as atividades socioeconômicas e osistema viário.A metodologia de Bártoli et al. [14] foi testada para a cidade de Sobradinho,no Distrito Federal, com auxílio do software SIG MGE - Modular GIS Environment.O banco de dados geográfico está representado por uma base de dados digitalizadacom as informações sobre o sistema viário, edificações, curvas de nível e coordenadasUTM em uma escala 1:10.000. Fotografias aéreas do ano de 1991 estão disponíveis naescala 1:2.000. Com estes dados pôde-se obter as feições geográficas das residências,estabelecimentos comerciais, indústrias, serviços, escolas, hospitais e malha viária.Através de uma estrutura hierárquica, a metodologia gera mapas de impedânciado deslocamento e superfícies de custo, a partir dos quais é obtida a matrizorigem-destino. Os autores ressaltam que a metodologia é interessante principalmentepara pequenas e médias cidades que não possuam as informações necessáriaspara estimação da matriz OD através de modelos matemáticos, tais como contagensvolumétricas de tráfego em quantidades suficientes.2.3.3 Abordagens de equilíbrioComo já ressaltado na Seção 2.1.4, métodos de alocação de equilíbrio visamrealizar a alocação de uma matriz OD de forma a respeitar a primeira lei de Wardrop.A estimação de matrizes OD baseada em abordagens de equilíbrio procura encontraruma matriz OD que, uma vez alocada à rede viária, gere fluxos que respeitem aprimeira lei de Wardrop e também as contagens de tráfego observadas nos arcos.Várias das soluções propostas são soluções de programação binível, nas quaisem um nível realiza-se a alocação do tráfego na rede viária usando uma matriz ODinicial e obtendo-se os fluxos de veículos nos arcos da malha; e, no outro nível,realiza-se a estimação da matriz OD, ou seja, procura-se encontrar a matriz ODmais adequada que reproduza os fluxos observados na rede viária [61, 60, 23, 50].Os dados de saída de um nível são utilizados como entrada para o nível seguinte,até que se atinja uma situação na qual uma medida de erro predeterminada tenhasido minimizada.


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 37Como propomos no presente trabalho um método de estimação de matrizesOD que baseia-se em uma abordagem de equilíbrio, vamos apresentar com maiorformalismo uma definição de sua modelagem.Seja G = (N, A) um grafo direcionado que representa uma malha viáriacom um conjunto de nós denotado por N e um conjunto de arcos A. Os nós Npodem representar tanto interseções entre ruas e avenidas na malha viária quantozonas mais ou menos agregadas de uma forma geral. O conjunto N define tambémo conjunto de origens e destinos de viagens possíveis para os usuários da rede viáriaG.Chamamos de O o conjunto dos nós de origem ou geradores de viagens emN e de D o conjunto dos nós de destino ou atratores de viagens em N. Os conjuntosO e D podem tanto possuir nós em comum (O ∩ D ≠ ∅), caso em que há umsubconjunto dos nós que tanto gera quanto atrai viagens, quanto possuir interseçãovazia (O ∩ D = ∅).Seja ainda OD ′ o conjunto de pares origem-destino possíveis, OD ′ ⊆ O ×D.Seja T ij a matriz OD que se deseja estimar, na qual uma entrada na posição i, jdenote a demanda de viagens entre umde origem i e umde destino j.Seja A V o conjunto de arcos para os quais se possui estimações de fluxo eA M o conjunto de arcos para os quais não se tenha estimações, com A = A V ∪ A M .Assume-se que se possui estimações de fluxo f α ′ (≥ 0) para os arcos damalha viária α ∈ A V .Agora, para cada par origem-destino i, j ∈ OD ′ , denotaremos por n ij onúmero total de caminhos possíveis entre i e j e por p k ij o k-ésimo caminho maiscurto entre esse mesmo par origem-destino. Ainda, seja⎧⎨1, se a rota k entre os nós i e j utiliza o arco α(p k ij) α =⎩0, em caso contrário.Seja x k ij a quantidade final de veículos que utiliza o k-ésimo caminho entreuma origem i e um destino j. A partir dos fluxos estimados nas rotas x k ij, podemoscalcular os fluxos f α estimados em todos os arcos α ∈ A, como ilustrado naequação 2-1.f α =∑ ∑(p k ij) α .(x k ij), α ∈ A. (2-1)(i,j)∈OD kPode-se dizer que o custo de um caminho é dado pela soma dos custos deseus arcos constituíntes. Ainda, assume-se que cada arco α ∈ A possua um custo


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 38de travessia individual dado por c α (f α ) que depende do fluxo f α pré-existente noarco. Uma função comumente utilizada para o mapeamento dos custos nos arcos é afunção BPR [12], proposta pelo Bureau of Public Roads (EUA), em 1964, descritana Equação 2-2.c α (f α ) = c F α[1 + µ 1(fαu α) µ2], (2-2)onde c F α é o custo de travessia de um arco α quando não existe nenhum fluxopréalocado no mesmo e u α é a capacidade máxima suportada pelo arco α. Ainda,µ 1 e µ 2 são constantes de calibração que devem ser fornecidas previamente.Seja, finalmente, C k ij o custo de um usuário realizar uma viagem entre umaorigem i e um destino j utilizando seu k-ésimo caminho, descrito na Equação 2-3abaixo.C k ij = ∑ α∈A(p k ij) α .c α (f α ), ∀ (i, j) ∈ OD ′ e k = 1, 2, . . . , n ij . (2-3)Abrahamsson [2] formaliza o problema da alocação de equilíbrio através deum modelo matemático geral, ilustrado na Equação 2-4. Neste modelo, tem-se umamatriz OD alvo T ′ij e também contagens de tráfego observadas f ′ α em parte dos arcosda rede viária (α ∈ A V ). O objetivo do modelo matemático é minimizar uma funçãoque é a soma de duas medidas de “erro” ou distância: a diferença entre a matrizOD alvo T ′ij e a matriz OD estimada T ij , dada pela função F 1 (T ′ij, T ij ); e a diferençaentre os fluxos observados f ′ α e os fluxos estimados f α , dada pela função F 2 (f ′ α, f α ).As constantes λ 1 e λ 2 devem ser escolhidas de acordo com a qualidade damatriz OD alvo e das contagens volumétricas observadas. Se a qualidade da matrizOD pré-existente for alta em comparação à qualidade das contagens de fluxos, λ 1deve ser tanto maior quanto mais próximo se deseja que T ij seja de T ′ij, sendo queo mesmo vale para f α e f ′ α. Além disso, a alocação da matriz T ij na rede viária édada pela função assign(T ij ), que retorna o conjunto de fluxos estimados na malhaviária f α , ∀a ∈ A.min F (T ′ij, f ′ α) =λ 1 F 1 (T ′ij, T ij ) + λ 2 F 2 (f ′ α, f α ) T ′ij, f ′ α ≥ 0 (2-4)sj.a f α =assign(T ij )Uma matriz OD alvo normalmente estará à disposição na forma de umamatriz OD antiga, ou pode-se ainda conhecer algumas demandas parciais entreorigens e destinos (algumas entradas da matriz T ij somente). Pode ser também


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 39que não exista nenhuma informação sobre uma matriz OD alvo, quando então oproblema reduz-se à minimização apenas da função F 2 .Por conta da estrutura iterativa dos métodos de equilíbrio, estas abordagensgeralmente requerem maior poder computacional e tempo de processamento. Aseguir, comentaremos alguns métodos de equilíbrio específicos para a estimação dematrizes OD.Nguyen, 1977 [43]Nguyen [43] traz uma das primeiras propostas de abordagem de equilíbriodescritas na literatura, sendo uma referência obrigatória para vários trabalhos naárea, inclusive para Willumsen [57]. Nessa abordagem, assume-se conhecimentoprévio dos custos de viagens c ij , ∀(i, j) ∈ OD ′ . O problema é expresso como:min F (f α, ′ T ij) ′= ∑ ∫ fαc α (x)dx − ∑α∈A0ijc ij T ij (2-5)sujeita aT ij − ∑ x k ij =k∈K0 ∀i, j (2-6a)x k ij ≥ 0 ∀i, j, k (2-6b)T ij ≥ 0 ∀i, j (2-6c)∑f α = x k ij(p k ij) α ∀α ∈ A V (2-6d)(ij)∈OD ′ondec α (x) é a função de custo para o arco αc ij é o custo da viagem entre i e jx k ij é o número de viagens realizadas entre i e j através da rota k⎧⎨1, se a rota k entre os nós i e j utiliza o arco α(p k ij) α =⎩0, em caso contrário.O método proposto necessita dos custos mínimos c ij entre cada par OD– lembrando que uma forma de obter-se esses custos é assumindo-se existiremcontagens volumétricas para todos os arcos da malha viária, já que através dafunção c α (x) os custos de viagem nos arcos, e consequentemente nas rotas, podemser computados. O algoritmo proposto por Nguyen para a minimização da funçãoF utiliza uma matriz OD inicial e iterativamente realiza correções nesta até que


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 40a solução obtida convirja para um resultado satisfatório. No entanto, ao fornecerdiferentes matrizes OD semente, o método poderá estimar diferentes matrizes OD aofinal das iterações. Turnquist e Gur [54] modificaram o método proposto por Nguyenpara que ele encontrasse soluções de equilíbrio consistentes, independentemente damatriz OD semente fornecida.Sherali, Narayanan e Sivanandan, 2003 [50]Sherali et al. [50] propõem um método iterativo para o problema daestimação da matriz OD. Esse método iterativo é descrito através do algoritmoaproximativo SA ′ (T T ), que por sua vez utiliza o método de programação lineardescrito em Sherali et al. [51] em seus processos internos. O algoritmo LP (T T ),descrito por Sherali et al. [51], necessita de contagens volumétricas em todos osarcos da rede viária. O método SA ′ (T T ) proposto por Sherali et al. [50] permite aestimação de matrizes OD para redes viárias para as quais possui-se contagens detráfego parciais, o que acontece com frequência na realidade. Para tal, o método éiterativo e pode ser dividido em dois laços, um externo e outro interno, como descritoa seguir.O laço externo é aquele no qual o algoritmo iterativo SA ′ (T T ) é executado.Esse algoritmo utiliza o LP (T T ) em seus processos internos. Como o SA ′ (T T ) visaencontrar uma solução para a estimação da matriz OD partindo do pressupostode que somente parte dos arcos da rede viária possuem contagens de tráfego, eleprimeiramente, de forma heurística, estima valores possíveis para os fluxos nos arcosnão-observados e fixa estes valores. Desta forma são calculados os valores f α ec α (f α ), ∀α ∈ A M . Em seguida, fornecendo o conjunto das contagens reais e seusrespectivos custos (∀α ∈ A V ) e as contagens por ele geradas também com seusrespectivos custos (∀α ∈ A M ) ao LP (T T ), estima-se uma matriz OD preliminarpara esses fluxos no laço interno.No laço interno executa-se o método de programação linear LP (T T ),proposto em [51], no qual estima-se uma matriz OD baseando-se em dados decontagem de tráfego para todos os arcos da rede viária. Caso exista uma solução deequilíbrio que reproduza os fluxos observados, esta será encontrada; caso contrário,será encontrada uma solução de compromisso entre uma solução de equilíbrio dousuário e uma solução que obedeça aos fluxos observados, dando preferência aosúltimos em detrimento do primeiro. Uma execução do LP (T T ) permite a estimaçãode matriz OD e dos fluxos correspondentes nos arcos, ∀α ∈ A.Após uma execução do LP (T T ), o SA ′ (T T ) modifica heuristicamente osfluxos (e consequentemente os custos) estimados para os arcos α ∈ A M , assim comorecomputa o conjunto de custos nas rotas (Cij). k Em seguida, executa-se novamente


2.3 Especificação do Problema de Estimação Estática de Matrizes OD 41o LP (T T ) para os novos fluxos e custos modificados para os arcos α ∈ A M , de formaa obter-se uma nova matriz OD e fluxos correspondentes nos arcos, ∀α ∈ A.O algoritmo será executado iterativamente até que um critério de paradado método seja atingido – tal como a convergência dos fluxos em uma situação deequilíbrio.O método, é importante ressaltar, não requer que se saiba de antemãoquais as possíveis rotas entre cada par OD, já que inclui uma forma de encontrá-lasdinamicamente através da técnica de column generation [47]. A solução obtida peloalgoritmo não assegura um ótimo global, mas sim ótimos locais. Ademais, testesrealizados mostram que normalmente as soluções encontradas são ótimos locais dequalidade.Van Aerde, Rakha, Paramahamsan, 2003 [55]Van Aerde et al. [55] propõem um método de maximização da vizinhançapara a estimação de matrizes OD a partir de contagens volumétricas. Os autoresdemonstram também que o modelo gravitacional de distribuição de viagens é parteda abordagem de maximização da vizinhança no problema da estimação da matrizOD sintética.O artigo foca nas situações nas quais as rotas são conhecidas a priori, masé perfeitamente possível aplicar o método apresentado quando as mesmas não sãoconhecidas de antemão. Ainda, visa-se abordar situações nas quais a continuidadevolumétrica nas medições do tráfego não existe, o que é comum na estimação estáticade matrizes OD. Nestes casos, primeiramente deve-se calcular um conjunto de fluxoscomplementares a serem adicionados aos fluxos para restaurar a continuidade damatriz OD, com o menor número de alterações possível. Então, com o fluxo contínuoassegurado, procede-se a estimação do problema de maximização da vizinhança. Ésabido que a ausência de uma matriz semente na estimação baseada em viagensincorre normalmente em um sistema de equações indeterminado.O método matemático utilizado pelos autores envolve a aplicação da aproximaçãode Stirling na função objetivo. Os resultados obtidos nesse caso são muitobons se comparados aqueles obtidos sem a aproximação. Nesse método, a quantidadede variáveis e de equações é da ordem de 2 vezes o quadrado da quantidadede zonas da região estimada. Para uma rede com 1000 zonas, isto significa 2.10 6 variáveise 2.10 6 equações. Outros métodos, como os de Willumsen [58] e Van Zuylene Willumsen [64], realizam uma redução do problema a um problema de regressãolinear. Mesmo que as reduções propostas por Willumsen e Van Zuylen e Willumsenforneçam soluções mais facilmente computáveis, mostra-se que as soluções obtidas


2.4 Comentários Gerais 42possuem baixa qualidade em comparação àquela obtida utilizando-se a aproximaçãode Stirling.A primeira aproximação normalmente aplicada após a aproximação de Stirlingé a consideração da quantidade total de viagens na rede viária como constante. Asegunda aproximação envolve a adição de uma constante à equação, que permite umasimplificação da mesma. Estas aproximações possuem duas falhas: primeiro, sua utilizaçãoproduz soluções com grandes diferenças daquelas encontradas utilizando-sea função objetivo original ou somente a aproximação de Stirling; segundo, a aproximaçãopode levar, em alguns casos, à obtenção de quantidades de viagens negativasentre pares OD.Já um modelo gravitacional assume que o número de viagens entre duaszonas é diretamente proporcional ao número de viagens atraídas a esta zona einversamente proporcional ao tempo de viagem entre as duas zonas. Este tempode viagem é chamado de impedância entre as zonas, e esta impedância é dadapelo quadrado da distância entre as zonas. Enquanto no modelo gravitacionalnão fazemos uso de uma matriz semente, no caso da estimação da matriz ODsintética deve-se definir uma medida de semelhança para a matriz, que por suavez é função da matriz semente fornecida. O conjunto de impedâncias entre aszonas, no modelo gravitacional, é equivalente ao uso da matriz semente na estimaçãosintética. Finalmente, segundo os autores, resolver o modelo gravitacional utilizandoa produção e atração de viagens como restrições, em conjunto a uma matriz deimpedâncias entre as zonas, é essencialmente o mesmo que resolver a estimação damatriz OD sintética utilizando os fluxos de entrada e saída nas zonas como restriçõesem conjunto com uma matriz semente [55].Mais uma vez, o método proposto não requer continuidade nas contagensde fluxos medidas. A restrição de que os fluxos estimados sejam iguais aos fluxosobservados é então reformulada de modo a estimar a matriz OD que mais seaproxime aos fluxos observados, dada pela minimização de uma função de erromin Z(T ij ) =α∈A(f ∑ α − f α) ′ 2 . Este erro é computado através do conjunto de fluxoscomplementares que, somados aos fluxos observados, tornam a contagem volumétricacontínua.2.4 Comentários GeraisHá varios autores ocupados em pesquisas sobre métodos de estimação dematrizes OD a partir de contagens volumétricas de tráfego. Este é um problemacomplexo, como pôde ser observado, e que possui consequências diretas para a


2.4 Comentários Gerais 43qualidade do tráfego nas cidades e para a qualidade de vida das pessoas que nelasvivem.Os dados necessários para a realização de estimações de matrizes OD, noentanto, raramente estão disponíveis em sua totalidade. É comum que existam dadosde contagens volumétricas para parte dos arcos da malha viária somente. Ainda,mesmo que parcialmente disponíveis, é difícil obter dados confiáveis, quer sejampara as contagens volumétricas quer sejam para demandas de viagem entre paresorigem-destino.Isso faz com que o problema da estimação de matrizes OD seja, na realidade,muito mais complexo por conta da dificuldade existente na obtenção e aplicação dosdados. Assim, a utilização de técnicas que ajudem no tratamento de informaçõesincompletas e/ou imprecisas parece ser adequada a este tipo de situação. Isso nosleva ao Capítulo 3 seguinte, no qual apresentamos uma formalização para o problemade estimação de matrizes OD nestas condições.


Estimação de Matrizes OD com DadosIncompletos e ImprecisosCAPÍTULO 3Os métodos de estimação de matrizes OD precisam, muitas vezes, permitira realização de estimações com dados incompletos e imprecisos.Dados são incompletos quando estão disponíveis parcialmente. Contagensvolumétricas incompletas estarão disponíveis para somente um subconjunto dos arcos,e assumimos um subconjunto não-vazio com arcos sem contagens volumétricas.As observações existentes para entradas da matriz OD alvo também podem ser incompletas.Nesse caso, haverão demandas observadas somente entre algumas origense destinos. Os dados de entrada, além de incompletos, podem também ser imprecisos.Dados imprecisos possuem um valor que acredita-se ser o mais provável, assumidocomo o centro da observação. Ainda, tolera-se que o valor final estimado varie deacordo com medidas de desvio predeterminadas, para cima e para baixo.Além das contagens volumétricas e das entradas da matriz OD final estimada,outros tipos de dados podem estar disponíveis. O método proposto permitea utilização dos seguintes dados de entrada, todos incompletos e imprecisos: observaçõesde fluxos nos arcos, de entradas da matriz OD final estimada, de viagensgeradas em nós de origem e de viagens atraídas a nós de destino.Neste Capítulo, primeiramente definimos a notação matemática adotadapara a descrição do método proposto na Seção 3.1. Em seguida, na Seção 3.2,descreveremos um modelo de programação linear clássica para a resolução doproblema proposto e discutiremos porque esse modelo é insuficiente.Para facilitar a compreensão do método e sua comparação com outrosmétodos propostos na literatura, decidimos adotar a notação introduzida por Sheraliet al. [50] e a terminologia de grafos adotada por Foulds [25]. Uma listagem completada terminologia utilizada está disponível no Apêndice B.Decidimos citar novamente notações já introduzidas no Capítulo 2 para quetoda a notação matemática necessária à compreensão do método proposto possa serencontrada em um só lugar.


3.1 Notação e conceitos importantes 453.1 Notação e conceitos importantesSeja G = (N, A) um grafo direcionado representando os elementos da malhaviária com um conjunto de nós N e um conjunto de arcos A, como descrito naSeção 2.3.3.Chamaremos de O o conjunto dos nós de origem ou geradores de viagensem G e de D o conjunto dos nós de destino ou atratores de viagens em G, O ⊆ Ne D ⊆ N. Os conjuntos O e D podem tanto possuir nós em comum (O ∩ D ≠ ∅),caso em que há um subconjunto dos nós que gera e atrai viagens, quanto possuirinterseção vazia (O ∩ D = ∅).Seja ainda OD ′ o conjunto de pares origem-destino possíveis, OD ′ ⊆ OxD.Seja T a matriz OD final que se deseja estimar, na qual uma entrada T ij , na linhai e coluna j, denota a demanda de viagens entre umde origem i e umdedestino j.Seja Q uma matriz contendo as estimações computadas em um dadomomento 1 existentes para T , com a entrada Q ij , na linha i e coluna j, denotandoa estimação de demanda de viagens existente entre umde origem i e umde destino j. Seja Q ′ ij a observação 2 para a entrada da matriz OD final T ij , comQ ′ ij ≥ 0. Já que os dados de entrada são incompletos, não é necessário saber Q ′ ijpara todo (i, j) ∈ OD ′ . Como assume-se que os dados de entrada são, além deincompletos, imprecisos, adota-se Q ′ ij como o valor da estimação mais provável.Para toda observação Q ′ ij existente, deve-se também haver os desvios possíveis desta,denotados por b L ij e b U ij, abaixo e acima do centro da observação, respectivamente.Seja Q V o conjunto de pares (i, j) ∈ OD ′ para os quais se possuem observações Q ′ ij.Temos a Equação 3-1.Q ′ ij − b L ij ≤ Q ij ≤ Q ′ ij + b U ij, ∀(i, j) ∈ Q V . (3-1)Definição 3.1 Q ′ ij − b L ij ≥ 0, ∀(i, j) ∈ Q V . Ainda, Q ′ ij será a média entre Q ′ ij − b L ije Q ′ ij + b U ij se e somente se b L ij = b U ij.Definição 3.2 Quando não houver uma entrada Q ′ ij para um determinado par(i, j) ∈ OD ′ , a entrada da matriz OD final T ij resultante não será restrita pelaEquação 3-1.1 O método FLIPSOD produz várias matrizes OD durante o processo de estimação, iterativamente.A matriz Q contém sempre a estimação mais atual disponível e a matriz T é a última matrizQ obtida.2 Consideramos como uma observação um valor medido para fluxos nos arcos, entradas da matrizOD final estimada, quantidades de viagens geradas em origens e quantidades de viagens atraídasa destinos.


3.1 Notação e conceitos importantes 46Sabe-se que as demandas origem-destino Q ′ ij são difíceis de se obter parauma quantidade significativa de pares OD. No entanto, existem outras informaçõesde mais simples obtenção que podem ser úteis no processo de estimação. Estasinformações são: as quantidades de viagens geradas em um determinado nó, semque se saiba os destinos dessas viagens; e as quantidades de viagens atraídas a umdeterminado nó, sem que se saiba as origens dessas viagens.Seja O i o total de viagens geradas no nó i, i ∈ O e D j o total de viagensatraídas ao nó j, j ∈ D. Define-se então, de forma similar, os conjuntos O V como oconjunto de nós de origem para os quais já se possui valores observados O i ′ (≥ 0) e, deforma similar, D V o conjunto de nós de destino para os quais já se possui observaçõesD j ′ (≥ 0). Assume-se que O ′ i e D ′ j também não são precisos, sendo ambos os valores“triangulados” através do “centro” e seus respectivos desvios. Assume-se que o desvioabaixo e acima das observações O ′ i será dado por d L i e d U i , respectivamente. De modoanálogo, o desvio abaixo e acima de D ′ j será dado por e L i e e U i , respectivamente.O i ′ − d L i ≤ O i ≤ O i ′ + d U i para i ∈ O V , (3-2)D j ′ − e L j ≤ D j ≤ D j ′ + e U j para j ∈ D V . (3-3)As mesmas ponderações feitas nas Definições 3.1 e 3.2 são aplicáveis àsEquações 3-2 e 3-3.Define-se f α como o conjunto de estimações de fluxo de tráfego disponíveisem um dado momento para um determinado arco α, ∀α ∈ A. Seja A V ⊆ A o conjuntode arcos para os quais se possui observações de fluxo f α, ′ e A M o conjunto de arcospara os quais não se possui as últimas.No processo de estimação da matriz OD T , os valores de f α variam enquantoo método progressivamente aloca veículos a pares OD, enquanto os valores de f ′ α sãoconstantes.De forma similar ao que ocorre com as observações Q ′ ij, O i ′ e D j′ acima,assume-se que o valor de f α ′ não seja sabido com certeza, e adota-se o mesmo comoo “centro” ou o valor mais provável. Para toda observação f α′ existente, deve-setambém haver os desvios possíveis desta, denotados por a L α e a U α , abaixo e acima docentro da observação, respectivamente, como ilustrado pela Equação 3-4.f α ′ − a L α ≤ f α ≤ f α ′ + a U α , ∀α ∈ A V . (3-4)A mesma ponderação da Definição 3.1 aplica-se também à Equação 3-4.Ainda, quando não houver uma entrada f α ′ para um determinado arco α (em outraspalavras, α ∈ A M ), o programa linear resultante não será restrito pela Equação 3-4.


