Coleção IME-ITA_2017 - Matemática - Livro 3

Coleção IME-ITA
Frente A
Módulo A03
FUNÇÕES: AFIM E QUADRÁTICA
01. (UFMG 1995) O preço de um determinado produto
foi reajustado da seguinte forma: de 15 de março a
15 de abril sofreu um aumento de 30%; de 15 de
março a 15 de maio, 56%; de 15 de março a 15 de
junho, 48,2% e de 15 de março a 15 de julho, 90%.
No gráfico a seguir está representada essa situação.
Nessas condições, f(7) - f(4, 5) é igual a:
3
5
17
a)
b)
c)
2
3
10
9
d)
e) 2.
5
03. (UFPE 1995) Sabendo que os pontos (2, -3) e (-1, 6)
pertencem ao gráfico da função f: IR IR definida
por f(x) = ax + b, determine o valor de b – a.
04. (Unirio 1995) A função linear f(x) = ax + b é
representada por uma reta que contém o ponto (2, -1)
e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x 2 .
A função é:
a) f(x) = -3x + 5
b) f(x) = 3x - 7
c) f(x) = 2x - 5
d) f(x) = x - 3
e) f(x) = x/3 - 7/3
05. (Unesp 1995) Considere a função f: IR IR, definida
por f(x) = 2x - 1. Determine todos os valores de m ∈ IR
para os quais é válida a igualdade:
f(m 2 ) - 2f(m) + f(2m) = m/2.
O índice de reajuste do mês é a variação
percentual do preço entre o dia 15 do mês anterior
e o dia 15 do mês em questão.
a) Se o preço do produto em 15/04 era R$
26,00, calcule o preço em 15/03 e em 15/05.
b) Determine o maior índice de reajuste mensal
ocorrido no período de 15/03 a 15/07.
c) Calcule o percentual de redução do preço de
15/05 a 15/06.
02. (Unesp 1995) A poligonal ABCD da figura adiante
é o gráfico de uma função f cujo domínio é o
intervalo -1≤x≤7. Sabe-se que AB é paralelo a
CD e BC é paralelo ao eixo dos x.
06. (Ufes 1996) Uma produtora pretende lançar um filme
em fita de vídeo e prevê uma venda de 20.000
cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$
150.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 20,00
(fita virgem, processo de copiar e embalagem).
Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por
fita, para não haver prejuízo?
a) R$ 20,00 b) R$ 22,50
c) R$ 25,00 d) R$ 27,50
e) R$ 35,00
07. (UnB 1996) A distância entre duas cidade, A e B, é
de 156 km. De A para B, a extensão das descidas é
0,7 vezes a extensão das subidas. Um ciclista pedala
a 25 km/h, nas partes planas da estrada, a 15 km/h,
nas subidas, e a 30 km/h, nas descidas. A diferença
entre o tempo de ida e o tempo de volta do ciclista é
de 48 minutos. Calcule, em quilômetros, a extensão
da parte plana do trajeto, desconsiderando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
08. A variação de temperatura y = f(x) num intervalo de
tempo x é dada pela função f(x) = (m 2 - 9)x 2 + (m
+ 3)x + m - 3; calcule "m" de modo que o gráfico
da função seja uma reta e f(x) seja crescente:
a) –3 b) 9 c) 3 d) –9 e) 0

Matemática – Livro 3
09. (UnB 1997) Cada bilhete vendido em um parque de
diversões dá direito à utilização de apenas um
brinquedo, uma única vez. Esse parque oferece aos
usuários três opções de pagamento:
I. R$ 2,00 por bilhete;
II. valor fixo de R$ 10,00 por dia, acrescido de
R$ 0,40 por bilhete;
III. valor fixo de R$ 16,00 por dia, com acesso
livre aos brinquedos.
Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.
(1) Se uma criança dispõe de R$ 14,00, a opção
I é a que lhe permite utilizar o maior número
de brinquedos.
(2) Se x representa o número de vezes que uma
pessoa utiliza os brinquedos do parque, a
função f que descreve a despesa diária
efetuada, em reais, ao se utilizar a opção III, é
dada por f(x)=16x.
(3) É possível a um usuário utilizar determinado
número de brinquedos em um único dia, de
modo que a sua despesa total seja a mesma,
independente da opção de pagamento escolhida.
10. (LIMA) Uma caravana com 7 pessoas deve
atravessar o Sahara em 42 dias. Seu suprimento de
agua permite que cada pessoa disponha de 3,5
litros por dia. Após 12 dias, a caravana encontra 3
beduínos sedentos, vítimas de uma tempestade de
areia e os acolhe. Pergunta-se:
a) Quantos litros de água por dia caberão a
cada pessoa se a caravana prosseguir sua
rota como planejado?
b) Se os membros da caravana (beduínos
inclusive) continuarem consumindo água
como antes, em quantos dias, no máximo,
será necessário encontrar um oásis?
11. (ITA 2005) Considere a equação em x ∈ R
2
1mx x 1 mx , sendo m um parâmetro real.
a) Resolva a equação em função do parâmetro m.
b) Determine todos os valores de m para os
quais a equação admite solução não nula.
12. (ITA 2005) Determine todos os valores reais de a
para os quais a equação (x - 1) 2 = │ x - a │ admita
exatamente três soluções distintas.
13. (ITA 2007) Considere a equação:
2 2
[ x p 2 x 1
x
a) Para que valores do parâmetro real p a
equação admite raízes reais?
b) Determine todas essas raízes reais.
14. (Cesgranrio 1990) Se as raízes da equação x 2 + bx
+ 27 = 0 são múltiplos positivos de 3, então o
coeficiente b vale:
a) 12.
b) –12.
c) 9.
d) –9.
e) 6.
15. (Cesgranrio 1990) Se a equação 10x 2 + bx + 2 = 0
não tem raízes reais, então o coeficiente b satisfaz a
condição:
a) –4 5 < b < 4 5 .
b) b < 4 5 .
c) b > 4 5 .
d) 0 < b < 5 .
e) –8 5 < b < 0.
16. (UFPE 1995) Se a equação y =
2
2x px 32
define uma função real y = f(x)
cujo domínio é o conjunto dos reais, encontre o
maior valor que p pode assumir.
17. (UFBA 1996) Considerando-se os conjuntos
A = { x ∈ IN, x < 4 },
B = { x ∈ Z, 2x + 3 = 7 },
C = { x ∈ IR, x 2 + 5x + 6 = 0 },
é verdade que:
01. A B
A
A C 2, 3
02.
04. A B 0,1, 3
08. A C R
16. BC
A
32.
CA
Z
Z
x
18. (UEL 1996) Sabe-se que os números reais w e z são
raízes da equação x 2 - kx + 6 = 0, na qual k ∈ IR.
A equação do 2 ° grau que admite as raízes w + 1 e
z + 1 é
a) x 2 + (k + 2)x + (k + 7) = 0
b) x 2 - (k + 2)x + (k + 7) = 0
c) x 2 + (k + 2)x - (k + 7) = 0
d) x 2 - (k + 1)x + 7 = 0
e) x 2 + (k + 1)x + 7 = 0

IME/ITA
19. (ITA 1996) Seja w um número real tal que w > 2(1
+ 2 ) e considere a equação x 2 - wx + w + 1 =
0. Sabendo que as raízes reais dessa equação são
as cotangentes de dois dos ângulos internos de um
triângulo, então o terceiro ângulo interno desse
triângulo vale:
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 135° e) 120°
20. Determine o parâmetro m na equação x 2 + mx +
m 2 - m - 12 = 0, de modo que ela tenha uma raiz
nula e outra positiva.
21. (ITA 1975) A respeito da equação
2 2 2
(x 3x 2) 8(x 2x) 8x 4 , podemos
afirmar que
a) todas as raízes são inteiras.
b) uma raiz é nula e as outras são positivas.
c) a soma dos módulos das raízes é 6.
d) o módulo da maior raiz é 5
e) nda
22. (Colégio Naval 1989) A solução da equação
3 3
2 3x1 3x 1 4 é:
a) divisor de 30
b) fator de 40
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 7
e) divisível por 9
23. (Olimpíada Americana) Encontre a solução positiva
da equação
1
1
2
2 2 2
x 10x 29 x 10x 45 x 10x 69
24. Resolver a equação
25. Resolva a equação:
2 2
(x x 2)(x x 3) 6
x
x
7 48 7 48 14
26. (Pasichenko) Resolver a equação
x(x 1)(x 2)(x 3) 15 0
27. (Olimpíada Britânica) Mostre que
n(n 1)(n 2)(n 3) 1
é um quadrado perfeito para n
1,2,3,...
28. (Litvinenko) Determine a solução da equação
2 2
x 28 x
x
2 2 2
x x 28 x 3
29. (Olimpíada Americana) Encontre o produto das
raízes reais da equação
2 2
x 18x 30 2 x 18x 45
30. Resolva a equação
2 2
3x 9x 34 3x 9x 11 9 .
31. Seja a maior raiz da equação x 2 x 1 0 .
5
Calcule 5 .
32. Seja k uma raiz da equação de 3º grau
3
x –3x1
0
equação.
. Prove que
2
k –2 é outra raiz dessa
33. (OBM) Sejam a, b, c, d números reais distintos tais
que a e b são as raízes da equação
2
x 3cx8d 0 e c e d são as raízes da equação
2
x 3ax 8b 0. Calcule a soma abc d.
34. Dada a equação
2
ax bx c 0 , obtenha uma
nova equação do segundo grau, cujas raízes sejam:
a) as recíprocas das raízes da equação dada
b) metade das raízes da equação dada
35. (UFC 2004) As raízes da equação x 2 px q 0 ,
onde p e q são constantes, são os cubos das
raízes da equação x 2 x 1 0. Determine os
valores de p e q .
36. (Olimpíada Soviética) A equação do 2º grau
2
x ax b1 0 tem raízes inteiras positivas.
2 2
Mostre que a b é um número composto.
37. (Olimpíada de Moscou) Mostre que se a, b e c são
2
inteiros ímpares, a equação ax bx c 0 não
tem raiz racional.
38. Mostre que a equação x 2 bx p 0 não possui
raiz inteira, se b é um número natural e p é um
primo positivo.
3

Matemática – Livro 3
39. (IME 2002) Resolver, em R, a equação
5 5x x
40. (Olimpíada da Coréia) Resolver a equação
3
x(x1) (xa)(2x a) , onde a é um parâmetro
real, com 3 a 1
4 .
41. (IME 2012) Seja a, b e c números reais e distintos.
Ao simplificar a função real, de variável real,
2
x b x c 2 x c x a
f x a b
abac
bcba
2 x a x b
c , obtém-se f(x) igual a:
cacb
a)
2
x a b cx abc
b)
2
x x abc
c)
2
x
d)
2
–x
e)
2
x x abc
42. (ITA 2002) Dada a função quadrática
f(x) = x 2 ln (2/3) + x ln6 - (1/4) ln (3/2)
temos que
a) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais.
b) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais
distintas e o gráfico f possui concavidade para
cima.
c) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais
iguais e o gráfico de f possui concavidade
para baixo.
d) o valor máximo de f é (ln2 ln3)/(ln3 - ln2).
e) o valor máximo de f é 2 (ln2 ln3)/(ln3 - ln2).
43. (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m
para os quais a função
f x
2 2
x 2m 3 x m 3
2 2
x 2m 1 x m 2
está definida e é não-negativa para todo x real é:
a)
1 7
1 7
,
4 4
b) ,
4 c) 0,
4
d)
1
1 7
, 4 e) ,
4 4
44. (ITA 1995) Os dados experimentais da tabela a
seguir correspondem às concentrações de uma
substância química medida em intervalos de 1
segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três
pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a
concentração (em moles) após 2,5 segundos é:
Tempo (s) Concentração (moles)
1 3,00
2 5,00
3 1,00
a) 3,60 b) 3,65
c) 3,70 d) 3,75
e) 3,80
45. (EAESP-GV 1977) O menor valor de k para o qual
a intersecção da reta y = 4x + k com a parábola y
= 2x 2 + 3x – 2 seja não vazia é:
a) 5
b) 1/4
c) 3/8
d) 2
e)
17
8
46. (FGV 1972) A região hachurada do gráfico é a
solução gráfica do sistema de desigualdades:
a)
b)
c)
2
y
x 0
x 1
y
x 0
x 1
2
y
x 0
x 1
d)
2
y
x 0
x 1
e) nenhuma das anteriores
4

IME/ITA
47. (CESGRANRIO 1977) Uma conta perfurada de um
colar é enfiada em um arame fino com o formato
2
de parábola y x 6. Do ponto P de
coordenadas (4, 10) deixa a conta deslizar no
arame até chegar ao ponto Q de ordenada -6. A
distância horizontal percorrida pela conta (diferença
entre as abscissas de P e Q) é:
a) 12 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3
48. (CONSART 1975) Um dia na praia às 10 horas a
temperatura era de 36ºC e às 14 horas atingiu a
máxima de 39,2ºC. Supondo que nesse dia a
temperatura f(t) em graus e uma função do tempo t
medido em horas, dada por f(t) = at 2 + bt + c,
quando 8 < t < 20, então pode-se afirmar que:
a) b = 0 b) ab < 0 c) a = b
d) a > 0 e) b < 0
49. (EPUSP 1966) O gráfico da função y = ax 2 + bx + c,
sendo b 0 e c 0 o gráfico da função obtida da
anterior pela mudanca de x em –x se interceptam:
a) em dois pontos, um no eixo dos x e outro no
eixo dos y
b) em um ponto fora dos eixos
c) somente na origem
d) em um ponto do eixo dos y
e) nenhuma das respostas anteriores
50. (CICE 1968) Seja a função y = 3x 2 12 definida
no intervalo 4 x 3. A imagem de tal função é
tal que:
a) 2 y 2
b) 15 y 36
c) 15 y 36
d) 12 y 36
e) 12 y 36
51. (CESCEM 1977) Na figura abaixo estão
representados os gráficos das funções dadas por
x
fx x 1x 3
e fx
3
2
As coordenadas dos pontos P e Q são:
a)
3 9
;
2 4
e 1;
b)
3 9
;
2 4
e 2; c)
3 9
;
2 4
e 4; d)
3
;4
2
e 2; e)
3
;4
2
1; 4
e
52. (EAESP-GV 1977) O menor valor de k para o qual
a intersecção da reta y = 4x + k com a parábola y
= 2x 2 + 3x – 2 seja não vazia é:
a) 5 b) 1/4 c) 3/8
17
d) 2 e)
8
53. (MACK 1974) Dada a equação x + 6 = x 2 , uma
equação equivalente à mesma é:
a) x (x + 6) = x 3
b) x + 6 + x 2 = x 2 + x + 6
c)
1 2 1
x 6 x
x 3 x 3
2
d) 3x 6 3x
e) todas são equivalentes à equação dada
54. (MACK 1977) o número de soluções reais da
2
2x 8x
equação x
2
x 4x
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) não sei
55. (PUC 1977) Para que a equação
2 2
2 a b
x ax 0 tenha raízes reais e iguais é
4
necessário e suficiente que:
a) a = b
b) b = 0
c) a = 2b
d) a 2 – b 2 =0
e)
a b a 1
2
5

