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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica 03. Resolver em a equação x 2 – 4x + 5– 4 + 1 = 0 ( x ≠0) x x2 Resolução Primeiro, arrumamos a equação: 1 4 x2 + – 4x – + x2 5 = 0 x ⎛ 1 1 x2 ⎞ + 4 x 5 0 I ⎝ ⎜ x2 ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ + ⎞ – x⎠ ⎟ + = () Faremos a seguinte troca: 1 x + = t x Elevando ao quadrado, teremos: 11. Equações irracionais 1 1 x2 + 2 + = t2 ⇒ x2 + = t2 –2 x2 x2 Substituindo em (I): (t 2 – 2) – 4t + 5 = 0 t 2 – 4t + 3 = 0 4 t t = ± 2 = 3 = 2 t = 1 Voltando à mudança variável: 1 1 x + = 3 x + = 1 x x x 2– 3x + 1 = 0 x2 – x + 1 = 0 3 ± 5 1 x = x = ± – 3 não é real 2 2 Daí, teremos: ⎧3– 5 3 + 5 ⎫ S = ⎨ , ⎬ ⎩ 2 2 ⎭ Equação irracional é uma equação em que há incógnita em um ou mais radicais. São equações irracionais: 3 1. x + 2 = 5 2. x + 1 = x – 2 3. 3x + 1 + x –1 = 6 As raízes podem ter qualquer índice, mas, no nosso estudo, trataremos apenas das equações irracionais que apresentarem raízes quadradas. Não existe fórmula para resolver essas equações, mas temos um processo de resolução prático e seguro que nos conduz a equações cuja resolução já conhecemos. Vamos acompanhar o método por meio de um exemplo. Resolver a equação: x + 3 + x = 3 PV-13-11 1º passo: Isolamos o radical num dos membros da equação. Se existir mais de um radical, escolher um deles e isolar. x + 3 = 3 – x 2º passo: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação. 2 2 ( x + 3) = ( 3 – x) x + 3 = 9 – 6x + x x2 – 7x + 6 = 0 2 48

Matemática básica Matemática 3º passo: Resolvemos a equação. Se na primeira vez que elevarmos a equação ao quadrado continuar a existir a raiz quadrada, ela deve ser isolada e a equação será novamente elevada ao quadrado tantas vezes forem necessárias até que não exista mais nenhum radical: x 2 – 7x + 6 = 0, que resolvida, fica: x = 1 ou x = 6 4º passo: Dessa maneira, obtemos uma outra equação que não tem, necessariamente, o mesmo conjunto verdade da equação proposta. Quase sempre, a última equação admite todas as raízes da primeira equação. Para contornar esse problema, iremos efetuar uma verificação para eliminar as raízes estranhas e obter o conjunto solução correto. Essa verificação consiste em substituir na equação original os valores de x obtidos. Observe: para x = 1: 1 + 3 + 1 = 3 4 + 1 = 3 2 + 1 = 3 ( V) para x = 6: 6 + 3 + 6 = 3 9 + 6 = 3 3 + 6 = 3 9 = 3 ( F) Notamos que 1 é solução da equação, mas 6 não é. Assim: S = {1} EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-13-11 01. PUC-SP O conjunto de soluções inteiras da equação 4x + 1 = 2x – 1 é: a. {2} b. {0,2} c. {0} { } { } d. 0 , 1 2 e. 1 2 Resolução 4x + 1 = 2x – 1 2 2 4 1 2 1 4 1 4 2 ( x + ) = ( x – ) ⇒ x + = x – 4x + 1 ⇒ ⎧x = 0 ( não convém) ⇒ x2 – 2x = 0⎨ ⎩x = 2∴ V = { 2} Resposta A 02. FEI-SP Seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional 2x – 7 + x = 1. Assim: a. V = {2; 18} b. V = {2} c. V = {18} d. V = ∅ e. V = {–2; –18} Resolução 2x – 7 + x = 1 2 2 ( ) = ( + + ) ⇒ = + + + + 2x 7 x 1 2x 7 x 2 7 x 1 2 ( ) = ( ) 2 2 7 + x = x – 8 ⇒ 2 7 + x x – 8 ⎧x = 2 ( não convém) ⇒ x2 – 20x + 18 = 0⎨ ⎩x = 18∴ V = { 18} Resposta C 49