3.1 Notação e conceitos importantes 47Agora, para cada par origem-destino (i, j) ∈ OD ′ , denotaremos por n ij onúmero total de caminhos possíveis entre i e j e por p k ij o k-ésimo caminho maiscurto entre esses nós. Seja também⎧⎨1, se a rota k entre os nós i e j utilizar o arco α(p k ij) α =⎩0, em caso contrário.Finalmente, seja x k ij a quantidade final de veículos que utiliza o k-ésimocaminho entre uma origem i e um destino j. O comportamento dos usuários pode serinferido através dos valores finais apresentados pelas variáveis de decisão x k ij. Essasvariáveis são restritas de acordo com as Equações 3-5– 3-13, descritas a seguir.∑(i,j)∈OD∑∑j∈D∑x k ij ≥ Q ′ ij − b L ij, ∀ (i, j) ∈ Q V , (3-5)k∑k∑kx k ij ≤ Q ′ ij + b U ij, ∀ (i, j) ∈ Q V , (3-6)x k ij ≥ O ′ i − d L i , ∀ i ∈ O V , (3-7)∑ ∑x k ij ≤ O i ′ + d U i , ∀ i ∈ O V , (3-8)j∈Dk∑ ∑x k ij ≥ D j ′ − e L j , ∀ j ∈ D V , (3-9)i∈Ok∑ ∑x k ij ≤ D j ′ + e U j , ∀ j ∈ D V , (3-10)i∈Ok∑(p k ij) α .x k ij ≥ f α ′ − a L α, ∀ α ∈ A V , (3-11)k(i,j)∈OD k∑(p k ij) α .x k ij ≤ f α ′ + a U α , ∀ α ∈ A V , e (3-12)x k ij ≥ 0, ∀(i, j) ∈ OD ′ e k = 1, 2, . . . , n ij . (3-13)Pode-se pensar o conjunto de restrições lineares 3-5 – 3-13 como equaçõesque permitem encontrar o conjunto X = {x k ij | (i, j) ∈ OD ′ e k = 1, 2, ..., n ij }. Oconjunto X contém as estimações de fluxos em cada uma das rotas disponíveis emG e pode ser chamado uma alocação de tráfego para G.Para a maioria das situações em redes de tráfego reais, normalmente precisasede informações adicionais para a estimação do conjunto X – informações acercade como os usuários escolhem seus caminhos individuais para realização de viagens.Uma vez que os fluxos x k ij tenham sido calculados, podemos, a partir deles,calcular os fluxos f α acumulados em todos os arcos α ∈ A, como ilustrado na


3.1 Notação e conceitos importantes 48equação 3-14.f α =∑(i,j)∈OD∑(p k ij) α .(x k ij), α ∈ A. (3-14)kNo entanto, sabemos que raramente os dados de fluxos nas rotas x k ij estarãodisponíveis para utilização na Equação 3-14.Tratamos agora a forma como os usuários escolhem determinados caminhosda rede viária em detrimento de outros. Aceita-se que os usuários escolhem ou nãoum caminho, dado um conjunto de caminhos possíveis para um determinado par OD,levando em consideração o seu custo. Como colocado por Wardrop [56], o usuáriotende a minimizar o seu tempo individual de viagem e portanto adotando o caminhode custo mínimo em comparação aos outros caminhos possíveis.Pode-se dizer que o custo de um caminho é dado pela soma dos custos deseus arcos constituíntes. Assim, como definido na Seção 2.3.3, assume-se que cadaarco α possui um custo de travessia individual dado por c α (f α ) que depende do fluxof α pré-existente no arco, e que pode ser definido por uma função como a BPR [12]descrita abaixo.c α (f α ) = c F α[1 + µ 1(fαu α) µ2], (3-15)tal que c F α é o custo de travessia de um arco α quando não existe nenhumfluxo pré-alocado no mesmo e u α é a capacidade máxima suportada pelo arco α.Ainda, µ 1 e µ 2 são constantes de calibração que devem ser fornecidas previamente. 3Uma outra forma de obter os custos nos arcos é através da utilização de ummétodo de alocação. Dada uma matriz OD, sua alocação permite obter os fluxos nosarcos e seus respectivos custos.O custo de um usuário realizar uma viagem entre uma origem i e um destinoj, utilizando o seu k-ésimo caminho, pode agora ser definido pela Equação 3-16descrita abaixo.C k ij = ∑ α∈A(p k ij) α .c α (f α ), ∀ (i, j) ∈ OD ′ e k = 1, 2, . . . , n ij . (3-16)Assumimos, a partir deste momento, que todos os caminhos P = {p k ij | k =3 Para estimação de custos nos arcos em redes congestionadas, os valores de µ 1 = 0.15 e µ 2 = 4.00têm sido usados nos EUA e µ 1 = 2.62 e µ 2 = 5.00 na Holanda e no Japão [1]. Para a modelagemde redes viárias de cidades de médio e grande porte brasileiras adotamos valores intermediáriosentre os padrões desses países, escolhendo µ 1 = 1.65 e µ 2 = 4.50.


3.1 Notação e conceitos importantes 491, 2, ..., n ij } são conhecidos e que seu custo Cij k é também conhecido e dado por umnúmero não-negativo 4 . Assumimos também que, para cada (i, j) ∈ OD ′ , seus custosCij k | k = 1, 2, ..., n ij estão ordenados de forma que Cij 1 ≤ Cij 2 ≤ ... ≤ Cij.nSejam aindaCij ∗ = min {Cij|k k = 1, 2, ..., n ij },K ij = {k | k = 1, 2, ..., n ij ; Cij ∗ = Cij} k eK ′ ij = {1, 2, ..., n ij } \ K ij .Consideremos o custo de travessia de caminhos em K ′ ij (não-mínimos) quepossam ser utilizados. O custo desses caminhos não precisa ser computado deantemão, mas é necessário que o custo desses caminhos seja maior que o custoCij ∗ correspondente para cada par (i, j) ∈ OD ′ .Modificamos, em seguida, o conjunto de custos C de forma a poder utilizálomais tarde para representar uma situação de tráfego de equilíbrio do usuário.Segue-se queCij k = Cij, ∗ ∀k ∈ K ij , (3-17)Cij k = (k − 1) × M × Cij, ∗ ∀k ∈ K ij, ′ (3-18)sendo M um número real suficientemente grande 5 . Dessa forma, todos os caminhosentre um determinado par OD não-mínimos (ou seja, k ∈ K ij) ′ têm seu custoaumentado, na ordem de M × (k − 1). Este custo “inflado” permite que eles sejamtornados menos atraentes para o método de estimação e, portanto, que se dêpreferência aos caminhos mínimos.Ainda, o método apresentado neste trabalho não necessita de quaisquerinformações sobre custos nos arcos, mas apenas de custos dos caminhos. No entanto,quando se possui somente os custos nos arcos para um dado problema, devemosprimeiramente gerar os caminhos possíveis entre cada par OD e em seguida obteros custos nesses caminhos através da soma dos custos de seus arcos constituíntes.O passo seguinte consiste em executar um método que permita estimarvalores para a variável x k ij, através dos quais é possível computar a matriz OD final4 Na prática, trabalhamos com uma quantidade máxima predefinida de caminhos possíveis paracada par (i, j) ∈ OD ′ .5 Uma técnica similar foi adotada por Sherali et al. [51, 50] e visa aproximar uma abordagem deequilíbrio do usuário utilizando programação linear. Equações para definição do valor de M forampropostas por Sherali et al. [50]. No presente trabalho, utilizou-se M = 10.


3.2 Um modelo de programação linear clássica 50estimada T como descrito na Equação 3-19.n ij∑T ij = x k ij, ∀(i, j) ∈ OD ′ . (3-19)k=1Propomos agora um modelo que visa identificar uma matriz OD que, umavez alocada de forma a obedecer ao equilíbrio do usuário, satisfaça às observaçõesde entrada Q ′ ij, f α, ′ O ′ i e D j. ′ Sabemos pelas Equações 3-5– 3-12 que as variáveis Q ij ,f α , O i e D j não são precisas, mas sim triangulações a partir de um centro (o valormais provável) e de medidas de desvio acima e abaixo desse centro.3.2 Um modelo de programação linear clássicaRememorando, segundo a definição de equilíbrio de Wardrop [56], umsistema viário está em equilíbrio quando nenhum usuário consegue diminuir seucusto individual de viagem mudando o seu caminho. Em outras palavras, quandotodos os usuários do sistema estão trafegando em caminhos k ∈ K ij de custo mínimoCij. ∗ Daqui em diante, assumiremos que o conjunto de fluxos C foi modificado deacordo com as Equações 3-17 e 3-18.Podemos construir um modelo baseado na programação linear clássica paraencontrar uma solução X para esse problema. O modelo M 0 é descrito na Equação 3-20.∑ ∑MinimizarCij.x k k ij(i,j)∈OD ′ k(= z(x))sujeito a: 3-5– 3-12.(3-20)Soluções como a descrita pelo modelo M 0 aceitam que a imprecisão dosdados é equivalente a aleatoriedade. Aqui, a aleatoriedade é relacionada à pertinênciaou não a um conjunto clássico 6 – ou seja, é igualmente aceitavel, ou igualmenteprovável, que uma dada variável assuma qualquer valor dentro do intervalo daspossibilidades.Lembremos que possuimos observações Q ′ ij, f α, ′ O i, ′ D ′ j e que esses valoressão aqueles mais desejáveis para uma dada estimação. Em outras palavras, deseja-seencontrar uma solução na qual os valores das variáveis Q ij , f α , O i e D j estejam o mais6 Usamos o termo clássico nos referindo a um conjunto que não é impreciso ou fuzzy.


3.2 Um modelo de programação linear clássica 51próximo possível de suas respectivas observações. Por isso, rejeitamos o modelo M 0pela sua abordagem uniforme dos desvios (aleatoriedade). Ao contrário, adotamosuma nova abordagem fuzzy para estimação de matrizes OD, que será discutida noCapítulo 4 seguinte.


FLIPSODCAPÍTULO 4Neste capítulo propomos o método de estimação estática de matrizes ODbaseado em programação linear fuzzy FLIPSOD (Fuzzy Linear Programming forStatic Origin-Destination Matrix Estimation), que visa possibilitar a estimação dematrizes para a realidade do tráfego congestionado das médias e grandes cidadesbrasileiras. O processo de estimação no método FLIPSOD é estático e determinístico,e utiliza uma abordagem de equilíbrio do usuário e programação linear mista.No Apêndice A.1 discutimos brevemente noções de lógica fuzzy, teoria dosconjuntos fuzzy e programação linear fuzzy para os menos familirizados com oassunto. Em seguida, aplicamos a teoria discutida acima na estimação de matrizesOD com dados de entrada fuzzy.Na Seção 4.1, descrevemos quais os modelos de programação linear utilizamosno processo de estimação de matrizes OD. Ao contrário do modelo exato (doinglês, crisp) 3-20 descrito no capítulo anterior, o FLIPSOD utiliza uma abordagembaseada em programação linear fuzzy. Na Seção 4.2, ilustramos o método deforma esquemática, dividindo-o em várias etapas, e explicamos o funcionamento domesmo em detalhes a partir da descrição de cada uma de suas etapas. Finalmente,na Seção 4.3, discutimos trabalhos que propõem abordagens fuzzy de alguma formarelacionados à estimação de matrizes OD e também quais as são as característicasinovadoras do método proposto FLIPSOD.4.1 Modelos de programação linear propostosNesta seção, descrevemos quais programas lineares são utilizados pelométodo FLIPSOD na estimação de matrizes OD. Detalhamos ainda os modelospropostos desde o início do desenvolvimento do método.O modelo fuzzy adotado na última versão do FLIPSOD 1 é o denominadoM F , e utiliza o resultado de um outro modelo chamado M U como dado de entrada.1 A última versão em questão é aquela implementada até a entrega do presente trabalho.


4.1 Modelos de programação linear propostos 53Foram propostos também outros três modelos, M L , M ′ U e M ′ F , os quais não são maisutilizados na versão atual do método. Entretanto, discutimos esses modelos porqueos mesmos foram essenciais no processo de amadurecimento do FLIPSOD até o seuestágio atual.Para modelar a imprecisão de Q ij , f α , O i e D j , inicialmente definimos asvariáveis fuzzy ˜Q ij , Õ i , ˜Dj e ˜f α correspondentes. Substituindo as variáveis exatasdefinidas no modelo M 0 pelas variáveis fuzzy recém-definidas, um novo modelo,chamado M 1 , pode ser definido como:Minimizarsujeito a:∑ ∑Cij.x k k ij (= z 1 ) (4-1)(i,j)∈OD k∑(i,j)∈OD k∑x k ij = ˜Q ij , ∀ (i, j) ∈ Q V , (4-2)k∑ ∑x k ij = Õi, ∀ i ∈ O V , (4-3)j∈Dk∑ ∑x k ij = ˜D j , ∀ j ∈ D V , (4-4)i∈Ok∑(p k ij) α .x k ij = ˜f α , ∀ α ∈ A V , (4-5)x k ij ≥ 0, ∀ (i, j) ∈ OD e k = 1, 2, . . . , n ij .Propomos resolver o modelo M 1 utilizando programação linear fuzzy, comodescrito anteriormente. Para transformar o modelo fuzzy M 1 em um modelo clássico(não-fuzzy) correspondente, devemos primeiramente tornar fuzzy sua função objetivo4-1. Para que possamos fazê-lo, devemos calcular limitantes superior e inferiorpara o conjunto das soluções z(x) possíveis, de forma que as variáveis ˜Q ij , Õi, ˜Dj e˜f α variem também dentro de seus limites inferior e superior.Utilizando os modelos A-19 e A-20, podemos calcular esses limitantesinferior e superior para o conjunto das soluções z(x). Iremos descrever a seguiro modelo M ′ U , adotado para o cálculo do limitante superior z′ U , e o modelo M L,utilizado para a computação do limitante inferior z L .4.1.1 Modelo M ′ U e limitante superior z′ USeja o modelo M ′ U descrito abaixo um programa linear construido a partirde A-19 e utilizado para a computação do limitante superior z ′ U .


4.1 Modelos de programação linear propostos 54Minimizarsujeito a:∑ ∑Cij.x k k ij (= z U)′(i,j)∈OD ′ k∑x k ij ≥ Q ′ ij, ∀ (i, j) ∈ Q V ,∑(i,j)∈OD kk∑ ∑x k ij ≥ O i, ′ ∀ i ∈ O V ,j∈Dk∑ ∑x k ij ≥ D j, ′ ∀ j ∈ D V ,i∈Ok∑(p k ij) α .x k ij ≥ f α, ′ ∀ α ∈ A V ,x k ij ≥ 0, ∀ (i, j) ∈ OD e k = 1, 2, . . . , n ij . (4-6)M ′ Ué um programa linear clássico (não-fuzzy) que calcula um limitantesuperior z ′ U para os valores de z(x) possíveis.A solução final encontrada por M ′ U terá valores para a matriz estimada T ij,para todos os pares (i, j) ∈ Q V , no mínimo iguais a Q ′ ij, ou seja, o valor “central”observado. O mesmo princípio é aplicado às estimações de O i , D j e f α , as quaisterão valores maiores ou iguais aos seus respectivos valores observados.O objetivo do cálculo deste limitante superior é encontrar um valor z ′ U talqual indicado por Zimmerman, como descrito no modelo A-19.4.1.2 Modelo M L e limitante inferior z LO limitante inferior z L é calculado através do modelo M L , que é por sua vezdescrito a partir de A-20 no programa linear a seguir.


4.1 Modelos de programação linear propostos 55Minimizarsujeito a:∑ ∑Cij.x k k ij (= z L )(i,j)∈OD k∑(i,j)∈OD∑∑x k ij ≥ Q ′ ij − b L ij, ∀ (i, j) ∈ Q V ,k∑x k ij ≤ Q ′ ij + b U ij, ∀ (i, j) ∈ Q V ,k∑ ∑x k ij ≥ O i ′ − d L i , ∀ i ∈ O V ,j∈Dk∑ ∑x k ij ≤ O i ′ + d U i , ∀ i ∈ O V ,j∈Dk∑ ∑x k ij ≥ D j ′ − e L j , ∀ j ∈ D V ,i∈Ok∑ ∑x k ij ≤ D j ′ + e U j , ∀ j ∈ D V ,i∈Ok∑(p k ij) α .x k ij ≥ f α ′ − a L α, ∀ α ∈ A V ,k(i,j)∈OD k∑(p k ij) α .x k ij ≤ f α ′ + a U α , ∀ α ∈ A V ,x k ij ≥ 0, ∀(i, j) ∈ OD e k = 1, 2, . . . , n ij . (4-7)M L é um programa linear clássico (não-fuzzy) utilizado para calcular umlimitante inferior para os valores de z(x) possíveis, situação na qual o valor da soluçãoz L corresponde a uma solução de custo mínimo. Isto ocorre porque a resolução doprograma linear irá encontrar uma solução que atenda às restrições – se ao menosuma solução existir – mas que seja ao mesmo tempo uma solução de custo mínimo– já que trata-se de um programa de minimização. É importante ressaltar que omodelo M L proposto é idêntico ao modelo M 0 descrito em 3-20.Caso o conjunto de custos C adotado na função objetivo de M L fosse aqueleconjunto anterior à modificação proposta nas equações 3-17 e 3-18, a solução parao problema M L seria uma alocação de equilíbrio do sistema, como mostrado porSherali et al. [51].A solução obtida com a utilização do conjunto de custos C modificado pelasEquações 3-17 e 3-18 é aquela de menor custo total possível. O objetivo do cálculodeste limitante inferior M L é assegurar que não haja outra solução viável para oproblema com valor z < z L .


4.1 Modelos de programação linear propostos 564.1.3 Funções de pertinênciaIremos agora definir as funções de pertinência para o conjunto de restriçõesdefinido nas Equações 4-1– 4-5. Assumimos que o valor da função objetivo z(x) sejamenor ou igual a um dado z L , um número real finito. Ainda, toleramos que este valorseja no máximo igual a z U , sendo z U também um número real finito. Definiremosassim as funções de pertinência para os conjuntos fuzzy de acordo com o propostopor [33]. Inicialmente, definimos a função de pertinência para o conjunto fuzzy quedenota a função objetivo como:⎧1, se z(x) < z ⎪⎨L ,µ z (x) = (z U − z(x))/(z U − z L ), se z L ≤ z(x) ≤ z U , (4-8)⎪⎩ 0, se z U < z(x);sendo que z U e z L são os valores máximo e mínimo possíveis para z(x), respectivamente.Agora, definimos as funções de pertinência para os conjuntos das restriçõesdescritas nas Equações 4-2– 4-5:∀ (i, j) ∈ OD ′ onde Q ′ ij > 0 e k = 1, 2, . . . , n ij , seja,⎧( ∑ x k ij − (Q ′ ij − b L ij))/b L ij, se Q ′ ij − b L ij ≤ ∑ x k ij ≤ Q ′ ij,⎪⎨ kkµ ij (x) = (Q ′ ij + b U ij − ∑ x k ij)/b U ij, se Q ′ ij ≤ ∑ x k ij ≤ Q ′ ij + b U ij, (4-9)kk⎪⎩0, caso contrário;∀ i ∈ O onde O i ′ > 0, seja,⎧( ∑ ∑x k ij − (O i ′ − d L i ))/d L i , se O i ′ − d L i ≤ ∑ ∑x k ij ≤ O i,′⎪⎨ j∈D kj∈D kµ O i (x) = (O i ′ + d U i − ∑ ∑x k ij)/d U i , se O i ′ ≤ ∑ ∑x k ij ≤ O i ′ + d U i ,j∈Dkj∈D⎪⎩ 0, caso contrário;∀ j ∈ D onde D j ′ > 0, seja,⎧( ∑ ∑x k ij − (D j ′ − e L j ))/e L j , se D j ′ − e L j ≤ ∑ ∑x k ij ≤ D j,′⎪⎨ i∈O ki∈O kµ D j (x) = (D i ′ + e U j − ∑ ∑x k ij)/e U j , se D j ′ ≤ ∑ ∑x k ij ≤ D j ′ + e U j ,i∈O ki∈O k⎪⎩0, caso contrário;k(4-10)(4-11)


4.1 Modelos de programação linear propostos 57∀ α ∈ A V onde f α ′ > 0, seja,⎧ ∑ ∑( ((p k ij⎪⎨) α.x k ij ) − (f α ′ − a L α))/a L α, se f α ′ − a L α ≤ ∑ ∑(p k ij ) α.x k ij ≤ f α,′(i,j)∈OD ′ k(i,j)∈OD ′ kµ α (x) = (f α ′ + a U α − ∑ (p k ij ) α.x k ij )/aU α , se f α ′ ≤ ∑ (p k ij ) α.x k ij ≤ f α ′ + a U α ,∑(i,j)∈OD ′ k∑(i,j)∈OD ′ k⎪⎩0, caso contrário.(4-12)Em seguida, de acordo com o processo descrito no Apêndice A.3, utilizaremosas funções de pertinência recém-definidas para criar um modelo de otimizaçãoclássico equivalente a M 1 .4.1.4 Modelo M ′ FO modelo M ′ F utiliza os valores z′ U e z L calculados pelos modelos M ′ U eM L , respectivamente. Seja S o conjunto de decisões que podem ser tomadas em umambiente fuzzy descrito por 4-8– 4-12. Utilizaremos a Equação A-15 e 4-8– 4-12 deforma a definir a função de pertinência µ S (x) para o conjunto S.µ S (x) = min{µ Z (x), µ ij (x), µ O i (x), µ D j (x), µ α (x) |(i, j) ∈ Q V , i ∈ O V , j ∈ D V , α ∈ A V }. (4-13)Iremos agora tornar o processo exato através da maximização da decisão.Para tal, utilizamos a Equação A-16.x ∗ = maxx∈X µ S(x) = maxx∈X [min{µ Z(x), µ ij (x), µ O i (x), µ D j (x), µ α (x) |(i, j) ∈ OD ′ , i ∈ O V , j ∈ D V , α ∈ A V , }], (4-14)sendo que x ∗ é uma solução ótima para o modelo original fuzzy M 1 .Para solucionarmos a Equação 4-14 introduziremos uma variável auxiliar λ,como discutido no desenvolvimento da Equação A-9. Assim, temos um programa


4.1 Modelos de programação linear propostos 58linear clássico equivalente, descrito porabaixo.Maximizar λsujeito a:λ ≤ µ z (x),λ ≤ µ ij (x), ∀ (i, j) ∈ Q V ,λ ≤ µ O i (x), ∀ i ∈ O V ,λ ≤ µ D j (x), ∀ j ∈ D V ,λ ≤ µ α (x), ∀ α ∈ A V ,x ≥ 0 e0 ≤ λ ≤ 1.Aplicando, enfim, as definições 4-8 até 4-12, temos o modelo M ′ F(4-15)descritoMaximizar λsujeito a:∑(i,j)∈OD∑Cijx k k ij − (z U − z L )λ ≥ z L ,k∑(i,j)∈OD∑(i,j)∈OD∑x k ij − b L ijλ ≥ Q ′ ij − b L ij, ∀ (i, j) ∈ Q V ,k∑x k ij + b U ijλ ≤ Q ′ ij + b U ij, ∀ (i, j) ∈ Q Vk∑ ∑x k ij − d L i λ ≥ O i ′ − d L i , ∀ i ∈ O V ,j∈D k∑ ∑x k ij + d U i λ ≤ O i ′ + d U i , ∀ i ∈ O Vj∈D k∑ ∑x k ij − e L j λ ≥ D j ′ − e L j , ∀ j ∈ D V ,i∈O k∑ ∑x k ij + e U j λ ≤ D j ′ + e U j , ∀ j ∈ D V ,i∈O k∑(p k ij) α .x k ij − a L αλ ≥ f α ′ − a L α, ∀ α ∈ A V ,k∑(p k ij) α .x k ij + a U α λ ≤ f α ′ + a U α , ∀ α ∈ A V ,kx k ij ≥ 0 ∀ (i, j) ∈ OD ′ , k = 1, 2, . . . , n ij e0 ≤ λ ≤ 1.(4-16)Uma solução para o problema M ′ F consistirá, então, de duas partes: (i) umconjunto X = {x k ij | (i, j) ∈ OD ′ , k = 1, 2, ..., n ij }, que representa uma alocação parao tráfego; e (ii) um valor para a variável λ, que indica o quão próxima a soluçãoobtida está do centro das observações.


4.1 Modelos de programação linear propostos 59Lembremos que, uma vez que o conjunto de fluxos nas rotas X tenha sidocomputado, podemos calcular as estimações para a matriz OD final T através daEquação 3-19.4.1.5 Uma análise crítica do Modelo M ′ FO modelo M ′ Frequer como entrada um limitante inferior e um limitantesuperior para os valores da função objetivo. Mesmo que possamos utilizar M L e M ′ Upara calcular esses valores (z L e z ′ U ), os resultados obtidos são pouco satisfatórios.Isso ocorre porque o mesmo λ que restringe as estimações Q ij , O i , D j e f α restringetambém o objetivo z(x), que guardará o valor total da função objetivo. O grau deatendimento às observações (dado pelo λ), no entanto, não possui vínculo diretoproporcionalmente ao valor final da função objetivo. Nesse sentido, restringir nomesmo grau as estimações e a função objetivo não é uma solução interessante.Ainda, como ressaltado no Apêndice A.3, os valores fornecidos como partedo método proposto por Zimmerman são apropriados para problemas de programaçãolinear clássica em casos em que o usuário final não possui formas mais intuitivasde prover os limitantes para o problema.O modelo M ′ U permite encontrar um limitante superior para o problemaquando existe uma solução de λ = 1, caso em que todas os valores estimados paraas variáveis Q ij , f α , O i e D j serão iguais aos respectivos centros de suas observaçõesQ ′ ij, f ′ α, O ′ i e D ′ j. No entanto, caso não haja uma solução com λ = 1 para o problema,podem existir soluções nas quais algumas variáveis Q ij , f α , O i e D j assumem valoresacima de seus centros, de acordo com o limite descrito por seus desvios superiores.Decidimos então propor um novo modelo M F e M U que permitem a obtençãode resultados mais satisfatórios, no qual a função objetivo não mais é representadapor uma variável fuzzy.4.1.6 Um novo modeloAssumimos, para a construção de M F , que o valor de sua função objetivo znão é mais descrito como uma variável fuzzy, mas sim uma variável exata (não-fuzzy)sujeita somente a um limitante superior z U , como descrito adiante na Equação 4-19. O modelo M F , ao contrário de M ′ F , não precisa de um limitante inferior z L –calculado previamente pela resolução do modelo M L –, mas somente de um limitantesuperior z U , tal que nenhuma solução possível para M F possua valor maior que z U .Para calcular um limitante superior com essa características, propomos o programalinear clássico M U , descrito a seguir.


