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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Resolver, em , a equação x 2 − 2 x = 3 . x − 2 Resolução x2 − 2x = 3 (C.E.: x ≠ 2) x − 2 x 2 – 2x = 3 (x – 2) x 2 – 2x = 3x – 6 ⎧a = 1 x2 ⎪ − 5x + 6 = 0⎨b = −5 ⎪ ⎩c = 6 ∆ = b 2 – 4 · a · c ∆ = (–5) 2 – 4 · 1 · 6 ∆ = 1 b x = − ± ∆ 2a x = − ( − 5) ± 1 2⋅1 5 x = − 1 5 ou x = + 1 2 2 x = 2 ou x = 3 não serve S = { 3} 02. Escreva duas equações do 2º grau que tenham como raízes os números 4 e 3. Resolução S = 4 + 3 = 7 P = 4 · 3 = 12 ax 2 + bx + c = 0 é equivalente a x 2 – Sx + P = 0; assim, temos: x 2 – 7x + 12 = 0 Para encontrar uma segunda equação, basta multiplicar ou dividir os dois membros da igualdade por um número real diferente de zero. x 2 – 7x + 12 = 0 (multiplicar os dois lados por 5) 5x 2 – 35x + 60 = 0, que é equivalente a x 2 – 7x + 12 = 0 Resposta Duas equações que têm como raízes 4 e 3 são: x 2 – 7x + 12 = 0 e 5x 2 – 35x + 60 = 0 Obs. – Dividindo ou multiplicando a equação x 2 – 7x + 12 = 0 por um número real diferente de zero, obteremos novas equações equivalentes, portanto há infinitas equações do 2º grau que possuem as raízes 4 e 3. 03. Considere a equação ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 , com raízes x 1 e x 2 . Mostre que a expressão ax 2 + bx + c é equivalente à expressão a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ). Resolução Como x 1 e x 2 são raízes da equação ax 2 + bx + c = 0, temos que x 1 + x 2 = - b (soma das raízes ) e a x 1· x 2 = c (produto das raízes) a ⎛ b a · x 2 + b · x + c = a x a x c ⋅ 2 ⎞ + + ⎝ ⎜ a⎠ ⎟ = ⎡ = − ⎛ b ⎞ ⎤ a⎢x − ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ + ⎥ ⎣ a x c 2 = a ·[x 2 –(x 1 + x 2 )· x + (x 1 · x 2 )] = a⎦ = a [x 2 – x · x 1 – x · x 2 + x 1 · x 2 ) = = a [x (x – x 1 ) – x 2 (x – x 1 )] = = a · [(x – x 1 ) · (x – x 2 )]= = a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) Assim, temos que: ax 2 + bx + c = a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) (c. q. d.) A forma a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) é a forma fatorada de ax 2 + bx + c, quando x 1 e x 2 são as raízes. PV-13-11 46

Matemática básica Matemática 10. Resolução de equações com mudança de variável Frequentemente nos deparamos com equações que, mesmo não sendo do 2º grau, podem ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas situações, devemos nos valer de mudanças nas variáveis da equação de tal forma que ela se transforme, temporariamente, numa equação do 2º grau, como nos exemplos que veremos a seguir: Exemplos a) Resolver a equação: x 4 – 3x 2 – 4 = 0 Notemos que esta é uma equação de quarto grau, porém com uma característica particular: apresenta apenas os termos de grau par. Se fizermos: x 2 = y teremos: y 2 – 3y – 4 = 0 Resolvendo esta equação, teremos: y 1 = –1 e y 2 = 4 Considerando que y está ocupando o lugar de x 2 , teremos: x 2 = –1 ou x 2 = 4 Considerando x ∈ R, teremos: Assim: x = –2 ou x = 2 S= {–2,2} EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-13-11 01. Resolver, em , a equação: x 6 – 28 x 3 + 27 = 0 Resolução Fazendo x 3 = t, teremos x 6 = t 2 , logo: t 2 – 28 t + 27 = 0 ∆ = 784 – 108 = 676 28 ± 26 t1 = 27 t = = 2 t = 1 Então, teremos: x x 3 = 27 = 3 3 3 x x 3 = 1 = 1 x = 3 x = 1 Resposta S = {1, 3} 2 3 3 02. Resolva em : (x 2 + 2) 2 - 5(x 2 + 2) + 6 = 0. Resolução (x 2 + 2) 2 - 5(x 2 + 2) + 6 = 0 Fazendo x 2 + 2 = m, vem: m 2 - 5m + 6 = 0 S= 5 P= 6 ( 2, 3) Então: x 2 + 2 = 2 x 2 = 0 x = 0 ou x 2 + 2 = 3 x 2 = 1 x=±1 S = {0, - 1, 1} 47