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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica O termo b 2 – 4ac é denominado discriminante e costuma ser representado pela letra grega ∆. (2ax + b) 2 = 2ax + b = ± 2ax = – b ± –b ± ∆ x = 2a ∆ ∆ Conclusão – Dada a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, podemos encontrar os valores de x através da fórmula x = com –b ± ∆ 2a = b 2 – 4ac. Essa fórmula costuma ser designada por fórmula resolutiva de Bhaskara. Exemplo Resolver em as equações: a. – 4x 2 – 10x – 4 = 0 b. x 2 – 20x + 100 = 0 c. – x 2 – 2x – 2 = 0 Resolução ⎧a = − 4 ⎪ a. − 4x2 − 10x − 4 = 0 ⎨b = − 10 ⎪ ⎩c = − 4 ∆ = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4 · ( – 4) · (– 4) ∆ = 100 – 64 ∆ = 36 b x = − ± ∆ 2a x = − ( − 10) ± 36 2⋅( −4) 10 ± 6 x = −8 10 + 6 10 − 6 x = ou x = −8 −8 1 x = − 2 ou x = − 2 ⎧ 1⎫ S = ⎨−2; − ⎬ ⎩ 2⎭ ⎧a = 1 b. x 2 ⎪ − 20x + 100 = 0 ⎨b = −20 ⎪ ⎩c = 100 ∆ = b 2 – 4ac = ( –20) 2 – 4 · 1 · 100 ∆ = 400 – 400 ∆ = 0 b x = − ± ∆ 2a x = − ( − 20) ± 0 2⋅1 20 ± 0 x = 2 20 + 0 20 − 0 x = ou x = 2 2 x = 10 ou x = 10 S = {10} c. – x 2 – 2x – 2 = 0 Mutiplicando os dois membros por (–1), temos: ⎧a = 1 x 2 ⎪ + 2x + 2 = 0 ⎨b = 2 ⎪ ⎩c = 2 ∆ = b 2 – 4ac = 2 2 – 4 · 1 · 2 ∆ = – 4 Na fórmula resolutiva, é necessário calcular ∆ e, neste exemplo, precisaríamos encontrar - 4, porém este número não existe no conjunto dos números reais. Dizemos, então, que não existe solução real. S = Ø (conjunto vazio) Observações: I. No exemplo a, encontramos um valor de ∆ positivo e duas raízes reais e distintas. II. No exemplo b, o valor do ∆ é zero e as duas raízes são reais e iguais. III. No exemplo c, o ∆ é negativo e não existem raízes reais. De maneira geral, em uma equação do 2º grau, podemos dizer que: a. ∆ > 0 ⇔ há duas raízes reais e distintas; b. ∆ = 0 ⇔ há duas raízes reais e iguais; c. ∆ < 0 ⇔ não há raiz real. PV-13-11 44

Matemática básica Matemática PV-13-11 F. A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau Consideremos a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Pela fórmula resolutiva, temos: x 1 = − b + ∆ x 2 2 = − b − ∆ ; a 2a Indicaremos a soma das raízes por S e o produto por P. S = x1 + x2 = − b + ∆ + − b − ∆ 2a 2a = − b + ∆ S − b − ∆ 2a 2b S = − 2a b S = − a ⎛ P = − b ⎜ + ∆ ⎞ ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ ⎛ − b − ∆ ⎞ 2a ⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ ⎛ b2 − ( ∆) 2 ⎞ P = ⎜ ⎟ ⎝ 4a2 ⎠ ⎛ b2 − ∆⎞ P = ⎝ ⎜ 4a2 ⎠ ⎟ ⎛ b2 − ( b2 − 4 ⋅ac) ⎞ P = ⎝ ⎜ 4a2 ⎠ ⎟ ⎛ b2 − b2 + 4 ⋅ac⎞ P = ⎝ ⎜ 4a2 ⎠ ⎟ 4ac P = 4aa c P = a Resumindo – Dada a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, com raízes x 1 e x 2 , então: S = x 1 + x 2 = - b a e P = x 1 · x 2 = c a Exemplo Resolver, em , a equação x 2 − ( 3 − 1 ) x − 3 = 0 Resolução: ⎧a = 1 ⎪ x2 − ( 3 − 1) x − 3 = 0⎨b = −( 3 − 1) ⎪ ⎩c = − 3 Soma das raízes: b 3 S = − = − [ − ( − 1)] = 3 − 1 a 1 c = = − 3 Produto das raízes: P = − a 1 Os números 3 e –1 são dois números reais que possuem soma igual a 3 –1 e produto igual a – 3. Assim, as raízes são x 1 = –1 e x 2 = 3. S = {–1; 3} G. Escrever uma equação do 2º grau conhecendo suas raízes Considere a seguinte proposta: escrever uma equação do 2º grau que tem como raízes os números 10 e 8. A equação x 2 – 18x + 80 = 0 satisfaz a proposta. Vejamos: 10 2 – 18 · 10 + 80 = 100 – 180 + 80 = 0 (10 é uma raiz.) 8 2 – 18 · 8 + 80 = 64 – 144 + 80 = 0 (8 é uma raiz.) Analisemos como foi montada a equação. A forma geral de uma equação do 2º grau é ax 2 + bx + c = 0. Observe que a foi substituído por 1, b por –18 e c por 80, em que 18 é a soma das raízes e 80 é o produto. Podemos dizer que ax 2 + bx + c = 0 é equivalente a x 2 – Sx + P = 0, em que S é a soma das raízes e P é produto das raízes. As seguintes passagens justificam essa afirmativa. ax 2 + bx + c = 0 (dividir os dois membros da igualdade por a.) ax2 + bx + c 0 = a a a a x b a x c 2 + + = 0 a b b Como S S a a e P c = − , − = = , a te mos: x 2 – Sx + P = 0 3 45