4.1 Modelos de programação linear propostos 60Modelo M U e limitante superior z USeja o modelo M U descrito abaixo, um programa linear utilizado para acomputação do limitante superior z U para todos os valores de z(x).Minimizarsujeito a:∑ ∑Cij.x k k ij (= z U )(i,j)∈OD k∑(i,j)∈OD k∑x k ij ≥ Q ′ ij + b U ij,∀ (i, j) ∈ Q V ,k∑ ∑x k ij ≥ O i ′ + d U i , ∀ i ∈ O V ,j∈Dk∑ ∑x k ij ≥ D j ′ + e U j , ∀ j ∈ D V ,i∈Ok∑(p k ij) α .x k ij ≥ f α ′ + a U α , ∀ α ∈ A V ,x k ij ≥ 0, ∀ (i, j) ∈ OD e k = 1, 2, . . . , n ij . (4-17)O valor da solução z U corresponde a uma solução para o caso de todas asestimações estarem situadas no mínimo nos seu limites superiores. A solução finalencontrada terá valores para a matriz estimada T ij , para todos os pares (i, j) ∈ Q V ,no mínimo iguais a Q ′ ij + b ij , ou seja, o valor máximo possível para a estimação. Omesmo princípio é aplicado às estimações de O i , D j e f α . As estimações de valorespara O i , para todas as origens i ∈ O V , possuirão valores no mínimo O ′ i + d i ; asestimações de valores para D j , para todos os destinos j ∈ D V , possuirão valores nomínimo D ′ j + e j ; e as estimações de valores para f α , para todos os arcos α ∈ A Vexistentes na malha viária, possuirão valores no mínimo f ′ α + a α , ou seja, o valormáximo possível para a estimação.Vale lembrar que nem sempre a solução z U encontrada corresponderá a umaalocação válida na malha viária, já que algumas estimações poderão necessitar devalores abaixo do máximo permitido para que uma solução viável seja obtida.Modelo M FUtilizamos novamente as Equações 4-8– 4-12 e a Equação 4-17 para definira função de pertinência µ S do conjunto S que contém as soluções possíveis para M Fcomo


4.1 Modelos de programação linear propostos 61µ S (x) = min{µ ij (x), µ O i (x), µ D j (x), µ α (x) |(i, j) ∈ OD ′ , i ∈ O V , j ∈ D V , α ∈ A V ,∑sujeito aCijx k k ij ≤ z U }. (4-18)∑(i,j)∈Q V kNa Equação 4-18, notemos que µ Z (x) foi substituido pela restrição exata(não-fuzzy) descrita na Equação 4-19 abaixo. É comum em ambientes de otimizaçãofuzzy que restrições exatas sejam adicionadas a µ S (x), quando necessário.∑ ∑Cijx k k ij ≤ z U . (4-19)(i,j)∈OD ′ kAgora devemos tornar o processo exato (“defuzzyficar” o processo) atravésda maximização da decisão descrita na Equação 4-20.x ∗ = max [min{µ ij(x), µ O i (x), µ D j (x), µ α (x) |x∈X(i, j) ∈ OD ′ , i ∈ O V , j ∈ D V , α ∈ A V ,∑sujeito aCijx k k ij ≤ z U }], (4-20)∑(i,j)∈OD ′ konde x ∗ é a solução ótima para o problema fuzzy original.Novamente, introduzimos uma variavel auxiliar λ, transformando o modeloem um programa linear clássico, equivalente da mesma forma foi que feito para omodelo 4-15, como se segue.Maximizar λsujeito a:∑(i,j)∈OD∑Cijx k k ij ≤ z Ukλ ≤ µ ij (x), ∀ (i, j) ∈ Q V ,λ ≤ µ O i (x), ∀ i ∈ O V ,λ ≤ µ D j (x), ∀ j ∈ D V ,λ ≤ µ α (x), ∀ α ∈ A V ,x ≥ 0 e0 ≤ λ ≤ 1.(4-21)Finalmente, substituindo os relacionamentos 4-9 até 4-12 no modelo 4-21,


4.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 62temos o modelo M F final, descrito abaixo.Maximizar λsujeito a:∑ ∑Cijx k k ij ≤ z U(i,j)∈OD k∑x k ij − b L ijλ ≥ Q ′ ij − b L ij, ∀ (i, j) ∈ Q V ,k∑x k ij + b U ijλ ≤ Q ′ ij + b U ij, ∀ (i, j) ∈ Q Vk∑ ∑x k ij − d L i λ ≥ O i ′ − d L i , ∀ i ∈ O V ,j∈D k∑ ∑x k ij + d U i λ ≤ O i ′ + d U i , ∀ i ∈ O Vj∈D k∑ ∑x k ij − e L j λ ≥ D j ′ − e L j , ∀ j ∈ D V ,i∈O k∑ ∑x k ij + e U j λ ≤ D j ′ + e U j , ∀ j ∈ D V ,i∈O k∑ ∑(p k ij) α .x k ij − a L αλ ≥ f α ′ − a L α, ∀ α ∈ A V ,(i,j)∈OD∑k(i,j)∈OD k∑(p k ij) α .x k ij + a U α λ ≤ f α ′ + a U α , ∀ α ∈ A V ,x k ij ≥ 0 ∀ (i, j) ∈ OD ′ , k = 1, 2, . . . , n ij e0 ≤ λ ≤ 1.(4-22)Uma solução para o problema M F consistirá, também, de duas partes: (i)um conjunto X = {x k ij | (i, j) ∈ OD ′ e k = 1, 2, ..., n ij }, que representa uma alocaçãopara o tráfego; e (ii) um valor para a variável λ, que indica o quão próxima a soluçãoobtida está do centro das observações Q ′ ij, f α, ′ O ′ i e D ′ j iniciais.Mais uma vez, podemos calcular estimações para a matriz OD final T apartir dos fluxos nas rotas X aplicando a Equação 3-19.Escolhemos também realizar a minimização de z(x), progressivamente reduzindoo valor de z U e resolvendo M F repetidas vezes com o limitante superioratualizado. Isso nos permite gerar um espectro de soluções que vai da solução maispróxima dos valores observados à solução viável de custo mínimo mais próxima doslimitantes inferiores das observações iniciais.4.2 Um esquema estrutural do FLIPSODNessa seção apresentamos a estrutura interna do FLIPSOD em etapas,subetapas e atividades e mostramos em que partes do método são utilizados osprogramas lineares propostos na Seção 4.1. Para que possamos gerar o espectro de


4.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 63soluções através da minimização de z(x), proposta na Subseção 4.1.6, é importanteque saibamos os custos ótimos de travessia dos arcos da rede viária.Tendo em vista essa necessidade, o método proposto pode então ser divididoem duas grandes etapas cuja macro-estrutura pode ser vista na Figura 4.1.Figura 4.1: As duas etapas do método de estimação FLIP-SOD(i) Etapa de estimação de custos nos arcos – Nessa etapa deve-se computarcustos nos arcos que sejam os mais realistas quanto possível. Como não sesabe de antemão quais são os custos nos arcos, uma vez que não podemosassegurar fluxos observados para o conjunto dos arcos A, mas somente paraum subconjunto A V ⊆ A, precisamos estimá-los.(ii) Etapa de geração de soluções – Nessa etapa, gera-se uma ou mais soluções parao problema, cada uma representando uma matriz OD distinta. Os custos nosarcos já possuem valores ótimos previamente computados na etapa anterior,que são representativos de uma situação de fluxo em equilíbrio do usuário.O método FLIPSOD, caso o problema sob análise possua uma matriz ODque corresponda, ao mesmo tempo, a uma alocação de equilíbrio do usuário e atendaintegralmente às estimações de entrada, gera somente esta solução. Isso ocorreporque a solução obtida é a melhor que se pode estimar, sob todos os parâmetros –atendimento às estimações de entrada e equilíbrio do usuário com custo mínimo.Nas próximas seções descrevemos em detalhes cada uma das duas etapas doFLIPSOD, primeiramente a etapa de estimação de custos nos arcos e em seguida aetapa de geração de soluções.4.2.1 A - Etapa de Estimação de Custos nos ArcosDesejamos, ao estimar os custos nos arcos, encontrar valores para os mesmosque representem uma situação de equilíbrio. Para tanto, realizamos estimações


4.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 64iterativamente até que o fluxo nos arcos convirja para um determinado valor –e, consequentemente, os custos c α nos mesmos também convirjam, dado que oscustos são função dos fluxos c α (f α ). Através desse processo, estamos assegurandoque os usuários “acomodaram-se” em suas rotas e que, caso fossem realizadas outrasiterações de estimação, o fluxo viário permaneceria acomodado nas mesmas rotase, consequentemente, arcos da rede viária. O processo de estimação dos custos nosarcos é detalhado na Figura 4.2.Figura 4.2: A etapa de estimação dos custos nos arcosPrimeiramente, ocorre uma subetapa de inicialização, na qual gera-se valorespreliminares para os custos nos arcos. Esta etapa é executada somente na primeiraiteração do processo de estimação de custos.Em seguida, há quatro subetapas nas quais estruturam-se as iterações doprocesso de estimação dos custos nos arcos: (i) subetapa de preprocessamento, naqual geramos as rotas entre todos os pares OD dinamicamente e calculamos seuscustos a partir dos custos nos arcos da malha viária; (ii) subetapa de estimação, na


4.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 65qual obtemos um conjunto X de alocação para G, que possui o fluxo final alocadopara rotas na malha viária; (iii) subetapa de atualização, na qual transformamoso fluxo nas rotas descrito em X em fluxo nos arcos e atualizamos os valores dosúltimos segundo um processo para evitar oscilações, computando em seguida oscustos correspondentes nos arcos; (iv) subetapa de teste da condição de parada,durante a qual verificamos se houve convergência dos custos nos arcos e decidimos sevamos à próxima etapa ou se executaremos mais uma iteração das quatro subetapas.As subetapas nas quais a etapa de estimação de custos nos arcos se dividesão descritas a seguir.1 - Subetapa de inicializaçãoComo descrito anteriormente, esta etapa visa produzir a entrada necessáriaà etapa de preprocessamento, que necessita de custos nos arcos para gerar as rotase seus respectivos fluxos.Inicializa-se, primeiramente, os fluxos nos arcos a partir dos fluxos observadosf α ′ para os arcos α ∈ A V da rede viária. No entanto, para todos os outros arcosα ∈ A M não há fluxos disponíveis, já que não possuimos observações de tráfego paraos mesmos. Segue-se que, para todos os arcos α ∈ A M , devemos inicializar seu valorcomo zero. 2Aplica-se então uma função, como, por exemplo, aquela descrita na Equação3-15, e computa-se os custos nos arcos a partir dos fluxos nos mesmos. Umaoutra alternativa para esta subetapa é utilizar um método de alocação que, dadauma matriz OD inicial, previamente conhecida, permite a obtenção dos fluxos nosarcos e seus respectivos custos.2 - Subetapa de preprocessamentoNesta subetapa faz-se a geração dos possíveis caminhos entre todos os paresOD descritos no problema sob análise a partir do grafo G(N, A) que representa amalha viária. Além da geração dinâmica dos caminhos, também computamos os seuscustos Cij.kO processo é feito como se segue. Para cada um dos pares (i, j) ∈ OD ′ , casoo caminho k gerado seja um caminho de custo mínimo, seu custo Cij k será calculado2 Fazemos isto com os arcos α ∈ A M de forma que, a partir da segunda iteração em diante,bastante fluxo seja alocado para estes arcos – o fluxo correspondente à situação de fluxo livrenestas vias, dado pelo custo calculado inicialmente para o fluxo igual a zero. No entanto, com opassar das iterações, o fluxo alocado vai diminuindo, uma vez que o fluxo pré-alocado nestes arcos,nas iterações anteriores, fará com que estes mesmos arcos tornem-se menos atrativos por conta dosefeitos de congestionamento.


4.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 66através da soma dos custos c α de seus arcos constituíntes, como ilustrado na Equação3-16. É importante ressaltar que, para o início da subetapa de preprocessamento,os custos dos arcos c α , ∀α ∈ A já foram computados e são conhecidos. Caso o caminhok gerado não seja um caminho de custo mínimo C ∗ ij – ou seja, caso k ∈ K ′ ij–, seu custo deverá ser calculado a partir da Equação 3-18, tendo seu valor final“inflado” e desta forma tornando-se menos atrativo para o método de estimação.O problema de gerar os caminhos possíveis entre os pares OD de uma malhaviária – mapeado para o problema de gerar os caminhos possíveis entre todos os paresde nós de um digrafo – é um problema que possui complexidade alta na quantidadede nós |N| e arestas |A|. No Capítulo 5 descreveremos em maiores detalhes quais astécnicas aplicadas para a solução deste problema.3 - Subetapa de estimaçãoNesta subetapa estimamos um conjunto X de fluxos nas rotas a partir dasrotas geradas no subetapa anterior. Aqui temos a opção de utilizar o modelo M Ldescrito na Seção 4.1.2 ou o modelo M F descrito na Seção 4.1.6 para estimar oconjunto X de fluxos nas rotas.Aconselha-se a utilização do modelo M L em casos onde os dados deentrada sejam mais precisos – em outras palavras, quando a magnitude dos desviosa α , b ij , d i e e j das obsevações for pequena comparativamente à magnitude dos valorescorrespondentes ao centro das mesmas. Isto ocorre porque o modelo M L encontraa solução de menor custo possível dentro do universo das soluções possíveis, o quepode implicar em uma solução com baixo fluxo total na rede viária, caso os valorespara os desvios sejam muito altos.O modelo M F , por sua vez, deve ser usado quando as observações de entradasão pouco confiáveis ou possuem um grau de imprecisão considerável. Como o modeloM F permite encontrar uma solução que seja a mais próxima possível das observaçõesf α, ′ Q ′ ij, O ′ i e D j, ′ ele será mais o adequado na maioria dos casos.4 - Subetapa de atualizaçãoO objetivo desta subetapa é atualizar os fluxos e custos nos arcos a partirdos novos fluxos nas rotas X estimados na subetapa anterior. Para tanto, ela estádividida em três atividades, que serão descritas a seguir.Na primeira atividade obtemos um conjunto F de fluxos nos arcos, após aestimação do conjunto X utilizando M L ou M F . Aplica-se a Função 3-14 sobre Xde forma a obtermos o conjunto de fluxos F N = {fαN | ∀α ∈ A}.


4.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 67Em seguida, atualizamos os fluxos nos arcos a partir dos fluxos recémestimadosF N e dos fluxos correntemente nos arcos f α , através da aplicação de umafunção de atenuação a α (f α , fα N ) descrita em 4-23.É importante ressaltar que, caso atualizemos os custos nos arcos a partirdo valor dos novos fluxos F N calculados diretamente (sem usarmos a função deatenuação a α (f α , fα N )), pode haver oscilação no processo de convergência dos fluxosnos arcos. 3⎧( )fα N , se f α + β × fαN > fα N e fα N ≥ f α ,( )⎪⎨ fa α (f α , fα N α N ,se f α − β × fαN < fα N e fα N < f α ,) = ( ) ( )f α + β × fαN , se f α + β × fαN < fα N e fα N ≥ f α ,( ) ( )⎪⎩ f α − β × fαN , se f α − β × fαN > fα N e fα N < f α ,(4-23)sendo β uma constante de calibração da atenuação, 0 ≤ β ≤ 1, e f α a estimaçãoatual de fluxo disponível no arco α ∈ A.Com o uso da função a α (f α , fα N ), evitamos oscilações grandes nos fluxos nosarcos entre uma estimação e a próxima, tendendo à convergência dos mesmos. Ovalor para β adotado deve permitir que o total de iterações necessárias nesta etapade estimação dos custos nos arcos seja o mínimo necessário. Um valor de β muitobaixo irá convergir os fluxos nos arcos lentamente, o que pode ocasionar um grandenúmero de iterações. Em contrapartida, um valor de β muito alto pode fazer comque hajam oscilações muito grandes nos fluxos e, consequentemente, que não sejapossível a convergência dos mesmos. 4Logo após, a partir dos novos fluxos f α computados, atualizamos os custosnos arcos por meio de uma função de mapeamento, como por exemplo a funçãodescrita em 3-15. 53 Por exemplo, dadas duas rotas r 1 e r 2 entre um determinado par OD, tem-se r 1 utilizada emuma dada iteração i, recebendo todo o fluxo existente para o par OD, e a outra rota r 2 não utilizada(sem nenhum fluxo). Em uma iteração i + 1, a rota r 1 terá se tornado mais “custosa” que r 2 , porconta do fluxo que recebeu na iteração i anterior. A rota r 2 poderá receber, consequentemente,todo o fluxo existente para o par OD, invertendo a situação existente na iteração i. Na iteraçãoseguinte i + 2, o ocorrido na iteração i + 1 novamente se inverte e a situação da iteração i se repete.Isso pode acontecer indefinidamente, sem que seja possível haver a convergência dos fluxos nasrotas.4 Os valores adotados para β foram definidos heuristicamente, de acordo com a instância doproblema sob análise.5 Novamente, outra forma de obtermos os novos custos nos arcos seria através de um métodode alocação que, dada uma matriz OD, permite a obtenção dos fluxos nos arcos e seus respectivoscustos.


4.2 Um esquema estrutural do FLIPSOD 685 - Teste de condição de paradaQuando a diferença entre os novos fluxos estimados (chamaremos estesfluxos de f i α para distingui-los dos fluxos da iteração anterior) e os fluxos estimadosna iteração anterior (chamaremos estes fluxos de fαi−1 ) for menor ou igual aum determinado valor ɛ, assume-se que os fluxos nos arcos estabilizaram-se e,consequentemente, também os seus custos. Esta relação se dá por |f i α − f i−1α | ≤ ɛ. 6A diferença entre os dois conjuntos de fluxos nos arcos é computada atravésde uma medida de erro médio quadrático (do inglês, percentage root mean squareerror, ou RMSE). A fórmula utilizada para a computação desta diferença é dadapela equação abaixo.%RMSE =√ ∑(fα i − fα i−1 ) 2α∈A V|A V |×∑100α∈A V(f i−1α )/|A V | , (4-24)Caso esta diferença seja maior que a medida de desvio ɛ, deve-se retornarà subetapa de preprocessamento e novamente executar o processo descrito acima atéque a convergência tenha sido atingida.4.2.2 B - Etapa de Geração de SoluçõesEsta etapa é executada após obtermos os custos finais nos arcos e gera umaou mais soluções para a instância do problema sob análise.Primeiramente, calculamos um limitante superior (upper bound) z U , a partirde M U , para a instância do problema sob análise. Em seguida, após sabermos o valormáximo z U que qualquer solução para M F poderá assumir, solucionamos o modeloM F para cada limitante superior zU s de interesse, tal que 0 ≤ zs U ≤ z U.Uma forma de obtermos todas as soluções desejadas dentro do espectro dassoluções possíveis é solucionar M F com o limitante superior zU s = z U e, enquantozU s > 0 e M F possuir ao menos uma solução viável, decrementar zU s em 1 unidadee solucionar M F passando ao modelo o novo valor de zU s como limitante superior.Infelizmente, mesmo que provavelmente M F torne-se inviável antes do valor de zUsaproximar-se de 0, há casos em que a quantidade de execuções de M F necessárias émuito grande, tornando esta proposta computacionalmente inviável para instânciasde problemas maiores. Assim, para que seja possível gerar o espectro de soluçõesde forma mais eficiente, propõe-se utilizar um método de busca binária para varrer6 Os valores adotados para ɛ foram definidos também heuristicamente, de acordo com a instânciado problema sob análise.


4.3 Comparação com outros trabalhos usando abordagem fuzzy 69os valores de z entre z U e z L . Em particular, utilizamos a busca binária de modo aobter a solução (matriz OD T estimada) com menor valor de z para toda possívelvariação de λ viável, 0 ≤ λ ≤ 1. O algoritmo que implementa o método de pesquisabinária é descrito na Seção 5.3.4.3 Comparação com outros trabalhos usando abordagemfuzzyAté a redação do presente trabalho, o autor possui conhecimento de somentetrês artigos relevantes que aplicam a teoria de conjuntos fuzzy ao problema daestimação de matrizes OD em algum momento do processo de estimação. Essaspesquisas são descritas a seguir.4.3.1 Liao e Wang e Sushama e RevatiLiao e Wang [36] utilizaram lógica fuzzy para relaxar problemas de estimaçãode matrizes OD insolúveis com alocação de equilíbrio do usuário e restrições decontagens volumétricas nos arcos.Os autores desenvolveram um método matemático que, dado um problemainviável, permite descobrir o grau de relaxamento mínimo para as contagens volumétricasnos arcos, no caso da estrutura da rede viária não permitir soluções deequilíbrio de usuário que atendam a estas restrições.Um método de alocação de equilíbrio, segundo os autores, pode ser representadocomo um problema de inequações variacionais. Seja uma função que descreveuma alocação de equilíbrio exato UE(c, T ), sendo c o conjunto de custos para todosos arcos da rede viária e T o conjunto de demandas OD existentes para a mesma.Em uma alocação de equilíbrio, como já discutido nesse capítulo, os veículos serãoalocados somente nas rotas de custo mínimo entre cada par OD em T (computadosa partir dos custos nos arcos c).O método proposto consiste em, a partir de um problema de alocação deequilíbrio exato UE(c, T ), construir um problema de alocação de equilíbrio fuzzy˜ UE(c, T ) correspondente.Os autores utilizam a teoria de conjuntos fuzzy para identificar quaiscontagens volumétricas devem ser relaxadas para tornar uma solução de equilíbriodo usuário viável – no novo intervalo atualizado –, e também qual deve ser o graumínimo desse relaxamento para cada contagem volumétrica individualmente.Sushama e Revati [52] observaram que há casos em que pode não havercomo estimar-se uma matriz OD que seja compatível com contagens de tráfego


4.3 Comparação com outros trabalhos usando abordagem fuzzy 70exatas nos arcos. Para propor uma solução para esse problema, os autores sugerema transformação dos dados de entrada em variáveis fuzzy.Os autores ressaltam que tem havido um interesse substancial no desenvolvimentoe aplicação de metodologias para estimação de matrizes origem-destino (OD)de viagens a partir de contagens volumétricas. Em geral, a qualidade de uma matrizOD estimada depende em grande parte da confiabilidade dos dados disponíveis devolume de tráfego nos arcos e da matriz OD alvo. Geralmente, os dados não serãoprecisos e torna-se imperativo levar em conta a imprecisão dos dados na formulaçãomatemática do modelo de estimação de demandas OD (“There has been a substantialinterest in the development and application of methodology for estimatingorigin-destination (O-D) trip matrices from traffic counts. Generally, the quality ofan estimated O-D matrix depends much on the reliability of the input data on linkvolume counts and prior trip matrix. Usually the data will not be precise. Hence itbecomes imperative to take imprecision of data into account while formulating themathematical model for O-D flow estimation”).4.3.2 Biletska et al.Biletska et al. [10, 11] desenvolveram um método para a estimação dematrizes OD para interseções semaforizadas e para intervalos de tempo de curtaduração (um ciclo de semáforo).A interseção analisada é complexa, consistindo num estudo de caso realizadono subúrbio de Paris. Os autores propõem quatro diferentes abordagens para estimara matriz OD. Duas delas utilizam uma modelagem exata dos dados e as outras duaslevam em consideração a imprecisão dos mesmos explicitamente.As abordagens que empregam modelagem exata dos dados são um métodode quadrados mínimos ordinários (do inglês, ordinary least squares) e métodos deprogramação linear com variáveis precisas que usam dados históricos de fluxo nainterseção.As duas abordagens que consideram a imprecisão dos dados explicitamenteenvolvem programação linear com dados modelados como intervalos e programaçãolinear fuzzy. Essa imprecisão advém do fato da matriz OD do fluxo ser geradaem tempo real, através da análise das imagens de oito câmeras posicionadas nainterseção analisada, e da imprecisão inerente aos algoritmos empregados nestaanálise.O problema é modelado, para cada ciclo, através da construção de redesPetri de alto nível (do inglês High Level Petri Nets, HLPN). Além disso, modelaseuma lei da conservação dinâmica dos veículos, que visa assegurar que todo


4.3 Comparação com outros trabalhos usando abordagem fuzzy 71veículo que entra na rede, detectado através de imagens das câmeras, tambémnecessariamente saia dela e vice-versa.Os métodos foram testados com dados reais coletados na interseção experimentalmenteanalisada, por 30 minutos e em horário de pico de tráfego. A estimativafoi realizada em 25 ciclos de semáforo consecutivos. Os valores reais de fluxo, calculadosmanualmente através da análise posterior das imagens, estão disponíveis paratodos os ciclos.Os melhores resultados foram obtidos com dois dos três métodos de programaçãolinear empregados, o primeiro baseado na variação do valor médio dos fluxosOD (mapeamento das variáveis do fluxo como intervalos discretos) e o segundo emuma modelagem fuzzy dos dados.O ponto fraco desta proposta é o custo da instalação das oito câmeraspara uma interseção. De fato, a interseção analisada não é trivial. No entanto, deacordo com o padrão adotado para o posicionamento das câmeras nas interseções,no mínimo quatro câmeras deveriam ser utilizadas em um cruzamento comum, ouseja, entre duas vias de mão única.4.3.3 Comentários FinaisLiao e Wang [36] propõem a utilização de lógica fuzzy para a realizaçãodo relaxamento dos dados de entrada de um problema de alocação de equilíbrioinicialmente inviável. A proposta desses autores é interessante pois permite aobtenção de informações valiosas acerca da qualidade dos dados de entrada e, se for ocaso, qual parte destes dados torna o problema inviável. A partir dessas informações,pode-se definir um processo de “saneamento” desses dados problemáticos querseja apontando ao usuário quais deles são incompatíveis (e, portanto, merecemreconsideração), quer seja através da criação de um processo automatizado decorreção destes dados.Biletska et al. [10, 11], por sua vez, propõem quatro métodos para aestimação de matrizes para uma interseção complexa, sendo que um desses métodosenvolve programação linear fuzzy. Os autores ressaltam, em sua proposta paratrabalhos futuros, que irão aprimorar o metodo baseado em programação linear fuzzypelo fato do mesmo ter apresentado (juntamente ao outro método de programaçãolinear) os melhores resultados.O método descrito pelos autores Biletska et al., apesar de basear-se emprogramação linear fuzzy, propõe uma solução para a estimação de uma matrizOD para uma interseção somente e, mais ainda, para um ciclo de semáforo e umainterseção que possua câmeras dedeo. Pelo fato do método ter sido pensado parauma interseção, não há a necessidade de consideração do problema da enumeração


4.3 Comparação com outros trabalhos usando abordagem fuzzy 72de rotas, já que todas as rotas possíveis são constituídas de uma conexão direta entreuma entrada na interseção e uma saída da mesma.Já o método proposto no presente trabalho, em comparação, possui váriascaracterísticas inovadoras relativamente às propostas descritas acima. São elas:(i) trabalhar com malhas viárias grandes e complexas;(ii) incluir dados de observações somente de partidas em nós de origem e somentede chegadas a nós de destino na modelagem do problema de estimação dematrizes OD;(iii) assegurar que dados de entrada possam ser incompletos e imprecisos (observaçõesde fluxos nos arcos, de entradas na matriz OD final, de partidas em nósde origem e de chegadas a nós de destino);(iv) permitir a estimação de um conjunto de matrizes OD que vai da matriz ODque representa demandas mais próximas dos centros das observações de entradaaté a matriz OD que representa a solução de equilíbrio do usuário de menorcusto total dentro do intervalo de valores das observações, gerando as matrizesintermediárias nesse processo.O processo de estimação do FLIPSOD é adequado à realidade das cidadesde médio e grande porte brasileiras – uma vez que tanto a topologia das malhasviárias, o tráfego correspondente, os dados de entrada incompletos e inconsistentese as tecnologias disponíveis para obtê-los possuem características particulares quedevem ser observadas. A proposta de utilização de programação linear fuzzy,levando também em consideração os comentários de Sushama e Revati [52], parececonsequentemente bastante adequada, tendo sido portanto adotada neste trabalho.No Capítulo 5 seguinte, iremos detalhar a implementação do método FLIP-SOD em um sistema computacional.


