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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Resolver em a equação x − 1 + x = 2 3 1. Resolução 1º passo: reduzindo a um denominador comum: x − 1 x + = 2 3 1 3⋅ 1 2 6 1 mmc (2; 3) = 6 → ( x − ) + ⋅ x = ⋅ 6 6 Multiplicando ambos os membros por 6, temos: 3 · (x – 1) + 2 · x = 6 · 1 2º passo: isolar a incógnita em um dos membros da igualdade com auxílio dos teoremas T 1 e T 2 anteriores: 3 · x – 3 + 2 · x = 6 5 · x – 3 = 6 5 · x = 6 + 3 5 · x = 9 x = 9 5 x = 1,8 Conjunto solução → S = {1,8} 02. Yasmin, ao sair de casa, tinha em sua bolsa moedas, todas de mesmo valor. Entrou em uma loja e deixou metade delas na compra de um produto A. Em seguida, gastou a metade das moedas que sobraram na compra de um produto B, em outra loja, ficando com exatamente 30 moedas. Com quantas moedas Yasmin saiu de casa? Resolução Moedas Inicial 1ª compra 1ª sobra 2ª compra 2ª sobra x x 2 ⎛ x⎞ x x − ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ = 2 2 ⎛ x ⎝ ⎜ ⎞ 2⎠ ⎟ x = 2 4 x x x − = = 30 2 4 4 PV-13-11 x = 30 4 x = 30 · 4 x = 120 Resposta Yasmin tinha 120 moedas. 42

Matemática básica Matemática PV-13-11 9. Equação do 2º grau A. Introdução O segundo grupo de equações que iremos organizar para estudo são as equações do 2º grau. B. Equação do 2º grau Denominamos equação do 2º grau em , na incógnita x, toda equação que pode ser escrita na forma ax 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, a ∈, b ∈ e c ∈. Exemplo A equação 2x 2 + x – 1 = 0 é do segundo grau. Comparando-a com a forma genérica ax 2 + bx + c = 0, temos: a = 2, b = 1 e c = –1. C. Resolvendo equações do 2º grau Exemplo Resolver, em , as equações: a. x 2 – 25 = 0 b. x 2 – 2 x = 0 c. x 2 – 4x – 7 = 0 Resolução: a. x 2 – 25 = 0 x 2 = 25 x = ± 25 (Note que o símbolo ± é exigência da equação do 2º grau, e não da raiz quadrada.) x = ± 5 (leia-se x igual a mais ou menos cinco.) A igualdade acima apresenta como soluções x = 5 ou x = – 5. S = {5, – 5} b. x 2 – 2x = 0 (Observe que x é um fator comum.) x (x – 2) = 0 (Uma multiplicação de reais igual a zero significa que pelo menos um dos fatores é igual a zero.) x = 0 ou x – 2 = 0 x = 0 ou x = 2 S = {0; 2} c. x 2 – 4x – 7 = 0 x 2 – 4x = 7 (Somar número conveniente nos dois membros da igualdade para que o trinômio que irá surgir, no membro da esquerda, seja um trinômio quadrado perfeito.) x 2 –4x + 4 = 7 + 4 (x – 2) 2 = 11 ( x − 2) = 11 ou ( x − 2) = − 11 x = 2 + 11 ou x = 2 − 11 S = { 2 + 11, 2 − 11} As equações, dos itens (a) e (b) do exemplo acima, são conhecidas como equações incompletas do 2º grau, pois apresentam b = 0 ou c = 0. D. Equações incompletas do 2º grau As equações incompletas do 2º grau são de dois tipos: a. ax 2 + c = 0 (b = 0, resolução rápida: isolar o x) b. ax 2 + bx = 0 (c = 0, resolução rápida: fatoração) E. Uma fórmula para resolver equações do 2º grau Dada a equação do 2º grau na forma genérica ax 2 + bx + c = 0, consideremos os passos matemáticos a seguir. ax 2 + bx + c = 0 Multiplicando os dois membros da equação por 4a, temos: 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 4a 2 x 2 + 4abx = – 4ac Adicionando-se b 2 a cada um dos membros da equação, temos: 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = – 4ac + b 2 (2ax) 2 + 2(2ax)b + b 2 = b 2 – 4ac Observe que (2ax + b) 2 = (2ax) 2 + 2(2ax)b + b 2 (trinômio quadrado perfeito) e substituindo, temos: (2ax + b) 2 = b 2 – 4ac 43