Matemática – Livro 3
56. (MACK 1974) As raízes da equação
2
abc x 4 ab x abc 0 com
abc 0 são reais:
a) sempre
b) somente se a > b > c
c) somente se a > c > b
d) somente se c > a > b
e) nunca
57. (MACK 1974) A equação
2
kx 12k x k 2 0 tem raízes raicionais
para os valores de k pertencentes ao conjunto:
A 1, 2, 4, 5
a)
b) B 2, 4, 6, 8,10
c) C 2, 6,12, 20, 30
d) D 1, 4, 9,16, 25
e) E
1,8,27,64,81
58. (CESCEA 1977) As raízes da equação
2
2x 2mx 3 0 são positivas e uma o triplo da
outra. Então o valor de m é:
a) 4
b) –2
c) 2 2
d) 2 2
e) 0
59. (FEI 1968) Sendo a e b as raízes da equação
2
2x 5x m 3 então, se 1 1 4 , o valor de
a b 3
m é
a)
3
4
b)
4
3
c)
27
4
d) 0
e) nenhuma das anteriores
60. (MACK 1974) O valor de p, para o qual a soma
dos quadrados das raízes de
2
x p2 x p3
0
tem o menor valor, é:
a) 2 b) 0 c) 1 d) –1 e) 3
61. (ITA 1998) Sejam as funções f: e
g:A , tais que
2
fx x 9
fog x x 6 ,
em seus respectivos domínios. Então, o domínio A
da função g é:
3,
b)
a)
c) 5,
e
d) , 1 3,
e) , 6
62. (FUVEST 1991) No estudo do Cálculo Diferencial e
Integral, prova-se que a função cos x (cosseno do
ângulo de x radianos) satisfaz a desigualdade:
f(x) = 1 - (x 2 /2) ≤ cos x ≤1 - (x 2 /2) + (x 4 /24) = g(x)
a) Resolva as equações f(x) = 0 e g(x) = 0.
b) Faça um esboço dos gráficos das funções f(x)
e g(x).
63. (FUVEST 1992) Num terreno, na forma de um
triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e
30 metros, deseja-se construir uma casa retangular
de dimensões x e y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada
pela casa será máxima?
64. (CESGRANRIO 1992) O diretor de uma orquestra
percebeu que, com o ingresso a R$ 9,00 em média
300 pessoas assistem aos concertos e que, para
cada redução de R$ 1,00 no preço dos ingressos, o
público aumenta de 100 espectadores. Qual deve
ser o preço para que a receita seja máxima?
a) R$ 9,00 b) R$ 8,00
c) R$ 7,00 d) R$ 6,00
e) R$ 5,00
65. (UNICAMP 1993) Determine o número m de modo
que o gráfico da função y = x 2 + mx + 8 - m seja
tangente ao eixo dos x. Faça o gráfico da solução (ou
das soluções) que você encontrar para o problema.
6

IME/ITA
66. (UFMG 1994) Seja a função f tal que f(0) = 4 e f(a)
= 1, definida pelas duas expressões f(x) = x 2 - ax +
b se x ≥ (a/2) e f(x) = x + 5 se x < (a/2).
Em relação à função f
a) INDIQUE a expressão utilizada no cálculo de
f(0). JUSTIFIQUE sua resposta e CALCULE o
valor de b.
b) DETERMINE o sinal de a, e seu valor e os
valores de x tais que f(x) = 9.
67. (UFPE 1995) Se a é um número real positivo, então
o gráfico de y = a(x 2 + 2x), x ∈ IR,
( ) é uma parábola que passa pela origem (0,0).
( ) é simétrico em relação à reta x = -1.
( ) é uma parábola cujo vértice é o ponto (-1, a).
( ) está contido na reunião dos 3(três) primeiros
quadrantes.
( ) não intercepta a reta y = -a.
68. (UFMG 1995) Observe a figura.
Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos
pontos (-4, -24) e (2, 0).
a) Determine a equação da reta r.
b) Determine a equação dessa parábola.
c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de
pontos de mesma abscissa x, nesta ordem:
um sobre a parábola e o outro sobre a reta r.
Determine x para que f(x) seja a maior possível.
69. (FGV 1995) A função f, de IR em IR, dada por f(x) =
ax 2 - 4x + a tem um valor máximo e admite duas
raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a
a) 4
b) 2
c) 0
d) –1/2
e) –2
70. (UFPE 1995) Qual o maior valor assumido pela função
f: [-7, 10] IR definida por f(x) = x2 - 5x + 9?
71. (ITA 2014) Considere as funções
f, g : , f( x)
ax m, g( x)
bx n , em que
a, b, m e n são constantes reais. Se A e B são as
imagens de f e de g, respectivamente, então, das
afirmações abaixo:
I. Se A = B, então a = b e m = n;
II. Se A = , então a = 1;
III. Se a, b, m, n , com a = b e m = −n,
então A = B,
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III.
d) apenas I e II. e) nenhuma.
72. (ITA 2012) Analise se f : ,
2
3 x , x 0
f( x )
é bijetora e, em caso
2
3 x , x 0
afirmativo, encontre f
1 : .
73. (ITA 2010) Seja f : bijetora e ímpar. Mostre
que a função inversa f
1 : também é ímpar.
74. (ITA 2009) Seja : \
0
f uma função
satisfazendo às condições: fx ( y) fx ( ).f(y), para
todo xy , e fx ( ) 1, para todo x \
0
.
Das afirmações:
I. f pode ser ímpar.
II. f (0) 1.
III. f é injetiva.
IV. f não é sobrejetiva, pois fx ( ) 0 para todo
x .
é (são) falsa(s) apenas
a) I e III. b) II e III. c) I e IV.
d) IV. e) I.
75. (ITA 2006) Seja f :[0,1) definida por
2x, 0 x 1/ 2
f( x)
.
2x
1, 1 / 2
x 1
Seja g:( 1/2,1/2) dada por
f(x1/ 2), 1/ 2 x 0
g ( x )
1 f(x
1/ 2), 0 , com f definida
x 1/2
acima.
Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar
ou nem par nem ímpar.
76. Demonstre a Fórmula de Bhaskara.
7

Matemática – Livro 3
77. (ITA 2011) Determine todos os valores de m
tais
que a equação 2 mx 2 2mx m 2 0
tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero.
78. (ITA 1988) Sejam a, b e c constantes reais com a 0
formando, nesta ordem, uma progressão aritmética
e tais que a soma das raízes da equação
2
ax bx c 0 é 2 . Então uma relação válida
é:
b
a) c 2 1
b) c b
2
2
2
c b 21
d) c b 2
c)
e)
b
c 4
2
2
83. (UNICAMP 1995) Esboce os gráficos das funções y
= e x , y = e -x e y = e x + e -x -3 em um mesmo
sistema de eixos ortogonais. Mostre que a equação
e x + e -x -3 = 0 tem duas raízes reais simétricas x =
a e x = -a. Mostre, ainda, que e 3a + e -3a = 18.
84. (UFPE 1995) A quantidade de água captada por
uma represa, ao longo de 300 dias, obedeceu ao
seguinte cronograma: 8.000 m 3 /dia nos primeiros
100 dias, caindo 20 m 3 /dia até estabilizar-se em
6.000m 3 /dia. Se a represa fornece água para uma
cidade a uma vazão de 7.000 m 3 /dia, durante os
300 dias, qual dos gráficos a seguir melhor
representa o volume de água Q na represa?
a) b)
MÁXIMOS E MÍNIMOS
79. O diretor de uma orquestra percebeu que, com o
ingresso a R$ 9,00 em média 300 pessoas assistem
aos concertos e que, para cada redução de R$
1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de
100 espectadores. Qual deve ser o preço para que
a receita seja máxima?
a) R$ 9,00 b) R$ 8,00 c) R$ 7,00
d) R$ 6,00 e) R$ 5,00
80. (UNICAMP 1993) Determine o número m de modo
que o gráfico da função y = x 2 + mx + 8 - m seja
tangente ao eixo dos x. Faça o gráfico da solução
(ou das soluções) que você encontrar para o
problema.
81. (UNICAMP 1994)
a) Faça o gráfico da função y = lnx com
domínio x > 0.
b) A partir desse gráfico, faça o gráfico de y =
f(x) = ln (-x), com domínio x < 0.
c) Explique como a função y = g(x) = ln(1 - x)
está relacionada com a função f e obtenha o
gráfico de g a partir do gráfico de f.
82. A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x 2
+ 12x + 20, tem um valor
a) mínimo, igual a -16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
c) d)
e)
85. (UFPE 1995) Qual o maior valor assumido pela função
f: [-7, 10] IR definida por f(x) = x 2 - 5x + 9?
86. Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em
outro quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado
interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as
áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é
uma função da medida x. O valor mínimo de A é
a) 16 cm 2 b) 24 cm 2 c) 28 cm 2
d) 32 cm 2 e) 48 cm 2
8

IME/ITA
2
87. (UFPE 1995) Se a equação y = 2x px 32
define uma função real y = f(x) cujo domínio é o
conjunto dos reais, encontre o maior valor que p pode
assumir.
88. (FUVEST 1996) No triângulo ABC, AC = 5 cm, BC
= 20 cm e cos α = 3/5. O maior valor possível,
em cm 2 , para a área do retângulo MNPQ,
construído conforme mostra a figura a seguir, é:
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24
89. Usando uma unidade monetária conveniente, o
lucro obtido com a venda de uma unidade de certo
produto é x - 10, sendo x o preço de venda e 10 o
preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês,
depende do preço de venda e é, aproximadamente,
igual a 70 - x. Nas condições dadas, o lucro
mensal obtido com a venda do produto é,
aproximadamente, uma função quadrática de x,
cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é
a) 1200 b) 1000 c) 900
d) 800 e) 600
90. (UFPE 1996) O custo C, em reais, para se produzir
n unidades de determinado produto é dado por: C
= 2510 - 100n + n 2 . Quantas unidades deverão
ser produzidas para se obter o custo mínimo?
91. Seja ABCD um quadrado de área unitária. São
tomados dois pontos P ∈ AB e Q ∈ AD, tais que
AP + AQ = AD . CALCULE o maior valor para
a área do triângulo APQ. Como seria tratado este
problema, se fosse pedido para calcular a menor
área?
92. O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta
o eixo das abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de
máximo de f coincide com o ponto de mínimo da
função g, de IR em IR, definida por g(x) = (2/9)x 2 -
(4/3)x + 6. A função f pode ser definida por
a) y = - x 2 + 6x + 5
b) y = - x 2 - 6x + 5
c) y = - x 2 - 6x - 5
d) y = - x 2 + 6x - 5
e) y = x 2 - 6x + 5
93. (FGV 1996) O preço de ingresso numa peça de
teatro (p) relaciona-se com a quantidade de
frequentadores (x) por sessão através da relação;
p = - 0,2x + 100
a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o
preço de ingresso for R$ 60,00?
b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar
a máxima receita por sessão?
94. Um fazendeiro precisa construir dois currais lado a
lado, com um cerca comum, conforme mostra a
figura. Se cada curral deve ter certa área A, determine
o comprimento mínimo que a cerca deve ter.
95. Uma empresa fabrica determinado produto e o
vende ao preço unitário de R$ 70,00. O custo total
f, em reais, para produzir x unidades é dado por
fx ( ) 2x 3 3x 2 2x 10
. Se toda a produção é
absorvida pelo mercado consumidor, qual é a
quantidade produzida que gera um lucro máximo?
Qual é o valor desse lucro?
96. Um fio de 10 cm de comprimento é cortado em
dois pedaços, um dos quais formará um círculo e
outro, um quadrado. Como deve ser cortado o fio
para que a soma das áreas do círculo e do
quadrado seja mínima?
97. Uma lata de forma cilíndrica, com tampa, deve ser
construída com A cm² de folha de alumínio. Se r é o
raio da base e h é a altura da lata que proporcionam
o volume máximo, qual é o valor de r/h?
98. Uma usina geradora de energia fica situada à
margem de um rio de 1200 m de largura e uma
fábrica que utiliza de sua energia fica na outra
margem do rio, 2000 m à jusante. Para levar a
energia da usina geradora até a fábrica será
utilizado cabo enterrado no fundo do rio e nas
margens do rio. Sabendo que o cabo enterrado no
fundo do rio fica R$ 3,00 de custo por metro e o
cabo em terra fica R$ 2,00 por metro, quantos
metros de cabo de cada tipo serão utilizados para
que o custo seja mínimo?
9

Matemática – Livro 3
99. O princípio de Fermat, na Óptica, afirma que a luz
segue um caminho que minimiza o tempo de
percurso. Dessa forma, considere um raio de luz
que parte de uma fonte localizada no ponto A(0, 1),
incide em um espelho horizontal (eixo x), no ponto
B(x, 0) e reflete passando pelo ponto C (4, 1).
Usando o princípio de Fermat, determine o valor de
x do ponto B.
100. Uma centena de animais pertencendo a uma
espécie em perigo está colocada numa reserva de
proteção. Depois de t anos a população p desses
2
t 5t
25
animais na reserva é dada por p
.
2
t 25
Em quanto tempo a população da reserva é
máxima?
101. Determine os pontos críticos da função f, utilizando
o critério da segunda derivada.
a) fx ( ) xx ( 2)
3
b) fx ( ) x/(1 x
2 )
c) ( ) 2 x
fx xe d)
x x
fx ( ) e e
e) fx ( ) log (1 x 2 ) f) fx ( ) ( x1)
2/3
e
102. Determine o ponto P situado sobre a hipérbole de
equação xy . 1 e que está mais próximo da
origem.
103. Um triângulo isósceles de base a está inscrito numa
circunferência de raio R. Calcule a, em função de R,
de modo que seja máxima a área do triângulo.
104. Calcule o raio da base e a altura do cone circular
reto de máximo volume que se pode inscrever numa
esfera de raio R.
105. Uma página de impressão deve conter 300 cm 2 de
área impressa, uma margem de 2 cm nas partes
superior e inferior e uma margem de 1,5 cm nas
laterais. Determine as dimensões da página de
menor área que preenche essas condições.
106. Nos casos a seguir, determine onde o gráfico da
função dada tem concavidade positiva, onde a
concavidade é negativa e obtenha os pontos de
inflexão, caso existam.
3
a) fx ( ) x 9x
2
b) fx ( ) x/( x 1)
c) fx ( ) 5 x 2
107. Determine os intervalos em que x deve estar para
que o gráfico da função fx ( ) senx ( ) cos( x ) tenha
concavidade positiva.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
108. (ITA 2000) Seja S = [- 2, 2] e considere as
afirmações:
1
I.
4 ≤
x
1
< 6, para todo x ∈ S.
2
1
II.
32 2 < 1
, para todo x ∈ S.
x 32
III. 2 2x - 2 x ≤ 0, para todo x ∈ S.
Então, podemos dizer que
a) apenas I é verdadeira.
b) apenas III é verdadeira.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) apenas II é falsa.
e) todas as afirmações são falsas.
109. O conjunto-solução da inequação x 2x ≥ x x+3 , onde
x>0 e x≠1, é:
a) ]0,1[ ⋃ [3,+∞[
b) {x ∈ IR │ 0 < x < 1}
c) [ 3, +∞[
d) IR
e) ∅
110. (UNICAMP 2000) Suponha que o número de
indivíduos de uma determinada população seja
dado pela função: F(t)=a.2 -bt , onde a variável t é
dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a
população inicial (t=0) seja igual a 1024
indivíduos e a população após 10 anos seja a
metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população
se reduza a 1/8 da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t∈[0,40].
111. (UFRGS 2004) Analisando os gráficos das funções
reais de variável real definidas por f(x) = (3/2) x-1 e
g(x) = x, representadas no mesmo sistema de
coordenadas cartesianas, verificamos que todas as
raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo
a) [0, 3].
b) (1/2, 4].
c) [1, 5).
d) (3/2, 6].
e) (2, 6).
10

IME/ITA
112. (UFSCAR 2004) Se a área do triângulo retângulo
ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se
que f(n) é igual a
a) 2.
b) 2 2 .
c) 3.
d) 3 2 .
e) 4.
113. (UFRN 2004) No programa de rádio HORA
NACIONAL, o locutor informa:
"Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber
uma notificação da defesa civil do País alertando
para a chegada de um furacão de grandes
proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que
mantenham a calma, uma vez que os órgãos do
governo já estão tomando todas as providências
cabíveis".
Para atender às solicitações que seguem, suponha
que o número de pessoas que tenha acesso a essa
informação, quando transcorridas t horas após a
divulgação da notícia, seja dado pela expressão
P
f
t
Pt
3
1 92
sendo t ≥ 0 e P a população do País.
a) Calcule o percentual da população que
tomou conhecimento da notícia no instante de
sua divulgação.
b) Calcule em quantas horas 90% da população
tem acesso à notícia, considerando que, em 1
hora após a notícia, 50% da população do
país já conhecia a informação.
114. (UERJ 2004) Segundo a lei do resfriamento de
Newton, a temperatura T de um corpo colocado
num ambiente cuja temperatura é T 0 obedece à
seguinte relação:
ct
T T ke
0
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o
tempo medido em horas, a partir do instante em que o
corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes
a serem determinadas. Considere uma xícara contendo
café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de
temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura
do café passa a ser de 40°C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos
após a xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1,
estabeleça o tempo aproximado em que,
depois de a xícara ter sido colocada na sala,
a temperatura do café se reduziu à metade.
115. (UNICAMP 2004) A função L(x) = ae bx fornece o
nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado
a x metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e
b, sabendo que um objeto a 1 metro de
distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um
objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes,
calcule a distância entre a lâmpada e esse
objeto.
116. (FGV 2005) Os gráficos das funções exponenciais g
e h são simétricos em relação à reta y = 0, como
mostra a figura:
Sendo g(x) = a + b . c x e h(x) = d + e . f x , a soma
a + b + c + d + e + f é igual a
a) 0. b) 7 3 . c) 10
3 .
d) 8. e) 9.
11