ImplementaçãoCAPÍTULO 5Neste capítulo, descrevemos a implementação do FLIPSOD em um sistemacomputacional. De modo a diferenciar o sistema computacional do modelo matemáticosubjacente, chamaremos a ferramenta implementada de FLIPSOD SYS e omodelo matemático correspondente de FLIPSOD.Inicialmente, na Seção 5.1, introduzimos o sistema PETGyn – proposto nadissertação de mestrado de Jradi [30] –, discutindo algumas de suas características esua importância para este trabalho. Na Seção 5.2, introduzimos o sistema computacionalFLIPSOD SYS e discutimos seu funcionamento de forma holística e tambémcomo ele está estruturado. Em seguida, na Seção 5.3, detalhamos o funcionamentode cada um de seus componentes. Na Seção 5.4 propomos uma visualização paraauxiliar na compreensão das soluções obtidas. Finalmente, na Seção 5.5, discutimosas regras de transformação adotadas para permitir a utilização de dados do PETGynpelo FLIPSOD SYS.5.1 Introdução ao PETGynO PETGyn é um sistema interativo de suporte à decisão (DSS) que permitesimular o comportamento do tráfego urbano, adequado à realidade brasileira. Estesistema foi proposto na dissertação de mestrado de Jradi [30] como uma ferramentade apoio para os interessados no planejamento de transportes e na aplicação daEngenharia de Tráfego.É importante ressaltar que um dado necessário para a execução de umasimulação com o PETGyn é uma matriz OD. Quando o PETGyn é utilizado paraexecutar uma simulação de tráfego, uma matriz OD previamente cadastrada éalocada na rede viária segundo o equilíbrio do usuário ou o equilíbrio do sistema.Para o presente trabalho, a única modalidade de alocação disponibilizada peloPETGyn de interesse é a alocação de equilíbrio do usuário.No PETGyn, uma alocação de equilíbrio do usuário – também chamada deuma simulação de tráfego – de uma matriz OD em uma rede viária gera fluxos nesta


5.1 Introdução ao PETGyn 74malha viária que respeitam o primeiro princípio de Wardrop. Além destes fluxos,obtidos ao final de um processo de simulação, estão também disponíveis os custosde travessia em cada um dos arcos – calculados a partir de funções matemáticasdescritas em Jradi [30] – e a velocidade média de tráfego nos mesmos.Na Figura 5.1 [30], Jradi traz um exemplo de um projeto aberto no PETGyn.Figura 5.1: Exemplo de tela do PETGyn com um projetoaberto.Neste projeto, temos uma malha viária com vários nós (círculos) e váriosarcos (linhas destacadas mais escuras) conectando os nós. Além de informaçõessobre a estrutura física da rede viária, um projeto do PETGyn permite também oarmazenamento de informações sobre as demandas e simulações executadas com asmesmas. Exemplos destas informações são uma matriz OD que demanda a rede ouos fluxos alocados nos arcos ao final do processo de simulação.O PETGyn foi construído segundo uma arquitetura que propôs distintosmódulos especializados na realização de determinadas tarefas. Os dois módulos quenos interessam, para efeito deste trabalho, são:• o Módulo de Simulação, que implementa a modelagem matemática do tráfegoe o cálculo dos fluxos de veículos na rede viária; e• o Módulo de Armazenamento e Recuperação de Dados, que implementa oacesso às informações sobre os projetos do PETGyn, tais como o armazenamentoda estrutura física da rede viária bem como dados das modelagens esimulações utilizadas.


5.2 Descrição do sistema FLIPSOD SYS 75Mais à frente, neste capítulo, ilustramos como se dão as interações entre osistema FLIPSOD SYS e o PETGyn, e quando e como cada um dos módulos doPETGyn são utilizados.5.2 Descrição do sistema FLIPSOD SYSOs usuários do FLIPSOD SYS podem tanto importar projetos do PETGyn,aproveitando os dados já cadastrados para estes, quanto criar seus próprios projetos 1 .Ainda, caso estejam importando os dados de um projeto do PETGyn, os usuáriospodem utilizar o próprio PETGyn para a realização da etapa de estimação de custosnos arcos, como ilustrado na Figura 4.1, ou utilizar a função BPR, descrita naequação 3-15 2 .Na seção seguinte, ilustramos, em um maior nível de abstração, como se dáo processo de estimação com o FLIPSOD SYS e como ocorrem também as interaçõesdeste com o sistema computacional PETGyn.5.2.1 Interações entre FLIPSOD SYS e PETGynPrimeiramente, ao iniciarmos a execução do FLIPSOD SYS, devemos escolherse desejamos ou não importar um projeto do PETGyn para utilizar seus dadosde entrada. Em caso positivo, as informações necessárias são obtidas diretamenteda base de dados do PETGyn, através de seu Módulo de Armazenamento e Recuperaçãode Dados, e é executada uma transformação 3 do grafo G recém-extraído,representando a malha viária, em um grafo G ′ adequado ao FLIPSOD. Os dadosde entrada de observações Q ′ ij, f α, ′ O ′ i e D ′ j existentes para G devem ser tambémtransformados em observações para G ′ , uma vez que serão utilizadas para restringiros programas lineares utilizados na estimação. Os custos iniciais nos arcos sãoinformações obtidas também através do Módulo de Armazenamento e Recuperaçãode Dados do PETGyn.1 O FLIPSOD utiliza vários dados de entrada durante o processo de estimação das matrizesOD. O conjunto dos arquivos de entrada necessários ao correto funcionamento do FLIPSOD SYSé chamado de projeto.2 Pode-se escolher utilizar as constantes µ 1 e µ 2 calibradas para o tráfego dos EUA, Holanda/Japão[61] ou ainda calibrada com valores intermediários às duas. Caso não se esteja importandoum projeto do PETGyn, não há a opção de utilizar o mesmo para a etapa de estimação decustos nos arcos.3 Esta transformação visa assegurar que o FLIPSOD SYS somente utilize rotas – lembrandoque estas serão criadas dinamicamente – que não violem as restrições de conversões proibidas,utilizando para tal os dados extraídos da base de dados do PETGyn.


5.2 Descrição do sistema FLIPSOD SYS 76Caso desejemos utilizar um projeto diretamente criado para o FLIPSODSYS, devemos selecionar o arquivo contendo os dados de entrada necessários. Ografo G, representativo da malha viária estudada, será criado a partir desses dados,como também o serão os objetos que guardam informações sobre custos nos arcos eas observações Q ′ ij, f α, ′ O ′ i e D ′ j existentes. 4 Em seguida, são computados os custosiniciais nos arcos: se um arco possui uma observação f ′ α – ou seja, α ∈ A V –, seucusto será computado aplicando o valor de f ′ α à função BPR; caso contrário, seα ∈ A M , seu fluxo é inicializado com valor zero e seu custo é também computadoaplicando este valor à função BPR.Neste ponto, caso tenhamos escolhido importar um projeto do PETGyn, ografo e as observações utilizadas serão aquelas obtidas após a execução das etapasde extração de dados do PETGyn e computação do grafo G ′ .Devemos, agora que temos custos iniciais nos arcos, estimar os mesmosatravés de um processo iterativo até que estes custos convirjam para uma situaçãode equilíbrio.Enquanto os custos não convergem, executamos os seguintes passos: geraras rotas dinamicamente e transformar os custos nos arcos em custos nas rotas,descrito em 5.3; obter o conjunto X de fluxos nas rotas e uma matriz OD estimada,quer seja com a execução do modelo M L descrito em 4.1.2 ou do modelo M Fdescrito em 4.1.6; obter o conjunto F através da aplicação da função 3-14 sobreo conjunto X recém-estimado; atualizar os fluxos nos arcos, usando para tal umafunção de atenuação linear descrita em 4-23; e, finalmente, calcular os custos nosarcos. Neste ponto, podemos ou não utilizar o PETGyn para este cálculo. Casodesejemos utilizá-lo, devemos alocar a matriz OD recém-estimada – através de seuMódulo de Simulação – e extrair os novos custos nos arcos atualizados – atravésde seu Módulo de Armazenamento e Recuperação de Dados. Caso não desejemosutilizar o PETGyn para calcular custos nos arcos, devemos calculá-los usando afunção BPR diretamente.Quando os custos nos arcos convergirem para uma situação de equilíbrio,iremos executar a etapa de geração de soluções – podendo gerar uma solução ótimaque seja de equilíbrio do usuário e atenda integralmente às estimações ou um espectrode soluções possíveis.Mais uma vez, caso tenhamos importado os dados de um projeto doPETGyn, a estimação terá sido executada sobre o grafo trasformado G ′ e sobreobservações também transformadas. Devemos, então, transformar a solução obtida4 Nesse caso, assumimos que o grafo G de entrada já representa uma malha viária comas restrições de conversões proibidas modeladas. Não é necessário, então, executar nenhumatransformação sobre o grafo como no caso da importação de projetos do PETGyn.


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 77para G ′ em uma solução para o grafo G original. Finalmente, agora que já geramosa(s) solução(ões) obtida(s), podemos analisá-la(s) através da visualização criada paraeste fim.5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYSA Figura 5.2 mostra um diagrama contendo a estrutura de funcionamentodo FLIPSOD SYS e as interações possíveis deste com o sistema PETGyn [30].Figura 5.2: Diagrama de interação entre o FLIPSOD e oPETGynNesta seção iremos detalhar os novos componentes do FLIPSOD SYSintroduzidos na Figura 5.2 e também fornecer detalhes acerca da implementação dedeterminados componentes já discutidos anteriormente quando isto for importantepara a compreensão de seu funcionamento.


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 78As caixas do sistema FLIPSOD SYS que possuem fundo na cor clara(branca) já foram discutidas anteriormente no Capítulo 4. As caixas que possuemfundo na cor um pouco mais escura (cinza claro) representam os novos componentesdo FLIPSOD de interface com o PETGyn, utilizados nas eventuais comunicaçõesentre os dois sistemas computacionais. Os componentes que já foram discutidos noCapítulo 4 mas para os quais consideramos importante fornecer maiores detalhesconcernentes à sua implementação são representados por caixas com fundo na cormais escura (cinza escuro).Na Figura 5.2 podemos ver todas as interações possíveis entre FLIPSODSYS e PETGyn. Não serão detalhados o funcionamento de cada um dos módulos doPETGyn com o qual o FLIPSOD SYS possui interface, uma vez que esta informaçãonão é essencial para a compreensão do presente trabalho. 5Extração de dados do PETGynCaso desejemos estimar uma matriz OD utilizando para tal um projetoimportado do PETGyn, deveremos extrair todos os dados necessários de sua basede dados. Na Figura 5.3 mostramos quais os dados de entrada necessários para aexecução desta atividade e que saídas ela produz.Figura 5.3: Extração de dados do PETGynNesta etapa, os dados de entrada necessários ao método estão todos disponíveisno PETGyn, agrupados em um projeto. Estes dados de entrada são obtidosdiretamente por consultas na base de dados do PETGyn, no seu Módulo de Armazenamentoe Recuperação de Dados e, a partir destes dados, são gerados três arquivosde saída contendo os seguintes dados:• Grafo G – contém uma representação da malha viária.5 Para maiores informações acerca do funcionamento do PETGyn, ilustrado na caixa maior àesquerda da Figura 5.2, ver a dissertação de mestrado de Jradi [30].


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 79• Custos Nos Arcos G – referem-se aos custos nos arcos obtidos após a execuçãode uma simulação.• Arcos Livres G – contém uma representação dos arcos livres 6 existentes emG.Computação do grafo G ′Caso desejemos estimar uma matriz OD utilizando para tal um projetoimportado do PETGyn, após a extração dos dados deveremos computar um novografo G ′ .Na Figura 5.4, mostramos quais os dados de entrada necessários para aexecução desta atividade e que saídas ela produz.Figura 5.4: Componente de computação do grafo G ′PETGyndoNeste estágio, os dados necessários à execução desta atividade estarão todosdisponíveis nos arquivos gerados pela atividade de extração de dados do PETGyn,exceto pelo arquivo que contém os dados de entrada sobre as observações f α, ′ Q ′ ij,O i, ′ D ′ j e seus desvios correspondentes. Esse arquivo com as observações, no atualestágio do trabalho proposto, deve ser criado pelo usuário de modo manual 7 .A partir da computação destes dados são gerados quatro arquivos de saídacontendo:• Grafo G ′ – com uma representação do grafo G ′ , criado a partir do grafo G.• Custos Nos Arcos G ′ – descrevendo os novos custos nos arcos existentes paraG ′ .• Observações G ′ – representando as observações Q ′ ij, f α, ′ O ′ i e D ′ j transformadaspara o grafo G ′ .6 Segundo Jradi [30], um arco livre é o “conjunto de dois arcos consecutivos (conectados por umnó) que indicam as conversões permitidas entre as ruas/avenidas, conforme definidas pelas regrasde trânsito do local”.7 Um dos trabalhos futuros vislumbrados para este projeto é uma forma visual de fornecer essesdados pelo usuário final do FLIPSOD SYS, o que será discutido no Capítulo 7.


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 80• Mapa G G ′ – com o mapeamento que permite acessar os nós e arestas dografo G a partir do grafo G ′ , e vice-versa.As regras utilizadas nesta transformação, assim como a complexidadeassintótica do grafo G ′ correspondente, serão discutidas na Seção 5.5. Mostraremostambém como são computados os novos custos nos arcos em G ′ a partir dos custosnos arcos em G e como são tranformadas as observações em G para observações emG ′ .Definir os custos iniciais nos arcosCaso queiramos estimar uma matriz OD criando um projeto diretamente –sem a importação de um projeto do PETGyn –, devemos definir custos preliminaresnos arcos para a execução de uma primeira estimação.Na Figura 5.5, mostramos quais os dados de entrada necessários para aexecução desta atividade e que saídas ela produz.Figura 5.5: Definição de custos iniciais nos arcosNesta atividade, os dados de entrada necessários devem estar disponíveis naforma de um projeto do FLIPSOD SYS. A partir destes dados, é gerado um arquivode saída contendo:• Custos Nos Arcos G – contém uma representação dos custos nos arcosobtidos a partir dos fluxos f α estimados.O cálculo dos custos iniciais nos arcos é descrito no Capítulo 4 na seção 4.2.Gerar as rotas dinamicamente e transformar os custos nosarcos em custos nas rotasNesta atividade, enumeramos todos os caminhos passíveis de utilização pelométodo de estimação e computamos os seus custos correspondentes. Na Figura 5.6mostramos quais os dados de entrada necessários para sua execução e que saídas elaproduz.


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 81Figura 5.6: Componente de enumeração de caminhos e computaçãode custos nas rotasCaso estejamos trabalhando com um projeto criado diretamente com oFLIPSOD SYS, utilizamos o arquivo de entrada Custos Nos Arcos G com oscustos nos arcos para o grafo G. Caso tenhamos importado um projeto do PETGyn,usamos o arquivo de entrada Custos Nos Arcos G ′ , que contém os custos nos arcosmapeados para o grafo G ′ . O arquivo de saída Custos Nas Rotas gerado conterátodas as rotas criadas para o problema e seus respectivos custos.O problema de gerar todos os caminhos possíveis entre os pares OD de umamalha viária – mapeado para o problema de enumerar todos os caminhos possíveisentre todos os pares de nós de um digrafo – é um problema de difícil resoluçãoe possui uma alta complexidade O(n!). Ademais, a computação dos caminhos éexecutada diversas vezes, nas várias iterações do FLIPSOD, para computação eatualização dos custos nos arcos.A solução adotada para este problema foi a da utilização de uma versãomodificada do algoritmo de Bellman-Ford [16]. O algoritmo de Bellman-Ford originalresolve o problema de, dado um grafo, encontrar os caminhos mínimos, partindo deum nó específico para todos os outros nós, em tempo O(|V ||E|). A complexidadede gerar todos os caminhos mínimos partindo de todos os nós para todos os outrosseria, consequentemente, O(|V |(|V ||E|)).O algoritmo utilizado para a computação dos caminhos mínimos é umavariante do algoritmo de Bellman-Ford 8 chamada KShortestPaths, que permiteencontrar os k-melhores caminhos simples 9 partindo de um nó específico para todosos outros nós. Este algoritmo possui complexidade O(k|V ||E|), e a complexidade degerar todos os k-melhores caminhos mínimos partindo de todos os nós para todosos outros é O(k|V |(|V ||E|)).O processo de gerar as rotas dinamicamente, finalmente, consiste na obten-8 Este variante do algoritmo de Bellman-Ford está implementado na biblioteca de grafosJGraphT [42] e está disponível online. O autor do presente trabalho fez pequenas modificaçõesno código-fonte da biblioteca para adequá-la às suas necessidades.9 Um caminho é simples se não possui nenhum arco repetido.


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 82ção de um grafo G(N, A) representativo da malha viária e aplicação do algoritmoKShortestPaths para todas as suas possíveis origens i ∈ O. O valor adotado para kfoi de 5, o que significa que o algoritmo irá gerar os 5 melhores caminhos entre cadapar OD. A quantidade escolhida de 5 foi definida de forma heurística, a partir detestes com exemplos numéricos, e este valor mostrou-se adequado para a solução detodos as instâncias de problemas avaliadas. 10Uma vez que os caminhos tenham sido criados, sabemos os valores para amatriz (p k ij) α , entre todos as origens i e destinos j, para todo caminho k e todoarco α. Em seguida, utilizamos então as equações 3-16, 3-17 e 3-18 para calcular oscustos dos caminhos a partir dos custos nos seus arcos.Utilizar PETGyn para alocação da matriz OD estimada naúltima iteraçãoCaso tenhamos adotado o PETGyn para realizar a computação dos novoscustos nos arcos, devemos primeiramente utilizá-lo para realizar uma alocação detráfego.Esta atividade engloba todo o processo de simulação do PETGyn. Devemosfornecê-la como dado de entrada a última matriz OD estimada pelo FLIPSOD SYS.Consequentemente, com o Módulo de Simulação do PETGyn, realizamos a alocaçãode equilíbrio desta matriz OD.Assim, ao final da execução desta atividade, a base de dados do PETGynterá os fluxos e custos nos arcos atualizados pela alocação da última matriz ODfornecida.Extrair custos nos arcos da base de dados do PETGynApós utilizar o PETGyn para alocação da matriz OD estimada na últimaiteração devemos extrair os novos custos nos arcos computados pelo PETGyn.Esta atividade está ilustrada na Figura 5.7. A base de dados do PETGyné acessada utilizando o Módulo de Armazenamento e Recuperação de Dados. Oarquivo de saída Custos Nos Arcos G ′ gerado por este processo contém os arcosem G ′ e seus respectivos custos atualizados.10 Ver capítulo 6 para maiores detalhes nos exemplos numéricos utilizados para teste do métodoproposto.


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 83Figura 5.7: Extração de custos nos arcos do PETGynComputar custos nos arcos com a função BPRCaso desejemos computar os custos nos arcos sem a utilização do PETGyn,devemos executar esta atividade.A partir dos fluxos f α , ∀α ∈ A, gerados pela atividade imediatamenteanterior a esta, utilizamos a função BPR para computar os seus respectivos custos.Para tal, podemos utilizar três diferentes combinações de parâmetros µ 1 e µ 2 , comojá discutido no Capítulo 4.Após a execução desta atividade, teremos os custos nos arcos atualizados,representados no seguinte arquivo de saída:• Custos Nos Arcos G – contém uma representação dos custos nos arcosatualizados computados a partir dos fluxos f α .Gerar as soluçõesPara gerar os resultados finais, aplicamos um método de pesquisa bináriaque possibilita a enumeração das soluções de interesse no espaço das soluçõespossíveis de forma computacionalmente eficiente.Na Figura 5.8, mostramos quais os dados de entrada utilizados por estaatividade do FLIPSOD SYS e também quais as saídas produzidas pela mesma.Nesta etapa, os dados de entrada necessários ao método estão todos disponíveisem arquivos, tendo sido gerados por atividades executadas anteriormente.Caso o projeto em andamento tenha sido carregado diretamente do FLIPSOD SYS,serão utilizados os arquivos Grafo G e Observações G, contendo uma descrição dografo G e das observações de entrada, respectivamente. Caso o usuário tenha importadoum projeto do PETGyn, serão utilizados os arquivos correspondentes ao grafotransformado G ′ e das observações de entrada correspondentes, chamados Grafo G ′e Observações G ′ . Ainda, serão utilizados os custos nas rotas descritos no arquivoCustos Nas Rotas, computados na subetapa de preprocessamento.


