Notas de aula --- Parte II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - Ufersa

Notas de aula --- Parte IIFUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEISEscritas pelo Professor Wilson CanesinUtilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da UniversidadeBraz Cubas

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEISEm muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade,depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usualrepresentar estas relações como funções de várias variáveis.Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada deprodução (P), depende do número de homens-hora (L) e do númerode máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. Arepresentação funcional dessa relação éP = f( L, K)O mesmo conceito se estende para qualquer número devariáveis.1.2 – Funções de duas variáveisSeja D um subconjunto (região) do espaço R 2 (plano) . Chamasefunção f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, umúnico número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínioda função.zAssim,D é o domínio da função em R 2 f(x,y),f é a funçãof(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).yxz(x,y) DExemplos de valores de função de 2 variáveis:Ex.1- se f(x,y) = x 2 + 2y , então f(2,3) = 2 2 +2.3 = 10Ex.2- f(x,y) = (3x+y 3 ) 1/2 f(1,2) = (3.1+2 3 ) 1/2 = 3,32Domínio das funções de duas variáveisO domínio dessas funções segue as mesmas regras do domíniode funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R 2 , talque os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem emvalores finitos e reais para f(x,y).Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = y − xA condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seudomínio é D ={ (x,y) ε R 2 / y - x ≥ 0 }.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 18

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva2xEx.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita2x− yquando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, taisque,zDD ={ (x,y) ε R 2 / y ≠ 2x }.xDyz2xEx.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita3x− yquando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que,D ={ (x,y) ε R 2 / 3x - y > 0 }.1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveisJá vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é noplano x,y e y=f(x).Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R 3 e z = f(x,y). Umafunção de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R 3 .XZYA superfície é obtidapara cada par x,y ,fixando um valor dex e variando y, emseguida fixa um 2 ovalor de x e varia y ,depois fixa um 3 o x evaria y ,etc., atévariar x e y em todoo domínio.X Y0 00 10 20 31 01 11 21 32 02 12 22 33 03 1... ...Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 19

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 VariáveisO limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor(x 0 ,y 0 ), é o número L (se existir) e é representado porl i m f ( x,y)= L( x,y)→ ( x 0, y 0)Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x 0 , y 0 ),dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário afunção será descontínua no ponto. O mesmo é válido para umintervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limiteexiste em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificara continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nasrestrições.Ex. 1f(x,y) = x 2 + y 2 – xy , é contínua para todo par x,yEx.2 f(x,y) = x 3 y 2 –xy + y 3 + 6, contínua ∀ x , yEx.3 f(x,y) =2 2x + yx y −1yé contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/xDXEx. 4 f(x,y) =xx+−yyé contínua se∀ x ≠ yyy = xDXUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 21

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0ou y > xyy > xxEx.6 f(x,y) = 2 21− x − y é contínua se 1-x 2 -y 2 ≥ 0 ,ou x 2 +y 2 ≤ 1yDxO domínio é umacircunferência decentro na origeme de raio r ≤ 1Ex.7 f(x,y) = y − 1/x a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/xQue resulta no gráfico:yxUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 22

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.5 – Derivadas de Funções de 2 VariáveisA definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é amesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui éque , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixaenquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) ,sua derivada em relação a x é∆ f = f ( x + ∆x,y)− f ( x,y)incremento da função∆ f f ( x + ∆x,y)− f ( x , y=)∆x∆xtaxa de variação da funçãol i m∆x→0∆f∆x=∂∂fx=fx( x,y )Derivada parcial em xAnalogamente , se mantivermos agora o valor de x constante aderivada parcial em relação a y él i m∆y → 0∆f∆x∂=∂fy=fy( x,y)Derivada parcial em y1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcialNas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação dareta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) deduas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da retatangente à superfície, no ponto dado (x 0 ,y 0 ,z 0 ) e numa seção paralelaao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com xconstante.zAssim,tanα = f x (x 0 ,y 0 ) = ∂ f / ∂xxx 0αy 0βytanβ = f y (x 0 ,y 0 ) = ∂ f / ∂yUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 23

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaTABELA DE DERIVADAS(adaptada p/derivadas parciais)Número Função f = f(x,y) Derivada f s = ∂f/∂s , s = x,y1 f = k ( k = constante) f s = 0 (derivada de 1 const.)2 f = x ou f = y f s = 1 s = x ou y3 f = u n ; u = f(x,y) D s u n = n u n-1 u s , u s =∂u/∂(x,y)4 f = n umm un un m s n mD s u = u5 f = ln u D s ln u =uu s6 f = lg a u D s lg a u =uu slna7 f = a u D s a u = a u lna u s8 f = e u D s e u = e u u s9 f = u v f s = v u s + u v s10 f = u / v , u s =∂u/∂(x,y) f s =(v u s – u v s ) / v 211 f = senu f s = cosu .u s12 f = cosu f s = -senu .u s13 f = tanu f s = sec 2 u .u s14 f = secu f s = secu.tanu.u s15 f = cscu f s = -cscu.cotu.u s16 f = cotu f s = -cotu.cscu.u sUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 24