Matemática – Livro 3
117. (FGV 2005) A posição de um objeto A num eixo
numerado é descrita pela lei
1 7 0,5t
2
8 8
onde t é o tempo em segundos. No mesmo eixo,
move-se o objeto B, de acordo com a lei 2 -t .
Os objetos A e B se encontrarão num certo instante
t AB .
O valor de t AB , em segundos, é um divisor de
a) 28. b) 26. c) 24. d) 22. e) 20.
118. (FGV 2007) “O preço de equilíbrio de um produto
corresponde ao valor em que a quantidade
demandada do produto é igual à quantidade
ofertada pelo produtor”.
Se as equações de oferta e demanda de
determinada fruta são, respectivamente, q =
20000.p 2,5 e q = 150000.p -2 , sendo q a
quantidade expressa em quilos e p o preço em reais
por quilo, a partir do conceito apresentado, o preço
de equilíbrio por quilo, em reais, é igual a:
a) 7,50 b) (7,50) 4,5
c) log 4,5 (7,50) d) log 2/9 (7,50)
e) (7,50) 2/9
119. (UFPA 2008) A quantidade x de nicotina no sangue
diminui com o tempo t de acordo com a função
kt / 2
x x0e .
Se a quantidade inicial x 0 se reduz à metade em 2
horas, em 5 horas existirá no sangue
a) 17,4% de x 0 . b) 17,7% de x 0 .
c) 20,0% de x 0 . d) 20,3% de x 0 .
e) 20,6% de x 0 .
Considerar 2 = 1,41
120. (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado
por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O
número de pessoas que soube do acontecimento t
horas após é dado por:
B
f
t
kt
1 Ce
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que
1/9 da população soube do acidente 3 horas após,
então o tempo que se passou até que 1/5 da
população soubesse da notícia foi de:
a) 4 horas
b) 5 horas
c) 6 horas
d) 5 horas e 24 min
e) 5 horas e 30 min
121. (CESCEA 1975) Considere a função f: tal
2
x
que fx
e . Então, f0f1f1 vale:
a) 1ee
1
b) 0
1
c) 1
2e
d) 1
e) 1
e
122. (CESCEA 1976) Dada a função fx 1e 2x ,
assinale a afirmação correta:
1
a) f0f
1
2
b)
1
f
f
1 e
2
c) f1 f0 0
d)
2 2
f1 f1 e e
e)
1 1
2
f f 1e
2 2
x2
123. Se
1
a)
b)
2
c) 64 d)
6
0,0625 0,25 , então,
e) não sei.
1
38
1
64
x 1 vale:
124. A equação 5 a, onde a é um número real
a
não nulo, terá solução se e somente se:
a) a > 0
b) a = 0
c) a < 0
d) a > √3
e) a < -√3
x 3
125. (ITA 1972) Todas as raízes da equação
1
1 2
x 4x 30 são:
a) x1
1 e x2
1.
1
b) x1
3 e 1
x2
3 .
c) x1
3 e x2
3.
d) não tem raízes reais.
e) nenhuma das respostas anteriores.
12

IME/ITA
126. (ITA 1974) Sobre a raiz da equação
x 15 x3
23
3 3
x1 x2
3 3
podemos afimar:
a) não é real.
b) é menor que -1.
c) está no intervalo [0, 6].
d) é um número primo.
e) nenhuma das respostas anteriores.
127. A equação admite solução real:
a) para todo k real
b) para todo k > e
c) somente para 2 < k < e
d) somente se k for inteiro
e) não sei
128. (ITA 1973) A desigualdade x x
x
para
a) qualquer x positivo.
b) 1 x 3.
c) 0 x 1 ou 2 x 3.
d) 0 x 1 ou 2 x 3.
e) nenhuma da alternativas anteriores.
x 3
1
é valida
129. (ITA 1970) A equação 3e x x
2e 1 apresenta
2 2
a) x = 0.
b) x > 1.
c) -1 < x < 1.
d) 1 x 2
3 .
e) nenhuma das respostas anteriores é valida.
130. Considere a função exponencial f : definida
por fx a x , em que a *
1 . Prove que
f x y f x f y , x,
y
.
131. (ITA 2001) Considere as funções
5 7
4
x
gx e hx
4
5 7 x
f x ,
4
arctg x . Se a é tal que
hfa hga
, então fa
g a vale:
a) 0 b) 1 c) 7/4
d) 7/2 e) 7
132. (IME-05) Dada a função
x x
156 156
fx ( )
2
,
mostre que:
f x y f x y 2 f x f y .
133. (ITA-02) Sejam f e g duas funções definidas por
2
2
3sen x 1
3senx
1
1
f x e gx
, x . A
2
soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de
g é igual a
a) 0 b) –1/4 c) 1/4 d) 1/2 e) 1
134. (Fuvest 2011) Seja 2 bx c
f x a , abc , , . A
imagem de f é a semirreta 1,
e o gráfico de
f intercepta os eixos coordenados nos pontos 1, 0
e 3
0,
. Então, o produto
4
a b c vale:
a) 4 b) 2 c) 0 d) 2 e) 4
LOGARÍTMOS
135. (IME 1985) Determine log 0,037037037... .
0,333...
136. (IME 1983) Seja log o logaritmo decimal de a e
log a o logaritmo de a na base 3. São dados:
3
log2 e log3 . Calcule em função de e
os valores de logN e log3
N ,
364,5
N 2434
3
2 .
onde:
137. (IME 2014) Sabe-se
yz z xxy z e,
em que e é a
z
yz
base dos logaritmos naturais. O valor de x y z é
3 2
a) e e 1 b) e 2 e 1 e
3
c) e 1 d) e 3 e 2 e
e) e 3 e 2 e
1
3 2 x
138. (IME 2014) Resolver o sistema de equações
y
x y log3
x
x2 x y
2 8 54
13

Matemática – Livro 3
139. (IME 2013) Considere a equação
3
2
log3x log3
x
1.
x
A soma dos quadrados das
soluções reais dessa equação está contida no intervalo
a) [0, 5) b) [5, 10)
c) [10, 15) d) [15, 20)
e) [20, )
140. (IME 2012) Se log10
2 x e log10
3
log518 vale:
a)
x 2y
1
x
d)
x 2y
1
x
b)
e)
x y
1
x
3x 2y
1
x
c)
2x y
1
x
y, então
141. (IME 2012) Os números reais positivos x 1 , x 2 e x 3
3 2 b b
são raízes da equação x ax a x, sendo
2
b (natural), a (real) e a
1. Determine,
em função de a e b, o valor de
2 2 2 b
x1 x2 x3
log
ax1x2x3 x1 x2 x
3 .
142. (IME 1996) Considerando log2 = a e log3 = b,
encontre em função de a e b, o logaritmo do
número 5
11, 25 no sistema de base 15.
143. (ITA 1995) Se x é um número real positivo, com x ≠
1 e x ≠ 1/3, satisfazendo:
2log3x / logx2xlogxx 2 / 1log 3xlogxx 2
então x pertence ao intervalo I, onde:
a) I = (0, 1/9) b) I = (0, 1/3)
c) I = (1/2, 1) d) I = (1, 3/2)
e) I = (3/2, 2)
144. (ITA 1996) Se (x 0 ,y 0 ) é uma solução real do sistema
log2 x 2y log3
x 2y 2
2 2
x 4y 4
então x 0 + y 0 é igual a:
a) 7 9
b)
4
4
d) 13 17
e)
4
4
c)
11
4
145. (ITA 2001) Sendo dado
3 4 n
3 4 2n
ln2 4 6 8... 2n a
n
e ln 2 3 4... 2n b
então,
ln2 ln3 ln4 ln5 ln2n
...
2 3 4 5 2n
é igual a:
a) a n - 2b n
b) 2a n - b n
c) a n - b n
d) b n - a n
e) a n + b n
146. (ITA 2001) Se a ∈ IR é tal que 3y 2 - y + a = 0 tem
raiz dupla, então a solução da equação
3 2x + 1 - 3 x + a = 0 é:
a) log 2 6 b) - log 2 6
c) log 3 6 d) - log 3 6
e) 1 - log 3 6
147. (ITA 2007) Sejam x e y dois números reais tais que
x
e 2 5
e x , e y e o quociente
y
4
e 5
são todos racionais.
A soma x+y é igual a
a) 0.
b) 1.
c) 2log 5 3.
d) log 5 2.
e) 3log e 2.
148. (ITA 2007) Sejam x, y e z números reais positivos
tais que seus logaritmos numa dada base n são
números primos satisfazendo
log n (xy) = 49,
log n (x/z) = 44.
Então, log n (xyz) é igual a
a) 52.
b) 61.
c) 67.
d) 80.
e) 97.
149. (ITA 1987) Acrescentando 16 unidade a um
número, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2
unidades. Esse número é:
a) 5
b) 8
c) 2
d) 4
e) 3
n
14

IME/ITA
150. (ITA 2007) Sejam x, y, e z números reais positivos
tais que seus logaritmos numa dada base k são
números primos satisfazendo
log
k( xy) 49
log
k( x / z) 44
Então, log
k( xyz)
é igual a
a) 52 b) 61 c) 67
d) 80 e) 97
151. (Olimpíada Americana) Para todo inteiro positivo n,
2
seja fn ( ) log
2002n . Seja N f(11) f(13) f (14) .
Qual das seguintes relações é verdadeira?
a) N 1 b) N 1 c) 1N
2
d) N 2 e) N 2
x
152. (ITA 2005) Considere a equação em x:
1 1/ x
a b ,
onde a e b são números reais positivos, tais que
ln( b) 2.ln( a ) 0 . A soma das soluções da
equação é
a) 0 b) –1 c) 1
d) ln(2) e) 2
2x 2x x
153. (ITA 1985) Dada a equação 3 5 15 0,
podemos afirmar que
a) Não existe x real que a satisfaça.
b) x log3
5 é solução desta equação.
c) x log5
3 é solução desta equação.
d) x log315
é solução desta equação.
e) x 3log515
é solução desta equação.
11. a) Para m ∈ R tal que m< 2 ou m ≥ 1, S = {0}
2
2
Para m ∈ R tal que ≤ m < 1, S = { 0; 2
2
2
1 m ; - 2
b) m ∈ R tal que
2
1 m }
2
2 ≤ m < 1
12. a = 3/4 ou a = 1 ou a = 5/4
13. a) 0 p 4 3
b) x = (4 - p)/[2 4 2p
], onde 0 p 4 3
14. b 15. a 16. 16
17. 01 + 04 + 16 = 21
18. b 19. d 20. m = 3
21. a S { 4, 3, 0, 1}
22. a
23. x 13
24.
1
21 1
21
S {0, 1, , }
2 2
25. S {2, 2}
____________________________________________
GABARITO
01. a) em 15/03 é R$ 20,00, em 15/05 é R$ 31,20
b) 30% entre 15/03 e 15/04.
c) 5%
02. b 03. 6 04. a
05. m = 0 ou m = 1/4
06. d 07. 20 Km 08. c
09. F F F
10. a) 2,45 litros
b) 21 dias ou menos
26.
3 21 3
21
S ,
2 2
27. Demonstração
28.
4 47
S
47
29. 20
30.
3
29 3
29
S ,
2 2
31. 3
32. Demonstração
15

Matemática – Livro 3
33. 96
34. a)
b)
35. p 2 e q
1
2
cx bx a 0
2
4ax 2bx c 0
63. a) y = 2 3 (30-x)
b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.
64. d
65. m = - 8 y = x 2 – 8x + 16
36. Demonstração
37. Sugestão: Demonstração por absurdo
38. Sugestão: Demonstração por absurdo
39.
40.
1
21
S
2
1
14a
S , 1 1a
2
m = 4 y = x 2 + 4x + 4
41. c 42. d 43. d
44. d 45. e 46. d
47. b 48. b 49. d
50. d 51. a 52. e
53. d 54. b 55. b
56. a 57. c 58. c
59. c 60. e 61. a
62. a) f(x) = 0 V = { 2 }
g(x) = 0 V = { 6 - 2 3 , 6 + 2 3 }
b) Observe os gráficos a seguir:
66. a) f(0) = f(x) = x 2 - ax + b
b = 4
b) a < 0, a = -4
f(x) = 9 ⇔ x = 1
67. V V F V F
68. a) 4x + y + 8 = 0
b) y = - x 2 + 2x
c) x = -1
69. e 70. 93 71. e
72. f é bijetora e 1 x 3, x 3
f ( x)
3 x, x 3
73. Demonstração.
74. e
75. A função g é par.
76. Demonstração.
77. 2 m 2 78. e 79. d
80. m = -8 e m = 4
16

IME/ITA
81.
84. a 85. 93 86. d
87. 16 88. c 89. c
90. 50u 91. 1/8 92. d
93. a) A receita por sessão é de R$ 12.000,00
b) O preço a ser cobrado é de R$ 50,00
94. 4 3A 95. R$ 218,00
96. 2,2 cm-círculo e 7,8 cm-quadrado
97. r/h = 1/2
98. F = R$ 6.683,28
99. x = 2
82. c
83.
Sendo f(x) = ln (-x) e g(x) = ln (1 - x), o gráfico de g
está "deslocado" uma unidade para a direita em
relação ao gráfico de f, como é mostrado na figura
anterior.
100. 5 anos
101. a) x=1/2 – min;
b) x=–1 – min;
c) x=1 – máx x=0:min; x=–2:max;
d) x=0:min;
e) x=0:min
f) Não é possível
102. (1, 1) ou (-1, -1)
103. R. 3
104. h 4 R / 3; r = 2 2.R /3
105. 24 cm x 18 cm
A função f(x) = e x + e x - 3 é par, ou seja, f(x)=f(-x)
para todo x ∈ IR. Se existe um número real b tal que
f(b) = 0, então f(-b) = 0. Observa-se no gráfico
que tais números reais não nulos existem.
Logo e b + e b = 3.
Portanto,
e 3b + e 3b =
= (e b ) 3 + (e b ) 3 =
= (e b + e b ) 3 - 3(e b ) 2 e b - 3e b (e b ) 2 =
= (e b + e b ) 3 - 3e b e b (e b + e b ) = 3 3 - 3.1.3 = 18
106. a) x > 0 – conc. positiva
x < 0 – conc. negativa
Ponto de inflexão: (0, 0)
b) x > 1 ou -1 < x < 0 – conc. positiva
x < -1 ou 0 < x < 1 – conc. negativa
Ponto de inflexão: (0, 0)
c) x < 2 – conc. positiva
x > 2 – conc. negativa
Ponto de inflexão: (2, 0)
107. 5 / 4 2k x 9 / 4 2k,
k
108. a 109. a
110. a) a = 1024 e b = 1/10
b) t(min) = 30 anos
c) Observe o gráfico a seguir:
111. c 112. c
17

Matemática – Livro 3
113. a) 10%
b) 2 horas
136.
114. a) 22,5 °C
b) aproximadamente 15 min
115. a) a = 120 e b = -ln 2
b) 3 m
116. d
117. c
118. e
119. b
120. a
121. d
122. c
123. d
124. a
125. e
126. c
127. b
128. e
129. e
130. Demonstração
131. d
132. Demonstração
133. d
134. a
135. 3
137. b
138. S = { (2, 2) }
139. c
140. a
141.
2 2 2
x1 x2 x3
log
ax1x2x3 x1 x2 x3
2 2
b a b b a 2
a
a
log [a .a ] b.log a a .b
142. (2b - 3a + 1)/(5b - 5a + 5)
143. b
144. DW2S
145. c
146. d
147. e
148. a
149. c
150. a
151. d
152. b
153. a
b
18