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 84Figura 5.8: Estimação das matrizes OD com o método FLIP-SODcom os dados:A partir da computação destes dados, são gerados três arquivos de saída• Matrizes OD – contém uma representação de todas as matrizes OD estimadas,para todas as soluções geradas no espectro das soluções possíveis.• Fluxos Nas Rotas – contém uma representação dos fluxos x k ij em cada umadas rotas k, para todos as origens i e destinos j, para cada uma das soluçõesgeradas pelo método.• Fluxos Nos Arcos – contém uma representação dos fluxos f α estimados emcada um dos arcos α ∈ A, para cada uma das soluções geradas pelo método.As entradas para esta etapa são o grafo representativo da rede viária, asobservações Q ′ ij, f α, ′ O ′ i e D ′ j existentes para esta rede viária, todas as rotas passíveisde utilização no processo de estimação e os seus respectivos custos. Neste momento,os custos nas rotas já são custos finais, uma vez que foram computados através doscustos nos arcos e a etapa de estimação de custos nos arcos já foi realizada.A partir destes dados de entrada, geramos uma ou mais soluções para oproblema sob análise.A seguir, descreveremos o funcionamento método de pesquisa binária.Método de pesquisa bináriaO objetivo do método de pesquisa binária usado na última etapa do FLIP-SOD é diminuir o máximo possível a quantidade de execuções de M F necessáriaspara a geração do espectro de soluções para um problema.Antes de ilustrarmos o funcionamento deste método, é necessário comentarsobre um parâmetro que está diretamente ligado à quantidade final de soluçõesencontradas e consequentemente à quantidade de execuções de M F necessárias nestaetapa de geração do espectro de soluções: o desvio máximo ɛ λ permitido entre dois λ


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 85diferentes, que é dado por um número real entre 0 e 1 de forma que se |λ 1 −λ 2 | < ɛ λ ,os λ são considerados iguais, senão são considerados diferentes.No Algoritmo 1, mostramos o pseudo-código da busca binária. Primeiramente,definimos o limitante inferior igual a zero e calculamos um limitante superior,obtido com M U , para o o valor de z. Geramos então uma solução fuzzy a partirdesse limitante superior inicial. Em seguida, rodamos o modelo fuzzy usando o novolimitante superior como a metade do intervalo atual, através da computação de Z M .Iterativamente vamos computando novas soluções fuzzy até que o espaço de soluçõespara um mesmo λ 11 seja completamente observado. A cada passo da iteraçãointerna, restringimos o espaço de soluções pela metade ou incrementando o limitanteinferior ou decrementando o limitante superior.Ao final da execução do laço interno, temos como obter a solução de menorvalor de z para um determinado λ e salvamos essa solução no pool de soluções. Emseguida, atualizamos os valores do limitante inferior, limitante superior e soluçãode referência e executamos o laço externo, entrando novamente em outro ciclo daiteração interna e percorrendo o espaço de soluções para o próximo λ. Quandonão houver mais soluções para serem geradas – quando todo o espaço de soluçõesdelimitado pelos limitantes inferior e superior originais tiver sido percorrido –,finaliza-se o algoritmo.Transformação da solução em G ′ para uma solução em GNeste estágio, praticamente finalizamos o processo de estimação do conjuntode matrizes OD. Caso o usuário do FLIPSOD SYS tenha estimado o conjuntode matrizes OD utilizando um projeto importado do PETGyn, no entanto, estasestimações estarão disponíveis para o grafo G ′ . Será necessário, consequentemente,transformar o conjunto de soluções em G ′ para soluções em G.Na Figura 5.9, mostramos quais os dados de entrada necessários para aexecução desta atividade e que saídas ela produz.Os dados de entrada necessários à execução dessa atividade estarão todosaccessíveis através de arquivos. Os arquivos Matrizes OD, Fluxos Nas Rotas eFluxos Nos Arcos são gerados pela atividade de geração das soluções. O arquivoMapa G G ′ , que contém o mapeamento entre o grafo G e G ′ , é gerado pelaatividade de computação do grafo G ′ . A partir da computação destes dados sãogerados três arquivos de saída:11 Como λ é um número real entre 0 e 1, consideramos um λ 1 e um λ 2 como iguais quando|λ 1 − λ 2 | < ɛ λ


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 86Algorithm 1 Método de busca binária das soluçõesRode M U e obtenha z U .z L ← 0Rode M F com upper bound = z U e obtenha OD M8 , z M8 e λ M8 .ifλ M8 = 1 thenSalve solução (OD M8 , z M8 e λ M8 ) no pool de soluções e pare.end if{ Início do loop externo. }z ′ U ← min (z U, z M8 )λ M2 ← λ M8while z ′ U ≥ z L doz ′ L ← z L{ Início do loop interno. }{ Buscar por solução com mesmo λ M8 mas com menor z. }while z ′ U > z′ L doz M ← (z ′ U + z′ L )/2Rode M F com upper bound = z M e obtenha OD ′ M8 , z′ M8 e λ′ M8 .if Não existe solução para M F com upper bound = z M thenz ′ L ← z Melse if |λ M8 − λ ′ M8 | < ɛ λ thenz ′ U = min (z′ M8 , z M)λ ′ M2 ← λ′ M8elsez ′ L ← z Mλ ′ M3 = λ′ M8end ifend whileRode M F com upper bound = z ′ U e obtenha OD′′ M8 , z′′ M8 e λ′′ M8 .Salve solução (OD ′′ M8 , z′′ M8 e λ′′ M8 ) no pool de soluções.z ′ U ← z′ LRode M F com upper bound = z ′ U e obtenha OD′′ M8 , z′′ M8 e λ′′ M8 .λ M8 ← λ ′′ M8if Não existe solução para M F com upper bound = z ′ U thenPare.end ifend while


5.3 Detalhes da implementação do FLIPSOD SYS 87Figura 5.9: Transformação de solução em G ′ para soluçãoem G• Matrizes OD Corrigidas – contém uma representação das matrizes ODestimadas para o grafo G, computadas através das matrizes OD obtidas parao grafo G ′ .• Fluxos Nas Rotas Corrigidos – contém uma representação dos fluxos x k ijestimados para o grafo G, computados através dos fluxos x k ij computados paraG ′ .• Fluxos Nos Arcos Corrigidos – contém uma representação dos fluxos f αestimados para o grafo G, computados através dos fluxos f α computados paraG ′ .As regras utilizadas na transformação da solução em G ′ para uma soluçãoem G serão discutidas na Seção 5.5.Visualizar as soluções encontradasAs soluções geradas pelo FLIPSOD SYS podem agora ser visualizadas. NaFigura 5.10 mostramos quais os dados de entrada necessários para a execução destaatividade e que saídas ela produz.Figura 5.10: Componente de visualização das soluções


5.4 Visualização das soluções 88Os dados de entrada necessários estão todos disponíveis através de arquivosgerados por atividades de etapas anteriores. Caso o projeto em execução tenha sidocriado diretamente através do FLIPSOD SYS, utilizamos como arquivos de entradaMatrizes OD, Fluxos Nas Rotas e Fluxos Nos Arcos, criados pela atividade degeração das soluções.No entanto, caso o projeto em execução tenha sido importado do PETGyn,as visualizações devem ser criadas para os arquivos de entrada Matrizes ODCorrigidas, Fluxos Nas Rotas Corrigidos e Fluxos Nos Arcos Corrigidos,por sua vez gerados pela atividade de transformação da solução em G ′ para umasolução em G.A visualização proposta permite a análise dos fluxos nos arcos. Essa visualizaçãoserá detalhada a seguir, na Seção 5.4.5.4 Visualização das soluçõesA visualização proposta no estágio atual desta pesquisa é simples e seuúnico objetivo é permitir minimamente a compreensão e comparação das soluções.Visualizações mais robustas e complexas são cogitadas para implementação comotrabalho futuro.5.4.1 Visualização dos fluxos nos arcosA visualização dos fluxos nos arcos foi gerada utilizando a bibliotecaGraphViz [21], uma biblioteca de código aberto destinada à visualização de grafos.Através de arquivos de entrada em formato de texto representativos de um grafo,criados em um formato predeterminado, pode-se gerar desenhos para o mesmo emvariados formatos, tais como pdf, svg e png, dentre outros.O objetivo da visualização dos fluxos nos arcos é possibilitar ao usuário doFLIPSOD SYS compreender qual o comportamento do tráfego final alocado na redeviária. Desta forma, visualiza-se facilmente (i) quais as regiões com tráfego maispesado e (ii) quais as regiões com menor tráfego.O substrato espacial adotado para a visualização proposta foi uma representação2D do grafo na tela. Os dados utilizados são os nós e as arestas do grafoda malha viária e o valor do fluxo final alocado em cada um dos arcos.O mapeamento dos dados de entrada em atributos visuais da imagem queconstitui a visualização de fluxos nos arcos será discutido a seguir. Cada nó do grafofoi mapeado como um círculo, e cada aresta como uma seta conectando dois nós.


5.5 Regras de transformação 89Figura 5.11: Exemplo de visualização gerada para os fluxosnos arcosCada aresta do grafo desenhado terá sua cor variando entre cinza claro epreto e sua largura variando entre muito fina e muito grossa. Quanto maior o fluxofinal alocado naquela aresta, mais grossa e mais escura será a mesma. Ao contrário,quanto menor o fluxo final alocado naquela aresta, mais fina e mais clara ela será.Além disso,(i) as posições x, y de cada um dos nós do grafo é definida pelo Graphviz, queprocura minimizar uma função de energia global do grafo;(ii) cada aresta do grafo terá, ainda, uma pequena descrição contendo o valorabsoluto do fluxo final alocado na mesma.A Figura 5.11 ilustra um exemplo de visualização gerada para uma soluçãopara a rede viária The Corridor Network, um dos casos de teste utilizados nestetrabalho. Os resultados reais obtidos para os testes com essa rede viária sãodetalhadamente discutidos na Seção 6.2.5.5 Regras de transformação5.5.1 Regras de transformação do grafo G em G ′O grafo G ′ é computado a partir do grafo G e do conjunto de conversõespermitidas (ou arcos livres), obtidos respectivamente através dos arquivos Grafo Ge Arcos Livres.


5.5 Regras de transformação 90Para ilustrar as regras de transformação de um grafo G em outro G ′ ,notemos o grafo G descrito na Figura 5.12. Neste grafo, temos que a aresta 2 → 1possui custo 40 e fluxo estimado 220, a aresta 2 → 3 possui custo 20 e fluxo estimado300 e a aresta 3 → 1 possui custo 30 e fluxo estimado 150. Suponhamos ainda queo conjunto dos nós deste grafo seja dado por N e o conjunto de suas arestas por A.Figura 5.12: Um exemplo de grafo GSuponhamos que este grafo G ilustrado possua ainda um arco livre conectandosuas arestas 2 → 3 e 3 → 1, ou seja, é possível fazer uma conversão de 2 → 3para 3 → 1. Ainda, consideremos que seus três nós 1, 2 e 3 são tanto origens quantodestinos de viagens – {1, 2, 3} ∈ O e {1, 2, 3} ∈ D. O grafo G ′ correspondente éilustrado na Figura 5.13 abaixo.Figura 5.13: Um exemplo de grafo G ′Notemos que, para cada nó v ∈ N, criamos dois nós v 1 e v 2 em G ′ . Estesdois nós são criados de forma que todas as viagens geradas por v partam do novonó v 1 correspondente e todas as viagens atraídas por v culminem no novo nó v 2correspondente.De forma similar, todas as eventuais observações O ′ i correspondentes ao nóv serão aplicadas ao nó v 1 correspondente em G ′ , e todas as eventuais observaçõesD ′ j correspondentes ao nó v serão aplicadas ao nó v 2 correspondente em G ′ .Para cada aresta v 1 → v 2 ∈ A, criamos:


5.5 Regras de transformação 91• dois nós v 1 → v 2 e v 1 → v 2;′• uma aresta (v 1 → v 2 ) → (v 1 → v 2) ′ entre esses dois nós recém-criados.Tanto os custos quanto as eventuais estimações existentes para a arestav 1 → v 2 ∈ A serão aplicados à nova aresta (v 1 → v 2 ) → (v 1 → v 2) ′ correspondenteem G ′ .Finalmente, para cada arco livre v 1 → v 2 → v 3 existente em G, criaremosuma aresta (v 1 → v 2) ′ → (v 2 → v 3 ) em G ′ .No grafo G ′ ilustrado na Figura 5.13:• os nós 1 ′ , 2 ′ e 3 ′ em cinza são nós de origem em G ′ que representam os nós 1,2 e 3 em G, respectivamente.• os nós 1 ′′ , 2 ′′ e 3 ′′ em cinza são nós de destino em G ′ que representam tambémos nós 1, 2 e 3 em G, respectivamente.• os nós 2 → 1, 2 → 1 ′ , 2 → 3, 2 → 3 ′ , 3 → 1, 3 → 1 ′ em verde são nós em G ′que representam arestas em G.• as arestas em vermelho conectam: (i) nós de origem em G ′ a nós em G ′ querepresentam arestas em G ou (ii) nós em G ′ que representam arestas em G anós de destino em G ′ .• as arestas (2 → 1) → (2 → 1 ′ ), (3 → 1) → (3 → 1 ′ ) e (2 → 3) → (2 → 3 ′ ) emverde conectam os pares de nós em G ′ que representam uma aresta em G.• a aresta (2 → 3 ′ ) → (3 → 1) em G ′ representa um arco livre em G, neste casoentre as arestas 2 → 3 ∈ A e 3 → 1 ∈ A.Digamos, para definição da complexidade de G ′ , que o grafo G possui umconjunto N de nós, um conjunto A de arestas e um conjunto L de arcos livres.Digamos agora que o grafo G ′ possui um conjunto N ′ de nós e um conjunto A ′ dearestas. As dimensões do grafo G ′ computado a partir das transformações acimadescritas, serão:• N ′ = 2N + 2A,• A ′ = Gr(N) + A + L,sendo Gr(N) uma função que retorna o grau do nó N.5.5.2 Regras de transformação de uma solução em G ′ parauma solução em GUma solução do FLIPSOD SYS para G ′ consiste em três arquivos:Matrizes OD Corrigidas, Fluxos nas Rotas Corrigidos e Fluxos nos ArcosCorrigidos.


5.5 Regras de transformação 92Para descrever as regras de transformação de uma solução, iremos descrevera transformação de cada um desses três arquivos para o seu correspondente em G.Iremos utilizar o exemplo de grafos G e G ′ descritos nas Figuras 5.12 e 5.13. Digamosnovamente que o grafo G ′ possui um conjunto N ′ de nós e um conjunto A ′ de arestas.Ainda, seja O ′ o conjunto de seus nós origens e D ′ o conjunto de seus nós destinos.Para transformarmos os três arquivos, iremos utilizar o arquivo Mapa G G ′ .Para cada par OD com uma demanda em G ′ , dado por uma entrada(v 1, ′ v 2)v ′ f , v ′ 1 ∈ O ′ , v ′ 2 ∈ D ′ , v f é um número que descreve o fluxo estimado entrev ′ 1 e v 2. ′ Através de Mapa G G ′ , transformamos o seu nó de origem v ′ 1 ∈ O ′ emseu correspondente v 1 ∈ O e de forma similar o seu nó de destino v ′ 2 ∈ D ′ em seucorrespondente v 2 ∈ D. Replicamos o valor v f estimado para G ′ como o valor dademanda para G e construimos o arquivo Matrizes OD dessa forma.Para transformarmos um conjunto de fluxos nas rotas estimados para G ′ noseu correspondente em G, devemos utilizar uma regra um pouco mais complexa.Tomemos como exemplo o caminho 2 ′ → (2 → 3) → (2 → 3 ′ ) → (3 → 1) →(3 → 1 ′ ) → 1 ′′ em G ′ , correspondente ao caminho 2 → 3 → 1 em G. Transformamoso primeiro nó 2 ′ ∈ O ′ do caminho em seu correspondente 2 ∈ O. De forma similar,transformamos o último nó 1 ′′ ∈ D ′ do caminho em seu correspondente 1 ∈ D. 12Para os outros nós, devemos ler todos os nós intermediários 13 que seencontrem em posições par no caminho. Nesse caso, primeiramente leremos (2 → 3)na posição 2 e em seguida (3 → 1) na posição 4. Após lermos estes nós intermediários,devemos eliminar o último nó lido. Nesse caso, (3 → 1) da posição 4.Para todos os nós lidos na etapa anterior, lembremos que eles representamarestas em G. Devemos, então, obter o nó no qual a aresta correspondente emG é incidente. No exemplo utilizado, temos um nó intermediário somente. Nessecaso, extraimos 3 de (2 → 3). Os nós intermediários extraídos devem finalmente serposicionados entre o nó de origem e destino, já extraídos anteriormente, do caminho.Teremos então 2 → 3 → 1, sendo que o primeiro nó foi extraído como origem, osegundo nó como intermediário e o terceiro nó como destino.Finalmente, replicamos o valor do fluxo estimado para o caminho em G ′como o valor do fluxo para o caminho correspondente em G e construimos o arquivoFluxos nas Rotas dessa forma.12 Obviamente, o primeiro nó do caminho sempre pertencerá a O ′ e o último nó do caminhosempre pertencerá a D ′ .13 Nós intermediários são os todos aqueles que não são nem a origem nem o destino da rota sobanálise.


5.5 Regras de transformação 93Para o cálculo dos fluxos nos arcos a partir dos fluxos nas rotas recémtransformados,devemos aplicar a Equação 3-15 sobre os últimos, simplesmente.Para todos os fluxos nos arcos gerados, construimos o arquivo Fluxos nos Arcosdessa forma. 1414 É importante lembrar que estas transformações das matrizes OD, dos fluxos nas rotas e dosfluxos nos arcos devem ser feitas para todas as soluções descritas nos arquivos de estimações emG ′ .


Avaliação do TrabalhoCAPÍTULO 6O método proposto no presente trabalho visa permitir a estimação estáticade matrizes OD a partir de observações de entrada parciais e imprecisas. O objetivoda realização desta avaliação é validar o método FLIPSOD e medir a qualidade dasestimações obtidas com o mesmo.Para tal, decidimos primeiramente aplicar o método sobre um problemanumérico bastante estudado na literatura [27, 51, 50]. Com isso, espera-se apresentarbons resultados comparativamente aos resultados obtidos por métodos propostosanteriormente para a resolução do mesmo problema.Finalmente, aplicou-se o método FLIPSOD sobre uma rede viária representativade uma região da cidade de Goiania–GO, no Brasil. Nos referimos a esta rede,daqui em diante, por Região A. Desejamos, com a utilização da Região A, avaliara utilidade do método para a estimação de matrizes OD para uma região real demaiores proporções. Esta mesma rede viária já foi utilizada para testes do sistemacomputacional PETGyn [30], desenvolvido no âmbito da Universidade Federal deGoiás, instituição à qual o autor deste trabalho possui vínculo.6.1 MetodologiaComo já ressaltado, para fazer a avaliação escolhemos um conjunto de duasmalhas viárias e respectivas observações de entrada, sendo uma delas (i) um exemplonumérico já bastante analisado e estudado em artigos científicos na literatura,conhecido como The Corridor Network, e a outra (ii) uma malha representativade uma região da cidade de Goiânia–GO, chamada Região A.Os resultados obtidos com os testes descritos a seguir foram medidos ecomparados segundo quatro medidas estatísticas 1 , sendo que uma delas já foi1 Essas medidas estatísticas são as mesmas adotadas por Sherali et al. [50] para a avaliação deseu algoritmo SA (TT).


6.1 Metodologia 95descrita anteriormente: o erro entre dois conjuntos de fluxo nos arcos RMSE,calculado a partir da equação 4-24.Além desta medida estatística, adotou-se outras três medidas para verificara proximidade entre uma solução estimada e as observações de entrada: RMSE(OD),MAE e MAE(OD). A primeira, a medida RMSE(OD), é calculada através daequação 6-1.%RMSE(OD) =√∑(i,j)∈Q V(T ij − Q ′ ij )2 /|Q V |∑(i,j)∈Q V(Q ′ ij )/|Q V |× 100, (6-1)sendo que T ij é uma matriz OD estimada pelo FLIPSOD, Q ′ ij é uma matrizque contém todas as observações de entrada para T ij e |Q V | é a quantidade de paresOD com observações de entrada.Calculamos também a medida MAE, através da equação 6-2.%MAE =∑α − f α)|′∑ × 100, (6-2)(f α)′α∈A Vα∈A V|(f ′′sendo que f ′′α consiste no conjunto de fluxos finais estimados pelo FLIPSOD 2e f ′ α consiste nas observações dos fluxos disponíveis como entrada.equação 6-3.A terceira medida adotada é a medida MAE(OD), calculada através da%MAE(OD) =∑(i,j)∈Q V|(T ij − Q ′ ij)|∑(i,j)∈Q V(Q ′ ij ) × 100, (6-3)sendo que T ij consiste em uma matriz OD estimada pelo FLIPSOD e Q ′ ijconsiste nas observações de entrada disponíveis para a primeira.Para cada um dos testes realizados, normalmente obtivemos mais de umasolução. Quanto menor o valor das medidas estatísticas, mais próxima estará asolução das observações de entrada e consequentemente maior a qualidade dasolução. No entanto, calculamos as medidas %RMSE, %RMSE(OD), %MAE e%MAE(OD) somente para a solução de maior λ. Fazemos isso porque essas medidasnão são adequadas para medir a qualidade das demais soluções obtidas com um testeOD2 Esse conjunto de fluxos é obtido como um subproduto do processo de estimação de matrizes


6.1 Metodologia 96– uma vez que somente a solução de maior λ pretende se aproximar ao máximo dasobservações de entrada.Para as demais soluções (aquelas de λ não-máximo), ocorre uma minimizaçãode Z e um consequente distanciamento entre a solução final e as observações deentrada. Fica, assim, a critério do usuário do sistema determinar se essas soluçõessão mais representativas da realidade ou não.os quais são:O FLIPSOD requer a definição de alguns parâmetros para sua consecução,• a quantidade máxima de caminhos passíveis de serem gerados pelo método naetapa de preprocessamento (geração dinâmica das rotas a partir do grafo G);• o valor de β utilizado na “Etapa de atualização”, dentro da “Etapa de estimaçãode custos nos arcos”;• o método utilizado para cálculo de custos nos arcos. Para tal, pode-se utilizar afunção BPR, descrita na equação 3-15, ou o método de alocação de equilíbrioPETGyn [30]. Ainda, caso deseje-se utilizar a função BPR, tem-se a opçãode utilizar os parâmetros µ 1 e µ 2 com dois valores distintos: (i) µ 1 = 0.15 eµ 2 = 4.0, valores apropriados para a realidade do trânsito norte-americano;(ii) µ 1 = 2.62 e µ 2 = 5.0, valores apropriados para a realidade do trânsitoholandês e japonês [61]. 3 ;• os valores para os desvios acima e abaixo do centro das observações: a L α e a U α(relativos aos fluxos observados nos arcos f α ), b L ij e b U ij (relativos às estimaçõesQ ij existentes para entradas da matriz OD final T ij ), d L i e d U i (relativosa estimações de geração de viagens em origens O i ) e e L j e e U j (relativos aestimações de atração de viagens em destinos D j );• o modelo adotado para a etapa de estimação de custos nos arcos. Os doismodelos possíveis são o modelo M L e M F ;• o valor de RMSE utilizado, ou a diferença máxima permitida entre doisconjuntos F de fluxo nos arcos para que sejam considerados iguais, descritona Equação 4-24.Para cada uma das duas malhas viárias testadas, foram definidos parâmetrosde configuração do ambiente para a estimação das matrizes OD. Nas seções seguintes,discutimos os valores adotados para os parâmetros descritos acima para cada umadas malhas viárias testadas. Ainda, geramos visualizações para as soluções deinteresse obtidas com os diferentes parâmetros.3 Yang et al. [61] utilizam os valores µ 1 = 2.62 e µ 2 = 5.0 baseando-se no trabalho deSteenbrink [1], que calibra ambas as constantes para as características do tráfego urbano holandês.


6.1 Metodologia 97As observações Q ′ ij e f ′ α para a rede viária The Corridor Network foramobtidas a partir da matriz OD “alvo” e das contagens volumétricas nos arcos,respectivamente. Há diferentes matrizes OD “alvo” existentes na literatura paradistintos testes com essa rede viária. Para cada uma delas, criou-se as entradasQ ′ ij a partir dos valores das demandas descritas em suas células. Existem tambémdiferentes possíveis conjuntos de contagens volumétricas observadas, para distintostestes, para a mesma rede viária. Para cada uma destas combinações, criou-setambém as entradas f ′ α a partir dos valores das contagens observadas. A obtenção deQ ′ ij e f α, ′ para cada uma das instâncias de testes realizadas com a rede The CorridorNetwork, são descritas em detalhes na Seção 6.2.Para a rede viária Região A, o processo de obtenção dos dados foi diferente.A Região A já foi utilizada para testes preliminares do sistema PETGyn, o quesignifica que ela existe como um projeto deste sistema. Uma das informações detal projeto é uma matriz OD utilizada para alocação de tráfego na malha, quefoi estimada manualmente, de forma cuidadosa, a partir da observação do tráfegona rede. Dessa forma, optou-se por utilizar essa matriz OD para representar asobservações Q ′ ij.Todos os valores da matriz maiores que 10 foram utilizados como umaentrada Q ′ ij. Os valores da matriz OD menores que 10 foram descartados, porse tratarem de demandas muito pequenas e, portanto, sujeitas a variações altasrelativamente ao “centro” das observações 4 . Para estes casos, preferiu-se deixar aentrada OD correspondente irrestrita a fim de que o método identificasse a melhordemanda possível para a mesma.Ainda, as observações f ′ α para a Região A foram obtidas através de observaçãodireta do fluxo nas vias da malha viária. Mais detalhes acerca das observaçõesrealizadas na Região A são descritas em detalhes na seção 6.3.As configurações de hardware do computador utilizado para os testesrealizados foram: processador Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU, E7400, 2.80GHz, 4Gbde memória RAM, 170Gb de HD. Os softwares utilizados para a realização dos testes,por sua vez, foram: sistema operacional Linux Ubuntu 9.10 (Karmic), linguagemde programação Java com Java SE 1.6.0_24 e suíte para resolução de programaslineares IBM ILOG CPLEX 12.4 Por exemplo, seja uma observação de 5 veículos para um determinado par OD, com um mínimode 0 e máximo de 25 veículos. O valor máximo é 250% o valor do centro da observação. Quantomenor o valor do centro, maiores podem se tornar os desvios relativos.


