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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica • Propriedade 4 Os divisores comuns de dois ou mais números naturais são os divisores do MDC desses números. • Propriedade 5 Os múltiplos comuns de dois ou mais números naturais são os múltiplos do MMC desses números. • Propriedade 6 Dois números são considerados primos entre si se o MDC deles é igual a 1. Os números 5 e 7 são primos entre si, bem como 4 e 9, pois MDC (5, 7) = 1 e MDC (4, 9) = 1. Notemos que, para que os números sejam primos entre si, não é necessário que eles sejam primos. • Propriedade 7 Dois números naturais consecutivos são, sempre, primos entre si. • Propriedade 8 Para os dois números primos entre si, o MMC é o produto deles. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Unisul-SC Num painel de propaganda, três luminosos se acendem em intervalos regulares: o primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três se acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a se acender, simultaneamente, depois de: a. 2 minutos e 30 segundos. b. 3 minutos. c. 2 minutos. d. 1 minuto e 30 segundos. e. 36 segundos. Resolução Os luminosos se acendem simultaneamente em um tempo múltiplo dos intervalos, pela primeira vez no menor múltiplo . mmc(12, 30, 18) = 180 s = 3 min Resposta B 02. Os restos das divisões de 247 e de 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e de 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é: a. 36 b. 34 c. 30 d. 25 e. 48 Resolução 247 – 7 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 240. 315 – 3 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 312. O número x é o maior divisor comum de 240 e de 312. 240 = 24 . 3. 5 ⎫ 312 = 23 ⎬ . 3. 13 ⎭ ⇒ ( ) = = ∴ = mdc 240, 312 23 . 3 24 x 24 167 – 5 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 162 213 – 3 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 210 O número y é o maior divisor comum de 162 e de 210. 162 = 2 . 34 ⎫ ⎬ 210 = 2 . 3. 5. 7 ⎭ mdc 160, 210 2 . 3 6 y 6 ⇒ ( ) = = ∴ = Assim, o valor máximo de x + y é 30. Resposta C 03. Unicamp-SP Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se: a. Qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho? b. Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários? Resolução Sala: 300 cm x 425 cm a. Seja n o lado do ladrilho n = mdc (300, 425) ∴ n = 25 cm b. No lado de 425 cm : 425 ÷ 25 = 17 No lado de 300 cm : 300 ÷ 25 = 12 Número de ladrilhos: 17 · 12 = 204 ladrilhos Resposta a. 15 cm b. 204 ladrilhos PV-13-11 38

Matemática básica Matemática CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES PV-13-11 1. Introdução Observemos as igualdades abaixo: I. 4 + 7 = 10 II. 4 + 7 = 11 III. 4 + x = 7 As duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, uma vez que cada uma delas admite uma, e somente uma, das seguintes classificações: FALSA ou VERDADEIRA. No caso acima, a sentença (I) é FALSA e a (II) é VERDADEIRA. A igualdade (III) é uma sentença matemática aberta, pois não podemos classificá-la como FALSA ou VERDADEIRA, porque não sabemos o valor que a letra x representa. Na sentença matemática aberta, o ente matemático desconhecido, geralmente representado por uma letra, recebe o nome de incógnita, ou variável. Dependendo do valor que se atribui à incógnita em uma sentença aberta, pode-se obter uma sentença FALSA ou VER- DADEIRA. Por exemplo, em (III), se atribuirmos o valor 3 para a letra x, teremos uma sentença VERDADEIRA, mas, se atribuirmos o valor 4, teremos uma sentença FALSA. 2. Equação matemática As sentenças matemáticas abertas com uma ou mais incógnitas são denominadas equações matemáticas. Exemplos de equações matemáticas: 01. 2x + 10 = 0 02. x 2 + 1 = 0 03. x + x = 2 04. 1 x + 1 = 1 05. x 2 – 11x + 28 = 0 06. 0 · x = 1 07. 2 x = 4 08. 0 · x = 0 3. Raiz (ou solução) de uma equação É o número do conjunto universo que, quando colocado no lugar da incógnita, transforma a sentença matemática aberta em uma sentença matemática fechada verdadeira. De maneira prática, podemos dizer que raiz é o número que, substituído no lugar da incógnita, “torna” a igualdade verdadeira. Observação – Conjunto universo de uma equação é o conjunto constituído dos possíveis valores que a incógnita pode assumir. Exemplo 1 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em . a. O conjunto universo é o conjunto , conjunto dos números reais. b. Se substituirmos x por – 5 na equação 2x + 10 = 0, teremos 2(– 5) + 10 = 0, que é uma igualdade verdadeira. Dizemos, então, que – 5 é raiz da equação. c. O número 5, mesmo sendo um elemento pertencente ao conjunto universo, não é solução da equação 2x + 10 = 0, pois 2(5) + 10 = 0 é falsa. Exemplo 2 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em . a. O conjunto universo é o conjunto , conjunto dos números naturais. b. Se substituirmos x por – 5 na equação 2x + 10 = 0, teremos: 2(– 5) + 10 = 0, que é uma igualdade verdadeira, mas – 5 não é raiz da equação, pois o número – 5 não é elemento pertencente ao conjunto . 4. Resolução de equações Encontrar todas as raízes (ou soluções) da equação e representá-las em um conjunto denominado conjunto solução. Ao resolver uma equação, é preciso estar atento ao conjunto universo em que está definida a equação. 39