IME/ITA
Frente B
Módulo B03
POLÍGONOS REGULARES E
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
01. O retângulo a seguir de dimensões a e b está
decomposto em quadrados. Qual o valor da razão
a
b ?
03. (UNB 1999) Na figura adiante, ABCD é um
quadrado de lado de comprimento igual a 1, e os
arcos que limitam a região sombreada I são arcos
de circunferências centradas nos vértices do
quadrado. Representando por x a distância do
ponto E ao lado AD, julgue os itens a seguir.
a) 5 2
2
b)
3
c) 2
d) 3 2
1
e)
2
02. (UFMG 1997) Observe a figura.
04. (ITA 2001) Num trapézio retângulo circunscritível, a
soma dos dois lados paralelos é igual a 18cm e a
diferença dos dois outros lados é igual a 2cm. Se r
é o raio da circunferência inscrita e a é o
comprimento do menor lado do trapézio, então a
soma a + r (em cm) é igual a:
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 8
05. Seja ABCD um paralelogramo e E um ponto no
lado BC. Seja F a interseção da reta passando por
A e B com a reta passando por D e E (veja a figura
a seguir).
Nessa figura, ABCD representa um quadrado de
lado 11 e AP = AS = CR = CQ. O perímetro do
quadrilátero PQRS é:
a) 11 3
b) 22 3
c) 11 2
d) 22 2
Considerando os dados acima, não podemos
afirmar que
a) A área de ADE é metade da área de ABCD.
b) DCF e ADE têm a mesma área.
c) ABE e CDE têm a mesma área.
d) ABE e CEF têm a mesma área.
e) A área de ABCD é igual à soma das áreas de
ADE e DCF.
19

Matemática – Livro 3
06. (FUVEST 2001) Na figura a seguir, os quadrados
ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O. Se
EP = 1, então a é:
09. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Na figura abaixo, o triângulo ABC é
equilátero e o quadrilátero MNPQ é um
quadrado. Então os pontos P e Q são pontos
médios dos lados BC e AC, respectivamente.
a)
b)
2
21
2
( 31)
c)
2
2
d) 2
e)
2
( 21)
07. Uma folha de papel retangular dobrada ao meio no
comprimento e na largura fica com 42 cm de
perímetro. No entanto, se dobrada em três partes
iguais no comprimento e em duas partes iguais na
largura, fica com 34 cm de perímetro. O módulo
da diferença das dimensões dessa folha é:
a) 12 cm b) 10 cm c) 9 cm
d) 8 cm e) 6 cm
08. Seja EOXY um trapézio. Se existe um ponto Z da
base menor XY tal que ZE e ZO são
respectivamente as bissetrizes dos ângulos YÊO e
EÔX, podemos afirmar, corretamente, que
a) os triângulos EZY e OZX são semelhantes.
b) o trapézio é isósceles.
c) a área do triângulo EZO é a soma das áreas
dos triângulos EZY e OZX.
d) a medida da base menor é a soma das
medidas dos lados não paralelos do trapézio.
02. Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero e
o segmento DB é paralelo ao segmento CE.
Então a área do quadrilátero ABCD é igual à
área do triângulo ADE.
04. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo
e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa
AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo
ponto M cruza o segmento BC no ponto E,
que está entre B e C. Então a área do
triângulo MEC é menor do que a metade da
área do triângulo ABC.
20

IME/ITA
08. Considere um octaedro regular inscrito em
uma esfera de raio 6cm. O volume do
octaedro é 288cm 3 .
16. Se em um quadrilátero as diagonais são
bissetrizes dos ângulos internos, então o
quadrilátero é um losango.
10. (ITA 2014) Considere o trapézio ABCD de bases AB e
CD Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC
e BD respectivamente. Então, se AB tem
comprimento x e CD tem comprimento MN é igual a
1
a) x
y . b) x y .
2
c)
1 1
x y . d) x y .
3
3
e)
1
x y .
4
11. (ITA 2009) Os pontos A=(3,4) e B=(4,3) são
vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas.
A área lateral do octaedro cujos vértices são os
pontos médios da face do cubo é igual a:
a) 8 b) 3 c) 12
d) 4 e) 18
12. (ITA 1988) Num losango ABCD, a soma dos
ângulos obtusos é o triplo da soma das medidas
dos ângulos agudos. Se sua diagonal menor mede
d cm então sua aresta medirá:
d
d
a)
b)
2
2
2
2
c)
e)
d
2
3
d
3
2
d)
d
3
3
13. (ITA 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com
base maior AB medindo 15, o lado AD medindo
9 e o ângulo ADB ˆ reto. A distância entre o lado
AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é
21
27
a)
b)
c) 35 8
8
8
d)
37
8
e) 45
8
14. (ITA 2004) Considere um polígono convexo de
novelados, em que as medidas de seus ângulos
internos constituem uma progressão aritmética de
razão igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede,
em graus.
a) 120 b) 130 c) 140
d) 150 e) 160
15. (ITA - 1998) Considere as afirmações sobre
polígonos convexos:
I. Existe apenas um polígono cujo número de
diagonais coincide com o número de lados.
II. Não existe polígono cujo número de diagonais
seja o quádruplo do número de lados.
III. Se a razão entre o número de diagonais e o de
lados de um polígono é um número natural,
então o número de lados do polígono é ímpar.
Então:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira.
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
16. (ITA 1998) Considere o paralelogramo ABCD onde
A = (0,0), B = (-1,2) e C = (-3, -4). Os ângulos
internos distintos e o vértice D deste paralelogramo
são, respectivamente:
3
a) , D 2,
5
.
b)
c)
d)
e)
4 4 e
2
,
3 3 e
2
,
D 1, 5 .
3 3 e
3
,
D 2, 6 .
4 4 e
2
,
D 2, 6 .
3 3 e
D 2, 5 .
21

Matemática – Livro 3
17. (ITA 1995) O comprimento da diagonal de um
pentágono regular de lado medindo 1 unidade é
igual à raiz positiva de:
21. (MACKENZIE 2003) Na figura, α = 30 ° , O é o
centro da circunferência e AB é o lado do polígono
regular inscrito na circunferência. Se o comprimento
da circunferência é 4π, a área desse polígono é:
a) x 2 + x - 2 = 0
b) x 2 - x - 2 = 0
c) x 2 - 2x + 1 = 0
d) x 2 + x - 1 = 0
e) x 2 - x - 1 = 0
18. (ITA 1996) Um hexágono regular e um quadrado
estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o
hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta
do quadrado. A distância entre estas arestas
paralelas será:
a)
c)
e)
3 2 R
2
3 1 R
2
3 1 R
2
b)
d)
2 1 R
2
2 1 R
2
19. (MACKENZIE 1996) Sejam r e R, respectivamente,
os raios das circunferências inscrita e circunscrita a
um polígono regular de n lados. Então, qualquer
que seja n, r/R vale:
a) sen (2π/n)
b) tg (π /n)
c) cos (π /n)
d) sen (π /n)
e) cos (2 π /n)
20. (UFES 2001) Os pontos P=(a,b), Q=(a,-b) e
R=(b,a) são vértices de um dodecágono regular
(polígono regular de 12 lados); P e Q são vértices
consecutivos. A soma das coordenadas de um
vértice qualquer desse polígono poderá tomar
quantos valores distintos?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
a) 4 3 b) 6 3
c) 8 3 d) 12 3
e) 16 3
22. (UFSCAR 2003) Para fins beneficentes, foi organizado
um desfile de modas num salão em forma de círculo,
com 20 metros de raio. A passarela foi montada de
acordo com a figura a seguir, sendo que as
passarelas CA e CB são lados que corresponderiam
a um triângulo equilátero inscrito na circunferência.
No espaço sombreado, ocupado pela plateia, foram
colocadas cadeiras, sendo uma cadeira por m 2 e um
ingresso para cada cadeira.
Adotando 3 = 1,73 e π = 3,14,
a) determine quantos metros cada modelo
desfilou, seguindo uma única vez o roteiro
BC, CA, AO e OB.
b) sabendo-se que todas as cadeiras foram
ocupadas, calcule quantos ingressos foram
vendidos para este evento.
22

IME/ITA
26. (ITA 1995) O comprimento da diagonal de um
23. (ITA 2003) Considere três polígonos regulares tais que
e)
em função de , o volume do sólido que se obtém,
3 3
d3,8
4 , d3,5
2 , 9
d5,8
2 . quando se liga cada vértice do triângulo aos três
vértices mais próximos do hexágono.
os números que expressam a quantidade de lados de
cada um constituam uma progressão aritmética. Sabese
pentágono regular de lado medindo 1 unidade é
igual À raiz positiva de:
que o produto destes três números é igual a 585 e
que a soma de todos os ângulos internos dos três
polígonos é igual a 3780º. O número total das
diagonais nestes três polígonos é igual a:
a) 63 b) 69 c) 90
d) 97 e) 106
24. (ITA 2007) Seja P n um polígono regular de n lados,
com n > 2. Denote por a n o apótema e por b n o a)
2
x x 20 b)
2
x x 20
comprimento de um lado de P n . O valor de n para
2
2
c) x 2x 10 d) x x 10
o qual valem as desigualdades b n ≤ a n e b n-1 > a n-
2
1, pertence ao intervalo
e) x x 10
a) 3 < n < 7. b) 6 < n < 9.
c) 8 < n < 11. d) 10 < n < 13. 27. (ITA 2000) Num trapézio retângulo circunscritível, a
e) 12 < n < 15.
soma dos dois lados paralelos é igual a 18 cm e a
diferença dos dois outros lados é igual a 2cm. Se r
25. No estudo da distribuição de torres em uma rede de é o raio da circunferência inscrita e a é o
telefonia celular, é comum se encontrar um modelo comprimento do menor lado do trapézio, então a
no qual as torres de transmissão estão localizadas soma (a + r) em cm é igual a:
nos centros de hexágonos regulares, congruentes, a) 12 b) 11 c) 10
justapostos e inscritos em círculos, como na figura a d) 9 e) 8
seguir.
28. (IME 1978) Sejam l , 4 6
l
10
os lados do
quadrado, do hexágono e do dodecágono regulares,
inscritos todos no mesmo círculo (C). Com esses três
lados, constrói-se um triângulo ABC, não inscrito em
(C), tal que BC = l 4
, AC = l 6
e AB = l 10
. Pede-se
calcular o ângulo A do triângulo ABC.
29. (IME 1979) Dão-se um paralelogramo ABCD num
plano π e um outro EFGH num plano π’ de modo
que se obtém um paralelepípedo (P) de vértices A,
B, C, D, E, F, G e H, oblíquo, com todas arestas de
comprimento a. O plano que contém os pontos A,
Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo
E e F formam com π um ângulo de 60° e AÊF =
seja igual a 1km é correto afirmar que a distância
120°. Calcular em função de a e do ângulo FÊH =
d 3,8 (entre as torres 3 e 8), a distância d 3,5 (entre as
θ o volume de (P).
torres 3 e 5) e a distância d 5,8 (entre as torres 5 e 8)
são, respectivamente, em km, iguais à
a) d3,8
2 3 , d3,5
3 , d5,8
32 3 .
30. (IME 1978) Dão-se um hexágono de lado num
plano e, num plano ' paralelo a , um
b) d3,8
4 , d3,5
3 , d5,8
5 .
triângulo equilátero de lado , numa posição tal que
cada altura do triângulo é paralela à uma diagonal
3 3
c) d3,8
4 , d3,5
2 , 3 3
d5,8
4
2 .
maior do hexágono. Os baricentros do hexágono e
do triângulo estão na mesma perpendicular comum
d) d3,8
2 3 , d3,5
3 , d5,8
21.
aos seus planos. A distância entre e ' é . Dê,
23

Matemática – Livro 3
31. (IME 1980) Sejam l 9
o lado do eneágono regular
convexo, l
9
e l
9
os lados dos eneágonos
estrelados l9 l
9 , todos inscritos em um círculo
de raio r. Mostre que:
l l l
9 9 9
32. (IME 1980) Dado um retângulo ABCD, de lados a e
b, divide-se a diagonal BD em n segmentos iguais,
marcando-se os pontos M 1
, M
2
, ..., M
n1
(na
ordem B , M
1
, M
2
, ..., M
n1, D ). Estabeleça a
expressão geral dos segmentos CM
k
k
,
k 1, 2, ..., n 1, em função de a, b, n e k.
33. (ITA 1995) Um dispositivo colocado no solo a uma
distância d de uma torre dispara dois projéteis em
trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um
ângulo (0, /4), atinge a torre a uma altura H. Se
o segundo, disparado sob um ângulo 2, a atinge a
uma altura H, a relação entre as duas alturas será:
H
2hd 2 / d 2 h
2
a)
b)
2 2
H2hd / d h
c)
2 2
H2hd / d h
d) H
2hd 2 / d h
e) Hhd 2 / d h
34. Um polígono regular possui 30 diagonais que não
passam pelo seu centro. Calcule a medida de cada
ângulo interno desse polígono.
35. (ITA 2004) Considere um polígono convexo de
nove lados, em que as medidas de seus ângulos
internos constituem uma progressão aritmética de
razão igual a 5°. Então seu maior ângulo mede, em
graus,
a) 120 b) 130 c) 140
d) 150 e) 160
36. (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais
que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma
total dos números de vértices e de diagonais dos
dois polígonos é igual a:
a) 63 b) 65 c) 66
d) 70 e) 71
37. (Fuvest 1998) Dois ângulos internos de um
polígono convexo medem 130° cada um e os
demais ângulos internos medem 128° cada um. O
número de lados do polígono é:
a) 6 b) 7 c) 13
d) 16 e) 17
38. (Fuvest 1982) Considerando um polígono regular
de n lados, n 4, e tomando–se ao acaso uma das
diagonais do polígono, a probabilidade de que ela
passe pelo centro é:
a) 0 se n é par
b) 1/2 se n é ímpar
c) 1 se n é par
d) 1/n se n é ímpar
e) 1/(n – 3) se n é par
39. Um polígono regular possui n lados, sendo n par.
O número de diagonais que não passam pelo
centro do polígono é igual a d. De acordo com o
texto, julgue os itens a seguir:
01. A relação entre d e n é dada por d = n(n –
4)/4.
02. Se d = 30, então duas diagonais
consecutivas que concorrem em um vértice
formam um ângulo de 18°.
03. Se d = 30, então o polígono possui 5
diagonais que passam pelo seu centro.
04. d não pode ser um número ímpar.
40. (UNIFESP 2007) As medidas dos ângulos internos
de um polígono convexo de n lados formam uma
progressão aritmética em que o primeiro termo é a 1
e a razão é r > 0.
a) Se a 1 25° e se r 10°, obtenha o valor
máximo possível para n nas condições
enunciadas.
b) Se o maior ângulo mede 160° e a razão é
igual a 5°, obtenha o único valor possível
para n.
41. (ITA 2003) Considere três polígonos regulares tais
que os números que expressam a quantidade de
lados de cada um constituam uma progressão
aritmética. Sabe-se que o produto destes três
números é igual a 585 e que a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780°.
O número total das diagonais nestes três polígonos
é igual a:
a) 63 b) 69 c) 90
d) 97 e) 106
24