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.6.1- A técnica de Derivadas ParciaisA derivada parcial em relação a "x" , considera y comoconstante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y"considera x como constante.f x = ∂ f / ∂ x → y=constantef y = ∂ f / ∂ y → x=constanteEx.1- Derivar a função f(x,y) =3 x 3 y 2f x = ∂ (3x 3 y 2 ) / ∂ x = 9x 2 y 2f y = ∂ (3x 3 y 2 ) / ∂ y = 6x 3 yEx.2 - Derivar a função f(x,y) = x 2 + y 2f x = ∂ ( x 2 + y 2 ) / ∂ x = 2xf y = ∂ (x 2 + y 2 ) / ∂ y = 2yEx.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x 2 + y 2 )f = u / v , u =x e v = x 2 + y 2 f s = [ v u s – u v s ]/v 2f x =[(x 2 + y 2 ).1 – x. 2x]/( x 2 + y 2 ) 2 = (y 2 -x 2 )/(x 2 + y 2 ) 2f y =[(x 2 + y 2 ).0 – x. 2y]/( x 2 + y 2 ) 2 = -2xy/(x 2 + y 2 ) 2Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção dasuperfície z = 4 x 2 y -xy 3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante.∂∂zx=∂∂x∂−∂ x233( 4 x y ) ( x y ) 8 x y y=−mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se∂ ftanα = (3,2)= 40 ⇒ α = tan -1 (40) = 88,57°∂ xEx. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfíciez = x 3 + y 2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 25

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva∂ f= 3x 2 + 2y∂ x∂ ftanα = (1,1 )∂ x= 5 ⇒ α = tan -1 (5) = 78,69°Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x 2 + y 3 ).senx∂ f∂ x∂∂fy==∂ ( u.v)∂ x∂ ( u.v)∂ y==∂∂∂∂u ∂ v. v + u.= 2x.senx + ( x 2 + y 3 ).cosxx ∂ xu ∂ v. v + u.= 3y 2 .senx + ( x 2 + y 3 ).0 = 3y 2 .senxy ∂ y1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveisA condição para que uma função seja diferenciável é que suasderivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , suadiferencial total é :∂ f ∂ fd z = dx + dy∂ x ∂ yEx.1 diferenciar a função z = 3x 3 y 2 – 2xy 3 +xy –1∂ f= 9x 2 y 2 – 2y 3 +y e∂ xassim, a diferencial da função é∂∂fy= 6x 3 y – 6xy 2 + xdf = (9x 2 y 2 – 2y 3 +y ) dx + (6x 3 y – 6xy 2 + x) dyA função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciaisforem contínuas. A diferencial de uma função F(x 1 ,x 2 ,...x n ) de nvariáveis é:∂FdF = dx1∂x1∂F+ dx2∂x2n∂F∂F+......+ dxn= ∑∂xxni= 1 ∂idxiEx.2-Calcule a diferencial da funçãoF(x,y,z) =2x+3xy-2zyF x = 2+3y ; F y = 3x-2z ; F z = -2yUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 26

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvadF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz1.8 – Derivada de funções compostasSeja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . Aderivada desta função em relação a “t” éddft∂=∂fxd xd t+∂∂fyddytEx.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x 2 + 3y –5 ,onde x(t) = e t e y(t) = t 3 .a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e 2t +3t 3 – 5E a derivada dF/dt = 2 e 2t + 9t 2b) Calcula-se pelas derivadas parciais∂ f∂ x= 2x ;∂∂fyd x= 3 ; =d te t ; d yd t=3t 2Assimd F= 2x.e t + 3.3t 2 = 2 e t + 9t 2d tSe a função tiver mais de 2 variáveis, f(x 1 ,x 2 ,...x n ), onde x 1 (t),x 2 (t),...x n (t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” édada pela regra da cadeiadfdt=n∑∂i= 1 ∂fxd xd ti=∂ f∂ x1d xd t1+∂ f∂ x2d xd t2+ ... +∂ f∂ xnd xd tnEx.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=e t e z =t 2f x = 2 , f y = 3 , f x = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =e t ; dz/dt = 2td fd tt= 2.cost+ 3. e − 4tUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 27

