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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES 1. Conceitos básicos A. Números naturais Os números 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto dos números naturais, que é representado pelo símbolo . Assim: = {0, 1, 2, 3,...} Representamos o conjunto dos números naturais não nulos por *. Assim: * = (1, 2, 3, ...} = N – {0} B. Números inteiros Os números..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto dos números inteiros, que é repressentado pelo símbolo ¢. Assim: ¢ = {..., –3, –2, –1, 2, 3,...} Representamos o conjunto dos números inteiros não nulos por ¢*. Assim sendo: ¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} Observemos algumas outras notações: • ¢ + : conjunto dos inteiros não negativos: ¢ + = (0, 1, 2, 3, ...} = • ¢ – : conjunto dos inteiros não positivos: ¢ – = {..., –3, –2, –1, 0} • ¢ * + : conjunto dos inteiros positivos: ¢ * + = {1, 2, 3, ...} = * • ¢* – : conjunto dos inteiros negativos: ¢* – :{..., –3, –2, –1}. C. Divisor de um número inteiro Dados dois números inteiros, d e n, d é um divisor ou fator de n se existir um número inteiro k, satisfazendo: n = k · d. Exemplos 1. 2 é um divisor de 6, pois 2 · 3 = 6. Nesse caso, 3 seria o valor de k. 2. 5 é um fator de –35, pois 5 · (–7) = – 35, nesse caso, –7 seria o valor de k. 3. Zero é divisor de zero, pois 0 · (k) = 0, para qualquer valor inteiro de k. No entanto, 0(zero) não é divisor de 5, pois não existe um inteiro k, tal que: 0 · k = 5 Observemos que 1 é divisor de qualquer número inteiro k, pois sempre vai existir um número inteiro k tal que: 1 · k = k Indicaremos por D (n) todos os divisores inteiros do número inteiro n. Observemos algumas outras notações: • D * + (n): divisores inteiros positivos (ou naturais) do número inteiro n. • D* – ( n) : divisores inteiros negativos do número inteiro n. Observação: Sendo n não nulo D * + (n) = D+ (n) e D* – (n) = D – (n) D. Múltiplos de um número inteiro Dados dois números inteiros d e n, n é um múltiplo de d se existir um número inteiro k, satisfazendo: n = k · d. 1. 35 é múltiplo de 5, pois 35 = 7 · 5. Nesse caso, 7 seria o valor de k. 2. – 38 é múltiplo de 2, pois – 38 = – 19 · 2. Nesse caso, – 19 seria o valor de k. 3. Zero é múltiplo de qualquer número inteiro d, pois 0 = 0 · (d), para qualquer valor inteiro de d. Indicaremos por M(d) todos os múltiplos inteiros do número inteiro. Observemos algumas outras notações: • M + (d): múltiplos inteiros não negativos (ou naturais) do número inteiro d. • M – (d): múltiplos inteiros não positivos do número inteiro d. • M * + (d): múltiplos inteiros positivos do número inteiro d. • M * + (d): múltiplos inteiros negativos do número inteiro d. PV-13-11 30

Matemática básica Matemática E. Paridade de números inteiros Dizemos que um número inteiro a é par se, e somente se, a ∈M(2). Sendo, então, a um múltiplo de 2, temos que a forma geral de apresentarmos um número par é: a = 2k, em que k ∈ ¢ Dizemos que um número inteiro b é ímpar se, e somente se, b ∉ M(2). A forma geral de apresentarmos um número ímpar é: Na última divisão, o quociente já é menor que o divisor e ainda não obtivemos divisão exata, portanto o 673 é um número primo. Observações importantes 1) Os números –1, 0 e 1 não são classificados nem como primo nem como número composto. 2) Todo número composto pode ser fatorado ou decomposto num produto de fatores primos. PV-13-11 b = 2k + 1, em que k ∈ ¢ F. Números primos e compostos Um número inteiro é dito número primo quando na sua relação de divisores inteiros tivermos apenas quatro divisores. p é primo ⇔ n [D(p)] = 4 Um número inteiro é dito número composto quando na sua relação de divisores inteiros tivermos mais de quatro divisores. a é composto ⇔ n [D(a)] ≥ = 4. Para reconhecermos se um número é primo, devemos dividir este número, sucessivamente, pelos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... até obtermos um quociente x menor ou igual ao divisor. Se até então não tivermos obtido divisão exata, dizemos que o número é primo. Exemplos a) Reconhecer se o número 673 é primo. 673 2 1 336 673 5 3 134 673 13 2 61 673 17 10 39 673 23 6 29 673 3 1 224 673 7 1 96 673 13 10 51 673 19 8 35 673 29 6 23 G. Divisibilidade aritmética Podemos verificar quando um número é divisível por outro efetuando a operação de divisão. Existem, porém, critérios que nos permitem reconhecer a divisibilidade entre dois números sem que façamos a divisão. Tais critérios se aplicam aos principais e mais usados divisores, como observaremos a seguir: • divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par. • divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma dos algarismos que o formam resultar em um número múltiplo de 3. Exemplos 3.210 é divisível por 2, pois é par, e também é divisível por 3, pois a soma dos algarismos 3 + 2 + 1 + 0 = 6 é divisível por 3. • divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo 1.840 é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos, 40, é divisível por 4. • divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando o seu algarismo da unidade for zero ou cinco. • divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível, separadamente, por 2 e por 3. • divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. 31