6.2 The Corridor Network 986.2 The Corridor NetworkEsta rede viária foi primeiramente proposta por Gur et al. [27] e têm sidousada para validação de vários trabalhos na literatura [51]. Uma ilustração da redeviária pode ser vista na Figura 6.1, na qual os círculos duplos representam possíveisorigens e/ou destinos e os círculos simples representam interseções da malha.Figura 6.1: A rede viária The Corridor Network6.2.1 Matrizes OD “alvo” e fluxos observadosExistem quatro diferentes matrizes OD “alvo” para a malha viária:• uma matriz OD “sem informação” (MSI), que consiste em uma matriz quepossui cada par OD possível para o problema (que possua ao menos umarota conectando a origem ao destino) com uma quantidade igual de viagensdemandadas, e todos os outros pares OD com uma demanda zero.• uma matriz OD “correta” (MC), que possui demandas passíveis de umaalocação de equilíbrio do usuário que atende também a todas as restriçõesde contagens volumétricas nos arcos.• uma matriz OD de equilíbrio alternativa (MEA), que também possui demandaspassíveis de uma alocação de equilíbrio do usuário que atende a todas asrestrições de contagens volumétricas nos arcos (como a MC) mas que édiferente da primeira.• uma matriz OD com pequenos erros (MPE), cujas células possuem pequenasvariações em relação aos valores de MC – em outras palavras, é uma matriz


6.2 The Corridor Network 99OD que possui os valores das células Q MP Eijde MC de forma que Q MP ijE = Q MCijao valor do centro da observação original.como os valores da entrada Q MCij± γ, sendo γ um valor pequeno em relaçãoUma das características que tornam este problema interessante é o fato deexistir mais de uma solução de equilíbrio do usuário que atenda integramente àsobservações de entrada, ilustrado pelas matrizes MC e MEA.É importante ressaltar que os dados disponíveis para o problema propostosão somente observações de fluxos nos arcos (correspondente aos valores f ′ α utilizadospelo FLIPSOD) e matrizes OD “alvo” (que assemelham-se em maior ou menorgrau às entradas Q ′ ij utilizadas pelo FLIPSOD). Não existem, em outras palavras,observações de quantidades de partidas em nós de origem O i nem observações dequantidades de chegadas em nós de destino D j . As diferenças entre uma matriz OD“alvo” e as entradas Q ′ ij utilizadas pelo FLIPSOD serão discutidas mais adiante.Sherali et al. [50] ponderam que dois fatores importantes que afetama qualidade das estimações de matrizes OD são a quantidade e qualidade dascontagens volumétricas observadas nos arcos e da matriz OD “alvo” disponíveis.Assim, estes autores propõem a utilização de três combinações distintas de contagensvolumétricas observadas: contagens volumétricas em todos os arcos da rede viária,em 67% dos arcos da rede viária e em 50% dos arcos da rede viária.A Tabela 6.1, além das contagens volumétricas nos arcos, traz tambéma capacidade e custo de travessia em fluxo livre de cada arco, dados de entradanecessários para a utilização da função BPR. Os dados descritos nessa tabela sãoutilizados para todas as configurações de testes adotadas, descritas a seguir.6.2.2 Testes realizadosNa Tabela 6.2 descrevemos todos os testes realizados sobre a malha viáriaThe Corridor Network. Nas páginas seguintes, averiguamos e discutimos os resultadosdos mesmos.Para todos os testes descritos acima, utilizou-se os seguintes valores paraparâmetros de entrada: quantidade máxima de caminhos possíveis k MAX = 5 5 ;constante de atenuação β = 0.05; método de cálculo de custos nos arcos a funçãoBPR calibrada com parâmetros µ 1 = 0.15 e µ 2 = 4.0; conjunto de desviosa U α = a L α = 0.02, ∀α ∈ A V de contagens volumétricas f α; ′ conjunto de desviosb U ij = b L ij = 0.02, ∀i, j ∈ Q V de observações de demanda origem-destino Q ′ ij;5 O valor de k MAX = 5 foi definido heuristicamente de forma que haja ao mesmo tempo umbom número de caminhos possíveis entre cada par OD e que as soluções sejam computadas deforma eficiente.


6.2 The Corridor Network 100ArcoTabela 6.1: Características da The Corridor Network [50]Nó deorigemdedestinoObservaçõesf ′ αCapacidadeCusto detravessiaem situaçãode fluxolivre1 4 9 2400 2526,316 8,9112 b 5 10 2000 2105,263 8,9113 6 5 100 105,263 35,6454 6 7 5000 5263,158 8,9115 6 8 500 526,316 8,9116 7 1 500 526,316 8,9117 7 9 4500 4736,842 17,8238 8 10 500 526,316 17,8239 9 4 2000 2105,263 8,91110 a,b 9 10 1500 1578,947 8,91111 a,b 9 11 4900 5157,895 17,82312 b 10 5 1600 1684,211 8,91113 a,b 10 9 1500 1578,947 8,91114 a,b 10 12 900 947,368 17,82315 11 2 4800 5052,632 17,82316 a,b 6 11 12 300 315,789 8,91117 b 12 3 1000 1052,632 17,82318 a,b 12 11 200 210,526 8,911a Arcos para os quais assume-se que as contagens volumétricas estejam indisponíveis no casode 67% de disponibilidade.b Arcos para os quais assume-se que as contagens volumétricas estejam indisponíveis no casode 50% de disponibilidade.modelo adotado para etapa de estimação de custos nos arcos M F ; medida de erroentre matriz OD estimada T ij e observações Q ′ ij da última %RMSE(OD) = 0.05;e, finalmente, medida de erro entre conjunto F N de fluxos nos arcos estimado eobservações de entrada f ′ α da %RMSE = 0.05.A seguir, discutimos os resultados obtidos com os testes descritos naTabela 6.2.6.2.3 Resultados obtidosMostramos, na Tabela 6.3, o tempo final de execução dos testes realizadossobre a malha viária The Corridor Network.O tempo final de execução é dado pela soma do tempo gasto na execuçãoda etapa de estimação de custos nos arcos e do tempo gasto na etapa de geraçãodas soluções.


6.2 The Corridor Network 101Nome dotesteTabela 6.2: Configurações de testes com The CorridorNetworkContagensvolumétricasdisponíveis nos arcos(%)Matriz OD“alvo”EntradasO idisponíveisEntradasD jdisponíveisT CN 1 100 MC 0 0T CN 2 100 MEA 0 0T CN 3 100 MPE 0 0T CN 4 67 MC 0 0T CN 5 67 MEA 0 0T CN 6 67 MPE 0 0T CN 7 50 MC 0 0T CN 8 50 MEA 0 0T CN 9 50 MPE 0 0Tabela 6.3: Tempo de execução dos testes realizados na redeviária The Corridor NetworkTesteTempode execuçãoT CN 1 0.520’T CN 2 0.449’T CN 3 5.135’T CN 4 0.285’T CN 5 0.268’T CN 6 3.099’T CN 7 0.359’T CN 8 0.624’T CN 9 4.500’Testes T CN 1 , T CN 2 , T CN 4 , T CN 5 , T CN 7 e T CN 8Os testes T CN 1 , T CN 4 e T CN 7 possuem como matriz OD “alvo” a matrizOD “correta” MC descrita na Tabela 6.4 abaixo.O método FLIPSOD estimou, nos testes T CN 1 , T CN 4 e T CN 7 , a matrizOD correta. Em outras palavras, o FLIPSOD encontrou para todas as disponibilidadesde contagens volumétricas (100%, 67% e 50%), a matriz OD de equilíbriodo usuário que reproduz as contagens volumétricas observadas f ′ α integralmente.Mesmo com contagens volumétricas disponíveis em uma quantidade reduzida de arcos,o método proposto permitiu encontrar a solução esperada – a própria matrizMC.Isso significa que as medidas de erro estatístico adotadas para medir aproximidade entre a solução estimada e a solução desejada foram: %RMSE(OD) =


6.2 The Corridor Network 102Tabela 6.4: Matriz OD “correta” (MC)De/Para 1 2 3 4 54 0 600 700 0 11005 0 1700 300 0 06 500 2500 0 2000 6000, %RMSE = 0, %MAE(OD) = 0 e %MAE = 0.Os testes T CN 2 , T CN 5 e T CN 8 possuem como matriz OD “alvo” a matrizOD de equilíbrio alternativa MEA descrita na Tabela 6.5 abaixo.Tabela 6.5: Matriz OD de equilíbrio alternativa (MEA)De/Para 1 2 3 4 54 0 600 300 0 15005 0 200 300 1500 06 500 4000 400 500 200O método FLIPSOD estimou, também para os testes T CN 2 , T CN 5 e T CN 8 ,a matriz OD correta (que neste caso é a matriz MEA). Em outras palavras, oFLIPSOD encontrou, para todas as disponibilidades de contagens volumétricas(100%, 67% e 50%), a matriz OD de equilíbrio do usuário que reproduz as contagensvolumétricas observadas f ′ α integralmente. Mais uma vez, mesmo com contagensvolumétricas disponíveis em uma quantidade reduzida de arcos, o método propostopermitiu encontrar a solução esperada – a própria matriz MEA.As medidas de erro estatístico adotadas para medir a proximidade entrea solução estimada e a solução desejada, mais uma vez, são: %RMSE(OD) = 0,%RMSE = 0, %MAE(OD) = 0 e %MAE = 0.Testes T CN 3 , T CN 6 e T CN 9Os testes T CN 3 , T CN 6 e T CN 9 possuem como matriz OD “alvo” a matrizOD com pequenos erros MPE, descrita na Tabela 6.6 abaixo.Tabela 6.6: Matriz OD com pequenos erros (MPE)De/Para 1 2 3 4 54 0 806 504 0 11095 0 1512 504 0 06 504 2520 0 2016 605O método FLIPSOD, quando recebe a matriz MPE como observações paraQ ′ ij, gera um espectro de soluções, já que não encontra nenhuma solução de λ = 1,ou seja, que atenda integralmente a todas as estimações de entrada.


6.2 The Corridor Network 103O ideal seria que o método FLIPSOD convergisse para a matriz MC apartir da matriz MPE fornecida como observações de Q ′ ij. No entanto, devido acaracterísticas inerentes ao método proposto que serão discutidas mais adiante nestecapítulo, não foi possível encontrar como solução a matriz MC, apesar de umasolução bastante próxima a esta ter sido gerada.Em seguida, iremos analisar os resultados obtidos para cada um dos testespropostos T CN 3 , T CN 6 e T CN 9 .Teste T CN 3 e T CN 6O Teste T CN 3 , relembrando, possui como matriz OD “alvo” a matriz MPEe contagens volumétricas em 100% dos arcos. Ao aplicarmos o FLIPSOD sobreesse teste, encontramos 11 soluções distintas. A solução de maior λ encontradapossui λ = 0, 9726, sendo bastante próxima das observações de entrada mas nãocompletamente. A solução de menor λ encontrada possui λ = 0 e é a soluçãoencontrada de custo mínimo mais próxima do equilíbrio do usuário.Abaixo, na Figura 6.2, ilustramos as 11 soluções obtidas para o Teste T CN 3através de um gráfico que mostra, no eixo X, o valor de λ da solução e, no eixo Y ,o valor de Z correspondente.140000013500001300000Z12500001200000Z115000011000000,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0LambdaFigura 6.2: Gráfico das soluções obtidas com a matriz alvoMPE e contagens volumétricas em 100% dosarcos da malha viáriaPodemos ver que a solução mais próxima das observações de entrada (deλ = 0, 9726) possui o maior valor de Z encontrado (Z = 1394439). Na medida em queos valores de Z decrescem, também irão decrescer os valores do λ correspondente,ou seja, quanto menor o custo das soluções, mais distantes das entradas observadasas mesmas estarão.


6.2 The Corridor Network 104As medidas estatísticas utilizadas para avaliar os resultados obtidos medema distância entre a matriz OD estimada T ij e as observações da mesma Q ′ ij(%RMSE(OD) e %MAE(OD)) e a distância entre os fluxos nos arcos F N estimadose suas observações f ′ α (%RMSE e %MAE). No entanto, o cálculo dessas medidaspara todas as soluções não é uma boa medida da qualidade das mesmas, já quegeramos soluções que vão do maior ao menor λ possíveis – quanto menor o lambdaencontrado, mais distantes a solução estará do centro das variáveis observadas.São importantes, no entanto, os valores obtidos para estas medidas estatísticaspara a solução de maior λ encontrada. Esta é a solução que mais se aproximadas observações de entrada.Os valores das medidas estatísticas obtidos para a solução de maior λencontrada foram:• %RMSE = 0, 3339• %MAE = 0, 2482• %RMSE(OD) = 13, 8113• %MAE(OD) = 8, 1427Notemos que as distâncias entre entre os fluxos nos arcos F N estimadose as observações de fluxo de entrada f ′ α são bem menores comparativamente àsdistâncias entre a matriz OD estimada T ij e as observações da mesma Q ′ ij. Isto éesperado e inclusive desejado, uma vez que sabemos que os fluxos nos arcos possuemuma alocação de equilíbrio possível que os reproduza e que a qualidade da matrizOD “alvo” (a matriz MPE) é relativamente baixa.O método permite que este resultado seja obtido – um resultado com umamaior importância relativa às contagens volumétricas observadas nos arcos do queàs observações da matriz OD – por causa da etapa de estimação de custos nos arcos.Nesta etapa, como já discutido, o método obtém os custos nos arcos que refletemuma situação idealmente de equilíbrio do usuário, ou aquela mais próxima possívelatravés do modelo matemático proposto.No entanto, como as observações da matriz OD Q ′ ij e as observações defluxo nos arcos f ′ α possuem mesmo valor relativo (são consideradas como igualmenteimportantes) para o modelo matemático do FLIPSOD, o resultado de equilíbrio dousuário correspondente (a matriz MC) não pôde ser encontrado, apesar de ter sidoencontrada uma solução bastante próxima. As características do método FLIPSODque fazem com que isto aconteça serão discutidas adiante no Capítulo 7.O Teste T CN 6 possui a matriz MPE como matriz “alvo” e consideracontagens volumétricas em 67% dos arcos. Ao aplicar o FLIPSOD sobre estaconfiguração de teste, encontramos também 11 soluções distintas e resultados


6.2 The Corridor Network 105similares aos obtidos para o teste T CN 3 . A solução mais próxima das observaçõesde entrada possui λ = 0, 9726 e a de menor λ possui λ = 0.Os valores das medidas estatísticas encontrados para a solução de λ =0, 9726 obtida com o teste T CN 6 foram:• %RMSE = 0, 3211• %MAE = 0, 2502• %RMSE(OD) = 13, 8233• %MAE(OD) = 8, 1497Os resultados obtidos são bastante próximos àqueles obtidos com o testeT CN 3 . A maior diferença encontrada entre medidas equivalentes foi de 0, 012 paraa medida %RMSE, sendo todas as outras ainda menores que esta.Teste T CN 9Finalmente, o Teste T CN 9 possui como matriz OD “alvo” a matriz MPEe contagens volumétricas em apenas 50% dos arcos, sendo o pior caso de testesexistente no que concerne à disponibilidade de fluxos nos arcos. Ao aplicarmos oFLIPSOD sobre esta configuração de teste, encontramos 18 soluções distintas – 9a mais que nos testes T CN 3 e T CN 6 . A solução de maior λ encontrada possuiλ = 0, 9402, sendo bastante próxima das estimações de entrada mas, ainda assim,mais distante daquela estimada pelos testes T CN 3 e T CN 6 . A solução de menor λencontrada possui λ = 0 e é aquela de custo mínimo mais próxima do equilíbrio dousuário.Abaixo, na Figura 6.3, mostramos as 18 soluções obtidas para o Teste T CN 9 .680000670000660000650000Z640000630000Z6200006100006000000,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0LambdaFigura 6.3: Gráfico das soluções obtidas com a matriz alvoMPE e contagens volumétricas em 50% dos arcosda malha viária


6.2 The Corridor Network 106Podemos ver que a solução mais próxima das observações de entrada (maiorλ) possui o valor de Z entre os valores obtidos para a mesma solução nos testes T CN 3e T CN 6 – λ = 0, 9402 e Z = 679621. Os valores das medidas estatísticas encontradospara essa solução são:• %RMSE = 0, 5376• %MAE = 0, 4173• %RMSE(OD) = 13, 9096• %MAE(OD) = 8, 2921Notemos que as distâncias entre entre os fluxos estimados nos arcos F N e asobservações de fluxo de entrada f ′ α novamente são bem menores comparativamenteàs distâncias entre a matriz OD estimada T ij e as observações da mesma Q ′ ij.6.2.4 Uma breve discussão acerca da matriz OD “sem informação”(MSI)Vários métodos propostos na literatura fazem uso de uma matriz OD “alvo”de forma a solucionarem o problema da indeterminação do sistema de equações noprocesso de estimação sintética de uma nova matriz OD. Um exemplo de matrizOD utilizada por estes métodos é a matriz OD “sem informação” MSI, descrita naTabela 6.7.Tabela 6.7: Matriz OD “sem informação” (MSI)De/Para 1 2 3 4 54 0 983 0 0 9835 0 983 983 983 06 983 983 983 983 983No entanto, há uma característica do método FLIPSOD que torna autilização desta matriz OD “alvo” inviável no processo de estimação de matrizesOD para a malha viária The Corridor Network. O FLIPSOD não utiliza as entradasde Q ′ ij somente de forma a “guiar” as soluções em direção a uma solução “maisprovável” mas, ao contrário, utiliza esta observação Q ′ ij para restringir o espaço dassoluções possíveis na forma de restrições em métodos de programação linear.Isto significa que uma observação deve ter um mínimo de confiabilidade paraque ela seja útil como dado de entrada ao FLIPSOD. É para isso que, para cadadado de entrada Q ′ ij fornecido ao método, devemos também fornecer os dois valoresde desvio b U ij e b L ij, respectivamente acima e abaixo do centro do valor observado.Este intervalo define os valores possíveis para a estimação final dessa variável.


6.2 The Corridor Network 107As entradas da matriz MSI, como não têm intenção de ser observaçõespropriamente ditas, mas somente entradas com valores médios em relação às matrizesMC e MEA, não são dados de entrada que satisfaçam este pré-requisito do FLIPSOD.Por isso, caso não se possua informação minimamente confiável acerca dos valores deviagens demandadas entre pares OD – situação que a matriz MSI deseja representar–, deve-se simplesmente omitir as entradas OD dos dados de entrada.Por este motivo, não utilizamos a matriz MSI como matriz OD “alvo” emtestes com o FLIPSOD.6.2.5 Comentários geraisOs nove testes propostos, T CN 1 a T CN 9 , nos permitem ilustrar o comportamentodo método FLIPSOD aplicado à rede viária The Corridor Network, umarede bastante estudada e utilizada na literatura, em situações de variadas disponibilidadesde contagens volumétricas e também para diferentes matrizes OD “alvo”disponíveis.Para os casos em que as matrizes OD “alvo” disponíveis são a MC ou a MEA,ambas possuindo uma alocação de equilíbrio que atende integralmente às observaçõesde entrada de contagens de fluxo nos arcos, o método proposto encontra a soluçãoótima (de maior λ possível, com λ = 1), para qualquer que seja a disponibilidade decontagens de fluxo nos arcos (100%, 67% ou 50%).Para o caso da matriz MPE, no entanto, o método não estimou a matriz MCcomo esperado, mas resultou em uma matriz OD bastante próxima da mesma quereproduz de forma bastante fiel os fluxos observados nos arcos (qual seja o percentualde arcos com contagens de fluxo disponível, 100%, 67% ou 50%).Uma característica da atual formulação matemática do FLIPSOD é aigualdade de importância para as restrições de Q ′ ij, f α, ′ O ′ i e D j. ′ Sendo as restriçõesde entradas Q ′ ij igualmente importantes às restrições de fluxo nos arcos f α, ′ o métodoprocura atender a ambas igualmente.O ideal seria que o método FLIPSOD estimasse a matriz MC a partirda matriz MPE fornecida como observações de Q ′ ij, mas a sua atual formulaçãomatemática impede que isto aconteça. Para que o método possa fazê-lo, devemoster uma forma de dar maior importância às contagens volumétricas observadas nosarcos f ′ α do que às observações de Q ′ ij – uma vez que f ′ α reproduzem uma alocação deequilíbrio do usuário mas as observações Q ′ ij são de qualidade relativamente baixano caso da matriz MPE.Os autores do método estão a par desta limitação e estudam uma propostade modificação da formulação matemática do mesmo para que isso seja corrigido.Indicações para esta proposta serão discutidas no capítulo 7.


6.2 The Corridor Network 108Sherali et al. [50] testaram seu método também sobre a rede viária TheCorridor Network e calcularam os resultados obtidos para as medidas estatísticas%RMSE, %MAE, %RMSE(OD) e %MAE(OD).De modo similar ao nosso, Sherali et al. também encontram a solução ótimapara a matriz OD “alvo” MC – no caso, a matriz estimada é idêntica à própria MC–, para todas as disponibilidades de contagens volumétricas nos arcos (100%, 67%e 50%).Os resultados obtidos por Sherali et al., para a matriz OD “alvo” MPE, sãoum pouco melhores que os obtidos pelo método FLIPSOD, proposto neste trabalho.Tabela 6.8: Resultados do método SA proposto por Sherali etal. [50] aplicado para The Corridor Network coma matriz OD “alvo” MPEDisponibilidade decontagens volumétricas%RMSE %MAE %RMSE(OD)%MAE(OD)50% 0 0 13,77 8,767% 0 0 13,42 8,18100% 0 0 0 0Tabela 6.9: Resultados do método FLIPSOD aplicado paraThe Corridor Network com a matriz OD “alvo”MPEDisponibilidade decontagens volumétricas%RMSE %MAE %RMSE(OD)%MAE(OD)50% 0,5376 0,4173 13,9096 8,292167% 0,3211 0,2502 13,8233 8,1497100% 0,3339 0,2482 13,8113 8,1427Na Tabela 6.8 mostramos os resultados obtidos por Sherali et al. aoaplicarem seu algoritmo SA sobre a matriz OD “alvo” MPE. Em seguida, naTabela 6.9, mostramos os resultados obtidos pelo método FLIPSOD para a mesmamatriz OD “alvo” MPE.Podemos ver que a grande diferença entre os dois métodos consiste no casode existirem contagens volumétricas em 100% dos arcos da rede viária, situaçãona qual o SA produz uma solução ótima e o FLIPSOD produz uma solução comresultados próximos àquelas estimadas para os casos de disponibilidade de contagensde tráfego em 50% e 67% dos arcos.Para os casos de disponibilidade de contagens volumétricas em 50% e 67%dos arcos da rede viária, os resultados obtidos por ambos os métodos são bastantepróximos, apesar de os resultados apresentados pelo algoritmo SA possuirem resultadosligeiramente melhores. A diferença entre os resultados obtidos pelos métodos


6.3 Goiânia - Região A 109varia em no máximo 0, 4% – caso do %MAE(OD) para contagens em 50% do arcos.Em todos os outros casos, a diferença encontrada é ainda menor que 0, 4%, sendoos resultados estimados pelo FLIPSOD algumas vezes mais adequados – caso do%MAE(OD) para contagens em 50% e 67% dos arcos.6.3 Goiânia - Região AOs testes realizados com a rede viária denominada Região A serão descritosa seguir. Uma ilustração da mesma pode ser vista na Figura 6.4 abaixo.Figura 6.4: A rede viária Região AEsta rede viária representa uma região da cidade de Goiânia–GO, no Brasil.Ela possui 56 nós e 138 arestas, sendo que destes nós 22 são possíveis origens e 24são possíveis destinos de viagens. Há um total de 276 pares OD possíveis para oproblema proposto.


6.3 Goiânia - Região A 110Após a transformação do grafo G ilustrado na Figura 6.4, o grafo G ′correspondente 6 possuirá 388 nós e 648 arestas. No novo grafo, a quantidade deorigens e destinos se mantém inalterada.Para a Região A, temos à disposição todos os possíveis dados de entradapermitidos pelo FLIPSOD: observações Q ′ ij de entradas da matriz OD final, observaçõesde contagens volumétricas f ′ α nos arcos, observações de quantidades departidas O ′ i em nós de origem e observações de quantidades de chegadas D ′ j em nósde destino.As observações f ′ α existentes foram obtidas no ano de 2007 através deobservação direta do fluxo nas vias. O horário escolhido para a realização dasobservações foi entre as 7:00 e 8:00 da manhã, por consistir em um horário detráfego intenso na região estudada.As observações Q ′ ij, O ′ i e D ′ j disponíveis foram também obtidas através deobservação direta, para o mesmo período de utilizado para os fluxos f ′ α.Dentre os 138 arcos na Região A, há um total de 73 arcos que possuemcontagens volumétricas f ′ α, o que corresponde a 52.9% dos arcos da rede. Há tambémum total de 96 pares OD que possuem estimações Q ′ ij, ou seja, 34.8% dos pares ODexistentes. Ainda, do total de 56 nós da malha viária, 15 possuem observações O ′ ide geração de viagens (26.7%) e também 15 possuem observações D ′ j de atração deviagens (26.7%).Através dos dados de entrada, podemos notar que as observações disponíveispara o problema são poucas. Além de incompletas, elas são também imprecisas, jáque existem variados graus de desvio para as mesmas.Para todos os testes descritos na Tabela 6.10, utilizou-se os seguintes valorespara parâmetros de entrada:• quantidade máxima de caminhos possíveis k MAX = 5 (de forma a permitir acomputação de soluções de forma eficiente);• constante de atenuação β = 0.2;• diferença máxima entre dois λ de duas soluções de ɛ λ = 0.1 para que as soluçõessejam consideradas iguais;• diferença máxima entre dois conjuntos de fluxos estimados nos arcos f α ,adotada como %RMSE = 1 – quando se usa a função BPR – ou %RMSE =20 – quando se usa o PETGyn na etapa de estimação de custos nos arcos –,para que se considere que os fluxos nos arcos (e, consequentemente, os custosnos arcos) tenham convergido.6 O grafo G ′ é obtido através de uma transformação executada sobre o grafo G de forma aassegurar que todas as restrições relacionadas a proibição de conversões sejam respeitadas pelométodo FLIPSOD. Os detalhes desta transformação são descritos na seção 5.5.


