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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica Adicionando-se (d – r) aos dois membros da igualdade I, teremos: P + (d – r) = d · q + r + (d – r) P + (d – r) = d · q + d Assim: P + (d – r) = d · (q + 1) Portanto, P + (d – r) é um múltiplo de d. Exemplo 45 6 ⇒ 45 + ( 6 – 3) = 48 , que é, de fato, um 3 7 múltiplo do divisor 6. • Propriedade 3 Se um número A é múltiplo de um número B, então o número A será múltiplo de todos os divisores de B. Justificativa Sendo A um múltiplo de B, temos que: A = k · B, onde k ∈ ¢ (I). Sendo d um divisor qualquer de B, temos que: B = k 1 · d, em que k 1 ∈ ¢ (II) Substituindo (II) em (I), temos: A = k · k 1 · d, em que k · k 1 ∈ ¢ Portanto, A é um múltiplo de d. Exemplo O número 40 é múltiplo de 20, pois 40 = 20 · 2. Os divisores naturais de 20 são: 1; 2; 4; 5; 10 e 20. O número 40 também é múltiplo dos divisores de 20. • Propriedade 4 Para um conjunto com n números naturais não nulos consecutivos, um deles é múltiplo de n. Justificativa Consideremos a sequência dos números naturais não nulos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,... Observemos que os múltiplos do número 3 aparecem de três em três nesta sequência e que, portanto, qualquer conjunto com três números consecutivos vai apresentar, necessariamente, um múltiplo de 3. Podemos extrapolar a ideia para todos os números naturais, confirmando a propriedade. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Dado o número inteiro 60: a. decomponha-o em fatores primos; b. determine o seu número de divisores naturais; c. determine o seu número de divisores inteiros; d. determine todos os seus divisores naturais; e. determine todos os seus divisores inteiros. Resolução a. 60 2 30 2 15 3 5 5 1 ∴ 60 = 2 2 · 3 · 5 b. D(60) = (2+1) · (1+1) · (1+1) = 12 c. D(60) = 12 ·2 = 24 d. 1 60 2 2 30 2 4 15 3 3, 6, 12 5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60 1 D + (60) ={1, 2, 4, 3, 6, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 60} e. D(60) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60} PV-13-11 34

Matemática básica Matemática PV-13-11 02. UEPB Se k é um número inteiro positivo, então o conjunto A formado pelos elementos k 2 + k é, necessariamente: a. o conjunto dos inteiros não negativos. b. um conjunto de múltiplos de 3. c. um conjunto de números ímpares. d. um conjunto de números primos. e. um conjunto de múltiplos de 2. Resolução k 2 + k = k(k + 1) Número par para qualquer k. Resposta E 03. Mostre que se a divisão de um número natural n, com n positivo, por 5, dá resto 1, então (n – 1) · (n + 4) é múltiplo de 25. Resolução Sabemos que: n 5 ⇒ n = q ⋅ 5 + 1 1 q Pelas propriedades dos divisores: • n – 1 é múltiplo de 5 n – 1 = 5 K 1 (1) • n + (5 – 1) é múltiplo de 5 n + 4 = 5 K 2 (2) Multiplicando 1 por 2: (n – 1) (n + 4) = 5 K 1 · 5 K 2 (n – 1) (n + 4) = 25 K 1 · K 2 K 1 · K 2 = K ∈ ¢ Logo, (n – 1) (n + 4) = 25 K Assim, (n – 1) (n + 4) é múltiplo de 25. 3. Máximo divisor comum 04. UEPE O número N = 6 3 ·10 4 · 15 x , sendo x um inteiro positivo, admite 240 divisores inteiros e positivos. Indique x. Resolução A fatoração em primos de N é: 2 7 · 3 3+x · 5 4+x , logo seu número de divisores é 8(4 + x)(5 + x) = 240. Segue que (4+x)(5+x) = 30 ⇒ 20 + 4x + 5x + x 2 = 30 ⇒ x 2 + 9x + 10 = m 0 ∴ x = 1 ou x = – 10 (não convém) Resposta x = 1 05. Fuvest-SP Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396, resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 Resolução N = abc abc − 396 = cba 100a + 10b + c − 396 = 100c + 10b + a 99a − 99c = 396 ⎧ a − c = 4 ⎨ ⎩ a + c = 8 a = 6 c = 2 Resposta C O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números é o maior número, que é divisor comum de todos os números dados. 35