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaExercícios propostos: achar as derivadas df/dt1) f(x,y,z) =x+x 2 y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t 32) f(x,y,z) =e x+y+z , com x=t 2 ; y= t 3 e z = t-13) f(x,y,z) =x 2 y+3yz 2 , com x=1/ t ; y= 1/ t 2 e z =1/ t 31.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveisUma função está na forma implícita, quando não está resolvidapara uma variável específica. As funções resolvidas para uma variávelsão chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na formaimplícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação ax é∂f∂xdxdx∂f+∂ydydx= 0∂f∂fdy→ + = 0∂x∂ydxou,dydx=−∂ f∂ x∂ f∂ y=−ffxyEx.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x 2 + 5y 3 + 2 =0 usado, diretamente afórmula acima,dydx∂f= −∂x∂f∂y4x= −15y2Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y 2 – 6xy = 0dydx∂f= −∂x∂f∂y=6y8y− 6xPara mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) ediferenciando, e após algumas considerações teremosUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 28

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva∂ z∂ x∂= −∂ff∂ x∂ z= −ffxze∂∂zy∂ f= −∂ f∂ y∂ z= −ffyzEx.3 - Achar as derivadasSolução;∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , da função x 2 +y 3 - z=0.∂ z∂ x∂∂zy∂ f= −∂ f∂ f= −∂ f∂ x − 2 x= = 2x∂ z −12∂ y − 3x = = 3y∂ z −12Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar∂ z ∂ y , nas expressões abaixo∂ z ∂ x e1) 2 x 3 - 4 y 2 – 6 z = 02) x 2 + xy 2 + xyz 3 –3 =01.10 – Derivadas parciais de segunda ordemSe f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadasparciais são f x =∂f /∂x e f y = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadasmais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem,que são representadas porf xx2∂ f= ,2∂ xf xy=2∂ f∂ x ∂y,f yx2∂ f=∂ y ∂x,f yy2∂ f=∂ y ∂xQuando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadascruzadas são iguais , ou seja f xy = f yx .Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x 2 +3y 2 – 6xyf x =∂f /∂x = 8x – 6y e f y = ∂f /∂y = 6y – 6xUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 29

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silvaf xx2∂ f= = 8 ; ;2∂ xf yx2∂ f=∂ y ∂x= -6f xy=2∂ f= -6 ;∂ x ∂yf yy2∂ f=∂ y ∂x= -6EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e 2x+5yf x =∂f /∂x = 2e 2x+5yf y = ∂f /∂y = 5e 2x+5yf xx2∂ f= = 4e 2x+5y ;2∂ xf yx2∂ f=∂ y ∂x= 10e 2x+5yf xy=2∂ f= 10e 2x+5y ;∂ x ∂yf yy=2∂ f∂ y ∂x= 25e 2x+5yNote que f xy = f yxEX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x 2 +y 2 )2xf x =∂f /∂x =2 2x + y; f y = ∂f /∂y =x2y2 + y2=UVf xx∂ f∂ x2V.Ux−= =22VU.Vx2 22( y − x )( x + y )=2 2 2;f yx=2∂ f∂ y ∂x− 4xy( x + y )=2 2 2f xy=2∂ f∂ x ∂yV.U − yU.Vy− 4xy=2 2 2V ( x + y )=2;f yy=2∂ f∂ y ∂x2 22( x − y )( x + y )=2 2 2Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 30

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias VariáveisAs derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveise são representadas da mesma forma.Exemplos:1) f(x,y,z) = x 2 + y 3 +z 2 xf x = 2x+z 2 ; f y = 3y 2 ; f z = 2zx2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z 2 + t 2 )23f x = ; f2 2y =2 22x + 3y− z + t2x + 3y− z + t− 2z2tf z = ; f2 2 t =2 22x+ 3y− z + t2x+ 3y− z + tExercícios propostos - Derivar as funções:1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz3)x + yf(x,y,z) =x − z4) f(x,y,z) = xyz5) f(x,y,z) = (x 2 +2y-3z) 36) f(x,y,z,t) = 2x-3zt7) f(x,y,z,t) =ln(3x 2 +5y 2 -zt 3 )1.12 – Derivadas de Ordem SuperiorSeja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas deordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas.f x ,f y ,...f r ,f s, f t , ou seja f xx ,f xy ,...f xt ; f yx ,f yy ,...,f ys ,f yt , etc.Ex.1 – f(x,y,z) = x 2 + 4xy 2 – 3y 2 z 3f x = 2x + 4y 2 ; f xx =2 ; f xy = 8y ; f xz = 0f y = 8xy – 6yz 3 ; f yx = 8y ; f yy = 8x – 6 z 3 ; f yz =-18yz 2f z = -9y 2 z 2 ; f zx = 0 ; f zy = -18yz 2 ; f zz = -18y 2 zUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 31

