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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica 8. Aumentos e descontos sucessivos A. Aumentos sucessivos Consideremos um valor inicial V, que irá sofrer dois aumentos sucessivos de p 1 % e p 2 %. Sendo V 1 o valor após o primeiro aumento, temos: V 1 = p1 V ⋅ ⎛ 1 + ⎞ ⎝ ⎜ 100 ⎠ ⎟ Sendo V 2 o valor após o segundo aumento, temos: V = p2 V ⋅ ⎛ 1 + ⎞ ⎝ ⎜ 100 ⎠ ⎟ 2 1 ⎛ p ⎞ V 2 = V ⋅ 1 + ⎜ 1 ⎝ 100 ⎟ ⎠ ⎛ 1 p 2 ⎞ ⋅ ⎜ + ⎝ 100 ⎟ ⎠ B. Descontos sucessivos Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p 1 % e p 2 %. Sendo V 1 o valor após o primeiro desconto, temos: V 1 = p1 V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ 1– ⎞ 100 ⎠ ⎟ Sendo V 2 o valor após o segundo desconto, temos: V = p2 V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ 1– ⎞ 100 ⎠ ⎟ 2 1 V 2 = V 1 ⋅ ⎛ 1 ⎝ ⎜⎛ p 1 ⎞ 100 ⎛ p 2 ⎞ – 1 ⎟ ⎠ ⋅ ⎜ ⎝ – 100 ⎟ ⎠ C. Aumento e desconto sucessivos (Desconto e aumento sucessivo) Seja V um valor inicial, vamos considerar que irá sofrer um aumento de p 1 % e, sucessivamente, um desconto de p 2 %. Sendo V 1 o valor após o aumento, temos: V 1 = p1 V ⋅ ⎛ 1 + ⎞ ⎝ ⎜ 100 ⎠ ⎟ ⋅ Sendo V 2 o valor após o desconto, temos: V = p2 V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ 1– ⎞ 100 ⎠ ⎟ 2 1 ⎛ p 1 ⎞ V 2 = V ⋅ 1 + 1 ⎜ ⎝ 100 ⎟ ⎠ ⋅⎛ ⎛ p 2 ⎞ ⎜ – ⎝ 100 ⎟ ⎠ Observação: Se for um desconto seguido de aumento, teremos: V 2 = p1 p2 V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜1 ⎞ 1 100 ⎠ ⎟ ⋅ ⎛ + ⎞ – ⎝ ⎜ 100 ⎠ ⎟ EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-13-11 01. FGV-SP Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e, em seguida, esse montante decresceu 11%, resultando em R$ 32,00 a menos do que C. Sendo assim, o valor de C, em R$, é: a. 9.600,00 b. 9.800,00 c. 9.900,00 d. 10.000,00 e. 11.900,00 Resolução Chamaremos C de capital e M de montante. Logo, teremos o sistema: ⎧M = C + 1. 200 ⎧M– C = 1. 200 ⎨ ⇒ ⎨ ⎩M– 0, 11 M = C – 32 ⎩0, 89 M– C = – 32 , Multiplicando a segunda equação inteira por (–1), temos: 28

Matemática básica Matemática ⎧M– C = 1. 200 ⎨ ⇒ M– 0, 89 M = 1. 232 ⇒ ⎩– 0,89 M + C = 32 1. 232 ⇒ 0, 11M = 1. 232 ⇒ M = = 11. 200 0, 11 Como M = 11.200, temos, da primeira equação: M – C = 1.200 ⇒ 11.200 – C = 1.200 ⇒ – C = 1.200 – 11.200 ⇒ C = 10.000 Resposta D 02. Vunesp Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1.000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, é: a. 1.000 + 0,15 n b. 1.000 – 0,15 n c. 1.000 · 0,15 n d. 1.000 + 1, 15 n e. 1.000 · 1,15 n Resolução n ⎛ p ⎞ VA = + v ⎝ ⎜1 ⎠ ⎟ ⋅ 100 V V A A ⎛ 15 ⎞ = + ⎝ ⎜1 ⎠ ⎟ ⋅ 1. 000 100 = 1. 000 ⋅ ( 1, 15) n n 03. Fuvest-SP O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcule a porcentagem que se deve reduzir do seu preço atual para que volte a custar o que custava antes do aumento. Resolução Se a mercadoria custa x, então, com o aumento de 25%, ela custará: 1 5 x + x = x 4 4 Vfinal · desconto = Vinicial 5 x ⋅ D = x 4 x D = 5 x 4 4 D = 5 D = 0, 8 ∴ logo, o desconto terá sido de 20%. 04. PUC-SP Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a. 25% b. 26% c. 44% d. 45% e. 50% Resolução PV-13-11 Resposta E VD = ⎛ V ⎝ ⎜ 20 ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ 30 ⎞ 1– 1– ⎠ ⎟ ⋅ 100 100 V = 0, 8 ⋅ 0, 7 ⋅ V = 0, 56 ⋅ V V D D = 0, 56 V = ⎛ V ⎝ ⎜ 44 ⎞ 1– ⎠ ⎟ ⋅ 100 Assim, o valor do desconto é de 44%. 29