6.3 Goiânia - Região A 111NomedotesteTabela 6.10: Configurações de testes executados sobre a RegiãoADesviosa d α, b d ij, d d i , e d jrelativos 1Métododeestimaçãode custosnos arcosModelousado naestimaçãode custosnos arcos%RMSE ɛ λ βT R 1 1, 1, 1, 1 BPR M F 1 0.1 0.2T R 2 0.1, 0.1, 0.1, 0.25 BPR M F 1 0.1 0.2T R 3 1, 1, 1, 1 PET M F 20 0.1 0.2T R 4 1, 0.1, 1, 1 PET M F 20 0.1 0.2T R 5 0.1, 1, 1, 1 PET M F 20 0.1 0.21 As medidas de desvio a d α, b d ij , dd i e ed j são valores relativos ao centro das respectivasobservações que restringem. Os intervalos possíveis para os desvios são 0 ≤ a d α ≤ 1, 0 ≤ b d ij ≤ 1,0 ≤ d d i ≤ 1 e 0 ≤ ed j ≤ 1. Ainda, as medidas de desvio ad α, b d ij , dd i e ed j são dadas para o conjuntodas observações f α, ′ Q ′ ij , O′ i e D′ j , respectivamente, tal que ad αf ′ α = a L α = a U α , ∀α ∈ A V eb d ij Q′ ij = bL ij = bU ij , ∀i, j ∈ OD′ e d d i O′ i = dL i = d U i , ∀i ∈ O e ed j D′ j = eL j = eU j ∀j ∈ D.Primeiramente, desejamos averiguar a qualidade das soluções obtidas tantopara o caso do FLIPSOD utilizar o PETGyn quanto a função BPR na etapa deestimação dos custos nos arcos. É importante lembrar que as constantes µ 1 e µ 2 dafunção BPR adotados nos testes T R 1 e T R 2 possuem valores intermediários àquelescalibrados para os EUA e para Holanda/Japão, sendo µ 1 = 1.65 e µ 2 = 4.5. Nosoutros testes T R 3 , T R 4 e T R 5 , isso não faz diferença já que utilizou-se o PETGynpara a calibração dos custos nos arcos e não a função BPR.De forma análoga, os testes T R 3 até T R 5 foram pensados para cobrir aspossibilidades no caso de utilizarmos o PETGyn para a estimação dos custos nosarcos.Em seguida, iremos discutir os resultados obtidos com os 5 testes propostos,mostrar algumas visualizações ilustrativas dos mesmos e examiná-los.6.3.1 Resultados dos testesO tempo final de execução de um teste pode variar bastante, como ilustradona Tabela 6.11. O tempo final de execução é a soma do tempo levado para aexecução da etapa de estimação de custos nos arcos e da etapa de geração desoluções através da busca no espaço de soluções com o método de pesquisa binária.Os testes T R 1 e T R 3 , que possuem espaço de soluções muito grande – dado peloserros a d α = 1, b d ij = 1, d d i = 1, e d j = 1 –, são aqueles que possuem maior tempo deexecução.


6.3 Goiânia - Região A 112Tabela 6.11: Tempo de execução dos testes realizadosTesteTempo de execuçãoT R 1 5”44’T R 2 2”36’T R 3 7”21’T R 4 2”58’T R 5 2”21’Na Tabela 6.12 mostramos os valores obtidos para λ e z, além das medidas%RMSE, %RMSE(OD), %MAE e %MAE(OD), para a solução 1 (de maior λ),de todos os testes realizados.Tabela 6.12: Resultados obtidos para as soluções 1 (de maiorλ) dos testes realizadosTeste Solução λ z %RMSE %RMSE %MAE %MAE(OD)(OD)T R 1 1 0.824 1794981 17.77 14.10 13.73 17.42T R 2 1 0.175 2765254 8.30 6.83 6.26 8.55T R 3 1 0.821 7042629 19.32 14.05 15.25 17.14T R 4 1 0.853 6348377 13.31 1.17 10.39 1.47T R 5 1 0.359 5078672 7.79 52.11 6.04 75.01A seguir, discutiremos cada um dos testes realizados individualmente e, emseguida, discutiremos os resultados globais obtidos.Teste T R 1O teste T R 1 foi pensado para averiguar a qualidade das matrizes ODestimadas pelo método FLIPSOD para os casos em que as observações de entradasão de baixa confiabilidade. Tem-se uma ideia do centro destas observações, mas asmesmas podem variar bastante – dado pelos desvios relativos a d α = 1, b d ij = 1, d d i = 1e e d j = 1. Estes valores significam na prática que as observações f α, ′ Q ′ ij, O ′ i e D ′ jpodem variar dentro dos intervalos 0 ≤ f α ≤ 2f α, ′ 0 ≤ Q ij ≤ 2Q ′ ij, 0 ≤ O i ≤ 2O ′ i e0 ≤ D j ≤ 2D j.′Obtivemos seis soluções distintas ao executarmos esse teste. Na Tabela 6.13,vemos os valores estimados de λ e z para cada uma das seis soluções obtidas para oteste T R 1 . Como podemos ver, na medida em que o valor de λ cai progressivamente,o mesmo ocorre com o valor da solução z.Na Figura 6.5, vemos uma ilustração da solução de maior λ obtida com oteste T R 1 . Ainda, na Tabela 6.18, vemos a matriz OD estimada correspondente aessa solução. A solução 6, de λ = 0, possui todos os fluxos em todos os arcos iguais a


6.3 Goiânia - Região A 113Figura 6.5: Solução 1 (de maior λ) obtida para a configuraçãoT R 1zero. Isso acontece porque os erros relativos a d α = 1, b d ij = 1, d d i = 1 e e d j = 1 tornampossível obter uma solução trivial sem fluxo.Mostramos na Figura 6.6 os fluxos nos arcos estimados para a solução 4 daTabela 6.13, de custo total z = 225821. Podemos ver que o fluxo nos arcos diminuiubastante, para todos os arcos da rede viária, quando comparados em relação àquelesobtidos pela solução 1 (Figura 6.5).Teste T R 2O teste T R 2 foi proposto para averiguar a qualidade das matrizes ODestimadas para o caso do problema possuir um espaço de soluções pequeno. Osvalores de a d α, b d ij, d d i e e d j foram escolhidos de forma que os valores a U α = a L α, b U ij = b L ij,d U i = d L i e e U j = e L j sejam os menores possíveis.


6.3 Goiânia - Região A 114Tabela 6.13: Soluções obtidas para o testes T R 1Solução λ z1 0.824 17949812 0.394 6871393 0.311 5100944 0.172 2258215 0.088 1095886 0.000 0Obtivemos duas soluções distintas ao executarmos esse teste. Na Tabela 6.14abaixo, vemos os valores estimados de λ e z para cada uma delas.Tabela 6.14: Soluções obtidas para o testes T R 2Solução λ z1 0.175 27652542 0.003 2398716A solução de maior λ obtida com esse teste possui λ = 0.175 e z = 2765254.Comparada à solução de maior λ encontrada para o teste T R 1 , o seu λ é menor eo custo final da solução é maior – para o teste T R 1 os valores encontrados para asolução de maior λ são λ = 0.824 e z = 1794981.No entanto, a solução de maior λ obtida pelo teste T R 2 é melhor que aquelaobtida pelo T R 1 , tanto no que diz respeito à proximidade dos fluxos estimados nosarcos em relação aos fluxos observados quanto à matriz OD estimada em relaçãoàs suas observações disponíveis. Em outras palavras, todas as medidas estatísticascalculadas para a solução de maior λ obtida pelo teste T R 2 são melhores que aquelascalculadas para a mesma solução do teste T R 1 , como ilustrado na Tabela 6.12.Teste T R 3O teste T R 3 foi proposto para averiguar a qualidade das soluções estimadasquando utiliza-se o PETGyn para o cálculo dos custos nos arcos, em uma situaçãocom desvios muito grandes para as observações de entrada.Obtivemos oito soluções distintas ao executarmos esse teste. Na Tabela 6.15abaixo, vemos os valores estimados de λ e z para cada uma das soluções obtidaspara o teste T R 3 .Esse teste traz as soluções obtidas para o caso de utilizarmos o PETGynna etapa de estimação de custos nos arcos. O valor final z da solução de maior λé bastante alto em comparação aos testes T R 1 e T R 2 , sendo 392.4% maior que oobtido pelo primeiro e 254.7% maior que o último.


6.3 Goiânia - Região A 115Figura 6.6: Solução 4 obtida para a configuração T R 1As medidas de desvio também mostram que a solução de maior λ de T R 3é um pouco pior que aquela de T R 1 no que diz respeito aos fluxos estimados nosarcos, e um pouco melhor quanto à matriz OD estimada. Em relação à solução demaior λ do teste T R 2 , a solução de maior λ de T R 3 é pior segundo todas as medidas– sendo que tanto a matriz OD final estimada quanto os fluxos estimados nos arcossão de menor qualidade.Teste T R 4O teste T R 4 foi pensado para averiguar quais os resultados obtidos no casodas observações Q ′ ij serem mais precisas – ou seja, b d ij = 0.1 – e as estimações f αpoderem variar enormemente – dado por a d α = 1.Obtivemos sete soluções distintas ao executarmos esse teste. Na Tabela 6.16abaixo, vemos os valores estimados de λ e z para cada uma das soluções obtidaspara o teste T R 4 .


6.3 Goiânia - Região A 116Tabela 6.15: Soluções obtidas para o testes T R 3Solução λ z1 0.821 70426292 0.731 58199503 0.610 47287074 0.473 35676385 0.358 25996156 0.279 19396617 0.141 8081908 0.000 0Tabela 6.16: Soluções obtidas para o testes T R 4Solução λ z1 0.853 63483772 0.511 37405933 0.417 33462634 0.298 29049355 0.163 25141796 0.081 23322077 0.022 2169395Obtivemos sete soluções ao executarmos esse teste. Na Tabela 6.12 vemosos valores estimados de λ e z, além das medidas %RMSE, %RMSE(OD), %MAEe %MAE(OD) para a solução de maior λ obtida para o teste T R 4 . Podemosobservar que as medidas %RMSE(OD) e %MAE(OD) são as menores obtidasdentre todos os outros testes. Isso era esperado, já que adotamos o menor valor parab d ij, ∀(i, j) ∈ OD ′ possível.Teste T R 5Finalmente, com o teste T R 5 desejamos averiguar o que acontece casopermitamos que as estimações de f α sejam o mais restritas possível – dado quea d α = 0.1 é o menor valor possível para a d α – e façamos com que as estimações de Q ijpossam variar enormemente – dado por b d ij = 1.Obtivemos três soluções distintas ao executarmos esse teste. Na Tabela 6.17abaixo, vemos os valores estimados de λ e z para cada uma das soluções obtidaspara o teste T R 5 .Na Tabela 6.12 mostramos os valores estimados de λ e z, além daquelesobtidos para as medidas %RMSE, %RMSE(OD), %MAE e %MAE(OD), paraa solução 1 do teste T R 5 .


6.3 Goiânia - Região A 117Tabela 6.17: Soluções obtidas para o teste T R 5Solução λ z1 0.359 50786722 0.085 33514343 0.025 3096272Notemos que as medidas %RMSE e %MAE foram as menores obtidas e%RMSE(OD) e %MAE(OD) foram as maiores, em comparação aos outros testes.Mais uma vez, esse efeito era esperado. Isso acontece ao “forçarmos” os menoresdesvios possíveis para os fluxos nos arcos (a d α = 0.1) e o desvio das entradas Q ijserem liberados para seu valor máximo (b d ij = 1).6.3.2 Comentários geraisO método FLIPSOD gerou bons resultados para ambos os testes numéricosrealizados, The Corridor Network e Região A.Para a rede viária The Corridor Network, o método obteve resultados ótimosou muito próximos do melhor resultado já publicado na literatura.A matriz OD estimada para a matriz OD “alvo” MC, para as contagens em50%, 67% e 100% dos arcos, é a matriz OD ótima.A matriz OD estimada para a matriz OD “alvo” MPE, para as contagensem 50% e 67%, é bastante próxima daquela estimada por Sherali et al. [50]. Nocaso da disponibilidade de contagens em 100% dos arcos, no entanto, Sherali et al.encontram o resultado ótimo (a matriz OD MC), mas o método proposto não.No entanto, Sherali et al. [50] não apresentam resultados para a matrizMEA, enquanto o método proposto no presente trabalho encontra a solução ótimapara a mesma.A Região A, malha viária representativa de uma parte da cidade de Goiânia,no Brasil, nos permitiu avaliar a qualidade das estimações do método FLIPSOD paraum caso real. Os dados de entrada existentes para a estimação (f α, ′ Q ′ ij, O ′ i e D j)′são poucos e, ainda por cima, possuem um alto grau de imprecisão.É importante ressaltar que outros testes foram realizados sobre a Região A– combinando as possíveis alternativas para as constantes µ 1 e µ 2 da função BPRàs duas possibilidades de modelos para o cálculo dos custos nos arcos, M L ou M F .No entanto, os resultados obtidos com esses testes foram bastante próximos, motivopelo qual eles não foram discutidos nesse trabalho.Os resultados obtidos com os 5 testes executados sobre esta malha viáriamostraram que o método possui grandes qualidades, encontrando soluções próximas


6.3 Goiânia - Região A 118das observações, quando elas existem, mas ao mesmo tempo apresentando tambémsoluções de baixo custo total.As soluções T R 2 , T R 4 e T R 5 são boas soluções, sendo que nenhuma é melhorque as outras segundo todos os critérios (medidas estatísticas). Claramente, quantomaior a confiabilidade dos dados disponíveis, melhores os resultados encontradospelo método. O teste T R 2 , na Região A, obteve valores %RMSE, %RMSE(OD),%MAE e %MAE(OD) homogêneos e baixos em comparação aos outros testes.Notemos que o teste T R 4 foi o que obteve os menores valores para %RMSE(OD)e %MAE(OD), enquanto o teste T R 5 obteve os menores valores para %RMSE e%MAE. A característica que os distingue dos outros é exatamente a confiabilidadede seus dados de entrada.Um problema identificado nas soluções apresentadas pelo método FLIPSODocorre para casos em que as medidas de desvios possíveis nas estimações são muitograndes (situação representada nos testes T R 1 e T R 3 ). Nesses casos, as últimasmatrizes OD estimadas pelo método – aquelas nas quais se aproxima da soluçãoviável de custo mínimo – possuem fluxo total muito baixo, sendo que a últimasolução gerada para os casos em que os desvios relativos a d α = 1, b d ij = 1, d d i = 1 ee d j = 1 é uma solução com todos os fluxos nos arcos iguais a zero.Uma possível forma de solucionar este problema seria através da utilizaçãode uma medida de fluxo total mínimo que assegure um carregamento mínimo da redee impeça que soluções com fluxo muito baixo sejam obtidas – uma das melhoriaspensadas para trabalhos futuros que serão discutidas no capítulo seguinte.


6.3 Goiânia - Região A 119Tabela 6.18: Matriz OD estimada para a Região A na configuraçãoT R1 (solução de maior λ)O/D 322 326 336 464 465 470 472 474 494 586 588 590 605 606 610 611 622 2054 2056 2058 2060 2062 2064 2066 2068 2070322 0 0 0 0 0 0 0 82 0 329 0 41 24 182 29 0 82 42 59 0 16 118 25 0 41 0326 0 0 0 0 0 0 0 0 63 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 93 0 0 0 0 0 0336 0 0 0 0 37 28 0 12 0 91 0 33 0 0 51 0 35 16 0 0 8 8 8 0 35 12464 0 14 0 0 35 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8465 0 12 93 8 0 8 0 0 0 12 0 12 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0470 0 8 0 50 0 0 0 224 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0472 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0474 45 0 8 0 0 0 0 0 222 49 0 107 0 10 0 0 0 16 0 0 8 8 8 0 41 112494 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 78 0 0 0 57 0 49 11 8 0 51 0 0 0 0586 399 33 45 0 33 0 0 37 140 0 0 0 0 0 0 0 58 0 25 16 8 0 0 0 0 0590 41 0 62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 228 25 0 329 0 353 0 0 0 0 0 82 0605 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0606 0 0 62 0 40 0 0 12 0 0 0 146 0 0 108 0 6 0 0 0 0 0 200 0 162 0610 21 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0611 0 0 0 0 0 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0622 41 0 25 0 0 0 0 0 76 0 0 453 0 0 41 6 0 25 12 0 8 8 12 9 107 122054 58 0 25 0 0 0 0 25 0 0 0 59 0 25 0 0 41 0 0 0 0 0 0 0 0 02058 18 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 0 0 0 02060 37 0 8 12 0 0 0 8 0 0 0 35 0 0 0 0 25 0 39 0 0 0 0 0 0 02062 0 54 8 0 16 0 0 12 0 54 0 71 0 0 0 0 0 0 0 23 29 0 0 0 0 02064 16 0 8 0 12 0 0 12 0 12 0 41 0 91 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 02066 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 23 0 0 0 0 9 0 0 18 0 8 02070 0 0 8 8 0 0 0 161 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


ConclusõesCAPÍTULO 7Neste trabalho apresentamos uma revisão bibliográfica dos métodos de estimaçãoestática de matrizes OD de forma a introduzir um novo método chamadoFLIPSOD, proposto para estimação estática de matrizes OD e baseado em programaçãolinear fuzzy.Várias características tornam o método proposto inovador. Primeiramente,ele foi pensado para permitir a estimação de um conjunto de matrizes OD que vaida matriz OD que representa demandas mais próximas dos centros das observaçõesde entrada até aquela que representa a solução de menor custo total mais próximado equilíbrio do usuário dentro do intervalo de valores das observações, gerandoas matrizes intermediárias nesse processo. Em segundo lugar, o FLIPSOD permiteincluir dados de observações de partidas em nós de origem, assim como observaçõesde chegadas a nós de destino, na modelagem do problema de estimação de matrizesOD 1 . Ele permite, ademais, trabalhar com dados de entrada incompletos e imprecisos(observações de fluxos nos arcos, de entradas na matriz OD final, de partidas emnós de origem e de chegadas a nós de destino), além de malhas viárias grandes ecomplexas, sendo portanto mais adequado para aplicação em casos reais.Acredita-se que a possibilidade da estimação de várias matrizes OD, nolugar de apenas uma, seja uma importante distinção do método em relação aosoutros já propostos. No caso de não haver uma só solução que atenda integralmenteàs estimações de entrada e que seja de equilíbrio do usuário, a estimação de váriassoluções torna-se interessante na medida que possibilita ao usuário do sistema decidirqual a melhor solução para o seu caso específico.Apresentamos uma implementação do FLIPSOD em um sistema computacionale realizamos testes com o mesmo, usando exemplos numéricos tais como o1 Essa característica até então não foi encontrada em nenhum trabalho ao qual o presente autorteve acesso, provavelmente por não constituir um dado de entrada importante para os mesmos.No entanto, para o caso da Região A e, acredita-se, para a grande maioria dos problemas detráfego reais brasileiros, esses dois dados são muito importantes por serem de fácil aquisição e porpermitirem soluções de maior qualidade.


7.1 Trabalhos Futuros 121problema The Corridor Network, bastante estudado na literatura, e um estudo decaso real que consiste em uma região da cidade de Goiânia–GO, no Brasil. Os resultadosalcançados mostram que o método permitiu a obtenção de bons resultadospara o caso da rede viária The Corridor Network, comparáveis aos melhores resultadospublicados para o mesmo (Sherali et al. [50]) dos quais o autor deste trabalhotem notícia. Ainda, os resultados obtidos para a rede viária Região A foram bastanteinteressantes, mostrando claramente as várias qualidades do método e tambémalgumas de suas características passíveis de melhorias no futuro.Como já apontado anteriormente, resultados parciais obtidos com este trabalhoserão publicados nos anais do Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional(SBPO) deste ano. O método FLIPSOD, ainda, está em franco processo de desenvolvimentoe aprimoramento, de forma que há várias modificações já pensadaspara que as soluções obtidas sejam mais representativas da realidade e de melhorqualidade.7.1 Trabalhos FuturosNo decorrer do planejamento e execução deste trabalho, identificou-sepossíveis melhorias que seriam interessantes para o projeto de estimação de matrizesOD. Algumas destas melhorias envolvem:• Utilizar um algoritmo mais inteligente para enumeração das possíveis rotasentre os pares OD, como, por exemplo, a técnica de column generation. Atécnica em questão permite a geração das rotas dinamicamente. Seu principalponto positivo é que somente as rotas efetivamente utilizadas na alocação finalterão uma variável correspondente no método de programação linear, o quetorna a solução de instâncias de problemas muito grandes computacionalmentemais eficiente.• Modificar o modelo de programação linear fuzzy utilizado para, no lugar deutilizarmos um único λ que representa o espectro de variação possível paratodas as estimações de entrada ao mesmo tempo, utilizarmos um λ para cadaestimação de entrada individualmente. Acredita-se que com o uso de múltiplosλ o método possa gerar soluções melhores.• Utilizar uma medida de fluxo total no processo de estimação. Atualmente,o método proposto gera soluções dentro do espectro das soluções possíveis,restritas pelas observações de entrada. Quando os erros nas observações deentrada são muito grandes, o método produz soluções que diminuem muitoo fluxo total na rede, o que é indesejado. Com a utilização de um limitante


7.1 Trabalhos Futuros 122inferior para o fluxo total na malha viária, acredita-se que as soluções geradasserão de maior qualidade.• Implementar uma interface com o usuário que permita que o mesmo forneça osdados sobre as observações f α, ′ Q ′ ij, O ′ i e D ′ j existentes para o FLIPSOD SYS,assim como seus desvios para cima e para baixo correspondentes. Atualmenteesse processo é feito de forma manual, através da criação de um arquivoespecífico.• Implementar visualizações interativas mais complexas que permitam umamaior compreensão dos dados observados e das soluções obtidas pelo FLIP-SOD. Em particular, acredita-se que uma visualização interativa que permitamostrar os fluxos estimados nos arcos, as demandas estimadas entre os paresOD da malha viária e as rotas com tráfego entre os pares OD seja de grandeinteresse.• Na etapa de estimação de custos nos arcos do FLIPSOD, na atividade deinicialização dos custos nos arcos, para os arcos α ∈ A M inicializar os fluxospróximos a valores reais através de uma interpolação de fluxos observados emoutros arcos da malha.Acredita-se que a consecução destas modificações, que já estão sob análiseacerca de sua viabilidade, tornará o método mais robusto e permita melhoresresultados.