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função :f(x,y,z) = ln(xy 2 z 3 ) .Lembrando que D s lnu = u s /u e D s u n =un n-1 u sf x = y 2 z 3 / xy 2 z 3 ∂ −1=1/x ; f xx = ( x ) = -1.x -2 = -1/x 2∂xf xy = 0 ; f xz = 0f y = 2xyz 3 /xy 2 z 3 = 2 / y ; f yx = 0 ;∂ −1f yy = (2y)∂y∂ −1f yz = (2y) = 0∂ z= -2y -2 = -2 / y 2f z = 3xy 2 z 2 / xy 2 z 3 = 3 / z ; f zx = 0 ; f zy = 0 ; f zz = -3 /z 2EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas)1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. f x =2y+3z , f y = 2x+4z , f z =3x+4yf xx =0 ; f xy =2 ; f xz =3f yx =2 ; f yy =0 ; f yz =4f zx =3 ; f zy =4 ; f zz = 0x + y2) f(x,y,z) = ; f x = 1/(y-z) ; f y =-(z+x)/(y-z) 2 ; f z =(x+y)/(y-z) 2y − zf xx =0 ; f xy =-1/(y-z) 2 ; f xz =1/(y-z) 2 ;f yx =-1/(y-z) 2 ; f yy =2(z+x)/(y-z) 3 ;f yz =(2x+y-z)/(y-z) 3 ; f zx =1/((y-z) 2 ; f zy = f yz ; f zz =2(x+y)/(y-z) 33) f(x,y,z)=(x+2y+3z) 3 ;f x =3(x+2y+3z) 2 ; f y =6(x+2y+3z) 2 ;f z =3(x+2y+3z) 2;f xx = 6(x+2y+3z) ; f xy = 12(x+2y+3z) ; f xz = 18(x+2y+3z) f yx = 12(x+2y+3z);f yy =24(x+2y+3z) ; f yz = 36(x+2y+3z) ; f zx = 6(x+2y+3z) ; f zy = 12(x+2y+3z); f zz = 18(x+2y+3z) .4) f(x,y,z)= xyz =(xyz) 1/2 ; f x =(1/2).yz(xyz) -1/2 ; f y =(1/2).xz(xyz) -1/2f z =(1/2).yx(xyz) -1/2 ; f xx =(-1/4)(yz) 2 (xyz) -1/2 ;f xy = (1/2)z(xyz) -1/2 -(1/4)(yz) 2 (xyz) -1/2 ; f xz =(1/2)y(xyz) -1/2 -(1/4)(yz) 2 (xyz) -1/2 ;f yx =(1/2)z(xyz) -1/2 -(1/4)(xz) 2 (xyz) -1/2 ;f yz = (1/2)x(xyz) -1/2 -(1/4)(xz) 2 (xyz) -1/2 ;Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 32

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silvaf zx =(1/2)y(xyz) -1/2 -(1/4)(yx) 2 (xyz) -1/2 ;f zy = (1/2)x(xyz) -1/2 -(1/4)(yx) 2 (xyz) -1/2 ;f zz =(1/2)(yx) 2 (xyz) -1/2 .5) f(x,y,z,t) = ln(2x 2 +y 2 -zt 2 ) ; f x =4x/(2x 2 +y 2 -zt 2 ) ; f y =2y/(2x 2 +y 2 -zt 2 )f z = -t 2 /(2x 2 +y 2 -zt 2 ) ; f t =-2zt/(2x 2 +y 2 -zt 2 ) ;f xx =4(y 2 -zt 2 )/( (2x 2 +y 2 -zt 2 ) 2 ;f xy =-8xy/( (2x 2 +y 2 -zt 2 ) 2 ; f xz =4xt 2 /( (2x 2 +y 2 -zt 2 ) 2 ; f yx =-8xy/(2x 2 +y 2 -zt 2 ) 2 ;f yy =(4x 2 -2y 2 -2zt 2 )/(2x 2 +y 2 -zt 2 ) 2 ; f yz =2yt 2 /(2x 2 +y 2 -zt 2 ) 2 ;f zx =4xt 2 /( (2x 2 +y 2 -zt 2 ) 2 ; f zy = 2yt 2 /(2x 2 +y 2 -zt 2 )2 ; f zz =-t 4 /(2x 2 +y 2 -zt 2 ) 26) f(x,y,z) = sen(x 2 +xy+yz 2 ) ; f x = -(2x+y)cos(x 2 +xy+yz 2 ) ;f y =-(x+z 2 )cos(x 2 +xy+yz 2 ) ; f z =-2yzcos(x 2 +xy+yz 2 );f xx = -2.cos(x 2 +xy+yz 2 )+(2x+y) 2 sen(x 2 +xy+yz 2 )f xy = -cos(x 2 +xy+yz 2 )+(2x+y)(x+z 2 )sen(x 2 +xy+yz 2 )f xz = 2yz(2x+y)sen(x 2 +xy+yz 2 ) ; f yy = (x+z 2 ) 2 sen(x 2 +xy+yz 2 )f yx = f xy ; f yz = -2zcos(x 2 +xy+yz 2 )+2yz(x+z 2 )sen(x 2 +xy+yz 2 ) ;f zx =f xz ; f zy =f yz ; f zz =-2ycos(x 2 +xy+yz 2 )+(2yz) 2 sen(x 2 +xy+yz 2 )7) f(x,y,z) =xe223+ y + z; f x =2x e223x + y + z; f y =2y e223x + y + z; f z =3z 2 2 2 3x + y + ze2 2 3x + y + zf xx =2 e +4x 2 2 2 32 2 3x + y + zx + y + ze ; f xy =4xy e ; f xz =6xz 2 2 2 3x + y + ze2 2 3x + y + zf yx =f xy ; f yy =2 e + 4y 2 2 2 3x + y + ze ; f yz = 6yz 2 2 2 3x + y + ze2 2 3x + y + zf zx =f xz ; f zy =f yz ; f zz = 6z e +9z 4 2 2 3x + y + zeUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 33