IME/ITA
42. Na figura a seguir ABCDE... é um polígono regular.
Prolongando-se os lados AB e DE obtém-se um
ângulo de 108° de vértice P. Determine o número
de diagonais do polígono ABCDE... .
43. O polígono regular ABCDE... da figura a seguir
mostra que duas diagonais BD e BE formam um
ângulo de 20°. Determine o número de diagonais
do polígono.
46. Sobre os quadriláteros planos, podemos afirmar que:
01) As diagonais de um paralelogramo são
bissetrizes dos ângulos internos.
02) Todo paralelogramo pode ser inscrito em uma
circunferência.
03) Todo losango é circunscritível em uma
circunferência.
04) As diagonais de um retângulo têm o mesmo
comprimento e não são, necessariamente,
perpendiculares entre si.
05) Todo trapézio tem diagonais congruentes.
06) Se dois quadriláteros têm diagonais de mesmo
comprimento e que formam o mesmo ângulo
entre si, então eles têm áreas iguais
47. (FGV 2004) Dados AB = 18 cm, AE = 36 cm e DF
= 8 cm, e sendo o quadrilátero ABCD um
paralelogramo, o comprimento de BC, em cm, é
igual a:
a) 20. b) 22. c) 24. d) 26. e) 30.
44. O comprimento da diagonal de um pentágono
regular de lado medindo 1 unidade é igual à raiz
positiva da equação:
a) x² + x – 2 = 0
b) x² – x – 2 = 0
c) x² – 2x + 1 = 0
d) x² + x – 1 = 0
e) x² – x – 1 = 0
45. (ITA 2007) Seja P n um polígono regular de n lados,
com n > 2. Denote por a n o apótema e por b n o
comprimento de um lado de P n . O valor de n para
o qual valem as desigualdades b n a n e b n–1 > a n–1 ,
pertence ao intervalo
a) 3 < n < 7.
b) 6 < n < 9.
c) 8 < n < 11.
d) 10 < n < 13.
e) 12 < n < 15.
48. (Unicamp 1999) Um trapézio retangular é um
quadrilátero plano que possui dois ângulos retos,
um ângulo agudo e um ângulo obtuso .
Suponha que, em o tal trapézio, a medida de seja
igual a cinco vezes a media de .
a) Calcule a medida de , em graus.
b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes
de e é reto.
49. (ITA 1989) Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um
quadrilátero são suplementares.
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um
paralelogramo são suplementares.
III. Se as diagonais de um paralelogramo são
perpendiculares entre si e se cruzam em seu
ponto médio, então ele é um losango.
Podemos garantir que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) Apenas II é verdadeira.
e) Apenas III é verdadeira.
25

Matemática – Livro 3
50. Na figura a seguir, o retângulo ABCD é dividido em
um quadrado ADEF e um retângulo BCEF que é
semelhante ao retângulo ABCE. Assim, os
retângulos ABCD e BCEF são retângulos ÁUREOS e
a razão entre o maior e o menor lado de cada um
AB BC
deles ( ) é chamada razão áurea ou
BC EC
número de ouro.
Sobre o texto acima e a figura, é correto afirmar que:
a) Se a medida do lado do quadrado ADEF for 1
cm, então o lado FB do retângulo BCEF mede
( 5 1)/ 4 cm.
b) Sendo M o ponto médio do segmento AF,
então ME MB .
c) A razão descrita no texto é igual a
( 5 1)/ 2 .
d) Os segmentos de reta AB, BC e EC têm
comprimentos que formam, nessa ordem,
uma progressão aritmética.
e) A diagonal DF do quadrado ADEF intercepta
o segmento de reta ME em um ponto
equidistante dos lados AF e EF.
51. (UFMG 1992) Sobre figuras planas é correto afirmar
que:
a) um quadrilátero convexo é um retângulo se os
lados opostos têm comprimentos iguais;
b) um quadrilátero que tem suas diagonais
perpendiculares é um quadrado;
c) um trapézio que tem dois ângulos
consecutivos congruentes é isósceles;
d) um triângulo equilátero é também isósceles;
e) um triângulo retângulo é aquele cujos
ângulos são retos.
CIRCUNFERÊNCIA
52. (ITA 1995) Considere C uma circunferência centrada
em O e raio 2r e t a reta tangente a C num ponto T.
Considere também A um ponto de C tal que AÔT =
θ é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que
o segmento AB é paralelo ao segmento OT, então a
área do trapézio OABT é igual a:
2
a) r 2coscos2
2
b) 2r 4cos cos 2
2
c) r 4coscos2
2
d) r 2sencos2
2
2r 2sencos 2
e)
53. (ITA 1993) Calculando-se a área da região limitada
por y 3x 2 2
2
e x y3
13 obtem-se:
2
a) 2 13
b) 13
c)
13
2
d)
3 13
2
e) 13
54. (FUVEST 1998) Considere um ângulo reto de vértice
V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de
raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz e VC=x.
a) Para que valores de x a circunferência
intercepta os lados do ângulo em exatamente
4 pontos?
b) Para que valores de x a circunferência intercepta
os lados do ângulo em exatamente 2 pontos?
55. (UFPI 2000) Desejamos marcar um terreno na
forma de um setor circular com 50m de perímetro.
O raio do círculo (correspondente ao setor) para
que a área do terreno seja máxima deverá ser:
a) 10 m
b) 10,5 m
c) 20 m
d) 12,5 m
e) 30 m
26

IME/ITA
56. (FUVEST 2001) Numa circunferência, c 1 é o
comprimento do arco de 6
radianos e c 2 é o
comprimento da secante determinada por este arco,
como ilustrado na figura a seguir. Então, a razão
c1
c
é igual a multiplicado por:
6
2
a) 2 b) 1
2 3
c) 2
3
d) 2
2 3
e) 3
3
57. (ITA 2007) Seja C 1 uma circunferência de raio R 1
inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja
C 2 uma segunda circunferência, de raio R 2 , que
tangencia dois lados do triângulo internamente e C 1
externamente. Calcule (R 1 - R 2 )/h.
58. Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular
de modo que as direções dos deslocamentos das
rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O
diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à
metade do diâmetro de sua roda dianteira.
O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima
em um dado instante do percurso.
Admita que, para uma volta completa da bicicleta,
N 1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e
N 2 o número de voltas dadas pela roda dianteira
em torno de seus respectivos eixos de rotação.
N1
A razão
N2
é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
59. (ITA 2012) Um triângulo ABC tem lados com
medidas a 3 cm, b
1cm e c 1 cm. Uma
2
2
circunferência é tangente ao lado a e também aos
prolongamentos dos outros dois lados do triângulo,
ou seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo.
Então, o raio da circunferência, em cm, é igual a
a)
d)
3 1
4
3
2
b)
e)
3
4
3 2
4
c)
3 1
3
60. (IME 1978) Dão-se duas circunferências de raios 8
e 3, tangentes internas. Pelo ponto T de contato se
traça a tangente comum e sobre ela se toma uma
distância TA = 6. Seja (s) uma secante aos círculos
que passa por A. (s) faz com TA um ângulo
0 , e corta a circunferência maior nos
pontos D e E e a menor nos pontos P e q. Calcule
de modo que DE = 2PQ.
61. (IME 1978) São dados um círculo (c) de centro K,
raio R e um ponto fixo A, tal que 0 AK R . Por a
traçam-se duas semi-retas (d) e (‘d): (d) corta a
circunferência de (c) em M e (d’) em N. M e N se
deslocam ao longo da circunferência de (c) de
modo que AM e NA são sempre perpendiculares.
Ache o lugar geométrico do ponto médio I do
segmento MN.
62. (ITA 2015) Considere as afirmações a seguir:
I. O lugar geométrico do ponto médio de um
segmento AB , com comprimento l fixado,
cujos extremos se deslocam livremente sobre
os eixos coordenados é uma circunferência.
II. O lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que
3 2 2 2
6x x y xy 4x 2xy 0 é um conjunto
finito no plano cartesiano R2.
III. Os pontos (2,3), (4,-1) e (3,1) pertencem a
uma circunferência.
Destas, é (são) verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III.
d) I e II. e) I e III.
63. Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse
aro é cortado, e o arame é estendido ao longo de
uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo
central, em graus, que o arco, formado pelo arame,
determina na polia?
27

Matemática – Livro 3
68. A figura a seguir, representa duas circunferências C
64. A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência
em radianos, calcule 144
α.
de centro O é:
e C' de mesmo raio r.
Se o segmento MN é o lado comum de hexágonos
regulares inscritos em C e C', então o perímetro da
região sombreada é:
10
r
a) 125º b) 110º c) 120 º
a)
3
d) 100º e) 135º
r
b)
65. No triângulo ABC, são dados os vértices B e C e
3
também a medida do ângulo A, agudo. O lugar
2
r
geométrico do vértice A é:
c)
3
a) uma circunferência.
d) 4 π r
b) um arco de circunferência.
e) 2 π r
c) a união de dois arcos de circunferências.
d) uma reta.
69. (Fuvest 1998) Considere um ângulo reto de vértice
e) a união de duas retas paralelas.
V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de
raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz e VC=x.
66. Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência
a) Para que valores de x a circunferência
ã e AC é lado de um polígono regular inscrito em
intercepta os lados do ângulo em exatamente
ã. Sabendo-se que o ângulo ABC ˆ mede 18 °
4 pontos?
podemos concluir que o número de lados do
polígono é igual a:
b) Para que valores de x a circunferência
intercepta os lados do ângulo em exatamente
a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12
2 pontos?
67. Na figura a seguir, o círculo tem raio 1, os arcos AB 70. (Mackenzie 1998) Na figura a seguir, os arcos
e CD medem 6 e QMP e MTQ medem, respectivamente, 170° e
respectivamente (ambos
9 130°. Então, o arco MSN mede:
orientados no sentido anti-horário). Se α é medido
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 100º
e) 110º
28
71. Considere o sistema de roldanas circulares, de

IME/ITA
centros A e B, respectivamente, e as medidas dadas
no esquema a seguir.
23. d
b) 910 ingressos
24. b
25. d
26. e
27. c
As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC,
bem ajustada, que transmite o movimento de uma
roldana para outra. O comprimento dessa correia,
em centímetros, é
54
52
a) + 10 3 b) + 16 3
3
3
52
58
c) + 20 3 d) + 20 3
3
3
59
e) + 24 3
3
72. Desejamos marcar um terreno na forma de um
setor circular com 50 m de perímetro. O raio do
círculo (correspondente ao setor) para que a área
do terreno seja máxima deverá ser:
a) 10 m b) 10,5 m
c) 20 m d) 12,5 m
e) 30 m
GABARITO
28. A = 120°
29.
3
3
3
3 6
7 3
30. V V13 12 V1
3 12 12
31. demonstração
3
01. a 02. d 03. V F V F
04. c 05. c 06. e
32.
CM
k
2 2 2 2
k n a k b
n
07. e 08. d
09. 02 + 04 + 08 + 16 = 30
10. b 11. c 12. B
13. e 14. e 15. b
16. d 17. e 18. a
19. c 20. b 21. b
22. a) 109,2 cm
33. a
34. 144°
35. e
36. b
37. b
38. e
39. VVVF
29

Matemática – Livro 3
40. a) 16 b) 9
41. d 42. 35 43. 27
44. e
45. b
46. FFVVFV
47. a
48. a) 30° b) Demonstração
49. c
50. e
51. d
52. c
53. c
54. a) 1 < x < 2
b) x = 2 ou 0 ≤ x < 1
55. d
56. c
6
60. a arctg 17
61. O lugar geométrico de I é a circunferência de
centro O (o ponto médio de KA) e raio
2R
2 KA
2
.
2
62. a
63. 80
64. a
65. c
66. d
67. 20
68. a
69. a) 1 < x < 2
b) x = 2 ou 0 ≤ x < 1
70. a
71. d
72. d
57. (R 1 - R 2 )/h = 2/9
58. a
59. a
30

IME/ITA
Frente C
Módulo C03
PROSTAFERESE
01. Transforme em produto:
y sen a b c sen a b c
a)
b) y cosa 2b
cosa
c) y sena sena rsena 2r sena 3r
d) y cosa 3b cosa 2b cosa b
cosa
e)
2 2
y cos p cos q
02. Calcular o valor numérico da expressão:
13
11
y sen cos .
12 12
03. Calcular o valor numérico das expressões:
a)
7
y cos cos
8 8
b)
13
7
y sen sen
12 12
c)
5
y sen cos
24 24
04. (IEZZI) Transformar o produto cos 2x . cos 4x em
uma soma equivalente.
05. Provar que se abc
, então:
2
tg a tg b tg b tg c tg c tg a 1
06. (ITA 1973) Eliminando nas equações:
xsenycos 2asen
xcosysenacos , a 0 temos:
2 2
a) x y3 x y3
2ax y
b) xy xy 2
x
ya
c)
2 2 2
3
x y3 x y3
2a
d) impossível eliminar θ
e) n.d.a.
2
07. (MACK 1974) Sendo a medida em radianos de
um ângulo e v u, a expressão
4
S
sen u cos u
2senucosu
em função de x = cos v é:
a)
2x
2
x 1
b)
x
2
2x 1
c)
2x
2
1
x
d)
2x
2
2x 1
e)
2x
2
x 2
08.
2 2
(ITA 1970) Seja P sin ax sin bx . Temos, então
que:
a) P sinax
cosbx
b)
a
P cos x tan bx
2
c)
ab ab
P 2sin xcos x
2 2
d) P sina bx sina bx
e) n.d.a.
09. (CESCEA 1976) Transformando-se em produto a
expressão cos 70° - sen 60º obtém-se:
10. (PUC 1970) Simplificando-se a expressão:
1 1
cosx
1
sexx 1cosx
Obtém-se:
a) sin x b) cos x
c) tan x d) cotg x
e) cos sec x
11. (IME) Calcule as somas:
S senx sen2x sen3x
sennx
1
12. (IMO 1962) Aqui é proposto resolvermos a
equação a seguir
2 2 2
cos x cos 2x cos 3x 1
13. (URSS) Mostre que
31

Matemática – Livro 3
2 4 6 2n
1
cos cos cos cos
.
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2
14. (URSS) Prove que
a)
sensen sen 2
sen n
n1
n
sen sen
2
2
sen 2
b)
coscos cos 2
cos n
n1
n
sen
cos
2
2
sen 2
15. Mostre que:
a)
2 k
1acosa cos2
a cosk
k2 k1
a cosk a cos(k 1) acos 1
2
a 2acos1
0
16. Mostre que 72 é o menor ângulo positivo que
satisfaz simultaneamente às equações:
1cosx cos2x cos3x cos4x 0
senx sen2x sen3x sen4x 0
17. (IME 1992) Mostre que
2n
1x
sen
1
cosx cos2x
cosnx 2 .
2
x
2sen 2
18. Obter o conjunto imagem de f(x) = 3cos2x +
4sen2x.
19. Sejam f e g funções definidas por f(x) = cos 2x e
g(x) = sen 2 (x) 1. Então f(x) + g(x) é:
a) cos 2 (x) 1
b) sem x (2cos x + sem x) – 1
c) sen 2 (x)
d) sen 2 (x)
e) 0
idêntida a:
a) sec 2x
b) tg 2x
c) tg 4x
d) não sei
21. Dado sen(18 ) ( 5 1) / 4 , calcular
y sen 2 (24 ) sen 2 (6 )
.
22. (ITA 2001) Para x no intervalo [0, / 2] , o conjunto
de todas as soluções da inequação
sen(2 x) sen(3 x ) 0 é o intervalo?
2
23. (FEFAAP 1977) Provar que
[ sen( A) cos( A)] 4 4cos 4 ( A ) .
4
24. (Iezzi) Calcular o valor numérico da expressão:
13
11
y sen .cos .
23 12
25. (Iezzi) Provar que 1
cos(40 ).cos(80 ).cos(160 )
8
.
26. (FGV 1973) A expressão sen(x) cos(x) é idêntica
a:
a)
2. sen( x )
4
b) 1 . ( )
2 sen x 2
c)
2. sen( x )
4
d)
2. sen( x )
2
e)
3. sen( x )
3
27. (IME 1999) Demonstrar que é isósceles o triângulo
ABC cujos ângulos A e B verificam a equação
A 3 B B 3 A
sen( ).cos ( ) sen ( ).cos ( )
2 2 2 2
20. (CESCEA 1973) A expressão:
32
tgx tgx
1tgx 1tgx
é