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Introdução sobre lógica fuzzy eprogramação linear fuzzyAPÊNDICE AA.1 Conjuntos fuzzy e Lógica fuzzyA Lógica fuzzy baseia-se na Teoria dos Conjuntos fuzzy. Na lógica booleana,baseada na Teoria dos Conjuntos clássica, uma sentença lógica deve ser necessariamentecompletamente verdadeira ou completamente falsa. A lógica fuzzy permiteque sejam realizados cálculos e representações que envolvam variados graus de incertezaacerca dos dados envolvidos, sendo nesse sentido uma extensão da lógicatradicional.No lugar dos resultados de inferências possuirem dois valores somente,“verdadeiro” ou “falso”, insere-se o conceito de incerteza permitindo-se resultadosintermediários – que podem ser interpretados como, por exemplo, “parcialmenteverdadeiros” ou “parcialmente falsos”. A Lógica fuzzy permite que um determinadoelemento possa possuir distintos graus de pertinência a um conjunto fuzzy.A Teoria dos Conjuntos fuzzy foi introduzida por Zadeh [62] e pode sertomada como uma lógica multivalorada ou com infinitos graus de pertinência. Zadeh,tratando dos conjuntos fuzzy, introduz o conceito de classes com fronteiras “vagas”ou “incertas”. Esta abordagem visa permitir a construção de modelos lógicos quesejam mais adequados para a compreensão e o raciocínio humanos, e assim permitirdecisões mais acertadas e eficientes baseadas nestes sistemas lógicos.Parte-se do princípio que o raciocínio humano acontece não em termos denúmeros e símbolos discretos, mas em termos de conjuntos fuzzy. Estes conjuntosfuzzy definem então categorias mais ou menos gerais, mas não coleções fixas e/ourígidas. A transição de uma categoria para a próxima acontece gradualmente, comalguns estados possuindo maior ou menor grau de pertinência que outros.Os princípios básicos das ideias propostas por Zadeh são [62]:(i) na lógica fuzzy, valores exatos são vistos como limitantes de números aproximados;


Apêndice A 130(ii) na lógica fuzzy tudo é uma questão de grau;(iii) qualquer sistema lógico pode ser tornado fuzzy;(iv) na lógica fuzzy, o conhecimento pode ser interpretado como uma coleção derestrições elásticas (ou fuzzy) sobre uma conjunto de variáveis;(v) a inferência pode ser vista como o processo de propagação de restriçõeselásticas.Lógica convencional e lógica fuzzyNa abordagem da lógica convencional, o foco reside na pertinência ou nãopertinênciade elementos a um conjunto bem definido ou exato (do inglês, crisp), aoqual um elemento pode pertencer ou não. A possibilidade de imprecisão na definiçãoda pertinência ou não a um conjunto não faz parte da lógica convencional. A teoriade conjuntos fuzzy procura modelar de forma mais adequada a imprecisão inerente agrande parte das decisões humanas expressas através da linguagem natural. A lógicafuzzy possui várias aplicações práticas que envolvem a modelagem de comportamentohumano com vistas a tomada de decisões práticas.O desenvolvimento de sistemas inteligentes incorporando princípios dateoria de conjuntos fuzzy ajudou a desenvolver as técnicas para lidar com imprecisãona área de soft computing. A ideia do soft computing é permitir a imitação oureprodução do comportamento decisório humano através da construção de modelosbaseados em linguagem natural.A complexidade e dinamismo de sistemas sociais têm sido explicadose modelados através do uso da lógica fuzzy. Na geografia e ciências naturais,representações cartográficas tradicionais para fenômenos geográficos utilizam limitesdefinidos para demarcação e diferenciação em sistemas físicos e humanos. Pesquisasrecentes em GIS e a análise de dados de sensoriamento remoto têm explorado ouso da lógica fuzzy para a representação das transições entre zonas e categoriasimprecisas. Ainda, a integração da lógica fuzzy em bancos de dados relacionais tempermitido a realização de consultas que utilizam conceitos linguísticos e semânticos.Números fuzzy e conjuntos fuzzyEsta seção baseia-se no tutorial de Tomsovic e Chow [32]. Zadeh [62]argumenta que seres humanos raciocinam não em termos de símbolos discretos,


Apêndice A 131mas sim através de classes com fronteiras imprecisas. A partir da ideia de conjuntoselásticos, Zadeh propôs o conceito de conjuntos fuzzy.µ A : X → [0, 1] (A-1)Formalmente, um número fuzzy A é um conjunto convexo e normalizadoA ∈ R, tal que1. há uma função de pertinência para A como a descrita na Equação A-1.2. existe ao menos um x 0 ∈ A tal que µ A (x 0 ) = 1.3. µ A é uma função contínua.Conjuntos fuzzy podem ser então descritos como funções que mapeiam umpossível membro do conjunto a um número real entre zero e um, que por sua vezindica o grau de pertinência do elemento ao conjunto. Em vez de uma proposiçãológica ser inteiramente falsa ou inteiramente verdadeira, como acontecia na lógicaclássica, um conjunto fuzzy é definido sobre um conjunto base X por uma função depertinência como a descrita na Equação A-1, tal que µ A (x) representa o grau comque o elemento x pertence a A. Como o conjunto [0, 1] ∈ R é infinito, há infinitosgraus de pertinência possíveis para A. Se um dado elemento x ∈ X não pertenceao conjunto A, então µ A (x) = 0. Se x ∈ X é um membro completo do conjunto A,então µ A (x) = 1. Os valores de inferência intermediários, entre zero e um, implicamem distintos graus intermediários de pertinência ao conjunto. Diz-se nestes casosque um dado elemento x ∈ X é um membro fuzzy do conjunto A.Figura A.1: Exemplo de um número fuzzy trianguladoNa Figura A.1, temos um exemplo de um número fuzzy x triangulado. Essenúmero pode ser inteiramente descrito através de seu centro α e seu comprimentoc. A função de pertinência de x é descrita por


Apêndice A 132µ A (x) = 0, se x < α − c,(x − (α − c))= ,cse α − c ≤ x ≤ α,(α + c − x)= ,cse α < x ≤ α + c,= 0, se α + c < x. (A-2)Da mesma forma que na teoria dos conjuntos clássica, existem operaçõesque podem ser executadas sobre conjuntos fuzzy. A união e a interseção de doisconjuntos fuzzy A e B (com respectivas funções de pertinência µ A e µ B ) podem serdefinidas como:∀x ∈ X, µ A∪B (X) = max(µ A (x), µ B (x)),∀x ∈ X, µ A∩B (X) = min(µ A (x), µ B (x)),(A-3)(A-4)sendo que µ A∪B e µ A∩B são as funções de pertinência dos conjuntos A ∪ Be A ∩ B, respectivamente. A função A-3 mapeia todos os elementos x que estejamou em A ou em B, retornando para o valor da pertinência do conjunto de união ovalor da maior pertinência dentre ambos os conjuntos (caso perteça a A e a B). Afunção A-4 mapeia todos os elementos que estejam ao mesmo tempo em A e em B,retornando como o valor da pertinência do conjunto de interseção o valor da menorpertinência dentre ambos A e B.A.2 Tomada de decisão em um ambiente fuzzyPor tomada de decisão entendemos a minimização de um objetivo paraalgum sistema de controle. Bellman e Zadeh [8] escreveram:“Much of the decision-making in the practical world takes place in anenvironment in that the goals, the constraints and the consequences ofpossible actions are now known precisely.”Por tomada de decisão (do inglês, decision-making) em um ambiente fuzzy queremosdefinir um processo de decisão em que os objetivos e restrições, mas não necessariamenteo sistema sob controle, são fuzzy. Isso significa que os objetivos e restriçõesconstituem classes de alternativas cujos limites não são definidos de forma exata.Seja o objetivo denotado por z(x), que é a função de um conjunto devariáveis de decisão x. Seja ainda x sujeita a um conjunto de restrições C. Objetivos


Apêndice A 133e restrições fuzzy podem ser definidos precisamente como conjuntos fuzzy no espaçodas alternativas viáveis. Uma decisão fuzzy pode então ser vista como uma interseçãoentre os objetivos e as restrições dadas. Uma decisão de otimização é definida como oponto no espaço das alternativas viáveis no qual a função de pertinência do conjuntofuzzy das decisões possíveis atinge seu valor máximo.Decisão em um ambiente fuzzyO mecanismo básico de um modelo fuzzy é sua proposição – uma declaraçãodos relacionamentos existentes entre as variáveis de decisão x e a região fuzzy quecontém as soluções viáveis para C (o conjunto das restrições em x). Um conjunto deassociações semânticas ou proposições fuzzy será avaliado, resultando na avaliaçãode todas as proposições que contribuirem à definição do espaço das soluções viáveis.O vínculo funcional entre o grau de verdade em uma região fuzzy é chamadoo método de agregação ou conversão escalar-fuzzy. O conversor escalar-fuzzy (doinglês, fuzzyfier) mapeia dados de entrada exatos a conjuntos fuzzy definidos noespaço das entradas e o conversor fuzzy-escalar (do inglês, defuzzyfier) mapeia osconjuntos fuzzy agregados de saída a um único ponto exato no espaço das saídas. Umsistema de lógica fuzzy processa dados de entrada exatos, e produz dados de saídatambém exatos. Portanto, um conversor escalar-fuzzy é utilizado sobre os dados deentrada no início da execução do sistema, transformando dados exatos em dadosfuzzy, e um conversor fuzzy-escalar é utilizado no final de sua execução, sobre osdados de saída, de forma a converter os dados fuzzy agregados novamente em dadosexatos. O vínculo funcional entre entre as regiões fuzzy e o valor esperado em umconjunto exato é chamado método de conversão fuzzy-escalar.Analisados em conjunto, os métodos de conversão escalar-fuzzy e conversãofuzzy-escalar são a espinha dorsal do processo de tomada de decisão em um ambientefuzzy. Ainda, ao contrário do que acontece com sistemas especialistas convencionaisnos quais as regras são executadas uma após a outra, de forma seriada, o processode decisão em um sistema lógico fuzzy ocorre em paralelo.Implicações em um ambiente fuzzyPara o método de inferência max–min, a região fuzzy de inferência é restritaao mínimo dentre as opções descritas nas proposições de objetivos e restrições. Naregião fuzzy de saída deve ser obtido o valor máximo dentre os valores dados pelaminimização dos conjuntos das proposições de objetivos e restrições fuzzy.


Apêndice A 134A avaliação de proposições em um modelo fuzzy é abordada através de umprocesso de agregação que produz as regiões finais decorrentes para os objetivose restrições. Essa região é então decomposta utilizando um método de conversãofuzzy-escalar. Um método de conversão fuzzy-escalar consiste em encontrar o valorque melhor representa a informação existente no conjunto fuzzy. Podemos dizer deforma geral que em uma conversão fuzzy-escalar busca-se uma solução que possuao melhor custo-benefício entre a necessidade de encontrar um valor único e a perdade informação decorrente desse fato.Otimização em um ambiente fuzzyA utilização de funções de pertinência para a realização de um processode otimização em um ambiente fuzzy foi proposta inicialmente por Bellman eZadeh [8]. Os autores sugerem que o objetivo e as restrições fuzzy podem ser definidossimetricamente através de conjuntos fuzzy no espaço das alternativas viáveis. Dessaforma, uma decisão foi definida como a confluência entre o objetivo a ser satisfeitoe as restrições a serem respeitadas. Uma decisão de maximização foi então definidacomo o ponto no espaço das alternativas no qual o valor retornado pelo conjuntodas decisões viáveis atinge seu valor máximo. Para um problema de otimização comcaracterísticas fuzzy, os autores propuseram a otimização de sua função objetivo etodas as restrições de forma simultânea. Para que o ponto ótimo final possa serdeterminado, a função objetivo e as restrições devem ser caracterizadas através defunções de pertinência e devem ser conectadas através da conjunção linguística e,que implica que todos serão considerados de forma igual. O objetivo aqui é satisfazera função objetivo fuzzy e as restrições fuzzy ao mesmo tempo. Nesse caso, o problemade otimização é chamado simétrico.Desejamos transformar um modelo fuzzy em um modelo exato (determinístico)correspondente definindo e implementando funções de pertinência para osconjuntos fuzzy das soluções ótimas e das regiões definidas por cada restrição. Iniciasedefinindo uma função de pertinência µ z para o conjunto fuzzy com as soluçõesótimas para o modelo fuzzy.Suponhamos que a função objetivo z(x) deva ser essencialmente menor queou igual a um determinado valor Z L , um número real e finito. No entanto, sabe-seque z(x) é fuzzy – tolera-se que z(x) possa assumir valores tão altos quanto umdeterminado limitante Z U , sendo Z U também um número real e finito.Nesse caso, como mostrado por Klir e Yuan [33], a função de pertinência do


Apêndice A 135conjunto fuzzy das soluções ótimas para a função objetivo é descrita na Equação A-5.⎧1, se z(x) < z ⎪⎨L ,µ z (x) = (z U − z(x))/(z U − z L ), se z L ≤ z(x) ≤ z U , (A-5)⎪⎩ 0, se z U < z(x).Em seguida, definimos funções de pertinência para cada uma das restriçõesC do problema. As restrições podem também receber o mesmo processo deconversão escalar-fuzzy descrito na Equação A-5 acima, ou elas podem ter já sidodefinidas anteriormente como funções de pertinência. Caso tenham sido definidasanteriormente, a definição pode ter sido fornecida por um usuário experiente comconhecimento do problema.Outra forma usual é a utilização de números fuzzy para a definição dasrestrições. Em métodos de otimização exatos, intervalos definem a região viável aser explorada. Em métodos de otimização fuzzy, essa região pode ser expressa atravésde números fuzzy. Por exemplo, consideremos a restrição exata 5 ≤ x ≤ 10, x ∈ R + .Podemos desejar introduzir incerteza nessa restrição através da seguinte proposição:“é desejável que x esteja entre 5 e 10 mas existe um certo grau de tolerância emrelação a isso. No entanto, estamos mais confortáveis com o desvio sendo menor que5 do que o mesmo desvio sendo maior que 10”. Uma possível função de pertinênciaque representa essa restrição é dada abaixo:⎧x/5, se 0 ≤ x < 5,⎪⎨µ(x) = 1, se 5 ≤ x ≤ 10,(A-6)⎪⎩ 9/10 + 1/x, se x > 10.Bellman e Zadeh [8] enfatizam que o ponto central do processo de tomadade decisão em um ambiente fuzzy consiste em S = Z ∩ C, onde Z é o conjunto dassoluções para a função objetivo fuzzy, C é a interseção entre os conjuntos das soluçõesótimas para as restrições e S é o conjunto das decisões que podem ser tomadas apartir da combinação de Z e C. Lembremos que de acordo com a Equação A-4, ainterseção entre quaisquer dois conjuntos fuzzy A e B pode ser obtida através daobtenção da minimização entre suas funções de pertinência correspondentes. Pelofato de Z e C deverem ser satisfeitos simultaneamente, como demonstrado por Lai eHwang [34], podemos definir a função de pertinência S de acordo com a Equação A-7abaixo.µ S (x) = min{µ Z (x), µ C (x)}. (A-7)


Apêndice A 136Podemos agora aplicar uma conversão fuzzy-escalar no conjunto das soluçõesatravés da maximização da decisão, descrita na Equação A-8 abaixo.x ∗ = maxx∈X µ S(x) = maxx∈X [min{µ Z(x), µ C (x)}],tal que x ∗ é a solução ótima para o modelo fuzzy original.(A-8)Para solucionarmos o modelo A-8, que possui o operador max–min, introduzimosuma variável auxiliar λ, de forma a permitir a agregação do mesmo em ummodelo A-9 de programação linear exata equivalente, dado abaixo.Maximizar λsujeito a:λ ≤ µ z (x),λ ≤ µ C (x),x ≥ 0 e0 ≤ λ ≤ 1.(A-9)Esse modelo exato representa o problema de encontrarmos a solução x devalor máximo que satisfaça tanto as restrições quanto a função objetivo originais.Examinamos no Apêndice A.3 seguinte o problema especifico de otimização atravésde programação linear.A.3 Programação linear fuzzyConsideremos o problema clássico A-10 de programação linear de minimização,descrito abaixo.CLP:Encontre um vetor x = (x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x m ), de forma que:Minimizar cx(= z(x))sujeito a:Ax ≤ b,x ≥ 0 esendo quec = (c 1 , c 2 , . . . , c i , . . . , c m ),A = (a ij ) mxn eb = (b 1 , b 2 , . . . , b j , . . . , b n ) são todos números finitos e exatos em R .(A-10)


Apêndice A 137abaixo.Então, o problema CLP pode ser expresso pelo modelo A-11, descritoMinimizarsujeito a:m∑c i x i (= z(x))i=1m∑a ij x i ≥ b j ,i=1x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x m ≥ 0(A-11)Suponhamos então que no modelo A-11 acima a função objetivo z(x) e todosos parâmetros à direita (as restrições b j ), para j = 1, 2, . . . , n, são todos númerosfuzzy. Com isso criamos o programa linear fuzzy F LP 1, descrito no modelo A-12.Minimizarsujeito a:m∑c i x i (= z(x)) ˜i=1m∑a ij x i ≥ ˜b j ,i=1x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x m ≥ 0(A-12)Adotando as noções introduzidas por Bellman e Zadeh [8] acerca de tomadasde decisão em um ambiente fuzzy, como discutido acima, o modelo F LP 1 pode serconvertido em um modelo de programação linear exata equivalente.Zimmerman [63] foi um dos primeiros pesquisadores a propor um métodosistemático para a solução de instâncias numéricas de problemas com as característicasdo F LP 1.Método de ZimmermanZimmerman [63] estipulou que a função objetivo z(x) do modelo F LP 1 sejaessencialmente menor ou igual a um dado valor (b 0 − p 0 ), um número finito e real.Ainda, z(x) é fuzzy no sentido que seu valor pode ser menor ou igual a um dadovalor b 0 , sendo b 0 também um número finito e real e sendo também p 0 < b 0 . O valorb 0 é um limitante superior absoluto e dessa forma nenhum valor de z(x) pode sermaior que b 0 . Zimmerman definiu a função de pertinência ao conjunto fuzzy das


Apêndice A 138soluções ótimas para A-12 através da Equação A-13, descrita abaixo.⎧∑1, se m c i x i < (b 0 − p 0 ),i=1⎪⎨ ∑µ 0 (x) = (b 0 − m ∑c i x i )/p 0 , se (b 0 − p 0 ) ≤ m c i x i ≤ b 0 ,i=1∑⎪⎩ 0, se m c i x i > b 0 .i=1i=1(A-13)Levando em consideração que as variáveis b j são agora fuzzy, Zimmermanestipulou a seguinte função de pertinência para a j-ésima restrição do modelo A-12,para j = 1, 2, . . . , n, como descrito na Equação A-14 abaixo.⎧∑0, se m a ij x i < (b j − p j ),i=1⎪⎨ ∑µ j (x) = ( m ∑a ij x i − (b j − p j ))/p j , se (b j − p j ) ≤ m a ij x i ≤ b j ,i=1i=1∑⎪⎩ 1, se m a ij x i > b j , i = 1, 2, . . . , m.i=1(A-14)Notemos que no modelo A-14, para i = 1, 2, . . . , m, o valor p i é o limitepara a variação da i-ésima inequação. A eficiência computacional do método deZimmerman deve-se ao fato do operador lógico “e” quando da interseção entre doisconjuntos fuzzy, como discutido no Apêndice A.1. A aplicação da Equação A-4 aomodelo A-12 nos permite encontrar a função de pertinência descrita na Equação A-15 abaixo.µ S (x) = min{µ j (x)}.j = 0, 1, 2, . . . , n(A-15)Notemos que a função de pertinência para z(x), descrita pela Equação A-13,é incluida na Equação A-15 (através de j = 0). Agora, aplicamos uma conversãofuzzy-escalar no processo através da maximização da decisão. Fazemos isso atravésda utilização do operador max–min, descrito na Equação A-8, e aplicando-o àEquação A-15.O problema de encontrar uma solução ótima para o problema sob análise éentão descrito abaixo na Equação A-16.x ∗ = maxx∈X µ S(x) = maxx∈X [min{µ j(x), j = 0, 1, 2, . . . , n}],tal que x ∗ é a solução ótima para o modelo fuzzy original.(A-16)


Apêndice A 139Seguindo o descrito no Apêndice A.2, para que possamos agregar o modeloA-16 em um modelo de programação linear exata correspondente, novamenteintroduzimos uma variável auxiliar λ. Temos então o modelo A-17 descrito abaixo.Maximizar λsujeito a:λ ≤ µ j (x), j = 0, 1, 2, . . . , n, (A-17)x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x m ≥ 0 e0 ≤ λ ≤ 1.O modelo exato acima representa o problema de encontrar uma soluçãox que satisfaça ao mesmo tempo as restrições e a função objetivo e possua valormáximo. Em seguida, temos o problema de programação linear decrito no modelo A-18 correspondente ao modelo A-12 – de forma que qualquer solução ótima encontradapara o modelo A-18 será também uma solução ótima para o modelo A-12.Maximizar λsujeito a:m∑c i x i − p 0 λ ≥ b 0 − p 0 ,i=1m∑a ij x i − p j λ ≥ b j − p j , para j = 1, 2, . . . , ni=1x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x m ≥ 0 e0 ≤ λ ≤ 1.(A-18)Caso o usuário utilizando o método acima tenha dificuldade em identificarvalores válidos para b 0 e p 0 , Zimmerman propôs a solução de dois problemas paradeterminar valores aplicáveis para ambos. Notemos que estes valores propostos comoparte do método de Zimmerman, como ressaltado abaixo, são apropriados somentepara problemas de programação linear clássica, em situações nas quais o usuáriofinal não possui formas de prover os limitantes intuitivamente.Minimizarsujeito a:m∑c i x i (= z 1 )i=1m∑a ij x i ≥ b j , para j = 1, 2, . . . , n, ei=1x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x m ≥ 0,(A-19)


Apêndice A 140O primeiro problema proposto por Zimmerman é descrito no modelo A-19e o segundo no modelo A-20.Minimizarsujeito a:m∑c i x i (= z 2 )i=1m∑a ij x i ≥ b j − p j , para j = 1, 2, . . . , n, ei=1x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x m ≥ 0.(A-20)Suponhamos que a função objetivo assuma valores entre z 1 e z 2 enquantoos parâmetros à direita nas restrições dos modelos A-19 e A-20 assumem valoresentre b i − p i e b i . Seja z L = min{z 1 , z 2 } e z U = max{z 1 , z 2 }. Dessa forma, z L e z Userão limitantes inferior e superior para os valores ótimos de z(x), respectivamente.Zimmerman recomenda que se utilize (b 0 − p 0 ) = z L e p 0 = z U − z L . Caso isso sejafeito, a função de pertinência descrita na Equação A-13 torna-se igual à função depertinência descrita na Equação A-5.


NotaçãoAPÊNDICE BNeste apêndice trazemos a notação matemática condensada utilizada naproposição do método FLIPSOD. A notação do FLIPSOD utiliza aquela introduzidapor Sherali et al. [50] e a terminologia de grafos adotada por Foulds [25].• G = (N, A) – uma rede viária com o conjunto de nós N e de arcos A.• A V – o subconjunto dos arcos A para os quais se possui estimação de contagemvolumétrica.• A M – o subconjunto dos arcos A para os quais não se possui estimação decontagem volumétrica.• f α – o fluxo calculado em um dado momento no arco α, ∀α ∈ A.• f ′ α – estimação disponível para o fluxo no arco α, ∀α ∈ A V .• T ij – a entrada (i, j) da matriz OD final estimada – a quantidade de viagensdemandada entre umde origem i e umde destino j.• Q ij – a estimação de T ij calculada em um dado momento.• Q ′ ij – estimações de entrada disponíveis para entradas da matriz OD finalestimada T ij .• OD ′ – o conjunto de pares OD passíveis de utilização em uma alocação detráfego.• Q V – o conjunto dos pares OD (i, j) ∈ OD ′ para os quais Q ′ ij > 0.• O – o conjunto de nós de origem ou geradores de viagens em N, O ⊆ N.• D – o conjunto de nós de destino ou atratores de viagens em N, D ⊆ N.• O i – o total calculado de viagens originadas no nó i, i ∈ O.• D j – o total calculado de viagens atraídas pelo nó j, j ∈ D.• O ′ i – estimação de entrada disponível para a quantidade de viagens originadasno nó i, i ∈ O.• D ′ j – estimação de entrada disponível para a quantidade de viagens atraídaspelo nó j, j ∈ D.• O V – o conjunto de nós i ∈ O, O ′ i > 0.• D V – o conjunto de nós j ∈ D, D ′ j > 0.


Apêndice B 142• n ij – a quantidade de caminhos distintos entre umde origem i e umdedestino j.• p k ij – o k-ésimo caminho mais curto entre umde origem i e umde destinoj.•(p k ij) α = 1, se o k-ésimo caminho mais curto entre uma origem ie um destino j utiliza o arco α,= 0, caso contrário.• x k ij – a quantidade de veículos que utilizam o k-ésimo caminho entre umdeorigem i e umde destino j.• Cij k – o custo de travessia, para cada veículo, do k-ésimo caminho entre umde origem i e umde destino j em um dado momento, (i, j) ∈ OD ′ , k =1, 2, . . . , n ij .• Cij ∗ = min {Cij|k k = 1, 2, ..., n ij }.• K ij = {k | k = 1, 2, ..., n ij ; Cij ∗ = Cij}.k• K ′ ij = {1, 2, ..., n ij } \ K ij .• z(x) – o custo total de uma alocação.• z L – um limitante inferior para o valor de z(x).• z U – um limitante superior para o valor de z(x).• c F α – o custo de travessia de um arco α ∈ A quando não existe nenhum fluxopréalocado no mesmo (também chamado de custo de fluxo livre), utilizado nafunção BPR.• u α – a capacidade de fluxo máxima suportada pelo arco α ∈ A, utilizada nafunção BPR.• µ 1 e µ 2 – duas constantes de calibração utilizadas na função BPR.• a L α – o desvio para baixo permitido para o fluxo final f α em relação à estimaçãode fluxo de entrada f α, ′ tal que f ′ α − a L α ≤ f α .• a U α – o desvio para cima permitido para o fluxo final f α em relação à estimaçãode fluxo de entrada f α, ′ tal que f α ≤ f ′ α + a U α .• b L ij – o desvio para baixo permitido para a entrada (i, j) da matriz OD estimadaQ ij em relação à estimação de entrada Q ′ ij, tal que Q ′ ij − b L ij ≤ Q ij .• b U ij – o desvio para cima permitido para a entrada (i, j) da matriz OD estimadaQ ij em relação à estimação de entrada Q ′ ij, tal que Q ij ≤ Q ′ ij + b U ij.• d L i – o desvio para baixo permitido para a quantidade O i de viagens geradasno nó i em relação à estimação de entrada O ′ i de viagens geradas, tal queO ′ i − d L i ≤ O i .


Apêndice B 143• d U i – o desvio para cima permitido para a quantidade O i de viagens geradasno nó i em relação à estimação de entrada O ′ i de viagens geradas, tal queO i ≤ O ′ i + d U i .• e L j – o desvio para baixo permitido para a quantidade D j de viagens atraídaspelo nó j em relação à estimação de entrada D ′ j de viagens atraídas, tal queD ′ j − e L j ≤ D j .• e U j – o desvio para cima permitido para a quantidade D j de viagens atraídaspelo nó j em relação à estimação de entrada D ′ j de viagens atraídas, tal queD j ≤ D ′ j + e U j .

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