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveisUma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é ada otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrarseu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de umavariável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontosextremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tiposão esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessianocalculado no ponto (x 0 ,y 0 ), que é definido a seguir.Assim ,H(x 0 ,y 0 ) =ffxxyxffxyyy( x 0 , y0)Se as derivadas f x e f y forem nulas, o ponto(x 0 ,y 0 ) é um extremo, ea) H(x 0 ,y 0 )>0 e f xx (x 0 ,y 0 )+ f yy (x 0 ,y 0 ) 0 e f xx (x 0 ,y 0 )+ f yy (x 0 ,y 0 ) >0 então (x 0 ,y 0 ) é um mínimo.c) H(x 0 ,y 0 )

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cmde largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidademáxima.x senθy cosθxxθ12-2xA área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos doistriângulos.A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x)(a)f(x, θ) = x 2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x 2 senθEstudar os extremos (máximos e mínimos) da função.f x = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=02xcosθ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/xf θ = (∂ f / ∂θ ) = x 2 cos2θ + 12xcosθ - 2x 2 cosθ=0= x ( 2cos 2 θ - 2cosθ-1)+12cosθsen2θ = 2senθcosθ=2 cos 2 θ - 1cos2θ =cos 2 θ - sen 2 θ= 2cos 2 θ -1substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2 a equação eresolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2cosθ = ½→ θ = 60 oO resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2 as derivadas,também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certezapodemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acimadestes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 35

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva0 1 2193 4 6 3.336194 4 12 6.58195 4 18 9.647196 4 24 12.453197 4 30 14.928201510500XY , , Z25 5105015 75100 20101520Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 )50198 4 36 17.013199 4XYZ =42 18.662200 4 48 19.846201 4 54 20.553202 4 60 20.785203 4 66 20.562204 4 72 19.919205 4 78 18.904206 4 84 17.576máximo207 4 90 16Ex.2 – Achar os extremos da funçãof(x,y) = sen[0,0225(x 2 +y 2 ) –0,45(x+y) + 4,5].Calculando as primeiras derivadas , tem-se:f x = cos[0,0225(x 2 +y 2 ) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0f y = cos[0,0225(x 2 +y 2 ) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula)então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 =0 , que resulta x = 10 e y =10 .Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se assegundas derivadas.f xx = - sen(...).(0,045. x - 0,45) 2 + cos(…). 0,045f yy = - sen(...).(0,045. x - 0,45) 2 + cos(…). 0,045Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se:f xx + f yy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 36

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaSubstituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai darzero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso éconfirmado pelo gráfico tridimensional da função.0.5Note que nos pontos x =10 e y=10, a função tem um de seusmínimos.00.50510150 5 10 15MGráfico 3D da função senoEx.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores doexemplo 2, para uma exponencial.f(x,y) =22−0,0225(x + y ) + 0,45( x+y)+ 4,5e = e f(x,y)f x = [-0,045 x + 0,45] .f y = [-0,045 y + 0,45] .ee0,0225( x0,0225( x222+ y ) −0,45(x+y)+ 4,52+ y ) −0,45(x+y)+ 4,5f xx = [-0,045 x+ 0,45] 2 . e f(x,y) + 0,045 . e f(x,y)f xx = [-0,045 y + 0,45] 2 . e f(x,y) + 0,045 . e f(x,y)No ponto x=y=10, tem-se:f xx + f yy < 0que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode serverificado no gráfico da função.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 37