IME/ITA
28. (ITA 2010) Se os números reais e , com
4 3 ,
0
, maximizam a soma
sen( ) sen ( )
, então é igual a
a)
d)
3
3
5
8
b)
e)
2
3
7
12
29. (ITA 2004) Prove que, se os ângulos internos ,
e de um triângulo satisfazem a equação
sen3 sen3 sen 3
0 , então, pelo
menos, um dos três ângulos , ou é igual a
60°.
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
30. (ITA 1996) Seja a ∈
,
4 4
um número real
dado. A solução (x 0 , y 0 ) do sistema de equações
senax cosay tga
cosax senay 1
é tal que:
a) x 0 .y 0 = tga b) x 0 .y 0 = - sec a
c) x 0 .y 0 = 0 d) x 0 .y 0 = sen 2 a
e) x 0 .y 0 = sen a
31. (ITA 1998) A soma das raízes da equação
( 3 )tgx - ( 3 )sen2x + cos2x = 0, que pertencem
ao intervalo [0, 2π], é:
17
16
15
a)
b)
c)
4
3
4
d)
14
3
e)
13
4
c)
3
5
32. (ITA 2003) Encontre todos os valores de a ∈
- ,
2
2 para os quais a equação na variável real x,
arctg
2 - 1 +
x
e
2
x
e
2
= a, admite solução.
+ arctg
2 - 1 -
33. (ITA 2004) Prove que, se os ângulos internos α, β e
γ de um triângulo satisfazem a equação:
sen (3α) + sen (3β) + sen (3γ) = 0, então, pelo
menos, um dos três ângulos α, β ou γ é igual a 60 ° .
34. (ITA 2005) Um dos catetos de um triângulo
retângulo mede 3 2 cm. O volume do sólido
gerado pela rotação deste triângulo em torno da
hipotenusa é cm 3 . Determine os ângulos deste
triângulo.
35. (ITA 2006) O conjunto solução de (tg 2 x - 1)(1 -
cotg 2 x) = 4, x ≠ kπ/2, k ∈ Z, é
a) {(π/3) + (kπ/4), k ∈ Z}
b) {(π/4) + (kπ/4), k ∈ Z}
c) {(π/6) + (kπ/4), k ∈ Z}
d) {(π/8) + (kπ/4), k ∈ Z}
e) {(π/12) + (kπ/4), k ∈ Z}
36. (ITA 2006) Seja f : R R definida por f(x) =
77 sen {5 [x + ( ) ] } e seja B o conjunto
6
dado por B = {x ∈ R : f(x) = 0}. Se m é o maior
elemento de B ⋂ (-∞, 0) e n é o menor elemento de
B ⋂ (0, +∞), então m + n é igual a
2
a)
b) c)
15
15 30
2
d) e)
15
15
37. (ITA 2008) A soma de todas as soluções distintas da
equação
cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0,
que estão no intervalo 0 ≤ x ≤ ð/2, é igual a
a) 2π
b) (23/12) π
c) (9/6) π
d) (7/6) π
e) (13/12) π
38. (ITA 2010) Considere a equação
2 2 x x
(3 2cos x) 1 tg 6tg 0.
2
2
a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, [.
b) Para as soluções encontradas em a),
determine cotg x.
33

Matemática – Livro 3
39. (ITA 2013) Sejam a um número real e n o número
de todas as soluções reais e distintas x0,2 da
equação
8 8 6
cos x sen x 4 sen x a.
Das
afirmações:
I. Se a 0, então n
0;
II.
1
Se a , então n
8;
2
III. Se a 1, então n
7;
IV. Se a 3, então n
2,
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas III.
c) apenas I e III. d) apenas II e IV.
e) todas.
40. (ITA 2013) Encontre os pares
, 0, 0,
2
2
que satisfazem
simultaneamente as equações
2
tgcotgcos sen2 cos ( ) 1 e
3sencos
3.
41. (ITA 2014) Considere o sistema linear nas
incógnitas x, y e z
x y 2z 0
x sen y 4z 0, 0,2 .
2x 1cos2y 16z
a) Determine tal que o sistema tenha infinitas
soluções.
b) Para encontrado em (a), determine o
conjunto-solução do sistema.
42. (IME 2014) Sabe-se que uma das raízes da
equação
2
y 9y8 0 pode ser representada
pela expressão
2 4 6
sen x sen x sen x ... n2
e . Sendo
cos x
0 x , o valor da razão
2
cos x senx
é
Observação: n2 representa o logaritmo
neperiano de 2
a)
d)
3 1
2
3 1
2
b) 3 1 c) 3
e) 3 1
43. (IME 2014) Em um quadrilátero ABCD, os ângulos
ABC e CDA são retos. Considere que
sen (BDC)
e sen (BCA) sejam as raízes da equação
2
x bx c 0, onde b, c . Qual a verdadeira
relação satisfeita por b e c?
2 2
a) b 2c 1
4 2 2
b) b 2c b c
2
c) b 2c 1
2 2
d) b 2c 1
2
e) b 2c 1
44. (IME 2014) Resolva a equação
2
cos x 2
log sen x log senx 4
cos x
45. (IME 2012) Os ângulos de um triângulo
obtusângulo são 105°, e . Sabendo que
m (real), determine:
a) as raízes da equação 3secxm
3cosx–3senx3cosx 3senx, em
função de m;
b) o valor de m para que e sejam raízes
dessa equação.
46. (UFMG 1994) Determine todos os valores de x
pertencentes ao intervalo (0, π) que satisfazem a
equação
3 tg x + 2 cos x = 3 sec x.
47. Se cotg(x) + tg(x) = 3, então sen(2x) é igual a:
a) 1/3
b) 3/2
c) 3
d) 2/3
e) nenhuma anterior é correta
48. (UECE 1996) Se n = [sen (π/6) + cos (π/3)]/[log 4
sen (π/6)], então (1 + 8n)/(1 + n 2 ) é igual a:
a) –7/2 b) –3 c) 2 d) 5/2
2 85
49. (UECE 1996) Se sen α =
85
, 2
< α < π,
então 2 + tg
4 é igual a:
a) 3/7 b) 4/7 c) 5/7 d) 6/7
34

IME/ITA
50. (UFSC 1996) Assinale a ÚNICA proposição
CORRETA. No intervalo [0, 3π], o número de
soluções da equação
sen2x = ( 2 )cos x é
01. 3.
02. 4.
04. 5.
08. 6.
51. (UFPE 1996) Determine a menor solução real
positiva da equação sen(πx/423) + sen(2πx/423) =
cos(πx/846).
52. (UFES 1996) Determine todos os valores de α para
os quais sen 3 α.cos α – sen α.cos 3 α = 1/4
53. (MACKENZIE 1997) Em [0, 2π], a soma das
2
soluções reais da equação [2 - 1 cos x ] . [0,5 -
2
1 sen x ] = 0 é:
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
54. Resolva:
a) Encontre todos os valores reais de x para os
quais - 1 ≤ [(x 2 + 4)/4x] ≤ 1.
b) Encontre todos os valores reais de x e y
satisfazendo x 2 + 4x.cos y + 4 = 0.
55. (FUVEST 1999) Ache todas as soluções da equação
sen 3 x cos x - 3 senx cos 3 x = O
no intervalo [0,2π).
56. (MACKENZIE 1999) Em [0, 2π], se α é a maior raiz
da equação mostrada na figura adiante
4 4 4 4
0 1 2 3
4 3 2
cos x cos x cos x cos x 1 0,
então sen 3
4 vale:
a) –1 b) 1 c) 0 d)
1
2
e) – 1 2
57. (UFRRJ 1999) Determine o valor de p na equação
[(sen x – p.cos 2 x)/sen x] – 2.sen x = (-p + sen x)/sen
x, sendo x ≠ kπ e k ∈ Z.
58. (UFF 1999) Determine a relação entre os números
reais a e b de modo que as igualdades
1 + cos x = a sen x e 1 - cos x = b sen x,
com x ≠ kπ, k ∈ Z, sejam satisfeitas
simultaneamente.
59. (UNICAMP 1999) Considere a função:
S(x) = 1 + 2sen x + 4(sen x) 2 + 8(sen x) 3 para x ∈ R.
a) Calcule S (π/3).
b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈ [-
2π,2π].
60. (UFU 1999) Determine a soma das raízes de log 2
(sen x) - log 2 (cos x + sen x)=0, contidas no
intervalo [-2π, 2π].
61. (UFSM 2001) Considere f: IR IR, dada por f(x) =
4x 2 - 4x - tg 2 α, onde 0 < α < 2π. Os valores de α,
para os quais f assume o valor mínimo -4, são
a) {/3, 2/3, 4/3, 5/3}
b) {/4, 3/4, 5/4, 7/4}
c) {/5, 2/5, 3/5, 4/5}
d) {/6, 4/6, 5/6, 4/3}
e) {/7, 2/7, 3/7, 5/7}
62. (UNICAMP 2001) Considere a equação
trigonométrica
sen 2 α - 2 cos 2 α + (1/2) sen 2α = 0.
a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação
os valores de α para os quais cos α = 0.
b) Encontre todos os valores de cos α que são
soluções da equação.
63. (ITA 2011)
a) Calcule
2 2
(cos sen ).cos 2. sen .cos . sen
.
5 5 10 5 5 10
b) Usando o resultado do item anterior, calcule
sen .cos .
10 5
64. (IME 2008) Determine o conjunto-solução da
3 3 2 2
equação sen ( x) cos ( x) 1 sen ( x).cos ( x ).
65. (ITA 2010) Considere a equação
2 2 x x
(3 2cos x)(1 tg ) 6tg 0 .
2 2
a) Determine todas as soluções x no intervalo
0,
.
b) Para as soluções encontradas em a),
determine cot gx ( ) .
35

Matemática – Livro 3
66. (ITA 2008) A soma de todas as soluções distintas da
equação cos(3 x) 2cos(6 x) cos(9 x ) 0 , que
estão no intervalo 0 x / 2é igual a:
a) 2
b)
c)
d)
e)
23
12
9
6
7
6
13
12
67. (Iezzi) Obter as soluções das equações abaixo,
dentro do intervalo 0,2
:
a) sen4xcos4x
1
sen x cos x 1
b)
68. (Iezzi) Resolver a equação cos
sen x x .
16
6 6 7
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
69. (UNESP 1991) O conjunto solução de │cos x│ <
(1/2), para 0 < x < 2 π, é definido por:
a) (π/3) < x < (2π/3) ou (4π/3) < x < (5π/3)
b) (π /6) < x < (5 π /6) ou (7 π /6) < x < (11 π /6)
c) (π /3) < x < (2 π /3) e (4 π /3) < x < (5 π /3)
d) (π /6) < x < (5 π /6) e (7 π /6) < x < (11 π /6)
e) (π /6) < x < (2 π /3) ou (4 π /3) < x < (11 π /6)
70. (UNICAMP 1994)
a) Utilize a fórmula sen 2 á+cos 2 á=1 e a fórmula
do cosseno da soma de dois ângulos para
deduzir as seguintes fórmulas do arco metade:
sen 1 cos
e cos 1 cos
2 2 2 2
b) Especifique os intervalos de variação de á nos
quais se deve usar o sinal "mais" e nos quais
se deve usar o sinal "menos" em cada uma
das fórmulas acima.
71. No intervalo real [0, π/2], o conjunto solução da
desigualdade sen x cos x ≤ 1/4 é
a) [0, π /15]
b) [0, π /12]
c) [0, π /10]
d) [0, π /8]
e) [0, π /6]
72. Se x ∈ [0, 2π], então cosx > 1/2 se, e somente se, x
satisfazer à condição
a) π /3 < x < 5 π /3
b) π /3 < x < π /2
c) π < x < 2 π
d) π /2 < x < 3 π /2 ou 5 π /3 < x < 2 π
e) 0 ≤ x < π /3 ou 5 π /3 < x ≤ 2 π
73. Seja f a função de IR em IR definida por f(x) = sen x.
O conjunto solução da inequação f(x) ≥ 0, no
universo U=[0,2 π], é
a) [0, π]
b) [π /2, 3 π /2]
c) [π, 2 π]
d) [π /2, π] ⋃ [3 π /2, 2 π]
e) [0, π /2] ⋃ [3 π /2, 2 π]
74. (ITA 1997) Seja S o conjunto de todas as soluções
reais da equação
1
sec {arctg
1
e - arctg (1 - 5
x
)} =
2 .
Então
a) S = ∅
b) S = │R
c) S ⊂ [1, 2]
d) S ⊂ [-1, 1]
e) S = [-1, 2[
75. (FEI 1999) Se 0 < x < 2 π e sen x > cos x então:
a) π /4 < x < 5 π /4
b) π /4 < x < 7 π /4
c) π /8 < x < 7 π /8
d) π /2 < x < 3 π /2
e) π /4 < x < 3 π /2
76. (UFF 1999) Determine o(s) valor(es) de x ∈ IR que
satisfaz(em) à desigualdade:
cos 2 x ≥ 2(sen x + 1)
36

IME/ITA
77. (UFRN 1999) Considere a função f: [0, 2) IR,
definida por f(γ) = sen(γ), na qual sen(γ) representa
o seno de um ângulo de γ radianos.
OBS.: [0, 2) = { γ ∈ IR │ 0 ≤ γ < 2}
a) Esboce o gráfico da função f no plano
cartesiano.
b) Determine o conjunto solução da inequação
f(γ) ≤ 2
2 .
78. (ITA 2000) Para x no intervalo [0, π/2], o conjunto
de todas as soluções da inequação
sen (2x) - sen [3x + (π/2)] > 0
é o intervalo definido por
a) π/10 < x < π/2.
b) π/12 < x < π/4.
c) π/6 < x < π/3.
d) π/4 < x < π/2.
e) π/4 < x < π/3.
79. (UFSC 2000) Determine a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S):
01. Se tg x = 3/4 e π < x < 3π/2, então o valor
de senx - cosx é igual a 1/5.
02. A menor determinação positiva de um arco de
1000° é 280°.
04. Os valores de m, de modo que a expressão
senx = 2m-5 exista, estão no intervalo [2,3].
08. sen x > cos x para - π/4 ≤ x ≤ π/4.
16. A medida em radianos de um arco de 225° é
(11 π)/6 (rad).
32. Se sen x > 0, então cosec x < 0.
64. A solução da equação 2sen 2 x + 3sen x = 2
para 0 x 2 π é x = π/6 ou x=5π/6.
80. Resolva a sentença 2 cos 2 x - 3 cos x + 1 ≤ 0,
sendo 0 ≤ x < 2π.
81. (MACKENZIE 2003) Quando resolvida no intervalo
[0; 2π], o número de quadrantes nos quais a
desigualdade 2 cos x < 3 apresenta soluções é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
82. (FUVEST 2003) Determine os valores de x no
intervalo ]0,2π[ para os quais cos x ≥ 3 sen x +
3 .
83. (ITA 2004) O conjunto de todos os valores de α, α
∈
, , tais que as soluções da equação (em x)
2 2
x 4 - ( 4 48 ) x 2 + tg α = 0 são todas reais, é
a)
,0
3
b)
,
4 4
c)
,
6 6
d)
0,
3
e)
,
12 3
84. (ITA 2005) O intervalo I ⊂ R que contém todas as
soluções da inequação
arctan [(1 + x)/2] + arctan [(1 - x)/2] ≥ /6
é
a) [-1, 4].
b) [-3, 1].
c) [-2, 3].
d) [0, 5].
e) [4, 6].
85. (ITA 2006) Determine para quais valores de x ∈
, vale a desigualdade
2 2
86. (UFJF 2007) Considere a função f : [0, 2π] IR
definida por f(x) = 2 + cos x.
a) Determine todos os valores do domínio da
função f para os quais f(x) ≥ 3/2.
b) Seja g : [0, π] IR a função definida por g(x)
= 2x. Determine a função composta h = fog,
explicitando sua lei de formação, seu domínio
e contradomínio.
c) Verifique que a lei da função composta h
pode ser escrita na forma h(x) = 3 - 2sen 2 x.
37