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva10.80.60.40.21000102020MGráfico 3D da função exponencialEx.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano édada pela equação T=16x 2 +24x +40y 2 . Encontre a temperatura nospontos mais quentes e mais frios da região.f x = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; f y = (∂ f / ∂y) = 80yOs pontos extremos são calculados para f x =0 e f y =0 , resultandox= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 .H(x 0 ,y 0 ) =ffxxyxffxyyy( x 0 , y0)=320080 (−3/4, 0)> 0H(x 0 ,y 0 ) > 0 , f xx + f yy > 0 é um ponto de mínimo.O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outroponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conformemostra o gráfico da superfície.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 38

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva20XY , , Z1510Escala em y =y-10502015Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0)10Escala em x = x-105100000 1 28 -1 1.2 49.69 -1 1.6 94.410 -1 2 15211 -0.8 -2 151.0412 -0.8 -1.6 93.4413 -0.8 -1.2 48.6414 -0.8 -0.8 16.64XYZ =15 -0.8 -0.4 -2.5616 -0.8 0 -8.9617 -0.8 0.4 -2.5618 -0.8 0.8 16.6419 -0.8 1.2 48.6420 -0.8 1.6 93.4421 -0.8 2 151.0422 -0.6 -2 151.36mínimoEx.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x 2 + y 2 –2x .Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema:f x = 2x –2 = 0 , ou x=1f y = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0)Por outro lado,f xx (1,0) = 2 , f xy (1,0) = 0 , f yx (1,0)= 0 e f yy (1,0) = 2H(1,0) =ffxxyxffxyyy2=002= 4 >0f xx (1,0) + f yy (1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y).1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveisSeja f uma função de n variáveis x 1 ,x 2 ,...x n , diz-se que um pontoP 0 (x 10 ,x 20 ,...x n0 ) é um ponto de máximo local de f(x 1 ,x 2 ,...x n ), quandof(x 10 ,x 20 ,...x n0 ) > f(x 1 ,x 2 ,...x n ) , para qualquer ponto P(x 1 ,x 2 ,...x n ) vizinhode P 0 (x 10 ,x 20 ,...x n0 ).Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 39

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaDa mesma forma, P 0 (x 10 ,x 20 ,...x n0 ) é um ponto de mínimo localde f, se f(x 10 ,x 20 ,...x n0 ) < f(x 1 ,x 2 ,...x n ) para qualquer ponto P(x 1 ,x 2 ,...x n )vizinho de P 0 (x 10 ,x 20 ,...x n0 ).O ponto P 0 é encontrado, pela solução das equações:f x1 =0 , f x2 =0 , ......., f xn = 0 (tangentes à superfície no ponto)O determinante Hessiano calculado no ponto P 0 , de máximo oude mínimo, para o caso de n variáveis é dado por:H(P 0 ) =fffx1x1x2x1( P )( P )....xnx100( P )0fffx1x2x2x2( P )( P )....xnx100( P )0................fffx1xnx1xn( P )( P )....xnxn00( P )0Além disso é necessário calcular os n determinantes∆ 0 =1∆ 1 = )f x( P1 x 1 0∆ 2 =ffx x1 1x x2 1( P )0( P )0ffx x1 2x x2 2( P )0( P )0∆ 3 =fffx x1 1x x2 1x x3 1( P )0( P )0( P )0fffx x1 2x x2 2x x3 2( P )0( P )0( P )0fffx x1 3x xx2x x3 3( P )30( P )0( P )0..................................................................∆ n =fx xff1 1x x2 1x x( P )( P )....n 100( P )0fffx x1 2x x2 2x x( P )( P )....n 100( P )0................fffx x1 nx x1 nx x( P )( P )....n n00( P )0Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 40

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEntão, se:a) ∆ 0 , ∆ 1 , ∆ 2 ,...,∆ n forem todos positivos, P 0 é um ponto demínimo de f .b) ∆ 0 , ∆ 1 , ∆ 2 ,...,∆ n são alternadamente positivos e negativos, P 0 éum ponto de máximo de f.Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 everificar se são de máximos ou de mínimos.f x = 2x = 0 →x =0f y = 2y = 0 →y =0 → P 0 (0,0,0) ,que é o único ponto críticof z = 2z =0 → z =0f xx = 2 , f xy = 0 , f xz = 0f yx = 0 , f yy = 2 , f yz = 0f zx = 0 , f zy = 0 , f zz = 2H(0,0,0) =200020002= 8∆ 0 =1 ; ∆ 1 = 2 = 2 ; ∆ 2 =200= 4 ; ∆23 =20002000 =82todos positivos , logo, o ponto P 0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f.Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x 2 - y 2 - z 2 +4y+2z-5 .Os pontos críticos da função são:f x = -2x = 0 →x =0f y = -2y+4 = 0 →y =2 → P 0 (0,2,1) ,que é o único ponto críticof z = -2z=2 =0 → z =1f xx = -2 , f xy = 0 , f xz = 0f yx = 0 , f yy = -2 , f yz = 0f zx = 0 , f zy = 0 , f zz = - 2Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 41

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva− 200H(0,2,1) =00− 200− 2= - 8∆ 0 =1 ; ∆ 1 = − 2 = -2 ; ∆ 2 =− 200− 2= 4 ; ∆ 3 =− 2000− 2000 =-8− 2Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P 0 (0,2,1) é um pontode máximo da função f.Ex.3 – Estudar os extremos da função:f(x,y) = x 3 / 3 + 2y 3 / 3 – 3x 2 + 10y 2 + 8x + 42y + 2f x = x 2 – 6x +8 = 0 → x 1 =4 e x 2 =2f y = 2y 2 – 20y + 42 = 0 → y 1 =7 e y 2 =3f xx =2x-6 , f xy =0 ,f yx = 0 , f yy = 4y - 20 .→ existem pontos que podem ser críticos, ou sejaP 1 (4,7) ; P 2 (4,3) ; P 3 (2,7) e P 4 (2,3)O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) =2x− 6004y− 20H(4,7) =2008>0 e ∆ 0 =1 ; ∆ 1 = 2 = 2 ; ∆ 2 =200= 4 ;8O ponto é de mínimo.2H(4,3) =00− 80 e ∆ 0 =1 ; ∆ 1 = − 2 = -2 ; ∆ 2 =− 200= 16− 8Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 42

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaO ponto é de máximo.Exercícios propostos:1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x 2 +3y 2 - x 3 /3 – y 3 /3 +1Resp. P 1 (0,0) é mínimo e P 4 (4,6) é máximo eP 2 (0,6) e P 3 (4,0) são selas.2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2)Resp. P 1 (π/2,0) é máximo.3- Achar os extremos da função f(x,y)= x 3 /3 + y 4 /4 - 25x + 27y + 1Resp. P 1 (5,-3) é mínimo.4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x 3 /3 -y 3 /3 -2x 2 -3y 2 +4x+8y+1Resp. P 1 (2,4) e P 2 (2,2) são de máximo.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 43

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.15 – Operadores especiais da física1.15.1 - GradienteDefine-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), erepresenta-se por grad f ou ∇f, a expressão:grad f = ∇f =∂∂f i ˆx∂ f+ˆj∂ y∂ f+ kˆ∂ zO gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários.1.15.2 - DivergênciarDenomina-se divergência de um vetor Vrepresenta-se por div V ou ∇. V , a expressão= Vxiˆ + V ˆj+ Vyzkˆ, ediv V = ∇. V =∂V x∂ x∂V y+∂ yV z∂+∂ zUma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento deum fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pelavelocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade devolume num ponto do fluido.1.15.3 - RotacionalO rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V édefinido por⎡ iˆˆjkˆ⎤⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥rot V = ∇×V = ⎢⎥⎢∂x ∂ y ∂ z ⎥⎢⎣V⎥xVyVz⎦⎛ ∂V∂Vy⎞z= iˆ⎛ ∂Vx∂Vz⎞⎜ −y z⎟ + ˆ⎛ ∂Vy∂V⎞xj⎝ ∂ ∂⎜ −⎠ z x⎟ + kˆ⎝ ∂ ∂⎜ −⎠ x y⎟⎝ ∂ ∂ ⎠O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação(Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da formaΩ = (1/2). rot (ρ v)Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 44

∫Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.16 – Integrais múltiplasAs integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, oupodem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integraissimples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas deintegração simples:∫ un dx =du∫ = u+ 1u n + C , onde u =f(x) en + 1ln u + Cn≠ 1∫∫csu du = ln ⎢cscu - cotu⎢ + Ccotu du = ln ⎢senu ⎢ + C∫ sec2 u du = tanu + C∫ eu du = e u + C∫ csc2 u du = - cotu + C∫ au du = a u / lna + C∫ cosu du = senu + C∫∫secu tanu du = secu + Ccscu cotu du = -cscu + C∫ senu du = -cosu + C∫ tanu du = -ln|cosu ⎢ + C∫ sen2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C∫ cos2 u du = [2u + sen2u] / 4 + Csecu du = ln ⎢secu + tanu ⎢ + CA integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular aárea de uma figura plana.ydxdydAf(x)A área infinitesimal dA = dx. dyé obtida integrando de x 1 até x 2A =2xx2f ( x)∫ ∫ . = ∫ [ ]fdx dy y0x10Ax= ∫2x1x1f ( x)dx( x)dxx 1 x 2xUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 45