Matemática – Livro 3
87. (ITA 2007) Seja x um número real no intervalo 0 <
x < . Assinale a opção que indica o
2
comprimento do menor intervalo que contém todas
as soluções da desigualdade
c)
1
2 tg 2 - x - 3 x cos2 2 - 1 sec (x) ≥ 0.
2
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
6
12
88. Sendo
x 0, 2 , a interpretação gráfica no ciclo
trigonométrico para o conjunto solução da
4 2
inequação 8sen x 10sen x 3 0 é dada por
a)
b)
d)
89. (IME 2009) Resolva a seguinte inequação, para
0 x 2:
90. (ITA 2007) Seja x um número real no intervalo
0 x / 2. Assinale a opção que indica o
comprimento do menor intervalo que contém todas
as soluções da desigualdade
1
2 x 1
tg x 3cos secx
0
2 2 2 2
a)
b)
2
3
c)
e)
4
12
91. (ITA 2006) Determine para quais valores de
x , vale a desigualdade
2 2
2
2
log
4sen x1
log
4 sec x
2 .
cos
x
cos
x
d)
6
38

IME/ITA
92. (ITA 2014) Determine o conjunto de todos os
x 0,2 que satisfazem,
valores de
2
simultaneamente, a
x
3 1
3cotg cotg
2sen x sen x 1 0
cos 1
tg x x x .
93. (Iezzi) Resolver a inequação
supondo x 0,
.
e
2
2cos x cosx
1 0
cos x 1
94. (Iezzi) Determinar o domínio da função real f dada
por fx ( ) cos(2x) .
cos( x)
GABARITO
01. a) 2senbcosa
c
b) 2cosab
cosb
c)
d)
02. 1/4
2a 3r
4cosrcos sen
2 2
b 2a
3b
4 cos b cos cos
2 2
e) senp qsenq p
03. a) y 1
2
2
4
b) y 1/ 4
2 1
c) y
4
04. 1 cos6x cos2x
2
05. demonstração
06. e
07. d
08. d
09. 2 . sen 20° . cos 40°
10. d
11.
nx n
1 x
n sen sen
S
2 2
1
senjx
x
j1
sen 2
12. demonstração
13. demonstração
14. demonstração
15. demonstração
16. demonstração
17. demonstração
18. [−5,5].
19. c
20. b
21. y ( 5 1)/8
22.
S ,
10 2
23. Demonstração.
24. 1/4
25. Demonstração.
26. a
27. Demonstração.
28. b
29. Demonstração
30. c
31. b
32. 0/4
33. demonstração
39

Matemática – Livro 3
34. 30°; 60°; 90°.
35. d
36. e
37. e
5 38. a) S = { , , }
6 2 6
b) cot g 3, cotg 0 cotg
5 = 3
6 2
6
39. e
40. ( , ) , .
12 12
41.
42. a
43. e
44.
40
a)
3
rad.
2
b) S {( , ,0); }.
5 1
S xR / x arcsen k2 ,kZ .
2
45. a)
x arctg(m) k. ou x = k. , com k Z
6
b) m = 1
46. V = {π/6, 5π/6}
47. d
48. b
49. a
50. 16
51. 47
52. α = 3π/8 + nπ/2
53. d
54. a) x = 2 ou x = - 2
b) x = 2 e y = π + h2π, h ∈ Z ou
x = - 2 e y = h2π, h ∈ Z
55. S = {0; π/3; π/2; 2π/3; π; 4π/3; 3π/2; 5π/3}
56. a
57. p = 2
58. ab = 1
59. a) S (π/3) = 4.(1+ 3 )
b) V = {-(5π)/6; - π/6; (7π)/6; (11π)/6}
60. soma = 0
61. a
62. a) sen 2 θ - 2 .cos 2 θ + 1/2 .sen (2.θ) = 0
1 - cos 2 θ - 2 .cos 2 θ + 1/2 .2.senθ.cosθ = 0
1 - 3 .cos 2 θ + senθ.cosθ = 0.
b) ±
Os valores de θ, para os quais cos θ=0, não
são soluções da equação dada, pois, neste
caso a sentença resultante é 1-0+0=0, que é
falsa.
2
2 ou ± 5
5
63. a) 0;
b) 1/4
64. S { x
/ x 2k
ou x 2k,
k }
2
5
65. a) S , , b) 3,0, 3
6 2 6
66. e
67. a)
68.
b)
69. a
3 5 9 13
S 0, , , ,2 , , , ,
2 2 8 8 8 8
3
S 0, , , ,2
2 2
k
S x / x
6 2

IME/ITA
70. a)
sen
1 cos / 2
2
cos 1 cos / 2
2
b) sen (α/2) tem sinal positivo quando:
0 + 2kπ < (α/2) < π + 2kπ, k ∈ Z ⇔ 4kπ <
< α < (4k + 2)π, k ∈ Z.
71. b
72. e
73. a
74. d
75. a
sen (α/2) tem sinal negativo quando:
π + 2kπ < (α/2) < 2π + 2kπ, k ∈ Z ⇔
⇔ (4k - 2)π < α < (4k + 4)π, k ∈ Z.
cos (α/2) tem sinal positivo quando:
– (π/2) + 2kπ < (α/2) < π/2 + 2kπ, k ∈ Z ⇔
⇔ (4k - 1)π < α < (4k + 1)π, k ∈ Z.
cos (α/2) tem sinal negativo quando:
(π/2) + 2kπ < (α/2) < (3π/2) + 2kπ, k ∈ Z
⇔ (4k + 1)π < α < (4k + 3)π, k ∈ Z.
76. x = 2kπ - π/2, k ∈ Z
77. a) Observe a figura a seguir
81. e
82. 3π/2 ≤ x ≤ 11π/6.
83. d
84. c
85. S = xR| x ou x
4 6 6 4
86. a) {x IR I 0 ≤ x ≤ 2π/3 ou 4π/3 ≤ x ≤ 2π}
b) h : [0, π] IR onde h(x) = 2 + cos (2x)
c) h(x) = 2 + cos 2x = 2 + (cos 2 x - sen 2 x) = 2
+ (1 - 2sen 2 x) = 3 - 2sen 2 x
87. d
88. b
89.
90. d
91.
3 5 7
S , , ,2
4 4 4 4
x , ,
4 6 6 4
92. 2 3 5
S x
/ x ou x ou x
6 4 2 3 4 6
93.
S x / x
3
94.
3 5 3
D{ x
/ 2kx 2k ou 2kx
2 4 4
2
7
2k ou 2kx 2k ou 2kx2 2k}
4 4
78. a
b) V = {x ∈ IR │ 2kπ ≤ x ≤ π/4 + 2kπ ou
3π/4 + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ: k ∈ z}
79. 01 + 02 + 04 + 64 = 71
80. 0 ≤ x ≤ π/3 ou 5π /3 ≤ x < 2π
41

Matemática – Livro 3
01. (LIMA) Prove que:
Frente D
Módulo D03
TRIÂNGULO DE PASCAL
n
2 n n n
2
p2 p p1 p2
Supondo n um real qualquer e p inteiro não negativo.
02. (LIMA) Calcule o valor de
n 2 k
kC
n
k0
03. (LIMA) Calcule o valor de
n
k1
S k 2k 1
04. (MORGADO) Calcule o valor da soma
S1 2 3
n
3 3 3 3
05. (MORGADO) Prove que
n n
k k
1 1
k 1 n1
06. (WAGNER) Calcule
n
k0
2
n
k
k
07. Para que valor de k,
2n k 2n k
ak
n n
(n dado) é máximo?
08. (MORGADO) Calcule o valor da soma:
S = 50.51+51.52+ ... +100.101.
09. (UEPB) Simplificando-se a expressão
2
n1!
n2 ! n1!
,
n2 ! n1!
obtém-se:
a) (n – 1)! b) n – 1
c) n! d) n – 2
e) (n – 2)!
10. (ITA 1973) Calcular o valor da expressão:
n nk
n
4
1 n1 3
1
4 k1k4 4
11. Calcule:
a) 3
b) 6
0
1
c) 7
d) 10
4
3
e) 12
7
12. Resolva as equações seguintes.
6 4
a) 0
t 2t
b)
c)
d)
e)
17 17
n 9
22 22
n1 132n
4a2 4a1 4a1
6 a1 a2
5q15 5q15 5q14
2q 2q1 q1
13. Calcule os somatórios:
a)
11 11
p0p
b)
8 9
k 0k
c) 9 p
p
d) 10 p
p
e)
7 k 3
k 0 k
f)
10 i 2
i1 i
42

IME/ITA
14. Calcule o valor de n, sabendo que:
a) n n n
n
n
2 4 ... 2 243
0 1 2 n
5 4 3
b) 999 5 999 10 999
2
10 999 5 999 110 n
c) 40 40 40
2
40
40
2 2 ... 2 9
0 1 2 40
d)
10 10
n 2 k
k 0
k
15. (ITA) A expressão
a)
10
2
10
b) 2 1
10
c) 3 1
10
d) 3 1
e)
10
3
10 2 k
k 0
10
é igual a:
k
n n n n n n
0 1 2 3 n .
16. Calcule 1
17. (ITA) Quais os valores de n e M para que:
n
M
k n n M
M
1
7 2 64
k0 k j0 j
18. (ITA 1995) Para cada n N , temos que
4n 4n 4n
1 ... 1
é igual a:
2 4 4n
2
n
a)
b)
2
2 n
1 2
n
c)
n
d)
n
e)
1 2
2n
n
1 2n
1 2
1
1 2
n
19. Calcule S, em função de n:
a) S 12 2334 ... n. n
1
b)
2 2 2 2
S 1 2 3 ...
n
n
20. Mostre que:
n
n1
a) k
1 2 n
2
b)
c)
k 0
p
k 0
n
k 0
n
k
m h m
h
(Fórmula de Euler)
k p
k p
2
n 2n
(Fórmula de Lagrange)
k n
BINÔMIO DE NEWTON
21. (ITA 2014) Para os inteiros positivos k e n, com k n,
n
1n n
1
sabe-se que .
Então, o valor de
k 1k k 1
n 1 n 1 n 1 n
...
é igual a:
0 2 1 3 2 n
1 n
22. (ITA 2013) O coeficiente de x 4 y 4 no
desenvolvimento de 1 x y
10
é:
23. (IME 1983) Prove a seguinte identidade:
n1 nkk
2m 1 m m ,
n
k0
onde n e m são inteiros positivos e
n n!
m
n
m !m! , para n
m
e n
0 , para n
m.
m
24. (ITA 1995) Para cada n ∈ N temos que:
4n 4n 4n
1 ... 1
2 4 4n
2
é igual a:
a) (-1) n . 2 2n
b) 2 2n
c) (-1) n . 2 n
d) (-1) n+1 . 2 2n
e) (-1) n+1 . 2 n
43

Matemática – Livro 3
25. (ITA 2001) Sabendo que é de 1024 a soma dos
coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo
desenvolvimento do binômio (x+y) n , temos que o
número de arranjos sem repetição de n elementos,
tomados 2 a 2, é:
a) 80
b) 90
c) 70
d) 100
e) 60
26. (ITA 2001) A respeito das combinações mostradas
na figura adiante, temos que, para cada n = 1, 2,
3, ..., a diferença a n - b n é igual a:
a)
c)
e)
n!
an
n1
n
an
n1
1
an
n1
2n
2n
an
e bn
n n1
b)
d)
2n
an
n1
2
an
n1
27. (ITA 1999) Considere o conjunto S = {(a, b) ∈ N x
N: a + b = 18}. A soma de todos os números da
forma, (18!)/(a!b!), ∀(a,b) ∈ S, é:
a) 8 6 b) 9! c) 9 6 d) 12 6 e) 12!
28. (ITA 2000) O termo independente de x no
desenvolvimento do binômio abaixo é:
3
3 x 5x
3
5x 3 x
a) 729 3 45 b) 972 3 15
c) 891 3 3
5
5 d) 376
3
e) 165 3 75
29. (ITA 2001) No desenvolvimento de (ax 2 - 2bx + c +
1) 5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes
somam 32. Se 0 e -1 são raízes de p(x). Calcule a
soma de a + b + c.
30. (ITA – 2003) Determine o coeficiente de x 4 no
desenvolvimento de (1 + x + x 2 ) 9 .
12
31. (ITA 2008) A expressão (2 3 5 ) 5 – (2 3 5 ) 5 é
igual a
a) 2630 5 . b) 2690 5 . c) 2712 5 .
d) 1584 15 . e) 1604 15 .
32. (IME 1997) Calcule o valor de (1,02) -10 com dois
algarismos significativos, empregando a expansão
do binômio de Newton.
33. (ITA 1996) Dadas as afirmações a seguir:
n n n n n
n
I. ...... 2 , nN
0 1 2 n1 n
n n
II. , nN, k 0, 1, 2, ......, n
k n
k
III. Existem mais possibilidades de escolher 44
números diferentes entre os números inteiros
de 1 a 50 do que escolher 6 números
diferentes entre os inteiros de 1 a 50.
Conclui-se que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas (I) e (II) são verdadeiras.
c) apenas (I) é verdadeira.
d) apenas (II) é verdadeira.
e) apenas (II) e (III) são verdadeiras.
34. Sabendo que a soma dos coeficientes dos termos
do desenvolvimento de (x + y) n é 4096, determine o
valor de n.
n 2 3
x
x
35. O valor de
36. (ITA 2000) Resolva a equação 15
15
x 1 2x 1 .
37. (ITA 1999) É falsa ou verdadeira a seguinte
afirmação?
n x
m m
“Se , então m é necessariamente
p p1
ímpar.” Justifique
38. Determine o coeficiente de x 7 no desenvolvimento
de 2
8
x 2
.
2 x
é:
44

IME/ITA
39. (ITA 1987) Sabendo que é 1024 a soma dos
coeficientes do polinômio em x e y, obtido no
desenvolvimento do binômio (x + y) m , temos que o
número de arranjos sem repetição de m elementos,
tomados 2 a 2 é:
a) 80 b) 90
c) 70 d) 100
e) 60
40. Sendo
20 20 20 20 20
S 2 2 ... 2 2
0 1 2 19 20
tem-se:
a) S 2 40
b) S 9
10
20
c) S 20 d) S 2
60
e) n.d.a.
2 19 20
41. Em relação ao desenvolvimento do binômio
9
2 2
x
, feito segundo expoentes decrescentes
x
da 1 a parcela, calcule, caso exista,
a) o terceiro termo.
b) o termo central.
c) o termo independente de x.
d) o termo de grau cinco.
e) a soma dos coeficientes de x.
42. (UECE) O termo médio do desenvolvimento de
10
x 3
é:
3
x
a) 252
b) 254
c) 256
d) 258
43. (FGV) A soma dos coeficientes de todos os termos
18
do desenvolvimento de ( x 2 y ) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 19
d) 1
44. (IME 1994) Determine o termo independente de x
de
10
1
x .
x
,
45. (ITA 2010) A expressão
5 5
2 3 5 2 3 5 é igual a:
a) 2630 5 b) 2690 5
c) 2712 5 d) 1584 15
e) 1604 15
46. (IME-95) Determine a condição que o inteiro m
deve satisfazer para que exista termo independente
de x no desenvolvimento de 4 1
m
x
8 .
x
9
47. (IME-89) Determine o coeficiente de x no
desenvolvimento de 2
5
2 3
x
1 x
1
5 4 .
x x
48. (IME-96) Determine o termo máximo do
desenvolvimento da expressão
65
1
1 .
3
49. (IME-87) Mostre que para todo número natural n
5n
2n
maior ou igual a 2,
4
2 .
n
50. (IME-2005) Sejam as somas S
0
e S
1
definidas
por
3 n
S /3
0
Cn Cn Cn Cn ... C
n
e
1 4 7 10 3 n
S 1 /3 1
1
Cn Cn Cn Cn ... C
n
.
Calcule os valores de S 0
e S 1
em função de n,
sabendo que r representa o maior inteiro menor
ou igual ao número r.
Obs.: Utilize o desenvolvimento em binômio de
n
2
Newton de 1
cis .
3
51. Determine o coeficiente de x 2 no desenvolvimento
2
de x 2x 1
4
.
52. Determine o coeficiente de
20
5 7
de 1
x x .
17
x no desenvolvimento
45