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.1 Achar a área sob a funçãoy= -2x 2 + 18 , de x=0 até x=3.x2A =∫ ∫x1f ( x)0xdx . dy =∫ 2x132f ( x)dx = ∫ ( −2+ 18) dx0− 233x +18xx = [ ] 3 0A = - 18 + 54 = 46 (unid 2 )Outros exemplos de integrais são:2xEx. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida) ∫∫xydxdyxSolução:2x∫∫xydxdy =x∫2⎡ y ⎤x.⎢ ⎥⎣ 2 ⎦2xxdx4 2⎡ x x ⎤= ∫ x.⎢ − ⎥dx⎣ 2 2 ⎦6 4x x= − + c 12 8Ex.3 Calcular a integral múltipla mista ∫∫ sen( x + y)dxdyxx∫∫ sen( x + y)dxdy = ∫ [ − x + y)]0dxo1= − sen(2x ) + sen x + c2cos( = - ∫ 2x ) − cos x]dxxo[cos( =As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais devolume de sólidos, conforme mostra a figurazO volume do sólido pode ser calculado por uma integraltripla, do tipo:dydxdzyVabc= ∫∫∫000dxdydzxUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 46

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.16.1- Volume de sólidos de revoluçãoUm sólido de revolução se forma girando uma figura plana emtorno de uma reta fixa.Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se:y = f(x)yr = f(x)dV = πr 2 dxdV = π[f(x)] 2 dxb∫2V = π [ f ( x)]dxaa b xFigura plana girando em xCálculo do elemento de volumeEx1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólidogerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x 3 , no intervalo[1,2].(2,8)y(2,8)y = x 3(1,1)r(1,1)Rx1 2 x22272 3 2 6 x 2 127V = π ∫ [f (x)] dx = π∫ [x ] dx =π∫ x dx =π = π111 7 1 7(unid) 32 2Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = a − x em [-a, a]Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 47

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silvayy =2 2a − x = r-a a xSemi-círculo em rotaçãoSólido (esfera) gerado pela rotaçãodo semi-círculoaa2⎡ 3x ⎤22 2 2 2 2 2 aV = π ∫[f (x)] dx = π ∫ [ a − x ] dx =π∫ [a − x ]dx =π⎢ax − ⎥−a−a1⎢⎣3 ⎥⎦− a= π⎪⎧⎡ 3 ⎤ ⎡ 3 ⎤⎪⎫3 a 3 a⎨⎢a− ⎥ − ⎢−a + ⎥⎬= π⎪⎩ ⎢⎣3 ⎥⎦⎢⎣3 ⎥⎦⎪⎭⎪⎧3 3⎪⎫3 a 3 a⎨ a − + a − ⎬ = π⎪⎩3 3 ⎪⎭⎪⎧33 2a⎨ 2a −⎪⎩3⎪⎫⎬⎪⎭⎧ − 31= 2πa 3 ⎨1 ⎭ ⎬⎫4= πa33⎩que é o volume da esfera gerada.Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x 2 girando em tornodo eixo de y, no intervalo [0,4].yy4y = x 2x =y0 xSeção plana parábolagirando em ySólido gerado pela parábolade revoluçãoxbb4222πy4V = π ∫ r dy = π∫[g(y)]dy = π∫[y] dy = π∫ydy = = 8π = 25,13 unid 3 .2 0aa0402Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 48

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x 2 +2xy+z 3Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z 2 k2) Dada a função vetorial V = 2x 3 i+3xyz 2 j+4(x 2 +y 3 ) k , calcule asua divergência.Resp. div V = 6x 2 + 3xz 23) Calcule o rotacional do vetor V = x 2 i + 2xy j + 5yz 2 kResp. rot V = 5z 2 i + 2y kx4) Calcular a integral ∫∫ ( x + y)dxdyResp. x 3 / 2 = C0ab5) ∫∫xydxdy00Resp. a 2 b 2 / 46) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana,transformando integral dupla em integral simples. As expressões emintegral dupla são:x2f ( x)x c = (1/A) ∫∫x dxdy e y c = (1/A) ∫∫ y dxdyx1g ( x)x2f ( x)x1g ( x)x22Resp. x c =(1/A). ∫[f ( x)− g(x)]x.dx e y c =(1/2A). ∫[f ( x)− gx1x2x12( x)]dx7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de0,5 até 332 1 2Resp . V = π ∫ [ f ( x)]dx = π ∫[] dx = 8,34 unid 3x0,530,5Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 49