Matemática – Livro 3
PROBABILIDADE
53. (IME 2013) Um menino, na cidade do Rio de
Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para
leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o
resultado for coroa. A probabilidade deste menino
estar a 5 m de distância de sua posição inicial,
após 9 lançamentos da moeda, é
9
a)
6
2
35
b)
6
2
2
c)
9!
35
d)
9
2
9!
e)
9
2
54. (IME 2012) Em um aeroporto existem 12 vagas
numeradas de 1 a 12, conforme a figura. Um piloto
estacionou sua aeronave em uma vaga que não se
encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga
1 e da vaga 12. Após estacionar, o piloto observou
que exatamente 8 das 12 vagas estavam ocupadas,
incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou.
Determine a probabilidade de que ambas as vagas
vizinhas a sua aeronave estejam vazias.
1 2 3 .... 10 11 12
a)
b)
c)
d)
e)
1
55
2
55
3
55
4
55
6
55
55. (IME 2012) Os nove elementos de uma matriz M
quadrada de ordem 3 são preenchidos
aleatoriamente com os números 1 ou –1, com a
mesma probabilidade de ocorrência. Determine:
a) o maior valor possível para o determinante de M;
b) a probabilidade de que o determinante de M
tenha este valor máximo.
56. (IME 2010)
Cada um dos quatro quadrados menores da figura
acima é pintado aleatoriamente de verde, azul,
amarelo ou vermelho. Qual é a probabilidade de
que ao menos dois quadrados, que possuam um
lado em comum, sejam pintados da mesma cor?
1
a)
2
5
b)
8
7
c)
16
23
d)
32
43
e)
64
57. (ITA 2014) Seja o espaço amostral que
representa todos os resultados possíveis do
lançamento simultâneo de três dados. Se A é
o evento para o qual a soma dos resultados dos três
dados é igual a 9 e B o evento cuja soma dos
resultados é igual a 10, calcule:
a) n( );
b) n(A) e n(B);
c) P(A) e P(B).
58. (ITA 2013) Considere os seguintes resultados
relativamente ao lançamento de uma moeda:
I. Ocorrência de duas caras em dois
lançamentos.
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em
quatro lançamentos.
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em
oito lançamentos.
Pode-se afirmar que
a) dos três resultados, I é o mais provável.
b) dos três resultados, II é o mais provável.
c) dos três resultados, III é o mais provável.
d) os resultados I e II são igualmente prováveis.
e) os resultados II e III são igualmente prováveis.
46

IME/ITA
59. (ITA 2013) Seja p uma probabilidade sobre um
espaço amostral finito . Se A e B são eventos de
tais que
1
p A ,
1
pB e
1
p AB ,
2 3
4
as probabilidades dos eventos A \B, A B e
A
a)
b)
c)
d)
e)
C C
B são, respectivamente,
1 ,
4
1 ,
6
1 ,
6
1 ,
3
1 ,
4
5
6 e 1 .
4
5
6 e 1 .
4
7
12 e 3 .
4
5
6 e 1 .
3
7
12 e 3 .
4
60. (ITA 2012) Dez cartões estão numerados de 1 a 10.
Depois de embaralhados, são formados dois
conjuntos de 5 cartões cada. Determine a
probabilidade de que os números 9 e 10 apareçam
num mesmo conjunto.
61. (ITA 2012) Dois atiradores acertam o alvo uma vez
a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam
simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser
atingido pelo menos uma vez é igual a
a)
c)
e)
2
9
4
9
2
3
62. (ITA 2011) Numa caixa com 40 moedas, 5
apresentam duas caras, 10 são normais (cara e
coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma
moeda é retirada ao acaso e a face observada
mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face
desta moeda também apresentar uma coroa é
a)
c)
e)
7 .
8
5 .
8
3 .
7
b)
d)
b)
d)
1
3
5
9
5 .
7
3 .
5
63. (ITA 2011) Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros
de história, 4 de biologia e 2 de espanhol.
Determine a probabilidade de os livros serem
empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles
que tratam do mesmo assunto estejam juntos.
64. (ITA 2010) Um palco possui 6 refletores de
iluminação. Num certo instante de um espetáculo
moderno os refletores são acionados
aleatoriamente de modo que, para cada um dos
refletores, seja de 2 a probabilidade de ser aceso.
3
Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5
refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a
a) 16
27 . b) 49 .
81
c)
151 479 .
d) .
243
729
e)
2 4 5
2 .
4 5
3 3
65. (ITA 2010) Uma urna de sorteio contem 90 bolas
numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma
bola e equiprovável à retirada de cada uma das
demais.
a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta
urna. Calcule a probabilidade de o número
desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6.
b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas
desta urna e, sem repô-la, retira-se uma
segunda bola. Calcule a probabilidade de o
número da segunda bola retirada não ser um
múltiplo de 6.
66. (ITA 2008) Considere o conjunto D = {n ∈ N; 1 ≤
n ≤ 365} e H ⊂ P(D) formado por todos os
subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao
acaso um elemento B ∈ H, a probabilidade de a
soma de seus elementos ser 183 é
a) 1/730 b) 46/33215
c) 1/365 d) 92/33215
e) 91/730
67. (ITA 2008) Considere uma população de igual número
de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5%
dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a
probabilidade de que seja mulher uma pessoa
daltônica selecionada ao acaso nessa população.
a) 1/21 b) 1/8
c) 3/21 d) 5/21
e) 1/4
47

Matemática – Livro 3
68. (ITA 2005) São dados dois cartões, sendo que um
deles tem ambos os lados na cor vermelha,
enquanto o outro tem um lado na cor vermelha e o
outro na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao
acaso e colocado sobre uma mesa. Se a cor
exposta é vermelha, calcule a probabilidade de o
cartão escolhido ter a outra cor também vermelha.
69. (ITA 2005) Retiram-se 3 bolas de uma urna que
contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas
brancas. Se P 1 é a probabilidade de não sair bola
azul e P 2 é a probabilidade de todas as bolas
saírem com a mesma cor, então a alternativa que
mais se aproxima de P 1 + P 2 é
a) 0,21.
b) 0,25.
c) 0,28.
d) 0,35.
e) 0,40.
70. (ITA 2004) Uma caixa branca contém 5 bolas
verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas
verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de
uma das caixas. Para tanto, 2 dados são atirados.
Se a soma resultante dos dois dados for menor que
4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais
casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a
probabilidade de se retirar uma bola verde?
71. (ITA 2012) Sejam e dois conjuntos disjuntos, ambos
finitos e não-vazios, tais que
nP A PB 1 nP A B
Então, a diferença nA
nB
pode assumir:
a) um único valor.
b) apenas dois valores distintos.
c) apenas três valores distintos.
d) apenas quatro valores distintos.
e) mais do que quatro valores distintos.
72. (CESCEA 1976) Uma urna contém 20 bola
numeradas de 1 a 20. Seja o experimento retirada
de uma bola, e considere os eventos:
A = {a bola retirada possui um número múltiplo de 2}
B = {a bola retirada possui um número múltiplo de 5}
Então, a probabilidade do evento A B é:
a) 13
20
3
d)
5
b)
e)
4
5
11
20
c)
7
10
73. (PUC) Um marceneiro pintou de azul todas as faces
de um bloco maciço de madeira e, em seguida,
dividiu-o totalmente em pequenos cubos de 10cm
de aresta. Considerando que as dimensões do
bloco eram 140cm por 120cm por 90cm, então a
probabilidade de se escolher aleatoriamente um
dos cubos obtidos após a divisão e nenhuma de
suas faces estar pintada de azul é
1
a)
3
b) 5 9
2
c)
3
d) 5 6
e) 8 9
74. (ENEM) A figura I abaixo mostra um esquema das
principais vias que interligam a cidade A com a
cidade B. Cada número indicado na figura II
representa a probabilidade de pegar um
engarrafamento quando se passa na via indicada,
Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar
engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o
ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%,
quando se passa por E3. Essas probabilidades são
independentes umas das outras.
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B
usando exatamente duas das vias indicadas,
percorrendo um trajeto com a menor probabilidade
de engarrafamento possível.
O melhor trajeto para Paula é:
a) E1E3.
b) E1E4.
c) E2E4.
d) E2E5.
e) E2E6.
48

IME/ITA
75. (ENEM) A população brasileira sabe, pelo menos
intuitivamente, que a probabilidade de acertar as
seis dezenas da mega sena não é zero, mas é
quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são
atraídas por essa loteria, especialmente quando o
prêmio se acumula em valores altos. Até junho de
2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes
ao conjunto 01,02,03,...,59,60 , custava R$1,50.
Considere que uma pessoa decida apostar
exatamente R$126,00 e que esteja mais interessada
em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega
sena, justamente pela dificuldade desta última.
Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84
apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham
cinco números em comum, do que uma única
aposta com nove dezenas, porque a probabilidade
de acertar a quina no segundo caso em relação ao
primeiro é, aproximadamente,
1
a) 1 vez menor.
2
b)
1
2 2
vezes menor.
c) 4 vezes menor.
d) 9 vezes menor.
e) 14 vezes menor.
76. (IME 2010) Um pipoqueiro cobra o valor de R$
1,00 por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho
sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito
pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm
uma moeda de R$ 1,00 e quatro uma nota de R$
2,00. Supondo uma arrumação aleatória para a fila
formada pelas oito pessoas e que cada uma
comprará exatamente um saco de pipoca, a
probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para
as quatro pessoas que pagarão com a nota de R$
2,00 é:
1
a)
8
1
b)
5
1
c)
4
1
d)
3
1
e)
2
77. Em um programa de auditório, o convidado deve
escolher uma dentre três portas. Atrás de uma das
portas há um carro e atrás de cada uma das outras
duas há um bode. O convidado ganhará como
prêmio o que estiver atrás da porta (devemos supor
neste problema que o convidado prefere ganhar o
carro). O procedimento para escolha da porta é o
seguinte: o convidado escolhe inicialmente, em
caráter provisório, uma das três portas. O
apresentador do programa, que sabe o que há
atrás de cada porta, abre neste momento uma das
outras duas portas, sempre revelando um dos dois
bodes. O convidado agora tem a opção de ficar
com a primeira porta que ele escolheu ou trocar
pela outra porta fechada.
Que estratégia deve o convidado adotar? Com
uma boa estratégia, que probabilidade tem o
convidado de ganhar o carro?
Com base nessa situação, julgue os itens.
1. Após a eliminação de uma porta (que foi aberta
pelo apresentador, revelando um bode) há uma
simetria entre as duas outras portas e a
probabilidade de cada uma esconder o carro é 0,5.
2. A probabilidade de o convidado ganhar o carro
é 1/3 independente da estratégia adotada.
3. Trocando de porta, a probabilidade de o
convidado ganhar o carro é 2/3 enquanto não
trocando a probabilidade é 1/3.
78. (ITA 2004) Uma caixa branca contém 5 bolas
verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas
verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de
uma das caixas. Para tanto, 2 dados são atirados.
Se a soma resultante dos dois dados for menor que
4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais
casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a
probabilidade de se retirar uma bola verde?
79. (ITA) Uma urna contem cinco bolas numeradas de 1
a 5. Retiram-se, com reposição, 3 bolas desta urna,
sendo o número da primeira bola, o da
segunda e o da terceira. Dada a equação
2
quadrática x x 0 , a alternativa que
expressa a probabilidade de as raízes dessa
equação serem reais é
a)
d)
19
125
26
60
24
b)
125
e) 25
60
c)
26
125
49

Matemática – Livro 3
80. Ao dar um tiro, a probabilidade de um certo
atirador acertar o alvo é de 0,6. Se esse atirador
der quatro tiros consecutivos, calcule, em
porcentagem, a probabilidade de ele acertar o
alvo.
81. (ENEM) Em uma escola, a probabilidade de um
aluno compreen- der e falar inglês é de 30%. Três
alunos dessa escola, que estão em fase final de
seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala,
serem chamados para uma entrevista. Mas, ao
invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra
na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês
que pode ser respondida por qualquer um dos
alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e
ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é
a) 23,7%.
b) 30,0%.
c) 44,1%.
d) 65,7%.
e) 90,0%.
82. Paula e Maria, que não são pessoas muito
pontuais, marcaram um encontro para as 16 horas.
Sabe-se que cada uma delas chegará ao ponto de
encontro em um instante qualquer entre 16 horas e
17 horas e se dispõe a esperar, no máximo, 10
minutos pela outra. Calcule, em porcentagem, a
probabilidade de elas se encontrarem.
83. José tem três pares de óculos, um magenta, um
amarelo e um ciano. Todo dia de manhã ele
escolhe um ao acaso, tendo apenas o cuidado de
nunca usar o mesmo que usou no dia anterior. Se
dia primeiro de agosto ele usou o magenta, qual a
probabilidade de que dia 31 de agosto ele volte a
usar o magenta?
84. Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com
probabilidade 1/ 3 . Suponha que A faz uma
afirmação e D diz que C diz que B diz que A falou a
verdade. Qual é a probabilidade de que A tenha
falado a verdade?
01. Demonstração
02. nn 12
03.
04.
n 2
nn 1 4n 5
6
2
n n 1
2
4
05. Demonstração
06.
GABARITO
2n 1
n
. Pela fórmula de Euler.
n 1
07. k = 0
08. S = 301.750
09. d
10. 2
11. a) 1
b) 6
c) 35
d) 120
e) 792
12. a) S 0,1
b) S 8,9
c) S 4
d) S 2, 4
e) S 7
11
13. a) 2
9
b) 2 1
c) 10
4
d) 11
1
3
e) 11
7
f) 13
1
10
50

IME/ITA
14. a) n 5
b) n 15
c) n 20
d) n 3
10
15. e
16. 0
17. M 3 e n N .
18. a
19. a)
b)
N
3 2
n 3n 2n
S
, n
*
3
n
1
Sugestão: nn 1 2!
.
2
nn 1 2n1
S
6
20. a) Demonstração.
b) Demonstração. (Sugestão: use um argumento
combinatório)
c) Demonstração. (Sugestão: use o resultado
anterior, fazendo m h p n )
21.
2
n1
22. 3150
n
1
n1 n1
23. demonstração
24. a
25. b
26. e
n1
0 2 1
32. 0,82
33. b
34. 12
35. 5 n
36. S = {5}
37. V
38. -2048
39. b
40. e
41. a)
b)
42. a
43. b
12
144x
6
2016x
c) 5376
d) Não existe o termo de grau cinco.
e) 1
44. 252
45. b
46. m 3k
47. 35
65 1
48.
16
49
3
49. Demonstração.
27. a
28. e
29. -1/2
30. 414
50.
n n
2 2cos
S
0
3
3
2 n 3sen
n cos
n
S
1
3 3
3
31. b
51. 20
51

Matemática – Livro 3
52. 3420
53. a
54. e
55. a) O maior valor poderia ser 6
Se
a a a a a a a a a 1
e
56. e
11 22 33 31 12 23 21 32 13
a31 a22 a13 a11 a23 a32 a12 a21 a33
1
O que é impossível, pois o produto das
parcelas positivas é igual ao produto das
parcelas negativas do determinante. Como o
valor do determinante, obrigatoriamente, é
um número par concluímos que o maior valor
possível para o determinante é 4.
Exemplo:
1 1 1
1 1 1 4
1 1 1
b) considerando todos os vetores (linearmente
dependentes) possíveis:
(1, 1, 1) e (-1, -1, -1)
(1, 1, -1) e (-1, -1, 1)
(1, -1, 1) e (-1, 1, -1)
(-1, 1, 1) e (1, -1, -1)
Escolhendo 3 vetores C 4,3 = 4 modos.
Há 3! = 6 maneiras de escolher a ordem das linhas
e 8 opções de se escolher ou não o simétrico.
TOTAL 4 6 8 192.
Logo, a probabilidade será dada por:
192 3
P .
9
2
2 16
57. a) 216
b) 25 e 27
c) 25/216 e 1/8
58. d
59. e
60. 4/9
62. b
63. 1/1155
64. a
65. 1/3 e 5/6
66. a
67. a
68. P(C 1 /V) = (1/2) / (3/4) = 2/3.
69. e
70. 289/480
71. a
72. d
73. b
74. d
75. c
76. b
77. E, E, C
78.
79. b
289
480
80. 0,9744 97,44 %
81. d
82. 30
83.
m
31
1
2
3
84. P 13
41
29
61. d
52